CAPITULO II. Medidas estadísticas. Objetivo. Contenido. Calcular las medidas posición, de tendencia central, de dispersión y de forma.

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1 CAPITULO II Meddas estadístcas Objetvo Calcular las meddas poscó, de tedeca cetral, de dspersó y de forma. Cotedo * * * * * * Itroduccó Meddas de poscó Meddas de tedeca cetral Meddas de dspersó Meddas de forma Ejerccos

2 .1 INTRODUCCIÓN.1.1 Geeraldades Hasta este mometo hemos vsto como costrur tablas y represetar gráfcamete u cojuto de datos, pero estas téccas o so sufcetes para hacer comparacoes etre dsttas dstrbucoes de frecueca. Para ellos es ecesaro defr ua sera de úmeros, a los que llamaremos meddas descrptvas, y será muy útles cuado se trata de comparar dsttas stuacoes o comportametos de msma varable. E ua poblacó o muestra, las característcas prcpales que resume las meddas descrptvas so cuatro: Meddas de poscó Meddas de tedeca cetral Meddas de dspersó Meddas de forma Estas meddas descrptvas se muestra a cotuacó e u mapa coceptual y su respectva represetacó vsual. Meddas descrptvas Meddas de Poscó Meddas de Tedeca cetral Meddas de Dspersó Meddas de Forma Cuatles Moda Rago Sesgo Cuartles Medaa Rago tercuartílco Curtoss Decles Meda Varaza Percetles Desvacó Estádar (a) Esquema geeral de las meddas descrptvas. (b) Represetacó gráfca de las meddas descrptvas Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 4

3 . MEDIDAS DE POSICIÓN..1 Itroduccó Detro del cojuto de meddas estadístcas, ocupa u lugar prortaro las deomadas meddas de poscó, debdo, fudametalmete, a que so las más utlzadas e uestro leguaje daro. Las meddas de poscó os proporcoa u valor e toro al cual se dstrbuye las observacoes. Exste dos tpos de meddas de poscó, las cetrales y las o cetrales. Estas meddas o cetrales so las que estudaremos e esta seccó, los cuatles... Los cuatles Los cuatles es ua medda de poscó y se caracterza porque dvde a la dstrbucó e partes guales. So tres los cuatles que báscamete se utlza: cuartles, decles y percetles....1 Los cuatles e dstrbucoes o agrupadas Cuartles So tres valores de la varable que dvde a la dstrbucó e cuatro partes, guales, cada ua co el 5 % de las observacoes. La forma de determar estos tres cuartles e ua dstrbucó co observacoes, y ua vez ordeados los datos e orde ascedete, es como sgue: Prmer cuartl Q1, es el valor de la varable que deja a su zquerda el prmer 5 % de las observacoes. Esto es, es el valor que ocupa el lugar /4. Segudo cuartl Q, es el valor de la varable que deja a su zquerda el 50 % de las observacoes; es el valor que ocupa el lugar /4. Tercer cuartl Q3, es el valor de la varable que deja a su zquerda el 75 % de las observacoes; es el valor que ocupa el lugar 3/4. Para determar los cuartles, geeralmete se calcula las frecuecas acumuladas y se busca el dato que ocupa el lugar /4 s es Q1, o /4 s es Q, o 3/4 s es Q3. Decles So los ueve datos de la dstrbucó que la dvde e dez partes guales. Así, tedremos que: El prmer decl D1, es el valor de la varable que ocupa el lugar /10. El segudo decl D, es el valor que ocupa el lugar /10 y así sucesvamete, hasta el oveo, que es el valor que ocupa el lugar 9/10. Percetles Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 43

