FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA CUARTA SESIÓN DE PRÁCTICAS

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1 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA CUARTA SESIÓN DE PRÁCTICAS 10.- Diagrama esfuerzo-deformación 11.- Principio de Arquímedes. Aplicación a la determinación de densidades de sólidos y líquidos 12.- Viscosidad (método de Stokes)

2 10.- Diagrama esfuerzo-deformación Objeto: Material: Verificar la ley de Hooke para esfuerzos tensores. Determinar el módulo de Young, el límite de proporcionalidad y el esfuerzo de rotura de un material. Prensa hidráulica provista de micrómetro. Probetas. Calibrador. Fundamento: Cuando sometemos un sólido a la acción de fuerzas exteriores, sus partículas se desplazan ligeramente de sus posiciones iniciales hasta que se establece un nuevo equilibrio entre las fuerzas interiores (a nivel atómico-molecular) y las fuerzas aplicadas. El cuerpo se deforma y mantendrá la deformación en tanto que sigan actuando las fuerzas exteriores. Si la intensidad de las fuerzas exteriores va disminuyendo gradualmente, las fuerzas interiores tenderán a restituir las posiciones iniciales de las partículas y el cuerpo puede llegar a recuperar su forma inicial. Si cuando cesan las fuerzas exteriores el cuerpo recupera su forma y dimensiones originales, decimos que ha experimentado una deformación elástica; en caso contrario, decimos que ha experimentado una deformación plástica. Que la deformación sea de uno u otro tipo depende de la naturaleza del cuerpo y del grado de deformación al que haya estado sometido. Si las propiedades de recuperación se mantienen en una gran amplitud de acciones deformantes, decimos que el cuerpo es plástico. Para estudiar las propiedades elásticas de los materiales debemos recurrir a la experimentación. Un modo sencillo de proceder consiste en aplicar fuerzas tensoras conocidas entre los extremos de una varilla (probeta) y medir las deformaciones longitudinales que se producen. Supongamos que aplicamos una fuerza tensora F a una probeta de sección S y longitud natural l 0, que produce un alargamiento l de la probeta; definimos el esfuerzo tensor o tensión (σ) y la deformación unitaria longitudinal (ε) como: F l σ = ε = (10.1) S l Si aplicamos una fuerza tensora progresivamente creciente y representamos ε versus σ, obtenemos un diagrama esfuerzo-deformación. Estos diagramas pueden ser muy variados en cuanto a su aspecto. En la figura adjunta hemos representado el diagrama característico de un material dúctil, como el acero, el cobre,... Observamos en dicho diagrama que en el primer tramo, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación; esto es, σ ε (10.2)

