Resolución de la EDO del oscilador armónico simple y amortiguado

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Resolución de la EDO del oscilador armónico simple y amortiguado"

Alberto Ángel Cano Herrero
hace 6 años
Vistas:

1 Álvaro García Corral Resolución de la EDO del oscilador armónico simple y amortiguado Un oscilador armónico es un sistema en el que siempre actúa una fuerza, que es recuperadora, es decir, del tipo, también pueden actuar otras fuerzas pero la fuerza fundamental que caracteriza al oscilador armónico es la recuperadora. Se observa que el problema que vamos a tratar es unidimensional (en el espacio) y que el sistema de referencia se ha tomado de forma que la posición de equilibrio se ha tomado en el origen, la fuerza recuperadora es nula en la posición de equilibrio. Ahora aplicamos la segunda ley de Newton, quedándonos la siguiente EDO: Esta es la EDO que rige el movimiento del oscilador armónico simple, en el que la única fuerza presente es la recuperadora. Llamamos a la constante entenderemos después, quedándonos: por razones que Recordamos que para resolver EDOs de este tipo (homogéneas, con la derivada segunda y la función), la solución era una exponencial, un seno, un coseno, o una combinación de los dos últimos. 1

2 Álvaro García Corral Para hallar la solución general lo más cómodo es comenzar conjeturando que la solución tiene la forma exponencial, y después de haberlo resuelto, aplicar la fórmula de Euler para hallar la forma de las demás soluciones. Conjeturamos la forma exponencial de la solución, con un parámetro y una constante de integración : Y ahora sustituimos en la EDO, para hallar el valor de nuestro parámetro : Obtenemos dos valores posibles para el parámetro por lo que la solución general será la suma de dos exponenciales imaginarias, cada una con uno de los valores de y una constante de integración diferente. Por supuesto que y son números complejos, sin embargo, nuestra función solución tiene que ser una función real, veremos cómo se consigue esto, pero antes vamos a ver como se pasa a las otras soluciones. 2

3 Para desarrollar las exponenciales utilizamos la fórmula de Euler: ( ) ( ) Ahora introduzcamos el hecho de que y son números complejos de manera que: Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) Podemos dividir la solución en parte real y parte imaginaria: [ ] [ ] Dividimos la solución en parte real y parte imaginaria, y por las propiedades de la EDO, tanto la parte real como la parte imaginaria son solución por si solas, de manera que la solución que se corresponde con la realidad sería la parte real. Esta solución es en cualquier caso un poco extraña, porque sólo hay una derivada segunda, pero tenemos cuatro constantes de integración: [ ] y [ ] 3

4 Veamos qué pasa si imponemos que y fueran complejos conjugados el uno del otro: Al sustituir en la ecuación tendríamos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Y así, la solución imaginaria se anula y obtenemos la solución que sirve para interpretar el caso real: [ ] [ ] De esta manera sólo quedan dos constantes de integración, correspondientes a integrar dos veces con respecto al tiempo, lo que implica que las constantes complejas que multiplican a las dos exponenciales son complejos conjugados el uno del otro. 4

5 También podemos poner la solución como un seno o un coseno con un desfase, quedando la solución general: Si desarrollamos el seno de la suma y el coseno de la suma: Por lo tanto: [ ] [ ] [ ] [ ] 5

6 Álvaro García Corral Para el caso del oscilador armónico amortiguado, tenemos que añadir otro término a la EDO del oscilador armónico simple, este término se corresponde con una fuerza de rozamiento y es proporcional a la velocidad: Donde siendo el coeficiente de rozamiento o viscosidad. Entonces recordamos que para EDOs homogéneas en las que aparecen derivadas de orden par e impar, una solución va a ser siempre la exponencial: Aplicándolo a la EDO: En el ejercicio del oscilador armónico simple ejercicio es mayor que cero pero poco, por lo que consideramos que, en este En nuestra solución quedan entonces dos exponenciales: [ ] Igual que en el caso anterior y son números complejos. 6

7 Ahora aplicamos la fórmula de Euler, para obtener la solución en forma de senos y cosenos: [ ( ) ( )] [ ] Sin embargo solo nos interesa la parte real de la solución, por lo que necesitamos dividir la solución en parte real y parte imaginaria de la misma manera que en el ejercicio del oscilador armónico simple: Si se resuelve de la misma manera, se obtiene que: [[ ] [ ]] Veamos qué pasa si imponemos que y fueran complejos conjugados el uno del otro: 7

8 La solución queda de la forma [[ ] [ ]] [[ ] [ ]] [ ] [ [ ] [ ] ] Y así, la solución imaginaria se anula y obtenemos la solución que sirve para interpretar el caso real: [ ] [ [ ] [ ] ] 8

Documentos relacionados

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)