4 Aálogamete a las defcoes aterores, los percetles so aquellos valores de la dstrbucó que la dvde e ce partes guales. Los oveta y ueve percetles se determa de forma smlar; así: El prmer percetl P1, es el valor de la varable que ocupa el lugar /100. El segudo es el valor que ocupa el lugar /100, y así sucesvamete, hasta llegar al oveta y ueve percetl que es el valor de la varable que ocupa el lugar 99/ Los cuatles e dstrbucoes agrupadas e tervalos Cuado por la aturaleza del feómeo os ecotramos co ua dstrbucó agrupada e tervalos, el cálculo de los cuatles se determa de la sguete maera: C/q = Lf + A q f f 1 dode Lf = Límte feror del tervalo dode se ecuetre la medaa. f = La frecueca acumulada hasta el tervalo ateror al del cuatl. f =La frecueca del tervalo dode se ecuetra el cuatl. A = Ampltud del tervalo. = Total de datos. q = 4 co = 1,, 3 s so cuartles q = 10 co = 1,,.. 9 s so decles q = 100 co = 1,, 99 s so percetles...3 Ejemplos..3.1 Datos o agrupados Recuperado los datos de los tempos que se llevaro e resolver u exame los 80 alumos de ua uversdad, ecotrar (a) el segudo cuartl, (b) el oveo decl y (c) el percetl 80. Solucó: Los datos so los sguetes: Lo prmero que hay que hacer co estos datos es ordearlos de meor mayor, lo cual teemos a cotuacó ordeados por columas. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 44

5 a) Calculamos /4 = (80/4) = 40, y observado e las columas y buscado el dato úmero 40, el cual es 4. 4 es etoces el segudo cuartl. Luego, hay u 50 % de alumos que termaro la prueba por debajo de los 4 mutos. b) Ahora, el valor buscado es, 9/10 = 9(80/10) = 7, y observado e las columas y buscado el dato úmero 7, el cual es 9. 9 es etoces el oveo decl. Luego, hay u 90 % de alumos que termaro la prueba por debajo de los 9 mutos. c) El valor buscado es, 80/100 = 80(80/100) = 64, y observado e las columas y buscado el dato úmero 64, el cual es 7. 7 es el percetl 80. Luego, hay u 80 % de alumos que termaro la prueba por debajo de 7 mutos...3. Datos agrupados e tervalos de frecueca E ua clíca prvada, se pregutó la edad de los pacetes y se tabuló la formacó correspodete, obteédose lo sguete: Edades Pacetes fa Determíese: (a) El segudo cuartl, (b) el oveo decl y (c) el percetl 80 Solucó a) Calculamos /4 = (00/4) = 100, y observado la columa de frecuecas acumuladas, os damos cueta de que el tervalo e el que se ecuetra esa frecueca es el 50-59; así: Q / años 40 Luego, hay u 50 % de pacetes co edad feror a 57 años y medo. b) Ahora, le frecueca buscada es, 9/10 = 9(00/10) = 180, luego, el oveo decl es el sguete: Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 45

6 Q 9 / años 40 Por tato, el 90 % de los pacetes tee edades ferores a 75 años. c) Como la frecueca buscada es, 80/100 = 80(80/100) = 160. El percetl 80 será: Q /100 Luego, el 80 % de los pacetes tee edades ferores a 70 años MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.3.1 Itroduccó E esta seccó presetaremos varas meddas que defe el cetro de ua dstrbucó de frecuecas. Estas meddas muestra cuá típcos so los valores de ua varable detro de u cojuto de datos, e cluso cuá factble es su ocurreca, se observa ua tedeca e los datos a agruparse alrededor de u puto cetral y o e u setdo geométrco, so e térmos de acumulacó. E resume, cualquer medda que preteda represetar el cetro de la dstrbucó o el puto de acumulacó típco de los datos, será ua medda de tedeca cetral. Los más usados so, la moda, la medaa y la meda artmétca..3. Moda (Mo) Se defe a la moda como el dato que se preseta co mayor frecueca e ua dstrbucó. Se utlza mayormete cuado trabajamos co datos cualtatvos o datos cuattatvos dscretos. La moda o es ta útl e datos cuattatvos cotuos, porque s los datos so verdaderamete cotuos esperaríamos pocos valores repetdos, s los hay. La moda o es ta afectada por los valores extremos; es decr, la moda se puede utlzar para dstrbucoes cosderablemete dspersas. S ua dstrbucó tee ua moda, se llama umodal, s tee dos, es bmodal, S tee tres, trmodal, y así sucesvamete. Cuado esto ocurre, la moda es u dcador de la preseca de ua varable que o se ha cosderado, de la preseca de certa tedeca o polarzacoes e las varables cualtatvas. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 46