3 σ σ rot σ flu σ el σ pr O B A zona elástica C zona plástica Figura 10-1 D Formación del huso y rotura E ε resultado experimental que constituye la ley de Hooke. Esta ley tan sólo es aplicable para pequeñas deformaciones unitarias, hasta que se alcanza el punto A o límite de proporcionalidad. Una vez que sobrepasamos el límite de proporcionalidad, la relación entre el esfuerzo y la deformación deja de ser lineal y entramos en la zona en la que la representación gráfica de σ versus ε es una línea curva. Así pues, entre los puntos A y B la relación entre el esfuerzo y la deformación no es lineal. No obstante, si disminuimos gradualmente la intensidad de la fuerza tensora, cuando nos encontramos en un punto cualquiera entre O y B, la curva se recorre en sentido contrario y la probeta recobra su longitud inicial. En el tramo OB el material presenta un comportamiento elástico; el punto B recibe el nombre de límite elástico. Si seguimos aumentando gradualmente el esfuerzo por encima del límite elástico, la deformación unitaria aumenta con mayor rapidez. Si una vez superado el límite elástico disminuimos gradualmente el esfuerzo tensor aplicado a la probeta, el punto representativo sobre el diagrama no recorrerá en sentido inverso la misma curva y la probeta no recuperará su longitud inicial, sino que conservará una cierta deformación permanente en ausencia de esfuerzo. Así pues, cuando el material se somete a esfuerzos superiores al correspondiente al límite elástico, presenta un comportamiento plástico. El punto C representa el límite de fluencia. A partir de este punto se producen en el material alargamientos considerables sin aumento significativo en los esfuerzos. Es como si el material fluyera. Aumentando progresivamente el esfuerzo que soporta la probeta, llegaremos hasta el punto representativo D, llamado límite de rotura, al que corresponde un esfuerzo denominado esfuerzo de rotura o resistencia a la tracción, a pesar de que la rotura se produce poco después, punto E, cuando el material sufre un alargamiento significativo localizado en una pequeña porción de la probeta. Entonces, se forma una pequeña garganta o huso, reduciéndose rápidamente la sección transversal; la deformación plástica, que se repartía en un principio a lo largo de toda la probeta, se concentra en esa zona y da lugar a la estricción, el esfuerzo disminuye y la probeta se rompe. El gráfico anterior no refleja exactamente lo que ocurre en la realidad ya que los esfuerzos tensores los hemos calculado dividiendo la fuerza F ejercida por la sección inicial que tenía la probeta; pero esta sección ha ido disminuyendo al estirarse la probeta, lo que hace que los esfuerzos anotados en el diagrama sean ligera y progresivamente inferiores a los que realmente está soportando el material, sobretodo en la fase final cuando se produce la estrición del material. A pesar de ello, se prescinde de este pequeño error y es en esta forma en la que habitualmente se representan los diagramas esfuerzodeformación. La gráfica esfuerzo-deformación en la zona de elasticidad proporcional es lineal, por lo que su ecuación analítica, que constituye la ley de Hooke, será: σ = E ε (10.3) 10-2

4 siendo E una constante llamada módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young, que es característico de cada material y tiene las mismas dimensiones que el esfuerzo. Método: (i) Con el calibrador, medir el diámetro y la longitud de la probeta. (Figura 10-2) (ii) Colocar la probeta en la prensa hidráulica. (Figura 10-3). (iii) Cerrar la válvula de la prensa hidráulica y elevar el plato hasta que la probeta esté bajo tensión. (iv) Ajustar el cero del micrómetro. (v) Aumentar ligera y progresivamente la tensión y leer pares de valores fuerza-deformación (por ejemplo cada 25 kp hasta 200 kp y desde este momento hasta la rotura cada vez que la deformación aumenta entre 10 y 15 centésimas de mm). d l 0 Figura Esquema de probeta para el ensayo tensión-deformación. Presentación de resultados: a) Con los resultados obtenidos calcular los esfuerzos y las deformaciones unitarias. Figura 10-3 b) Dibujar el diagrama esfuerzo-deformación correspondiente en papel milimetrado. c) Determinar el límite de proporcionalidad, el módulo de Young y el esfuerzo de rotura del material de la probeta. Cálculos y Resultados: 10-3

5 Longitud de la probeta: l0 (mm) = Sección (mm2) = Diámetro de la probeta: d (mm) = Deformación Fuerza Deformación Esfuerzo 2 (mm) (kp/mm ) unitaria (kp) Deformación Fuerza Deformación Esfuerzo 2 (mm) (kp/mm ) unitaria (kp) σ ε Límite de proporcionalidad Módulo de Young Esfuerzo de rotura 10-4

6 Cuestiones: 1. Una varilla de cobre de 10 cm de longitud y 3 mm de diámetro se somete a una fuerza de tracción F. Las características elásticas del material son: - Límite elástico N/m 2 - Módulo de Young N/m 2 - Tensión de rotura N/m 2 Determinar: a) El valor máximo de F que puede aplicarse para que, cuando cese la fuerza, la varilla recobre su longitud inicial. b) El incremento de longitud de la varilla cuando F es 400N. c) Se podría calcular el alargamiento de la varilla al aplicar una fuerza el doble de la calculada en el apartado a)? Explique su respuesta. 10-5

