Propiedades de las funciones derivables. Representación gráfica de funciones. Determinar los puntos de inflexión. (Junio 1997)

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1 Matemáticas II. Curso 008/009 de funciones 1 1. Determinar las asíntotas de f () =. Estudiar la concavidad y conveidad. 1 + Determinar los puntos de infleión. (Junio 1997) 1 Por un lado, lim 1 = 0 y = 0 es una asíntota horizontal (el eje X). + Por otro, f no tiene asíntotas verticales pues no eiste ningún número k de tal manera que 1 lim = (el denominador nunca se anula: Dom(f) = ). k 1 + Tampoco tiene asíntotas oblicuas (del tipo y = m + n) pues es mayor el grado del f () denominador y por tanto m = lim = 0. Para estudiar la concavidad y la conveidad estudiemos la derivada segunda: f '() = ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1 ) f ''() = = = Observemos ahora que: 1 1 f ''() = 0 6 = 0 = = = Estudiemos ahora el signo de la segunda derivada:,,, + f ''() > 0 f ''() < 0 f ''() > 0 cóncava convea cóncava Por tanto f es cóncava en,, + U y convea en,. Además en el punto = hay un punto de infleión porque en éste la función pasa de ser cóncava a convea. 1

2 Matemáticas II. Curso 008/009 Análogamente en cóncava. = hay otro punto de infleión porque aquí pasa de ser convea a 1 1 Como f = = = infleión son, y, y, de igual modo, f =, los puntos de. Se considera la función f () = ; obtener sus asíntotas. Estudiar el crecimiento y 1 decrecimiento. Calcular los máimos y mínimos relativos. (Septiembre 1997) si lim 1 = = + + f no tiene asíntotas horizontales. si si 1 lim = = si 1 Hallemos ahora la asíntota oblicua y = m + n: f () m = lim = lim = 1 + = 1 es una asíntota vertical. ( ) n = lim ( f () m) = lim = lim = lim = Por tanto y = + 1 es una asíntota oblicua. Estudiemos el crecimiento y decrecimiento: 1 1 f '() = = = ; Entonces f '() = 0 ( ) = 0 = 0 ó =. Estudiemos el signo de la primera derivada (tengamos en cuenta que en = 1 hay una asíntota vertical): (, 0) (0, 1) (1, ) (, + ) f '() > 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() > 0 creciente decreciente decreciente creciente Por tanto f es creciente en (, 0) (, + ) y decreciente en (0, 1) (1, ). Además: En el punto = 0 hay un máimo pues f pasa aquí de creciente a decreciente. Como f(0) = 0 el punto (0, 0) es un máimo.

3 Matemáticas II. Curso 008/009 En el punto = hay un mínimo pues aquí f pasa de ser decreciente a creciente. Como f() = (, ) es un mínimo.. Determinar las asíntotas de f () = y estudiar el crecimiento de la función. (Junio 1998) lim = = + si + f no tiene asíntotas horizontales. si si lim = = + + si = es una asíntota vertical. si lim = = = es una asíntota vertical. + + si Hallemos ahora la asíntota oblicua y = m + n: f () m = lim = lim = 1 ( ) n = lim f () m = lim = lim = lim = 0 Por tanto y = es una asíntota oblicua (la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero). Estudiemos el crecimiento y decrecimiento: 1 f '() = = = 1 Entonces f '() = 0 1 = 0 = 0, = 1 = ó = 1 =. Estudiemos el signo de la primera derivada (tengamos en cuenta que en = y = hay asíntotas verticales): (, ) (, ) (, 0) (0, ) (, ) (, + ) f '() > 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() > 0 creciente decreciente decreciente decreciente decreciente creciente Por tanto: f es creciente en (, ) U (, + ) f es decreciente en (, ) (, 0) ( 0, ) (, ) U U U ;