7 Cómo obteer la moda? Se obtee depededo de cómo tegamos los datos. E la sguete tabla se dca cuál es el proceso. DATOS NO AGRUPADOS Por speccó. Solamete es ver cual es el de mayor frecueca DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE UNA TF L f + A f f 1 1 f 1 Dode Lf = Límte feror del tervalo modal. f+1 = Frecueca del tervalo medatamete superor al modal. f-1 = Frecueca del tervalo medatamete ateror al modal. A = Ampltud del Itervalo..3.3 Medaa (Me) Es el valor que ocupa el lugar cetral de u cojuto de valores observados de la varable ordeados ya sea e forma crecete o decrecete, esto es, el que deja a u lado y a otro el msmo úmero de observacoes. Se puede aplcar o sólo a varables cuattatvas, so també a las cualtatvas de escala ordal. S la varable es cualtatva omal, o tee gú setdo tetar calcular la medaa, ya que tales escalas o tee gú orde. Cuado las dstrbucoes so asmétrcas, segú s la cola más larga está a la derecha o a la zquerda, la medaa es ua mejor medda de la tedeca cetral. Debdo a que la medaa depede ta solo del ordeameto de los datos, su valor o resulta afectado por aquellos úmeros que se aleje cosderablemete del resto de los datos. La medaa depede exclusvamete del orde de los datos, por lo que podemos asegurar que es calculable y además es úca. Cómo obteer la medaa? Se obtee depededo de cómo tegamos los datos. E la sguete tabla se dca cuál es el proceso. S es mpar Se ordea los datos de meor a mayor, o vceversa; se calcula el subídce (+1)/; e los datos ordeados, se busca el dato X (+1)/, es decr, aquel cuyo subídce correspoda al subídce calculado. DATOS NO AGRUPADOS S es par Se ordea los datos de meor a mayor o vceversa; se toma los datos cetrales co subídces cetrales / y /+1, se suma X / y X /+1 y se dvde etre dos. DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE UNA TF L f + f 1 A f dode Lf = Límte feror del tervalo dode se ecuetre la medaa. = Es el total de datos. f = La suma de las frecuecas aterores al tervalo de la medaa. 1 f =La frecueca del tervalo de la medaa. L = Ampltud del tervalo. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 47

8 .3.4 Meda artmétca ( x ) La mayor parte de las veces se refere al promedo y se smbolza co ua x, cuado se refere a ua muestra y, cuado se trata de la meda de la poblacó. La meda es la suma de todos los datos etre el total de datos. Debdo a que la meda, se calcula utlzado operacoes artmétcas, asummos que los datos so cuattatvos. S la varable es cualtatva, o tee setdo, e geeral, tetar calcular medas de tales varables, porque o se puede operar artmétcamete los valores de ua varable cualtatva. La meda depede exclusvamete de los valores de ua muestra, por lo que podemos asegurar que todo cojuto de datos, tee ua meda calculable y además es úca. Cómo obteer la meda? Se obtee depededo de cómo tegamos los datos. E la sguete tabla se dca cuál es el proceso. DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS EN TF x ( x j )( f j ) x 1 j x 1 dode x = Símbolo de la meda. = Es el total de los datos, tato e o agrupados como agrupados. x 1 j1 por su frecueca. = La suma de todos los datos. ( x j )( f ) = La suma de todas las multplcacoes de cada puto medo del tervalo j.3.5 Ejemplos Datos o agrupados Tomado los msmos datos de los tempos que se llevaro e resolver u exame los 80 alumos de ua uversdad, ecotrar (a) la moda, (b) la medaa y (c) la meda artmétca. Solucó: Los datos so los sguetes: Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 48