7 11.- Principio de Arquímedes. Aplicación a la determinación de densidades de sólidos y líquidos Objeto: Verificar el principio de Arquímedes. Determinar la densidad de un sólido mediante doble pesada. Determinar la densidad de un líquido respecto a otro de referencia. Material: Balanza de 1 g de precisión. Dinamómetro. 2 vasos de precipitado conteniendo uno agua destilada y el otro agua salina. 2 probetas de 0.5 l con los mismo líquidos. Densímetro. Un sólido cuya densidad vamos a determinar. Fundamento: Principio de Arquímedes Cuando un objeto sumergido se pesa suspendiéndolo de un dinamómetro, la lectura del dinamómetro (peso aparente) es inferior al peso del objeto (Figura 11-1). Esto se conoce como Principio de Arquímedes, que puede enunciarse como: Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional igual al peso del fluido desplazado. El principio de Arquímedes puede deducirse determinando el empuje total, debido a la presión, que el fluido ejerce sobre la superficie que delimita el sólido (Figura 11-2). a) b) m Figura 11-1 m P a E P Figura 11-3 P = P a +E El diagrama de cuerpo libre del sólido sumergido se representa en la Figura 11-3, donde P es el peso real del sólido, el medido con el dinamómetro al aire; P a es el peso aparente y E el empuje. El equilibrio de fuerzas que existe nos permite escribir: m Figura 11-2 Σ F = 0 P + E P= 0 E= P P (11.1) y a a 11-1

8 El empuje del líquido puede determinarse mediante la doble pesada indicada en la Figura a) b) Figura 11-4 ( ) 2 1 Consideremos ahora un recipiente con un líquido sobre una balanza (Figura 11-4a). Si introducimos en él un sólido (Figura 11-4b) la lectura de la balanza aumenta en una cantidad igual al peso del líquido desalojado y por lo tanto igual al empuje. E= L L g (11.2) Densidad de sólidos Como es bien sabido la densidad de un cuerpo, ρ, es el cociente entre su masa y el volumen que ocupa. m ρ = (11.3) V Cuando el sólido tiene una forma regular puede calcularse su volumen a partir de las medidas de sus dimensiones, en caso contrario puede determinarse dicho volumen utilizando el principio de Arquímedes. Teniendo en cuenta el enunciado hecho anteriormente: E= ρ V g (11.4) siendo ρ f la densidad del fluido, V s el volumen del sólido y g la aceleración de la gravedad. Teniendo en cuenta también la expresión (11.1) el volumen del sólido será y la densidad: Densidad de líquidos V E f s P P a s = = (11.5) ρ fg ρ fg P ρ = ρ f (11.6) P P La densidad relativa de un líquido puede determinarse utilizando el principio de Arquímedes. Para ello no hay más que medir el peso aparente de un sólido cualquiera en el líquido de referencia (generalmente agua destilada) y en el líquido problema. a 11-2

9 El empuje en el líquido de referencia será: E = ρ V g (11.7) y en el líquido problema 0 0 s E= ρ V g (11.8) Dividiendo (11.8) entre (11.7) E Vsg E E ρ ρ 0 ρ0vs g ρ 0 E0 (11.9) Siendo la densidad del líquido: E ρ = ρ0 E (11.10) Densímetro El densímetro es un sencillo aparato que se basa en el principio de Arquímedes y sirve para medir densidades de líquidos. Consta de un bulbo de vidrio lastrado con perdigones, que termina en un vástago con una escala previamente calibrada. Con el lastre se asegura que el centro de gravedad del densímetro queda por debajo del centro de cárena y por lo tanto se asegura la verticalidad del aparato cuando flota en un líquido. El aparato se calibra marcando sobre la varilla la posición de la superficie libre cuando flota en un líquido de densidad conocida. El aparato se hundirá h una distancia h cuando se introduzca en un líquido menos pesado y al contrario, emergerá al introducirlo ρ 0 en un líquido menos denso. ρ Estableciendo el equilibrio del densímetro en ambos líquidos puede deducirse la relación entre la distancia entre las marcas de la escala y las densidades Figura 11-5 de los líquidos. Sea: V 0 el volumen sumergido del densímetro en el líquido de referencia S la sección externa del vástago ρ 0 y ρ las densidades del líquido de referencia y el líquido problema, respectivamente Consideremos en primer lugar el densímetro en el líquido de referencia. El peso del densímetro ha de ser igual al empuje del líquido: mg = ρ V g (11.11) Considerando ahora el densímetro en el líquido problema: Obteniéndose: s ( ) mg = ρ V + hs g (11.12)

