Eiemplo la: Halla el ángulo que forman las rectas r y s que vienen dadas por: x-y =3 y + z = 15

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1 TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2 BACH(CN) TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 1.- ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO A) ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS. Para calcular el ángulo formado por dos rectas que se cortan (en otro caso no tiene sentido), calculamos el ángulo formado por sus vectores directores utilizando la aplicación del producto escalar: Observación: Cuando una recta viene dada por la intersección de dos planos, para calcular el vector director de la recta multiplicamos vectorialmente los vectores normales de los planos (ya que así nos sale un vector perpendicular a ambos). Observación: En el caso en que las rectas sean perpendiculares, el producto escalar de los vectores directores será cero. En el caso en que las rectas sean paralelas, los dos vectores directores serán proporcionales. Eiemplo la: Halla el ángulo que forman las rectas r y s que vienen dadas por: x-y =3 y + z = 15 y s: y = 2A (antes se debe comprobar que las rectas se cortan). z=15+5a {X =3+3A B) ÁNGULOS ENTRE DOS PLANOS. Para calcular el ángulo formado por dos planos, basta calcular el ángulo formado por sus vectores normales, utilizando de nuevo el producto escalar. Independientemente del valor del coseno, tomaremos el ángulo agudo que forman: Observación: Cuando dos planos sean perpendiculares entre sí, el producto escalar es cero. Cuando dos planos son paralelos, los vectores normales son proporcionales. Eiemolo lb: Halla el ángulo que forman los planos 7f y 7f' que vienen dados por: 7f : x - 2y + 4z = O y 7f': 2x - y + 3 = O. DAVID RIVIER SANZ 1/S

2 TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2 BACH(CN) C) ÁNGULOS ENTRE RECTA Y PLANO. En este caso, el ángulo es el complementario al que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano: Observación: Cuando la recta y el plano son perpendiculares es porque el vector director de la rectá y el vector normal al plano son proporcionales. Cuando la recta y el plano son paralelos, el vector director de la recta y el normal al plano son perpendiculares, por lo tanto su producto escalar será O. Eiemolo lc: Qué ángulo forman la recta 7r : 2x - 5Y + 7 z - 11 = O? r x-3_y+1_z y el plano 2.- DISTANCIAS EN EL ESPACIO A) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. La distancia entre dos puntos es el módulo del vedar que forman, es decir: B) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. El proceso natural para calcular esta distancia sería: i) Calcular la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P. ii) Calcular la intersección de esta recta con el plano (Q) (que es la proyección ortogonal del punto P sobre el plano). iii) Calcular el módulo del vector formado por P y Q. Todo ello se resume en la siguiente fórmula: Eiemolo 28: Calcula la distancia que existe entre el punto P(3,1,7) y el plano 7r:x-3y+5z-1=O. DAVID RIVIER SANZ 2/5

3 TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2 BACH(CN) C) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. En este caso el proceso sería: i) Elegimos un punto cualquiera de la recta (A). ii) Construimos el triángulo formado por los puntos P, A Y M (proyección ortogonal de P sobre la recta). iii) Calculamos la altura de ese triángulo ayudándonos de la fórmula del área del triángulo (el producto vectorial). Todo ello se 'reduce a aplicar la siguiente fórmula: d(p,r)j /\ AP] litl I Eiemolo 2C: Calcular la distancia del punto P(5,-1,6) a la recta siguiente: r: y = -A z=5+a {X = 1-2,,1, D) DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Si las rectas son paralelas, se coge un punto de cualquiera de ellas y se calcula su distancia a la otra aplicando el apartado anterior. Si las rectas se cruzan aplicamos la siguiente fórmula: Id(r,s) = 1 Ilit,v,PQ u /\ V 1 '1, donde ii y v son los vectores directores de las rectas y P y Q son dos puntos cualesquiera de cada una de ellas, respectivamente. Eiemolo 2D: Calcular la distancia entre las rectas siguientes: r: y=-l y s: y=3-p {X=5+A z = 8 + 2,,1, {X=4+3P Z = 5 + 4P E) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Se reduce al caso B, cogemos un punto cualquiera de uno de los dos planos y calculamos su distancia al otro plano. Para ello los dos planos deben ser paralelos. Eiemolo 2E: Calcular la distancia entre los planos 1{ : x - 3y + 5z -1 = O y 1{2 :3x-9y+15z+7=O. DAVID RIVIER SANZ 3/5