9 Lo prmero que hay que hacer co estos datos es ordearlos de meor mayor, lo cual teemos a cotuacó ordeados por columas x a) La moda es la de mayor frecueca y e este caso por speccó vemos que el dato que más se repte es 3. Por lo tato la moda es 3. b) E este caso, el total de valores es 80, que es u úmero par, por lo tato debemos ecotrar los valores X/ y X/+1. X/ = 4 y X/+1 = 4, por lo tato la medaa es: 4 4 Medaa = 4 c) Para ecotrar la meda artmétca, o es ecesaro ordear los datos, smplemete hay que sumar todos los datos y dvdrlo etre el total de datos. 1 x (1) 8() 14(3) 1(4) 4(5) 8(6) 10(7) (8) 5(9) 3(30) x 1 x El valor de la meda es etoces Datos agrupados Ejemplo 1: Teemos a cotuacó las estaturas de u curso de 600 alumos y se dstrbuyero de la sguete tabla: Estaturas Alumos Determíese la estatura modal. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 49

10 Solucó Lo prmero será determar el tervalo modal, que es aquel que tee la mayor frecueca absoluta; e el ejemplo, el tervalo modal es el Las frecuecas absolutas medatamete ateror y posteror so 100 y 150, respectvamete; luego la estatura modal es: Moda = Mo = L f + f A = f 1 f Ejemplo : De la msma tabla del ejemplo ateror, ecotrar la medaa de las estaturas. Solucó Lo prmero que hay que hacer es la columa de frecuecas acumuladas. Estaturas Alumos fa Ua vez calculadas las frecuecas acumuladas, y como / = 300, etoces el tervalo medao es el tercero, cuyo extremo feror es 1.60 y su ampltud, Luego, la estatura medaa es: Medaa = Me = Ejemplo 3: A partr de la formacó de la sguete tabla, sobre las estaturas de 100 alumos, determíese la estatura meda de éstos: Estaturas Alumos Solucó Al ser ua dstrbucó agrupada e tervalos, la fórmula que habrá de aplcarse es: ( x j )( f j ) j x 1 Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 50

11 Para determar la estatura meda, lo prmero que se debe hacer es calcular los putos medos de los tervalos. A cotuacó, formamos ua cuarta columa de la multplcacó de los putos medos de clase por la frecueca del tervalo, cuya suma dvdda etre el total reobservacoes proporcoa la estatura meda. Estaturas Alumos Putos medo Frecueca por puto medo Por tato, la estatura meda del grupo es: x Cuál medda de tedeca cetral es la mejor? Solo queda hacer refereca a los crteros para elegr ua u otra como represetacó de la putuacó geeral de ua varable. E geeral, preferremos la meda, prmero porque se va a usar e cálculos posterores co mucha frecueca y segudo porque es la más estable. Es decr, de ua muestra a otra varía meos que la medaa o la moda, esta más cerca la meda de la poblacó de lo que está la medaa y la moda de estos valores calculados e la poblacó. Elegremos la medaa como medda de tedeca cetral cuado la dstrbucó sea muy sesgada, cuado tega valores muy extremos, ya que, e estos casos, la meda se desplaza haca las putuacoes extremas y o así la medaa. La meda se ve afectada por todos los valores de la varable. E el caso de ecotraros ate ua varable ordal també elegríamos la medaa como medda de tedeca cetral. També, e el caso de teer ua dstrbucó de frecuecas co tervalos de clase abertos, es decr cuado el tervalo feror o el superor carece de algú límte, por tato os resulta mposble calcular la meda y tedríamos que calcular la medaa. Es acosejable la moda e el caso e que la varable sea omal y etoces cualquer operacó artmétca co los úmeros que represeta los valores de la varable está fuera de lugar. El otro caso e que elegremos la moda se produce cuado la medaa perteezca a u tervalo aberto. Para falzar dremos que e alguos casos los tres ídces de tedeca cetral so muy parecdos. S la dstrbucó es smétrca y umodal los tres cocde. Cuato más asmétrca es ua dstrbucó más se aleja, la meda se desplaza haca la cola larga de la dstrbucó, sempre que estemos ate dstrbucoes umodales. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 51