10 y por lo tanto m 1 1 h = S ρ ρ0 mρ0 ρ = Shρ + m 0 (11.13) (11.14) Método: (i) (ii) Determinación de la densidad de un sólido Determinar la masa del sólido con la balanza y anotarla. Colgarlo del dinamómetro y observar como cambia la lectura en el mismo al sumergir el sólido en un líquido. (iii) Colocar sobre la balanza el vaso con agua destilada y poner a cero el aparato. (iv) Introducir cuidadosamente el sólido en el líquido, sin que toque el fondo ni las paredes, y anotar la lectura de la balanza. (v) Determinar la fuerza del empuje del agua destilada sobre el sólido. (vi) Determinar la densidad del agua destilada a la temperatura del laboratorio interpolando en la TABLA I (vii) Calcular el volumen del sólido y su densidad. Determinación de la densidad de un líquido (viii) Repetir los pasos (iii) (iv) y (v) con el líquido problema (agua salina). (ix) Determinar la densidad del líquido problema utilizando la ecuación (11.10) y el valor de la densidad del agua destilada calculada en (vi). (x) Comprobar el resultado obtenido con el densímetro. TABLA I Densidad del agua destilada en función de la temperatura. T(º C) ρ (g/cm 3 ) T (º C) ρ (g/cm 3 ) 0 0, , , , , , , ,

11 20 0, , , , , , , , ,9922 TABLA II Densidades de algunas sustancias Sustancia Densidad en kg/m 3 Densidad en g/c.c. Agua Aceite 920 0,92 Gasolina 680 0,68 Plomo ,3 Acero ,8 Mercurio ,6 Madera 900 0,9 Aire 1,3 0,0013 Butano 2,6 0,026 Dióxido de carbono 1,8 0,018 Resultados: Masa del sólido: m = Lectura de la balanza con el sólido en agua destilada: L 0 = Fuerza de empuje en agua destilada: E 0 = Temperatura: t = Densidad del agua destilada: ρ 0 = Volumen del sólido: V = Densidad del sólido: ρ s = Lectura de la balanza con el sólido en el agua salina: L 1 = Fuerza de empuje en el agua salina: E 1 = Densidad del agua salina, Eq. (11.10): ρ 1 = 11-5

12 Lectura del densímetro: Cuestiones: (1) Qué indicaría la lectura de la balanza utilizada en la práctica si el sólido se deja depositado sobre el fondo del vaso que contiene el agua? (2) Un densímetro de 55 g de masa acaba en un tubo de 0.5 cm 2 de sección. Si se sumerge en agua el nivel del líquido alcanza la señal indicada con Al sumergirlo en otro líquido el densímetro se sumerge 1.5 cm. Cuál es la densidad de este líquido? (3) Un sólido está suspendido de un dinamómetro y tiene una masa de 150 g. Cuando se introduce el sólido en agua destilada la lectura del dinamómetro es 120 g. Determinar el volumen y la densidad del sólido en unidades del S.I. 11-6

