MOVIMIENTO OSCILATORIO O VIBRATORIO

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1 MOVIMIENTO OSCILATORIO O VIBRATORIO 1. Movimiento armónico simple (MAS). 2. Ecuaciones del MAS. 3. Dinámica del MAS. 4. Energía del MAS. 5. El oscilador armónico. 6. El péndulo simple. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 1

2 0. Conocimientos previos Los conocimientos previos que son necesarios dominar y ampliar son: La ley de Hooke (la fuerza aplicada sobre un resorte es proporcional al alargamiento producido). F K l K l l 0 El movimiento circular uniforme (MCU) donde la velocidad angular (w) es constante. El momento de inercia (I) I m r 2 Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 2

3 1. El movimiento armónico simple Un movimiento oscilatorio o vibratorio es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central (o de equilibrio) sobre la misma trayectoria. Es un movimiento periódico (se repite a intervalos iguales de tiempo) entre dos puntos equidistantes de la posición de equilibrio. En un caso ideal (sin rozamientos) el movimiento oscila indefinidamente, en la realidad es amortiguado por la fricción disminuyendo gradualmente hasta hacerse nulo. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 3

4 1. El movimiento armónico simple Los parámetros del movimiento vibratorio son: Periodo (T). Frecuencia (f). Elongación (x). Amplitud (A). X 0 t ω Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 4 O A - A ω 2 0 t π 0 t π ω 3 0 t 2 ω 2 ω t 0 t

5 1. El movimiento armónico simple Periodo (T) Es el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa, el que tarda en repetirse una posición dada (mismas características cinemáticas). Se mide en segundos (s). Elongación (x): Es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio en un instante determinado. Es la distancia en cada momento al punto central (O). Amplitud (A): Frecuencia (f ó ν): Es el número de oscilaciones por unidad de tiempo (número de veces que una misma situación cinemática se da en un segundo). Se mide en herzios (Hz=s -1 ). Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Es el límite, por ambos lados, de la posición central entre los que se mueve el punto. La frecuencia y el periodo son funciones inversas: 1 2 f T w Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 5

6 EJERCICIO-EJEMPLO Determinar para la siguiente representación de un movimiento armónico simple los parámetros: a) Periodo. b) Frecuencia. c) Amplitud. d) La elongación para un periodo. e) Frecuencia angular. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 6

7 1. El movimiento armónico simple Un movimiento oscilatorio será armónico cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras (recuperar la posición de equilibrio) que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio. Un movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento oscilatorio, periódico, rectilíneo y acelerado. El vector aceleración es proporcional e inverso al vector de posición. La condición necesaria y suficiente para que un movimiento sea armónico simple es que cumpla: a=-w 2 x En un movimiento armónico simple la posición del cuerpo se repite periódicamente cada T segundos (es un movimiento periódico). Un oscilador armónico es cualquier partícula o sistema con MAS (ej: péndulo). Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 7

8 RELACIÓN DE EJERCICIOS MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 8

9 2. Las ecuaciones del MAS Las ecuaciónes (cinemática) de un MAS son: Posición: Velocidad: Aceleración: x A cos( w t ) La posición, la velocidad y la aceleración son funciones armónicas, varían sinusodialmente con el tiempo. Son magnitudes vectoriales. dx v... A w sen( w t ) dt dv dt También se pueden obtener las ecuaciones a partir de (se puede pasar de la una a la otra): A sen( w t ) Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 9 x w 2 T 2 2 a... A w cos( w t ) w x

10 2. Las ecuaciones del MAS Donde los significados son: x = posición o elongación (m), distancia al punto central. v = velocidad ( m / s ). a = aceleración ( m / s2 ). A = amplitud o elongación máxima (m), límites a ambos lados de la posición central. w = pulsación o frecuencia angular ( rad / s ), el número de veces que el ciclo completo se repite en 2π segundos (no es una velocidad angular). t = tiempo (s). = ángulo de fase o fase inicial (rad) o desfase inicial, indica la situación inicial (t=0). w 2 f 2 T wt+ = fase, indica la situación de la partícula respecto al ciclo completo, es un ángulo. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 10

11 2. Las ecuaciones del MAS Las posiciones se pueden asimilar a los ángulos de una circunferencia. En realidad, se utilizan radianes. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 11

12 2. Las ecuaciones del MAS Propiedades importantes de una partícula que se mueve con movimiento armónico simple: 1) El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo, pero no están en fase. 2) La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento, pero tiene el sentido opuesto. 3) La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 12