12 E cualquer caso, s las tres so muy dferetes se puede hacer refereca a más de uo de ellos para que el lector posea más formacó. Se resume más formacó e la sguete tabla: Característca Moda Medaa Meda Más cofable (Para dstrbucoes ormales y muchas otras empírcas) Meos cofable Requere solo de escalas omales Requere solo observacoes clasfcadas Puto debajo del cual y arrba del cual cae la mtad de observacoes Cetro de gravedad de ua dstrbucó Ifluye e ella el valor especfco de cada observacó Será gual e ua dstrbucó smétrca Será gual e ua dstrbucó ormal Tedrá el valor más grade e ua dstrbucó sesgada postvamete Tedrá el valor más grade e ua dstrbucó sesgada egatvamete Su valor o es el más grade el más pequeño e dstrbucoes asmétrcas Es e sí mejor que otras operacoes artmétcas Es la más amplamete utlzada e métodos estadístcos avazados Puede estmarse más rápdamete e hstogramas o polígoos de frecueca Mejor para varables cotuas para fes descrptvos Es gual a P 50 y Q Tabla 3.1 Característcas de la moda, medaa y meda.4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN.4.1 Itroduccó La varabldad es ua característca muy mportate de u cojuto de datos, porque proporcoa formacó adcoal que permte juzgar la cofabldad de uestra medda de tedeca cetral, ya que s los datos se ecuetra muy dspersos, etoces la varabldad que exste etre ellos será muy grade; s embargo, s so u cojuto estrecho, la varabldad será muy pequeña, y la medda tedrá ua mayor exacttud al ser tomada como medda de tedeca cetral. També permte hacer comparacoes etre dferetes muestras o poblacoes y dstgur cojutos de datos que presete amplas o estrechas varacoes. Las meddas de varacó más usadas so el rago, la varaza y la desvacó estádar. Éstas se desarrollará a cotuacó..4. Recorrdo o Rago (Ra) Es la medda de varacó más smple y se obtee co la dfereca que exste etre el dato mayor del cojuto co el dato meor del msmo. Desafortuadamete, esta medda o es muy Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 5

13 satsfactora, ya que o descrbe otras característcas de la dstrbucó. Puede ser que u cojuto de datos tega el msmo rago que otro y sea muy dferetes etre sí. Para ecotrar el rago, solamete se busca el dato mayor y meor del cojuto de datos y se realza su dfereca y ese es el valor del rago. Ejemplo Determar el rago para las calfcacoes de estadístca de dos grupos dsttos de alumos del msmo curso so: Solucó GRUPO A GRUPO B Calfcacoes Alumos Calfcacoes Alumos Como e el grupo A la mayor calfcacó es 70 y la meor es 30, el rago es: = 40. E el grupo B, el valor mayor es 80 y el meor 0; luego el rago es: 80 0 = 60. Por tato, ya sabemos que, a partr de esta medda de dspersó, que e el grupo B la meda artmétca es meos represetatva, porque las calfcacoes está muy dspersas. Desafortuadamete, esta medda, que es la más seclla, preseta ua desvetaja mportate, que se derva del hecho de que e su cálculo sólo tervee dos valores de la varable. El ejemplo sguete lo poe de mafesto. Supogamos que e el ejemplo ateror, las calfcacoes del grupo A so las msmas, pero las del grupo B ahora so: GRUPO B Calfcacoes Alumos E esta stuacó, os ecotraríamos co que los dos grupos tee la msma meda e gual rago, y, s embargo, la dspersó de los dos grupos es dstta..4.3 Recorrdo o rago tercuartílco (R) Es ua medda de dspersó absoluta que os dca la mtad de la logtud del tervalo e el que está el 50 por 100 de los valores cetrales. Su expresó es: Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 53