13 12.- Viscosidad (método de Stokes) Objeto: Determinación del coeficiente de viscosidad de un líquido por el método de Stokes. Material: Probeta de unos 40 a 60 cm de altura, con dos marcas de nivel separadas por una distancia de al menos 40 cm. Líquido problema (glicerina, aceite de motor,...) Esferas de acero calibradas, con un diámetro no superior a 2 mm (son muy apropiadas las bolas de acero de los rodamientos pequeños). Cronómetro. Calibrador o Palmer. Regla graduada en milímetros. Pinzas de madera para manejar las esferas. Fundamento: Arrastre. Ley de Stokes.- El arrastre que experimenta un cuerpo en movimiento relativo en el seno de un flujo resulta muy difícil de determinar analíticamente, ya que depende de factores tales como la transición del régimen laminar al turbulento en la capa límite y de la separación de ésta respecto de la superficie del cuerpo, por citar solamente dos dificultades. Por eso es necesario recurrir básicamente a la adquisición de datos experimentales y, con esta finalidad, es costumbre expresar el arrastre en la forma 1 2 FD = CD ρv A 2 (12.1) donde V es la velocidad relativa del cuerpo en el fluido (o la velocidad de corriente libre, en el caso de un cuerpo estacionario en un flujo), A es el área característica (que es generalmente el área de la sección transversal máxima que el cuerpo ofrece al flujo), ρ es la densidad del fluido y C D es un parámetro empírico adimensional que recibe el nombre de coeficiente de arrastre, cuyo valor depende de la forma del cuerpo y de la orientación del mismo respecto al flujo, así como del valor del número de Reynolds asociado al flujo alrededor del cuerpo. Para analizar, aunque sólo sea cualitativamente, ciertas características sobresalientes del coeficiente de arrastre, vamos a considerar el caso de una esfera que se mueve en el seno de un fluido. En este caso, al arrastre total contribuyen el arrastre de fricción y al arrastre de presión. En la Figura 12-1 hemos representado gráficamente la dependencia del coeficiente de arrastre C D con el número de Reynolds R, definido por ρdv R = (12.2) η 12-1

14 Figura 12-1 siendo ρ la densidad del fluido, D el diámetro de la esfera y η el coeficiente de viscosidad dinámico. Como podemos apreciar, el coeficiente de arrastre varía de una forma complicada, lo que nos pone sobre aviso de que algo interesante y complicado ocurre en el flujo. Para valores bajos del número de Reynolds (R<1) no se produce separación del flujo; en estas condiciones, sólo existe arrastre de fricción o viscoso sobre la esfera. La resolución de la ecuación de Navier-Stokes para el flujo incompresible alrededor de la esfera, despreciando las fuerzas inerciales frente a las fuerzas viscosas, conduce a la expresión F = πηdv (12.3) D 3 que fue deducida en 1845 por el físico irlandés Sir George STOKES ( ) y que, en su honor, es conocida como ley de Stokes. Esta ley establece que la fuerza de arrastre que experimenta la esfera, cuando R = ρdv/η < 1, es proporcional a la viscosidad del fluido, al diámetro de la esfera y a la velocidad relativa de la misma en el seno del fluido. La fórmula (12.3) tiene numerosas aplicaciones; por ejemplo, se la utiliza en la experiencia de MILLIKAN para la determinación de la carga eléctrica del electrón y en la medida del coeficiente de viscosidad de líquidos muy viscosos. Teniendo en cuenta la definición (12.1) del coeficiente de arrastre, puede comprobarse fácilmente que 24 C D = para R<1 (12.4) R para el caso de una esfera, lo que concuerda excelentemente con los resultados experimentales, como puede observarse en la Figura A medida que se aumenta el valor del número de Reynolds, hasta aproximadamente R 1000, el coeficiente de arrastre decrece continuamente, pero mucho más lentamente de lo que predice la ley de Stokes. Esto es así como consecuencia de la separación del flujo respecto de la superficie de la esfera, lo que da lugar a la formación de vórtices o remolinos turbulentos detrás de la esfera; dichos remolinos poseen una energía cinética de rotación que toman de la energía cinética de la esfera, que de este modo se verá disminuida. Esos remolinos originan una estela turbulenta detrás de la esfera al ser arrastrados por la corriente. Así pues, en estas condiciones, el arrastre total sobre la esfera resulta ser la combinación del 12-2