13 EJERCICIO-EJEMPLO Una partícula tiene un movimiento descrito por un M.A.S. que dado por la siguiente ecuación: x (t) = 10 sen(4πt + π / 4 ). Calcular: a) La posición para t = 1 s. b) La velocidad en t = 1 s. c) La aceleración en t = 1 s. d) El periodo, la amplitud, la frecuencia, la pulsación y la fase inicial. e) La ecuación en función del coseno. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 13

14 2. Las ecuaciones del MAS Otras formas de expresar la ecuación de posición del MAS son: x A cos wt A cos 2 ft 0 0 x A sen wt A sen 2 ft 0 0 Estas ecuaciones pueden simplificarse en función de los datos del problema. La celeridad o rapidez es el módulo de la velocidad. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 14

15 2. Las ecuaciones del MAS Algunas relaciones de interés en las ecuaciones son: v A w x 0 a 0 max min Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 15 max min v 0 x A a A w Tiempo 0 T / 4 T / 2 3T / 4 T Posición A 0 -A 0 A Velocidad 0 -wa 0 wa 0 Aceleración -Aw 2 0 Aw 2 0 -Aw 2 2

16 2. Las ecuaciones del MAS Si bien, la trayectoria del oscilador armónico es rectilínea, la gráfica posición-tiempo que le corresponde es sinosuidal. X=A x >0 X=0 x >0 v >0 a <0 v =0 a <0 x >0 v <0 a <0 x =0 v >0 a =0 X= A x =0 v <0 a =0 x <0 v <0 a >0 x <0 v =0 a >0 x <0 v >0 a >0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 16

17 2. Las ecuaciones del MAS Realizar la gráfica de: x A cos( wt) 0 X O t Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 17

18 2. Las ecuaciones del MAS Realizar la gráfica de: x A sen( wt) 2 X O t Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 18

19 EJERCICIO-EJEMPLO La aceleración de un movimiento queda determinada por la expresión: a=-16π 2 x, estando medida en ms -2 y x (distancia al origen) en m. Sabiendo que el desplazamiento máximo es 4 m y que se ha comenzado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo. En los desplazamientos positivos, determinar: a) La ecuación del desplazamiento para cualquier instante. b) La velocidad y la aceleración máximas. c) La velocidad y aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del máximo. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 19

20 RELACIÓN DE EJERCICIOS CINEMÁTICA DEL M.A.S. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 20

21 3. Dinámica del MAS La ley de Hooke describe el comportamiento de un muelle con un MAS indicando que la fuerza restauradora es directamente proporcional a su deformación. F m = fuerza que ejerce el muelle (N). - = la fuerza es opuesta a la elongación. k = constante elástica del muelle ( N / m ). x = deformación o elongación del muelle (m). Fm kx Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 21

22 3. Dinámica del MAS La fuerza restauradora es central, dirigida al punto de equilibrio y proporcional a la distancia a ese punto. Fm k x m a k x a k x m 2 k x 2 F m a w x w k m m 2 a w x w 2 f 2 T T 2 m k 1 f 2 El periodo y la frecuencia de un MAS dependen de la masa del oscilador y de la constante restauradora pero son independientes de la amplitud. k m. Posición A 0 -A 0 Fuerza -ka 0 +ka 0 Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 22

23 EJERCICIO-EJEMPLO Una partícula de masa 2 kg se mueve a lo largo del eje X, y hacia el origen sometida a una fuerza F=-10x i. Inicialmente se encuentra a 2 m del origen moviéndose con una velocidad de 10 m / s. Calculese: a) El periodo del movimiento. b) El instante en que pasa por el origen por primera vez. c) La velocidad en dicho instante. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 23

24 RELACIÓN DE EJERCICIOS DINÁMICA DEL M.A.S. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 24

25 4. Energía del MAS La energía cinética es una energía en función de la velocidad pero que puede expresarse en función de la posición en la que se encuentra la partícula que oscila. La energía potencial es una energía potencial elástica, es el trabajo que realizan las fuerzas recuperadoras para devolver a la partícula al punto central. A mayor distancia de la posición de equilibrio mayor es la energía potencial. La energía mecánica es la suma de la potencial elástica y cinética, en un oscilador armónico es constante (por ser un sistema conservativo). Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 25