4 Matemáticas II. Curso 008/009. Estudiar la concavidad y conveidad de y =. Determinar si tiene puntos de + infleión. (Septiembre 1998) Tengamos primero en cuenta que Dom(f) = pues el denominador nunca se anula. f '() = 8 ( + ) f ''() = = = = = = Claramente entonces f ''() = 0 = 1 ó = 1. Estudiemos el signo de la segunda derivada: (, 1) ( 1, 1) (1, + ) f ''() > 0 f ''() < 0 f ''() > 0 cóncava convea cóncava Por tanto f es cóncava en (, 1) (1, + ) y convea en ( 1, 1). Además: En = 1 la función pasa de ser cóncava a convea, luego = 1 es un punto de infleión. Como f( 1) = 1 ( 1, 1) es un punto de infleión. En = 1 la función pasa de ser convea a cóncava, luego = 1 es un punto de infleión. Como f(1) = 1 (1, 1) es un punto de infleión. 5. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total igual a 5 m. Determinar el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. (Junio 1999) Consideremos el depósito abierto: A = πrh h r A 1 = πr

5 Matemáticas II. Curso 008/009 El área total es A A1 A r rh = + = π + π (ver figura). Entonces π r + π rh = 5 5 πr 7 r π rh = 5 πr h = = πr πr El volumen del cilindro es 7 r πr V = π r h = πr = 7r πr πr Entonces, derivando respecto de r: V ' = 7. Por tanto: πr V ' = 0 7 = 0 5 π r = 0 r = r =, 9 m. π π 7,9 Sustituyendo: h =,9 m. π,9 6. Hallar los máimos y mínimos relativos, los puntos de infleión y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f () = 1. (Septiembre 1999) Obsérvese en primer lugar que Dom(f) = { 1, 1} (de hecho f tiene en = 1 y en = 1, sendas asíntotas verticales) 1 f '() = = = = 0 = 0, = ó =. Estudiemos el signo de la primera derivada (tengamos en cuenta que en = 1 y = 1 hay asíntotas verticales): Entonces f '() = 0 (, ) (, 1) ( 1, 0) (0, 1) ( 1, ) (, + ) f '() > 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() < 0 f '() > 0 creciente decreciente decreciente decreciente decreciente creciente Por tanto: Además: f es creciente en (, ) U (, + ) f es decreciente en (, 1) U ( 1, 0) U ( 0, 1) U ( 1, ) En el punto = hay un máimo pues f pasa aquí de creciente a decreciente. Como f = el punto, es un máimo. 5

6 Matemáticas II. Curso 008/009 En el punto = hay un mínimo pues aquí f pasa de ser decreciente a creciente. Como f =, es un mínimo. ( )( ) ( ) ( ) ( 1) f ''() = = = = = Entonces f ''() = 0 = 0 Estudiemos el signo de la segunda derivada: (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, + ) f ''() < 0 f ''() > 0 f ''() < 0 f ''() > 0 convea cóncava convea cóncava Por tanto f es convea en (, 1) (0, 1) y cóncava en ( 1, 0) (1, + ). Además en = 0 la función pasa de ser cóncava a ser convea = 0 es un punto de infleión. Como f(0) = 0 el punto de infleión es el (0, 0). 7. El coste de producción de unidades de un producto dado por la epresión C = ptas. y el precio de venta de una unidad es U = 1000 ptas. Cuántas unidades se deben vender para que el beneficio sea máimo? (Junio 000) El beneficio B es el precio de venta menos el coste. El precio de venta de unidades será U = (1000 ) = Entonces el beneficio que produce la venta de unidades B = U C = = es: Derivando: B' = B' = = 0 = 5, valor que es un máimo pues B'' =,. Por tanto para obtener beneficio máimo se han de vender 5 unidades. 8. Halla las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 1000 metros cúbicos de capacidad que tenga un revestimiento interior de coste mínimo. El precio del m de revestimiento lateral es 100 euros, el precio del m de revestimiento del fondo es 00 euros. Halla también el coste mínimo. (Septiembre 001) Llamemos a la anchura y profundidad (el prisma es de base cuadrada) y h a la altura del prisma recto. Su volumen viene dado por V = h. Entonces 1000 = = (*) h 1000 h 6

