Función de distribución bivariada y avenidas de diseño de ingreso a un río de México

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1 Memorias de la Décima Quinta Conferencia Iberoamericana en Sistemas, Cibernética e Informática (CISCI 26) Función de distribución bivariada y avenidas de diseño de ingreso a un río de México Maritza Liliana ARGANIS-JUÁREZ Ingeniería, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, México, D.F. 45, México Faustino DE LUNA-CRUZ, Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, México,D.F. 45, México Margarita PRECIADO-JIMÉNEZ Tecnología del Agua de la SEMARNAT, México, Jiutepec, Morelos, 6255, México RESUMEN Se aplicó un análisis bivariado a la suma de gastos medios diarios aguas abajo de la confluencia del río Coatzacoalcos con el río Uxpanapa en el estado de Veracruz, México, que representan condiciones de frontera en el análisis bidimensional de un tramo del río. El análisis se realizó por separado a las estaciones hidrométricas Las Perlas y Tierra Morada que forman los ingresos al tramo de río analizado, considerando las avenidas históricas máximas anuales con tiempo base de 2 días (gastos de pico y volumen). Adicionalmente se hizo el análisis bivariado al ingreso total suma, con el fin de observar las diferencias en la estimación de los gastos de pico de las avenidas de diseño obtenidas con la suma de las avenidas de diseño obtenida individualmente. 2. METODOLOGÍA Método bivariado Función doble Gumbel bivariada: Sean Qp y V variables aleatorias con distribuciones marginales F(Qp) y F(V); la función de distribución bivariada tiene la forma del modelo logístico (Ramírez y Aldama,2): F(Qp, V) = e{ [( ln (F(Qp)) m + ( ln (F(V)) m ] /m } () Con funciones marginales doble Gumbel: F(Qp) = e[ e ( Q p+a )]p Qp + [ e ( Q p+a 2 )]( p Qp ) (2) F(V) = e[ e ( V+a )]p V + [ e ( V+a 2 )]( p V ) (3) Palabras Claves: Avenidas de diseño, funciones bivariadas, Coatzacoalcos y Algoritmos genéticos.. INTRODUCCIÓN La estimación de avenidas de diseño para el análisis del flujo en un cauce y de las posibles planicies de inundación se ha abordado en distintos estudios [-2], el método del Ingeniería es de gran utilidad cuando se tienen mediciones de los caudales en el sitio analizado y considera tanto el gasto de pico como el volumen de la avenida; otros procedimientos que toman en cuenta estas dos variables aleatorias se basan en considerar una función de distribución bivariada del gasto de pico y del volumen [3-4]. En este trabajo se obtuvieron avenidas de diseño considerando un método bivariado y se dieron forma a estas avenidas con ayuda de hidrogramas hermitianos triparamétricos, además, con la envolvente de los gastos máximos considerando un factor que toma en cuenta al gasto de pico y al volumen, estos resultados se compararon con las formas obtenidas con el método del Instituto de Ingeniería. Función Gumbel bivariada: La función de distribución bivariada Gumbel es de la forma [5]: F(Qp, V) = e{ [e ( m ( Qp a )) + e ( m ( V a 2 ))] m } (5) El parámetro de asociación m se estima a partir del coeficiente de correlación cruzada entre las variables Qp y V: r QpV = ( r QpV (6) A diferencia del método de Ramírez y Aldama [4], se propone trabajar con las variables aleatorias Qp y V sin estandarizar. Algoritmo genético simple para estimación de parámetros Se aplicó un algoritmo genético simple para estimar los once parámetros de la función doble Gumbel bivariada, a partir de intervalos de búsqueda que consideraron el resultado de los parámetros de las funciones marginales obtenidos con un análisis univariado. La función objetivo consistió en la maximización de la función de verosimilitud L que considera al producto de la función de densidad bivariada obtenida como la segunda derivada parcial mixta de la función de distribución de probabilidades bivariada y evaluada en cada dato medido. En el algoritmo genético se consideraron 5 generaciones (iteraciones) como criterio de finalización, además de una población inicial de 2 individuos.