26 4. Energía del MAS La energía cinética es: Ec mv... mw A sen ( wt ) Ec mw ( A x ) Ec mw A ka La energía potencial es: La energía mecánica es: max Ep F dx k x dx... mw A cos ( wt ) Ep mw A ka max 1 1 Em Ec Ep... mw A ka Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 26

27 4. Energía del MAS Hay una transformación continua de las energías cinética y potencial pero su suma (energía mecánica total) es constante. Energías E. POTENCIAL E. CINÉTICA E. MECÁNICA -A? -A/2 0 A/2? A x(t) Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 27

28 4. Energía del MAS La energía mecánica permanece constante mientras que las energías cinética y potencial varían de forma periódica. La energía cinética es mínima en los extremos (x=a) y máxima en el equilibrio (x=0). La energía potencial es máxima en los extremos (x=a) y mínima en el equilibrio (x=0). x A 0 -A 0. Ec 0 ½ ka 2 0 ½ ka 2 Ep ½ ka 2 0 ½ ka 2 0 Em ½ ka 2 ½ ka 2 ½ ka 2 ½ ka 2 Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 28

29 4. Energía del MAS El trabajo (W) realizado por un muelle cuando es deformado viene dado por su fuerza recuperadora (que se opone al sentido del desplazamiento) y será función de la longitud de deformación (d) del muelle: Puede ser: Positivo: A Si la deformación del muelle disminuye. Negativo: Si la deformación del muelle aumenta. 1 1 W F dr k d k d 2 2 B 2 2 A B... A B El teorema de la energía cinética, teorema de las fuerzas vivas o teorema del trabajo nos indica que el trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de energía cinética que experimenta. Se aplica a todo tipo de fuerzas. El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de energía potencial que experimenta el sistema. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 29 W C E p W Total E c

30 4. Energía del MAS En un sistema aislado (no intercambia ni masa ni energía con el exterior) se mantiene constante su energía total (la energía la puedo transformar pero crearla ni destruirla). La energía mecánica en un sistema solo con fuerzas conservativas se mantiene constante. La energía mecánica en un sistema con fuerzas no conservativas puede variar. WTotal WC WNC W E W E E E WC E P Total C NC C P M Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 30

31 EJERCICIO-EJEMPLO Una masa de 20 kg cuelga de un hilo de 2 cm de longitud y oscila con un periodo de 3 segundos y una amplitud de 30. Calcula: a) La velocidad con que la masa oscilante pasa por la posición de equilibrio. b)el valor de la fuerza que origina el movimiento cuando el punto oscilante está en la posición extrema. c)la tensión del hilo en esa posición. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 31

32 RELACIÓN DE EJERCICIOS DINÁMICA DEL M.A.S. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 32

33 5. El oscilador armónico Un oscilador armónico es una masa (m) unida a un muelle (de masa despreciable y de constante elástica k) donde no se tienen en consideración los rozamientos. Es un MAS. La oscilación no depende de la amplitud, sino de la masa y las características elásticas del muelle. Es independiente que el muelle esté en posición horizontal o vertical. a w T F kx k m m m w 1 2 k m k m x m k Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 33

34 6. El péndulo simple Un péndulo simple es un ejemplo de MAS. El péndulo simple está constituido por una masa puntual (m) suspendido en un punto fijo mediante un hilo inextensible y de masa despreciable. La componente tangencial del peso actúa como una fuerza restauradora. T Py m ay 2 g... w T 2 l P l x m ax g y L x T m P x = mg sen P y = mg cos P= mg A partir de esta ecuación se puede determinar experimentalmente la aceleración de la gravedad. El periodo es independiente de la amplitud de las oscilaciones (A) y de la masa (m). Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 34

35 6. El péndulo simple Un péndulo simple es un buen ejemplo de conservación de la energía mecánica. W 0 E E E E NC C P C P Ep Ec v 2 g h max max 0 max E E p mgh h Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 35 E E c 1 2 m v 2 v

36 EJERCICIO-EJEMPLO Una masa puntual de 50 g está suspendida de un hilo inextensible y sin masa apreciable, de 2 m de longitud. Se hace oscilar a dicha masa puntual, de manera que en el momento de su máxima elongación se eleva 2,5 cm por encima del plano horizontal que pasa por su posición de equilibrio. Calcular el periodo de las oscilaciones que ejecuta la masa puntual. Hallar la velocidad y la energía cinética de la masa puntual cuando pasa por la vertical. Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 36

37 RELACIÓN DE EJERCICIOS PÉNDULO Física 2º bachillerato Movimiento oscilatorio o vibratorio 37

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