7 Matemáticas II. Curso 008/009 h A 1 = h A = La superficie lateral es A1 euros el metro cuadrado): C1 La superficie del fondo es euros el metro cuadrado): C = h. Entonces el coste del revestimiento lateral será (a 100 = 00h A =. Por tanto el coste revestimiento del fondo es (a 00 = 00 El coste total del revestimiento será pues: C C C 00h valor de h: C = = Derivando: C' = Entonces: Sustituyendo en (*) h = 10. Por tanto el prisma recto es un cubo de 10 metros de arista El coste mínimo del revestimiento será: C = = euros. 10 = 1 + = +. Sustituyendo el C' = = = 0 = 1000 = Un solar rectangular de m se divide en tres zonas rectangulares iguales (como muestra la figura) para venderlo. Se valla el borde del campo y la separación de las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la longitud de valla utilizada sea mínima. (Junio 00) Llamemos e y a las dimensiones (anchura y altura) del borde del campo (ver figura). y Entonces 1150 y = 1150 y = (*) 7

8 Matemáticas II. Curso 008/009 La longitud de la valla es claramente L = + y. Sustituyendo tenemos: 5000 Derivando: L' = L = + = Entonces L' = 0 = = 0 = 500 = 150 ó = 150. El único valor que puede ser solución al problema es el positivo: = 150 m Sustituyendo en (*) y = = 75 m 150 Por tanto las dimensiones del solar rectangular son = 150 m. ; y = 75m Dada la función f () =. Calcula: a) Los máimos y mínimos relativos. b) Las asíntotas. c) Los puntos de infleión. (Junio 00) a) b) ( 1) f '() = = = f '() = 0 + = 0 = ; = ( + ) + f ''() = = = f '' = = = < 0 = es un máimo. 5 9 ( ) 6 6 f '' = = = > 0 9 ( ) 5 1 Como f = = = y f = es un mínimo. 1 = = =, el 9 9 máimo y el mínimo son, respectivamente, los puntos,, 9, 9 1 lim 0 = y = 0 es una asíntota horizontal (el eje X). 1 + si 0 lim = = 0 si 0 + = 0 es una asíntota vertical (el eje Y). 8

9 Matemáticas II. Curso 008/009 No tiene asíntotas oblicuas (del tipo y = m + n) pues es mayor el grado del denominador y f () por tanto m = lim = 0. c) ( ) 6 f ''() = 0 = 0 = 6 ; = 6 5 5( 6) f '''() = = = = ( ) 6 10 = f ''' 6 = f ''' 6 = = = 0 = 6 ; = 6 son puntos de infleión Como f ( 6 ) = = = y f ( 6 ) puntos de infleión son: 5 6 6, = = =, los y 6, La capacidad de concentración de una saltadora de altura en una reunión atlética de tres horas de duración viene dada por la función f(t) = 00t( t) donde t mide el tiempo en horas. a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentración aumenta y los intervalos en los que disminuye. Cuándo es nula? b) Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca? c) Representa gráficamente la función capacidad de concentración. (Septiembre 00) a) f '(t) = 00( t) + 00t ( 1) = 600t f '(t) > 0 600t > 0 600t < 900 t < = f '(t) < 0 600t < 0 600t > 900 t > = 600 De lo anterior se deduce que f es creciente en, y decreciente en, +. Es decir, la capacidad de concentración aumenta en la primera hora y media y disminuye a partir de ese momento. f (t) 0 00t( t) 0 = = t = 0 ó t =. Esto quiere decir que la capacidad de concentración es nula si t = 0 (antes de empezar la prueba) o t = (a las tres horas de haber dado comienzo la prueba). 9

10 Matemáticas II. Curso 008/009 b) c) 900 f '(t) = 0 600t = 0 t = = 600 f ''(t) = 600 < 0, t t = es un máimo, lo que quiere decir que el mejor momento, en términos de capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca es justamente a la hora y media de iniciada la prueba. 1. El alcalde de un pueblo quiere preparar un recinto rectangular para celebrar fiestas. Aprovecha para uno de los lados una tapia eistente y dispone de 00 m de tela metálica para cercar los otros tres lados. a) Halla las dimensiones del recinto máimo que se puede acotar. b) Calcula el área de dicho recinto. (Septiembre 00) a) Llamemos a la anchura del recinto e y a su profundidad (ver figura). y y Entonces + y = 00 = 00 y (*) El recinto que se puede acotar será máimo, cuando el área sea máima, es decir, cuando la epresión A = y sea máima. Sustituyendo: A = (00 y)y. Derivando: A' = y + (00 y) = y Entonces A' = 0 y + 00 = 0 y = 75. Sustituyendo en (*), =