15 arrastre de fricción y del arrastre de presión. La contribución del arrastre de fricción al arrastre total disminuye cuando aumenta el número de Reynolds; así, para R 1000, el arrastre de fricción representa aproximadamente el 5% del arrastre total. En el intervalo 10 3 <R<2 10 5, el coeficiente de arrastre permanece prácticamente constante. Para un valor de R , el coeficiente de arrastre experimenta una disminución brusca, cuya explicación cualitativa radica en el transición que se produce desde el régimen laminar al turbulento en la capa límite. La capa limite turbulenta puede penetrar más en el gradiente adverso de presión en la parte posterior de la esfera, de modo que la separación del flujo se retrasa bruscamente a una posición más posterior sobre la superficie de la esfera; en consecuencia, el espesor de la estela y el arrastre disminuyen notablemente. Para R>4 10 5, el valor del coeficiente de arrastre aumenta en forma irregular con el número de Reynolds. Movimiento de la esfera.- Consideremos una esfera que cae en el seno de un líquido viscoso. Las fuerzas que actúan sobre ella (Figura 12-2) son: su peso (mg), el empuje hidrostático (F E ) y la fuerza de arrastre (resistente) de origen viscoso (F D ). Escribimos la ecuación diferencial del movimiento en la forma mg F F = ma (12.5) F E E D Como consecuencia de la aceleración que adquiere la esfera, su velocidad aumenta inicialmente. Sin embargo, en virtud de que la fuerza de arrastre F D crece con la velocidad, la esfera llegará a alcanzar una velocidad tal que la fuerza peso quede contrarrestada por el empuje mg hidrostático más la fuerza de arrastre. Entonces, la aceleración será nula v y la velocidad dejará de aumentar; i.e., la esfera se moverá con una velocidad constante que se denomina velocidad límite. Figura 12-2 Sean δ la densidad de la esfera y ρ la densidad del líquido. El peso de la esfera y el empuje hidrostático sobre ella serán: mg = π r δg FE = πr ρg (12.6) 3 3 de modo que la condición de velocidad límite, i.e., mg = EE + ED, se escribe en la forma 2 4 2r g = = (12.7) 3 3 π r ( δ ρ) g 6π η r vlim vlim ( δ ρ) η relación que se cumple siempre que la velocidad sea suficientemente pequeña como para que el régimen sea laminar. La relación (12.7) nos permite determinar el coeficiente de viscosidad de un líquido muy viscoso a partir de la medida experimental de la velocidad límite de caída de pequeñas esferas lisas en su seno. En todo rigor, la expresión (12.7) tan sólo es válida para esferas lisas que se mueven lentamente en el seno de un líquido de extensión indefinida. En las condiciones en que planteamos nuestra experiencia, deberemos efectuar ciertas correcciones. a) Corrección relativa a la longitud del tubo, ya que la esfera tiende asintóticamente a la velocidad límite. En las condiciones en las que planteamos esta experiencia, dicha corrección es despreciable (vide Cuestión 4). F D 12-3

16 b) El influjo de las paredes del tubo ocasiona una disminución en la velocidad de caída. Si llamamos v m a la velocidad medida, la velocidad límite corregida de este efecto es vlim r = + vm R (12.8) (corrección de LADENBURG) donde r es el radio de la esfera y R es el radio del tubo. Además, puesto que la viscosidad depende de la temperatura, será necesario especificar la temperatura del líquido en el momento en que se hace la determinación de su viscosidad. Método: (a) Medidas preliminares. Para determinar el coeficiente de viscosidad del líquido problema necesitamos, además de la velocidad de caída de las esferas, los datos siguientes, δ densidad de las esferas: kg/m 3 r ρ R radio de las esferas densidad del líquido problema, en este caso glicerina. radio de la probeta l distancia de caída Si estos datos no son conocidos, el alumno deberá obtenerlos realizando las siguientes medidas. (i) Medir con el calibrador o el palmer los diámetros de cinco esferas (de cada tipo, si los hubiera). Se tomará como valor del radio r (para todas las esferas del mismo tipo) el valor medio de las cinco medidas. Calcular el volumen medio de cada tipo de esfera. (ii) Determinar la masa conjunta de cinco esferas de un mismo tipo (utilizar la balanza de precisión del laboratorio). Calcular la densidad de éstas. (iii) Medir el diámetro interno de la probeta (con un calibre). (iv) Medir la distancia entre las marcas de la probeta. (v) Determinar la densidad del líquido problema a la temperatura de la experiencia utilizando un densímetro. (b) Velocidad límite. (vi) Limpiar las esferas y secarlas cuidadosamente. Deberán manejarse siempre con unas pinzas de madera. (vii) Dejar caer una esfera a través del embudo de conducción a fin de que penetre en el líquido problema, con velocidad inicial insignificante (el tubito del embudo debe penetrar en el líquido), a lo largo del eje longitudinal de la probeta. 12-4