4 TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2 BACH(CN) 3.- MEDIDAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES. A) ÁREA DE UN TRIÁNGULO DEL QUE SE CONOCEN LOS VÉRTICES. El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo. Por tanto: Área(ABC) = 1-. lar /\ ACII donde A,By C son los vértices del triángulo. Eiemolo 3A: Hallar el área del triángulo de vértices A(-S,2,1), B(1,7,S) y C(-1,0,4). Calculamos AB = (6,5,4), AC = (4,-2,3) Y AB 1\ AC = (23,-2,-32), para luego: Area(ABC)=-., 'll-~ii-j AB /\AC = =--v1557 1~ ~19,73u B) VOLUMEN DE UN TETRAEDRO. -* -* -* El volumen de un tetraedro que está determinado por los vectores, u, v y w viene dado por: Volumen del Tetraedro = 6' 1 1[-* u, v, ->-*] w Eiemplo 38: Hallar el volumen del tetraedro de vértices A(3,S,7), B(l,O,-l), C(7,-1,4) y D(11,4,-6). Calculamos BA = (2,5,8), BC = (6,-1,S) y BD = (10,4,-S) para luego aplicar la fórmula: Volumen del Tetraedro=6' 1 1[- BA,BC,BD - -] =6' I 1=6=107u3 642 lo ELEMENTOS SIMÉTRICOS. A) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PLANO. i) Calculamos la recta perpendicular al plano que pase por el punto P. ii) Calculamos la intersección de esa recta con el plano CM). iii) Calculamos un punto de la recta P' tal que M sea punto medio del segmento PP'. B) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA. i) Calculamos el plano perpendicular a la recta que pase por el punto P. ii) Calculamos la intersección del plano y la recta CM). iii) Buscamos un punto del plano P' tal que M sea el punto medio del segmento PP'. C) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO PUNTO. Basta con calcular el vector que une los dos puntos y sumárselo dos veces al primer punto, es decir, P' = P + 2PQ. DAVID RIVIER SANZ 4/5

5 TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2 BACH(CN) 5.- LUGARES GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO. Utilizando la geometría algebraica se puede hacer un estudio muy riguroso de algunos de los cuerpos más importantes del espacio, como puede ser la esfera. A diferencia de la geometría euclídea, en la que se estudian distancias, áreas y volúmenes independientemente de la situación geométrica del cuerpo estudiado, en esta geometría, utilizamos los sistemas de referencia, y por tanto los puntos están dotados de coordenadas (el primer matemático que comenzó este campo fue Descartes, de ahí el nombre de coordenadas cartesianas). Por ejemplo, si queremos calcular la esfera de centro el punto P(a,b,c) y de radio la distancia r, no tenemos más que aplicar el siguiente concepto: los puntos que pertenecen a esa esfera serán los que cumplan la condición de estar a una distancia r del punto P; si llamamos a esos puntos con las incógnitas (x,y,z) tenemos: J(x-aY +(y-by +(z-cy =r o lo que es lo mismo (x-ay +(y-by +(z-cy =r2 y si operamos esos cuadrados y reducimos la expresión, obtendremos otra de este tipo: x2 + y2 + Z2 + mx + ny + pz + q = O, que es la que se conoce como ecuación canónica de la circunferencia. Si a partir de esta ecuación queremos calcular el centro y el radio de la circunferencia tendremos que calcular: m a=-- b=_n c=-p Gracias a este tipo de notación podemos planteamos muchos problemas geométricos: Plano tangente a una circunferencia en un punto dado: será el que tenga de vector normal el vector formado por el centro de la circunferencia y el punto dado y pase por ese punto. Intersección de un plano y una esfera: Siempre que la distancia del plano al centro de la circunferencia sea menor que el radio, la intersección será una circunferencia cuyos puntos deben cumplir la siguiente condición: IHPl2 = r2 - d2, donde H es la proyección ortogonal del centro de la esfera sobre el plano, d es la distancia del plano al centro y P son los puntos a buscar de la circunferencia. Intersección de una esfera con una recta: Se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la recta en la circunferencia y se obtiene una ecuación de 20 grado. Si tiene dos soluciones la recta corta a la circunferencia en dos puntos, si tiene una es tangente y si no tiene ninguna es exterior. DAVID RIVIER SANZ 5/5