11 Matemáticas II. Curso 008/009 Por tanto las dimensiones del recinto máimo que se puede acotar son: = 150 metros e y = 75 metros. b) A = y = = 1150 m. 1. El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los dos lados superiores forman entre sí un ángulo de 90º. Calcula la longitud de los lados a y b para que el área de la ventana sea máima. (Junio 00) a b a Como los dos lados superiores forman un triángulo rectángulo se tiene, por el teorema de Pitágoras, que + = b = b b = (ver figura). Además, en cada uno de los dos triángulos simétricos que dividen al mencionado, b b = h + h = = = h = =. Como el perímetro de la ventana es 6 m, a + b + = 6 a + + = 6 a = 6 a =. a h b a El área de la ventana es bh A = ab +. Por tanto: 1 A = + = + = La derivada es A ' =. Igualándola a cero se obtienen los etremos: 1 A ' = 0 = 0 = + = = 1+ 7 un máimo pues la segunda derivada es A '' = 1< 0, ). (que es Por tanto las longitudes de los lados a y b para que el área de la ventana sea máima son: a = = = = = = 1,11 metros

12 Matemáticas II. Curso 008/ b = = 1,57 metros Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función f dada por f () = e + +. (Junio 00) ( + ) ( + ) f '() = e + e + = e + e + En el punto = 0 la recta tangente es y f(0) = f '(0)( 0) f (0) = 0 e + = = f '(0) = e + 0 e + = ( 0 + ) Por tanto la recta tangente queda: 1 1 y = y = La pendiente de esta recta es m =. La pendiente de la recta normal es 1 m' =, con lo que la recta normal será 1 1 y = 15. En un semicírculo de radio 10 m se quiere inscribir un rectángulo, uno de cuyos lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tenga sus etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del rectángulo para que su área sea máima. (Septiembre 00) 1 m' =. Entonces m Llamemos a la base del rectángulo e y a la altura. Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras se tiene (ver figura): + y = 10 + y = y = 00 = 00 y = 00 y (*) El área del rectángulo es: A = y = 00 y y = 00y y 10 y Derivando: 800y 16y 800y 16y 00y y A ' = = = 00y y 100y y 100y y 1

13 Matemáticas II. Curso 008/009 A ' = 0 00y y = 0 y 50 y = 0 y = 0, y = 50 ó y = 50 Luego: La única solución factible es y = 50 = 5. Sustituyendo en (*) = 00 = 10 Por tanto las dimensiones del rectángulo para que su área se máima son: y = 5 7, 07 m. = 10 = 1,1 m. = = 16. Dada la función f: definida por f () = : a) Halla las coordenadas del punto de infleión. b) Halla las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas. c) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a f() en el punto de infleión y en el origen de coordenadas. (Septiembre 00) Dada la curva y = se pide: + 1 a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay. b) Asíntotas, si las hay. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos, si los hay. e) Una representación aproimada de la misma. (Junio 00) 18. Un alambre de 100 metros de largo se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Halla la longitud de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima. (Junio 00) Llamemos a la longitud de una de las partes e y a la longitud de la otra + y = 100 y = 100. Con hacemos partes iguales y formamos un cuadrado de área A1 = =. 16 La longitud de la circunferencia formada con la otra de las partes es: 100 π r = y π r = 100 r = π Entonces el círculo correspondiente a esta parte tendrá área: 1

14 Matemáticas II. Curso 008/009 A = π r = π = π π La suma de las áreas del cuadrado y del círculo será π A = A1 + A = + = 16 π 16π y A1 = 16 A = π Derivando: 1 1 A ' = ( 8 800) ( 00) 16π π + = 8π π A ' = 0 π + 00 = 0 ( π + ) = 00 = 56 y = π + Por tanto las longitudes de los trozos son, aproimadamente, = 56 m e y = m. 19. Considera la función f () = +. Calcula: a) Puntos de corte con los ejes. b) Máimos y mínimos. c) Puntos de infleión. d) Halla el área de la región encerrada por la gráfica y el eje X. (Septiembre 00) 0. Epresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el segundo sea doble que el primero. Si el producto de los tres es máimo, determina el valor de dicho producto. (Septiembre 00) 1