14 R = Q3 Q1 Dode: R = Rago tercuartílco. Q3 = Es el tercer cuartl. Q1 = Es el prmer cuartl. Su terpretacó es muy seclla: S R es pequeño, sempre teedo e cueta las meddas e que vee dada la varable, será dcatvo de poca dspersó. Y, a la versa, s R es grade, expresará gra dspersó. Esta medda de dspersó adolece de la msma lmtacó que el rago, y es que solo utlza dos valores de la varable, gorado el resto. Este coveete poe de mafesto la ecesdad de troducr otras meddas de dspersó e las que tervega todos los valores de la varable. Ejemplo La dstrbucó de edades de las persoas que vsta ua psca mucpal es: Edades Frecueca F. Acumulada Determíese la dspersó o varabldad de la varable de edad, a partr del rago tercuartílco. Solucó Como /4 = 7/4 = 18, y como 3/4 = 3(7/4) = 54, etoces, Etoces: Q y Q R = Q 3 Q 1 = = Varaza y Desvacó estádar Dos meddas de dspersó que tee e cueta cómo se dstrbuye todas las observacoes e los datos, so la varaza y su raíz cuadrada, la desvacó estádar. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 54

15 La varaza de ua muestra mde el promedo del cuadrado de las dferecas etre cada observacó y su meda. La varaza mde la mayor o meor dspersó de los valores de la varable respecto a la meda artmétca. Cuato mayor sea la varaza mayor dspersó exstrá y por tato meor represetatvdad tedrá la meda artmétca. La varaza se expresa e las msmas udades que la varable aalzada, pero elevadas al cuadrado. La desvacó estádar de ua muestra es sólo la raíz cuadrada postva de la varaza. La varaza y la desvacó estádar so sempre, mayores o guales que cero. Cuado la desvacó estádar es cero, o hay dspersó. Esto sólo podrá ocurrr s todos los datos so guales. Cómo obtego la varaza y la desvacó estádar? Se obtee depededo de cómo tegamos los datos y de s estamos hablado de la poblacó o de la muestra. E la sguete tabla se dca cuál es el proceso. s s MUESTRA 1 x 1 x 1 DATOS NO AGRUPADOS POBLACIÓN N x x 1 f 1 1 x DATOS AGRUPADOS EN TF f N N 1 x N f N N 1 x f Dode x = Meda muestral. = Meda poblacoal = Es el total de datos de la muestra. N = Es el total de datos de la poblacó. 1 N 1 1 ( x x) = La suma de todas las desvacoes al cuadrado e la muestra. ( x u) = La suma de todas las desvacoes al cuadrado e la poblacó. ( x f ) = La suma de todas las multplcacoes de cada puto medo del tervalo al cuadrado, por su frecueca. 1 su frecueca. ( x f ) = La suma de todas las multplcacoes de cada puto medo del tervalo por Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 55

16 N 1 ( x f ) = La suma de todas las multplcacoes de cada puto medo del tervalo al cuadrado, por su frecueca. N 1 su frecueca. ( x f ) = La suma de todas las multplcacoes de cada puto medo del tervalo por Ejemplo Determíese la varaza y la desvacó estádar para la sguete dstrbucó de frecuecas, correspodete a la clasfcacó de los 130 supermercados de la cudad segú el úmero de empleados. Solucó Itervalos Supermercados Formemos las columas correspodetes: x, xf, x, x f. Por tato, la meda es: Y la varaza: Itervalos f x xf x x f x empleados 130 N N 1 x f N N 1 x f Este valor esta e empleados al cuadrado. Por últmo, la desvacó estádar es: S empleados Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 56