2 Memorias de la Décima Quinta Conferencia Iberoamericana en Sistemas, Cibernética e Informática (CISCI 26) Obtención de parejas Qp y V Conocidos los parámetros de la función de distribución y usando el concepto del periodo de retorno conjunto calculado como: Tr = F(Qp) F(v)+F(Qp,V) (5) Se fijó un valor del gasto de pico Qp y del periodo de retorno conjunto Tr y con ello se determinó un valor del volumen. Con ayuda de un método numérico de bisección que el inverso de la ecuación 5 igualada a cero: F(Qp) F(v) + F(Qp, V) = Tr (6) Hidrograma hermitiano triparamétrico Con la pareja de valores de Qp y V para un periodo de retorno se dio forma a la avenida de diseño con ayuda de los hidrogramas hermitianos triparamétricos que consideran formas polinomiales para la curva de ascenso y de recesión del hidrograma, con la estimación del tiempo base y del tiempo de pico de la avenida con ecuaciones similares a las de un hidrograma triangular. Envolvente de gastos máximos A partir de las avenidas históricas de los gastos máximos anuales considerando un tiempo base de 2 días, se obtuvieron, para cada día los gastos máximos, construyendo un hidrograma histórico envolvente de 2 días de duración. Este hidrograma se normalizó dividiendo cada ordenada entre el gasto de pico. Forma de la avenida de diseño con la envolvente normalizada La forma de la avenida de diseño se obtuvo multiplicando el dato central de la envolvente normalizada por el gasto de pico y los datos restantes fueron multiplicados por un factor que conserva el volumen de la avenida para el gasto de pico de que se trate: Figura. Sitio de Estudio 3. APLICACIÓN Y RESULTADOS Estación Tierra Morada Se utilizó función bivariada Doble Gumbel debido a que fueron Doble Gumbel y Gumbel las funciones marginales del Qp y V de las avenidas históricas obtenidas en la estación Tierra Morada. Los parámetros de la función Doble Gumbel bivariada se determinaron con el algoritmo genético. Con un gasto de pico de la avenida de diseño ligeramente menor al reportada por el método del Ingeniería para el periodo de retorno de 2 años (se tuvo que disminuir para caer en el dominio de la función de distribución bivariada) se calculó el volumen resolviendo la ecuación 6; con el gasto de pico y el volumen se obtuvo el hidrograma hermitiano triparamétrico. (Figura 2). V (Q p t 864/ 6 ) F = p 2 [q + 2q p + q n + 2( q i + n i= i=p+ q i )] ( ) (7) Método del Ingeniería Utiliza un análisis de los gastos medios diarios para obtener los gastos medios máximos para distintas duraciones, hasta lo que dure el tiempo base del hidrograma que se desea obtener, se realiza un análisis estadístico de los gastos medios máximos y con las mejores funciones de distribución se obtienen, para cada duración, gastos medios máximos de diseño para distintos periodos de retorno; los gastos medios máximos de diseño se desagregan obteniendo los gastos individuales con los que se la avenida de diseño usando un proceso de bloques alternos. Sitio de estudio Se consideró el registro de gastos medios diarios las estaciones hidrométricas Tierra Morada y las Perlas miden los ingresos al río Coatzacoalcos, al aforar su confluencia con el río Uxpanapa en el estado de Veracruz México, Figura. Figura 2.Hidrograma hermitiano de la estación Tierra Morada (Tr=2 Estación Las Perlas En la estación las Perlas el análisis bivariado se hizo con una función Gumbel bivariada porque fueron Gumbel las marginales de Qp y V. Se utilizó el algoritmo genético para la determinación de los parámetros de la función de distribución y con ella se determinó el volumen de la avenida para un gasto de pico de la avenida de diseño obtenido con el método del Ingeniería para un Tr=2 años. Con esos valores de calculó el hidrograma hermitiano triparamétrico (Figura 3). 4

3 Memorias de la Décima Quinta Conferencia Iberoamericana en Sistemas, Cibernética e Informática (CISCI 26) Figura 3.Hidrograma hermitiano de la estación Tierra Morada (Tr=2 Figura 6. Hidrograma hermitiano de la estación suma (Tr=5 Suma de los hidrogramas hermitianos (Tr=2 A los hidrogramas de las figuras 2 y 3 se les agregó el tiempo de pico y el tiempo base de uno al otro, para poderlos sumar ordenada a ordenada y con ellos obtener el hidrograma suma de la figura 4. Figura7. Hidrograma hermitiano de la estación suma (Tr= Figura 4.Hidrograma hermitiano suma de la estación Tierra Morada más Las Perlas (Tr=2 El tiempo base obtenido para el hidrograma suma de las dos estaciones fue de 4.3 días y un tiempo de pico de 4.5 días. Estación suma Se utilizó función bivariada Gumbel debido a que fueron Gumbel las funciones marginales del Qp y V de las avenidas históricas obtenidas con el periodo común de la suma de Tierra Morada más las Perlas. Los parámetros de la función Gumbel bivariada se determinaron con el algoritmo genético. Con el gasto de pico de la avenida de diseño reportada por el método del Ingeniería para los periodos de retorno de 2,5 y años se determinó el volumen de la avenida al resolver la ecuación (6) y estos valores se utilizaron para obtener el tiempo base, tiempo de pico y forma de los hidrogramas unitarios triparamétricos (Figuras 5 a 7). Los hidrograma de diseño de la estación suma obtenidos con el método del Ingeniería en un estudio del Ingeniería aparecen en las Figuras 8 a Figura 8. Hidrograma método del Ingeniería (Tr= Figura 9. Hidrograma método del Ingeniería (Tr=5 Figura 5. Hidrograma hermitiano de la estación suma (Tr=2 5