6 l, TEMA'..P~o~t.r~AS ~L-~ ~rqri CO$.- rh-ol~ s3 i Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y e! plano: x+1 y+3 z a) 1': --=--= t: X ~ 2y - z + 1 = O b) 1': X = A, Y = 1 + 2A, Z = -2 7t: 2x - y + Z = O x-1 y-3 Z c) r: -.- = -' -- = 211 7t: X + Z = 17 s4 Calcula e! ángulo que forman los dos pbnos siguientes: cx: Z = 3 ~: X - Y + 2z + 4 = O 5! Halla los tres ángulos de los triángulos cuyos vértices son: a) AW, O, O), BO, 2, 1), CC3, 1, 1) h)ac2, 7, 3), BO, 2, 5), 0-1, -2,5) 6 I Calcula el ángulo que forma el plano siguiente con cada uno de los ejes coordenadas:, 7t: X - 2y + Z = O 8 Considera la recta l' y e! plano 7t siguientes: r ' { x- y = -3. x +z= 1 7t: X + y - 2z = 1 a) Halla las coordenadas de! punto S donde se cortan r y 7t. h) Calcula la distancia de! punto PC4, O, 1) al punto S del apartado anterior. 9 i Tenemos la recta r y los planos 7t.Y cr siguientes: {X - 871, r: y = 2 z = 3-6A 7t: X + 2y - z = 1 cr: x- y + z = 3 a) Halla el punto P donde se cortan la recta r y e! plano 7t. b) Calcula las coordenadas del punto Q donde se cortan l' y cr. c) Obtén la distancia que separa a los puntos P y Q de los apartados anteriores. 10 Calcula, en cada caso, la distancia entre el punto P y el plano 7t: a) PC2, -3, 1), 7t: 3x- 4z = 3 b) PCO, 1, 3), 7t: X - Y - 2z + 3 = O c) PC2, O, 1), 7t: X + y - 2z = O 11 Calcula la distancia entre e! punto (3, -4, 1) Y el plano y= Calcula la distancia entre el punto QC2, -1, O) ye! plano que contiene a PC2, O, 4) Y a: s: y = 2 + 3A {X z=4 = 3-2A 13 Halla la distancia entre los siguientes pares de planos: a) 7t1: X - 2y'+ 3 = O; 7ti 2x - 4y + 1 = O b) 7t1: 3x - 2y + Z - 2 = O; 7t2: 2x - y + Z = ""~~., ] 6 Halla la distancia entre el punto PC2, 2, -11) Y la recta 1': y = -1-3A {X z = A 5A 18 Halla la distancia entre el punto PC2, 2, -11) Y la recta 1': y = -1-3A {X z = A SA 22 : Halla la distancia que hay entre estas rectas 1': y = 4 + A {X=-7+ z = , 5A s: y = A {X z = loa 24A s26 Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenadas y el plano: 6x - 5y + 3z - 30 = O,... Recuerda que V = (1/3). á7"eabase x altura. En este caso es muy sencillo obtener ambas por ser un tetmedro con tres aristas pe7pendiculares entre sí. Hazlo, también, utilizando elproducto mixto, y comprueba que obtienes el mismo resultado. s27 Halla la ecuación del plano perpendicular a la x+3 y-4 z recta -- = -' -- = - y que pasa por e! punto (-1, 1, O), Y calcula el volumen de la figura limitada por el plano anterior y los tres planos coordenadas.