17 .5 MEDIDAS DE FORMA.5.1 Itroduccó Ua tercera propedad mportate de u cojuto de datos es su forma, esto es, la maera e que se dstrbuye los datos. Esto permte cuatfcar la forma de la dstrbucó a partr de dos tpos de meddas: De asmetría. De aputameto o curtoss..5. Meddas de asmetría Ua dstrbucó de datos puede ser smétrco o o. S la dstrbucó de los datos o es smétrca, se le deoma asmétrca o sesgada. Auque hay dferetes ídces o coefcetes de asmetría, los más utlzados so el de Fsher y el de Pearso. Coefcete de asmetría de Fsher Es el más utlzado y mde la smetría co respecto a la meda artmétca. Su expresó es: dode: S f 1 1 Sf = Coefcete de asmetría de Fsher. S = Desvacó típca. = Número de observacoes. 1 3 ( x x) ( f ) 3 S 3 ( x x) ( ) = Es la suma de desvacoes respecto a la meda, al cubo, multplcadas f por las frecuecas. La terpretacó es la sguete: S Sf = 0, etoces la dstrbucó es smétrca o s sesgo. S Sf > 0, etoces la dstrbucó es asmétrca o sesgada a la derecha o postvo. S Sf < 0, etoces la dstrbucó es asmétrca o sesgada zquerda o egatvo. Coefcete de asmetría de Pearso Esta es meos cofable que la ateror y se basa solo e la comparacó de la meda y la moda y se aplca para dstrbucoes de forma de campaa, moderadamete asmétrca y umodal. Pearso propuso el sguete coefcete: Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 57

18 dode: S p Sp = Coefcete de asmetría de Pearso. S = Desvacó estádar. Mo = Moda x Mo S La terpretacó es la sguete: S Sp = 0, etoces la dstrbucó es smétrca o s sesgo. S Sp > 0, etoces la dstrbucó es asmétrca a la derecha o sesgada a la derecha. S Sp < 0, etoces la dstrbucó es asmétrca a la zquerda o sesgada a la zquerda. Gráfcamete la asmetría se preseta de la sguete forma: Ejemplo Se ha clasfcado las empresas de ua cudad por el úmero de empleados, obteédose la sguete formacó: Itervalos f (Número de empleados) Determíese el grado de smetría de la dstrbucó a partr de los dos coefcetes estudados. Solucó Cómo las fórmulas de los coefcetes de Pearso y Fsher so, respectvamete: S p 1 x Mo 1 y S f 3 S Necestaremos formar las sguetes columas: 3 ( x x) ( f ) S Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 58

19 Putos medos de la clase; Los productos xf; x ; x f x x ; 3 f x x ; Y las frecuecas acumuladas fac. Itervalos x f x f f ac x x x x f x x x 3 x f x x Luego: x M o S S Como para que el coefcete de Pearso tega terpretacó válda ecestamos que la varable se dstrbuya de forma de campaa, moderadamete asmétrca y umodal (esto últmo y lo hemos verfcado), es precso realzar la represetacó gráfca de la dstrbucó. Número de empresas Empleados Luego, S p x Mo = S p S 1.6 Y el de Fsher: Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 59

20 S f ( x x) ( f ) 3 S (1/ 50)( 1000) = S f E este ejemplo, los valores de los coefcetes dca que se trata de ua dstrbucó lgeramete asmétrca o sesgada a la zquerda..5.3 Meddas de aputameto o curtoss Mde el mayor o meor aputameto cetral de ua dstrbucó co respecto a la dstrbucó ormal. Estas meddas se aplca a dstrbucoes umodales, smétrcas o lgeramete asmétrcas, y trata de aalzar que ocurre e la zoa cetral de la dstrbucó. E este setdo, la mayor o meor cocetracó de frecuecas e toro a la meda y e la zoa cetral de la dstrbucó dará lugar a ua dstrbucó más o meos aputada, dstguédose etre: Leptocúrtcas: Dstrbucoes más aputadas que la ormal. Mesocúrtcas: Dstrbucoes co aputameto ormal. Platcúrtcas: Dstrbucoes meos aputadas que la ormal. Leptocúrtca Mesocúrtca Platcúrtca Para medr el mayor aputameto, se puede utlzar dferetes coefcetes, pero merece destacarse, por ser el más utlzado, el de Fsher. El coefcete de aputameto de Fsher se defe como: A f ( x x) ( f ) 3 4 S dode: Af = Coefcete de aputameto de Fsher. S = Desvacó típca. = Número de observacoes. Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 60