15 Matemáticas II. Curso 008/ Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la zona impresa debe ocupar 100 cm, el margen superior debe medir cm, el inferior cm, y los márgenes laterales cm cada uno. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible. (Junio 005). De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 0 cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máimo. (Septiembre 005). Estudia el crecimiento y la concavidad de la función f: (0, + ) definida por L f () =. (L = logaritmo neperiano) (Septiembre 005). Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y = + b c + d corte al eje OY en el punto (0, 1), pase por el punto (, ) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX. (Septiembre 005) 5. Determina los valores de a, b y c para que la función f () = + a + b + c pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de infleión en = 1 y su recta tangente en = 1 tenga pendiente. (Junio 006) 6. Enuncia el teorema de Rolle. En los ejemplos siguientes f( ) = f() pero no hay ningún punto c (, ) tal que f '(c) = 0. Justifica en cada caso por qué no contradicen el teorema 1 de Rolle. a) f () =, b) g() =. (Nota: representa el valor absoluto de ) (Junio 006) 15

16 Matemáticas II. Curso 008/ Para la función f () = ( + ) e, se pide: a) Estudia su dominio y continuidad. b) Determina sus puntos de corte con los ejes. c) Obtén las coordenadas de los máimos y mínimos. (Recuerda que: e 0, ) (Septiembre 006) 8. Dada la función f () = 9 + 6, se pide: a) Halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f() tiene pendiente 1. b) Calcula los puntos de infleión de f(). (Junio 007) f '() 9 1 con la derivada en dicho punto, entonces hemos de hallar los puntos que cumplan f '() = = = 0 = 0 = +. Como la pendiente de la recta tangente en un punto coincide + 1 = 0 = ó = 1. En coordenadas los puntos son: (, 6) y ( 1, ) f ''() = 1 1. Entonces 1 1 = 0 = 1 = 1 ó = 1. Estos son los posibles puntos de infleión de la función. La derivada tercera es f '''() =. f '''( 1) = 0 = 1 es un punto de infleión. En coordenadas el punto ( 1, ) f '''(1) = 0 = 1 es un punto de infleión. En coordenadas el punto (1, 1) 9. En agosto de 158 el matemático Ludovico Ferrari le propuso a su colega Niccolo Fontana, apodado Tartaglia, el siguiente problema: Halla dos números reales no negativos cuya suma sea 8 de manera que su producto multiplicado por su diferencia sea máimo. Obtén las soluciones de este problema con dos decimales de aproimación. (Septiembre 007) Sean los números e y con 0 < < y. Entonces + y = 8 y = 8. La cantidad que se quiere hacer máima es C = y(y ). Sustituyendo el valor de y se tiene: C = 8 8 = 8 8 = + 6 Derivando C: C' = Entonces C' = = 0 + = 0 ± ( ) ± 19 ± 8 = = = = ± = ,69 = 6,1 Por tanto = 1,16 (los números son no negativos). Entonces y = 8 1,69 = 6,1. 16

17 Matemáticas II. Curso 008/009 a + b 0. De la función f () =, con a, b, sabemos que pasa por el punto (1, ), y que a tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6. a) Determina los valores a y b de la función. b) Determina, si eisten, las asíntotas verticales de dicha función. (Septiembre 007) 1. Definición de punto de infleión de una función. Calcula el valor de los parámetros f () = a e + b tenga un punto de infleión en = 0 a, b para que la función y un mínimo relativo en = 1. (Junio 008). Dadas las funciones f () = ln ( 1 ) y g() ln ( 1 ) a) Determina el dominio de cada una de ellas. b) Estudia si dichas funciones tienen puntos de infleión. = +, se pide: (Septiembre 008). Determina los valores de los parámetros a, b para que la función f () = a + b e tenga un etremo relativo en el punto de abscisa = y además pase por el punto (1, 1/e). Halla la ecuación de la recta tangente a f() en el punto de abscisa = 0. (Septiembre 008) 17

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