7 531 Halla la ecuación del plano n que contiene a la recta 535 1': {x+ x+2y+z y-z+ 1 =0. y es ortogonal al plano 0: 2x - y + 3z + 1 = o. 1 Obtén también las ecuaciones paramétricas de 1 i la recta determinada por n y 0. x -2z I Dados la recta 1': y el plano { - i y- z- 4 = n: x + 2y + 3z - 1 = 0, halla la ecuación b) Calcula su punto de intersección y la ecuación del plano que las contiene para el valor de p que has hallado. 536 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 0, 2, 1) Y corta perpendicularmente a larecta siguiente: 1': X {X-y-z= +z=2 1 s: {X a) Halla p para que las rectas perpendiculares: 1 x y-1 z rl:4=~= 2 x-1 y-p z-3 r'--=--=--- 2' 1 P y+3=o r] y de una 1 recta situada en el plano n, que pase por el I punto PC2, 1, -1) Y sea perpendicular a r.! 1 I X 1-y z+l 533 I Dados la recta r:"2 = -1-'- = -3- y el plano 1 n: x + 3y - 3z + 3 = O, halla el plano que con tiene a r y es perpendicular a n. I 534 IDeterm~na. la recta perpendicular común a las I rectas siguientes: -2=0 I r. I. {x x + 2y y = z + 74 \. 1'2 sean 537 l Los vértices del triángulo ABC son los puntos de corte del plano 2x + y - 3z = 6 con los ejes coordenadas. Halla la ecuación de la altura que parte del vértice B que está en el eje Oy. 544! Halla' los puntos simétricos de PO, 2, 3) respecto del plano a: x - 3y - 2z + 4= O Y respecto de la recta r: ' { 4x X-)! -z +3=0 = O 546 i Sean los puntos PC3, 1, S) Y QC-1, 7, 3). Por el punto medio del segmento PQ trazamos un piano n perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenadas en los puntos A, B Y C. a) Escribe la ecuación de n. b) Calcula el área del triángulo ABC. 547 Dados los puntos A (1, 5, -2), B C4, 0, 1) y C(-3, 2, O): a) Prueba que son los vértices de un triángulo. b) Halla la longitud del segmento que determina el punto B y su proyección sobre AC. 548 Determina la ecuación de un plano n paralelo al plano x - 2y + 3z + 6 = y que dista 12 unidades del origen. 549 Un cuadrado tiene uno de recta r: { 3x x-2y+2z= z = x-3 )1-1 z+s s --- = -'-- = ' a) Calcula el área del cuadrado. sus lados sobre la y otro Jada sobre b) Si uno de los vértices de! cuadrado es el CO, 0, O), cuál es el otro vértice situado sobre la recta r? 551 Halht la ecuación general del plano determinado por los puntos AO, 1, 1), BC-2, O, -1), CO, ~2, O), Y calcula el volumen del tetraeclro que limita con los planos cartesianos. 552 Sean los puntos PCS, 1,3) y QU, 7, -1), Por el punto medio del segmento PQ trazamos un plano n perpendicular a dicho segmento i Este plano corta a los ejes coorcjenados en los puntos A, B Y C: a) Escribe la ecuación del plano n. b) Calcula el volumen del tetraedro de vértices 0, A, B Y C C es el origen de IR3). Halla el punto del plano de ecuación x - z = 3 que está más cerca del punto PO, 1, 4), así como la distancia entre el punto P y el plano dado. 554 Se consideran los puntos P(2, 1, -1), QO, 4, 1) Y RO, 3, n a) Comprueba que no están ahneados y halla el área del triángulo que determinan. b) Si desde el punto VO, 1, -1) se trazan rectas a cada uno de los puntos P, Q y R, se obtiene una pirámide. Halla la altura de dicha pirámide y su volumen. 555 Halla e! volumen de un paralelepípedo de bases y EFGH sabiendo que A 0, 0, O), BC2, 3, O), CC4, 0, 5) Y EO, 6, 3). Halla las coordenacjas de los restantes vértices de! paralelepípedo. 556 Dadas las rectas: x-1 y+1 z-2 r -- =-'-- = \".,. { 3'x x-)i+z= - Y - z = -42 determina la posición relativa de ambas rectas y el { rea de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados están sohre r y s.