4 Memorias de la Décima Quinta Conferencia Iberoamericana en Sistemas, Cibernética e Informática (CISCI 26) Figura. Hidrograma del método del Ingeniería (Tr= Figura 2. Hidrograma con envolvente de máximos (Tr=5 De las figuras anteriores se destacan las diferencias en el volumen, tiempo de pico y tiempo base de los hidrogramas hermitianos respecto a los hidrogramas del método del Instituto de Ingeniería (Tabla.) Tabla. Comparación datos de hidrograma. Estación Suma Tr Hidrograma tp tb V V tbhermitiano Qp años días días hm 3 hm 3 m 3 /s 2 Hermitiano Ingeniería Hermitiano Ingeniería Hermitiano Ingeniería Debido a las diferencias en los tiempos base del hidrograma hermitiano y el del Ingeniería se agregó una columna en la tabla anterior donde se calculó el volumen del hidrograma del método del Ingeniería que corresponde a los datos centrales para un tiempo base similar al de los hermitianos, se destaca el aumento de este volumen conforme aumenta el periodo de retorno, mientras que el volumen de los hermitianos casi no aumenta al incrementarse el periodo de retorno. Finalmente, con los gastos de pico y volúmenes obtenidos con el análisis bivariado se dio forma a las avenidas de diseño de la estación suma con la envolvente de máximos y el factor con el que se logra conservar el gasto de pico y el volumen de la avenida, con los resultados de las Figuras a. Figura. Hidrograma con envolvente de máximos (Tr=2 6 Figura. Hidrograma con envolvente de máximos (Tr= Los hidrogramas obtenidos con la envolvente normalizada de gastos máximos logran preservar el gasto de pico y el tiempo de pico y tiempo base de avenidas de 2 días de duración y con el volumen que dio el análisis bivariado, lo anterior se refleja en hidrogramas con un gran pico y con ordenadas pequeñas. 4. CONCLUSIONES El análisis bivariado permite obtener los gasto de pico y el volumen de avenidas de diseño en un sitio aguas abajo de la confluencia de dos ríos, en lo que se pueden observar variaciones importantes es en la forma que puede obtenerse para hidrograma de diseño, según si se fije el volumen y el gasto de pico, el tiempo base y el tiempo de pico; en este estudio se obtuvieron hidrogramas con formas diversas que fueron comparados con los resultados previamente obtenidos con el método del Ingeniería; con los hidrogramas hermitianos de la estación suma se obtuvieron tiempos base de entre y cerca de 8 días, notándose una disminución en el mismo al aumentar el periodo de retorno; los tiempos de pico estuvieron entre 5 casi 7 días. Cuando el hidrograma se hizo a partir de la suma de las dos estaciones analizadas el tiempo base fue de poco más de 4 días y el de pico de 4.5 días. Los volúmenes de las avenidas para los distintos periodos de retorno casi no se incrementaron en los hidrogramas hermitianos y fueron ligeramente inferiores al volumen de la porción central de los hidrogramas obtenidos con el método del Ingeniería en su porción central considerando el tiempo base de los hidrogramas hermitianos. Cuando se usó la envolvente normalizada de las avenidas máximas históricas de 2 días se logró preservar el volumen y el gasto de pico, pero con barras del hidrograma muy pequeñas y casi sólo una barra al centro con el alto valor del gasto de pico.

5 Memorias de la Décima Quinta Conferencia Iberoamericana en Sistemas, Cibernética e Informática (CISCI 26) 9. REFERENCIAS [] O.A. Fuentes M, V. Franco. Estudio Hidrológico para obras de protección. Capítulo 3 del Manual de Ingeniería de ríos, México: Ingeniería, UNAM, 993. [2] Fuentes-Mariles Óscar A., De Luna-Cruz F., Hernández- Aguilar Dario A., Sánchez-Cruz José A., Vélez-Morales Laura, Cruz-Gerón Juan Ansberto, Pozos-Estrada Óscar. "Actualización del estudio y de las propuestas de solución para el control de inundaciones en la cuenca baja del río Papaloapan, en el estado de Veracruz". Convenio SGIH-OCGC-VER--IH-2-FN-CC. Diciembre, 2 [3] R. Domínguez M., M.L. Arganis. Validation of methods to estimate design discharge flow rates for dam spillways with large regulating capacity. Hydrological Sciences Journal, Vol. 57 No. 3,22, pp 9. [4] A.I. Ramírez and A. Aldama. Análisis de frecuencias conjunto para la estimación de avenidas de diseño. Avances en Hidráulica N 7 Morelos, México: AMH/IMTA,2. [5] C. Escalante, L. Reyes. Técnicas Estadísticas en Hidrología. Todos. Facultad de Ingeniería, México: UNAM, 25 7