17 (viii) Medir y anotar el tiempo de tránsito entre las marcas A y B señaladas en la probeta. Si el movimiento es suficientemente lento, es conveniente medir el período de tránsito entre marcas auxiliares equidistantes más próximas entre sí, a fin de garantizar que la velocidad de caída es constante (i.e., velocidad límite). (ix) Repetir la operación para un total de cinco esferas de un mismo tipo. Calcular el valor medio de los tiempos de caída y, a partir de éste calcular el valor de la velocidad límite. Aplicar la corrección de Landenburg (12.8) para obtener la velocidad límite corregida. (x) Calcular y anotar el valor de número de Reynolds (R), a fin de asegurarnos de que estamos en las condiciones de aplicabilidad de la ley de Stokes. (xi) Medir y anotar la temperatura del líquido. Calcular el coeficiente de viscosidad del líquido problema a partir de la expresión (12.7). (xii) Repetir las operaciones anteriores para otros tipos de esferas (si los hubiera). Nota: Una variante interesante de esta práctica, consiste en hacer gotear un líquido contenido en una bureta sobre la superficie libre de un líquido problema. Obviamente los líquidos deberán ser inmiscibles y el líquido de goteo más denso que el líquido problema (v.g., aceite de motor sobre agua,...). El volumen de las gotas puede estimarse dividiendo el número de gotas idénticas por el volumen total de las mismas, que se medirá en la escala de la bureta. En el caso de que sea este el dispositivo experimental, el alumno deberá medir el radio de las gotas (como se ha indicado anteriormente) y la densidad del líquido de goteo. Resultados: Se expresarán todos los resultados en unidades del sistema c.g.s. Medidas preliminares media Diámetro esferas (2r) Tipo 1 Tipo 2 Concepto Tipo 1 Tipo 2 radio medio de las esferas r masa de 5 esferas masa de cada esfera m densidad de las esferas δ densidad del líquido ρ trayecto de caída l radio de la probeta R 12-5

18 Ensayo Tiempo caída media Tipo 1 Tipo 2 Velocidad límite Velocidad límite y viscosidad Tiempo caída Velocidad límite Concepto Tipo 1 Tipo 2 velocidad límite v m velocidad límite corregida v lím Número de Reynolds R Coef. Viscosidad η Cuestiones: (1) La velocidad de una esfera, de radio r, que cae en un líquido viscoso viene dada, en función del tiempo, por la expresión: α t 9η v= vlim ( 1 e ) con α = (12.9) 2 2r δ donde v lim es la velocidad límite dada por (12.7). Representar gráficamente la función v(t) y comentar la forma de la curva. (2) A partir de los resultados experimentales obtenidos en esta Práctica, y utilizando la expresión (12.9), calcular el tiempo necesario para que las esferas empleadas alcancen el 95% de la velocidad límite. (3) El recorrido de la esfera viene dado en función del tiempo por la expresión: 1 lim ( 1 t x= v t e α ) α (12.10) Representar gráficamente esta función y comentarla. (4) A partir del resultado obtenido en la cuestión 2, calcular el recorrido de la esfera (partiendo del reposo) antes de alcanzar el 95% de su velocidad límite. 12-6

19 (5) Si la velocidad de la esfera no es suficientemente pequeña, no será aplicable la ley de Stokes. Cuál es la razón de esto? Respuestas: 12-7