21 1 4 ( x x) ( ) = Es la suma de desvacoes respecto a la meda, elevadas a la cuarta f poteca, poderadas por las frecuecas. La terpretacó es la sguete: S Af > 0, etoces la dstrbucó es leptocúrtca. S Af = 0, etoces la dstrbucó es mesocúrtca. S Af < 0, etoces la dstrbucó es platcúrtca. Ejemplo Para estudar el aputameto o curtoss os puede servr la dstrbucó del ejemplo ateror dode se estudo el sesgo, al ser ua dstrbucó lgeramete asmétrca y umodal. Retomado los datos del ejemplo ateror, y añadedo las columas sguetes, tedremos, Itervalos x f x x x x 4 f x x Tomado los resultados del ejemplo ateror. Etoces teemos que, A f 1 1 ( x S x) ( f 4 4 ) (1/ 50)(480000) (1.6) El valor obtedo para el coefcete de aputameto dca que se trata de ua dstrbucó lgeramete platcúrtca, esto es, algo meos aputado que la ormal..6 EJERCICIOS 1. Completa el sguete párrafo. Tres meddas comúmete usadas de so la meda, la moda y la. Por lo geeral los valores se cocetra alrededor del valor que ocurre co mayor frecueca, la. El puto medo que separa la dstrbucó e dos partes de gual tamaño es la. La medda de tedeca cetral más segura, estable o cofable tede a ser la. La es sesble al valor de cada dato de la dstrbucó; esto o ocurre e la o la. E ua dstrbucó acampaada o mesocúrtca, la moda, la medaa y la meda tee el msmo Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 61

22 . Ua prueba puede ser ta dfícl que hay muchos valores y pocos extremadamete. Tal dstrbucó se descrbrá como sesgada. E dstrbucoes asmétrcas, la co frecueca es la medda descrptva preferda de tedeca cetral. E ua prueba muy fácl, la será mayor que la, pero meor que la. S se ecotrará que la meda CI e u grupo fuera 110 y la medaa 100, la dstrbucó probablemete estaría sesgada. S u grupo tuvera ua meda de 89.3 y ua medaa de 90.1, el sesgo sería. S este grupo se combara co u grupo taletoso, la forma de la dstrbucó de los valores de CI compuestos probablemete sería. S pudera desarrollarse ua prueba de modo que cada valor se obtuvera co gual frecueca, la forma de la dstrbucó sería y.. Respode las sguetes pregutas co: rago, varaza y desvacó estádar. a) Cuál es meos cofable? b) E cuál fluye cosderablemete el tamaño de la muestra? c) Cuál es más fácl de calcular? d) S se ecuetra que la varaza es de 100, cuál es la desvacó estádar? 3. Cuál medda de tedeca cetral: a) Sería más apropada para datos omales? b) Queda mejor co el térmo valor medo? c) Sería sesble al valor umérco de cada dato? d) Se esperaría que fuera meor e ua dstrbucó sesgada haca la zquerda? 4. Las pregutas 4 8 se refere al sguete arreglo de observacoes: 0, 0, 0, 1, 1,, 4, 7, 11 a) Cuál es el valor umérco de la moda? b) Cuál es el valor umérco de la medaa? c) Cuál es el valor umérco de: X, y la meda? d) Descrba la forma de la dstrbucó. 5. Respode las sguetes pregutas. a) Cuál medda de tedeca cetral se preferrá co varables categórcas como grupo étco o estado cvl? b) Cuál es el térmo que meos cocuerda co los otros? a) X b) P50 c) Q d) Medaa c) Cuál es la opcó que meos cocuerda co las otras? a) Moda b) Medaa c) el valor más popular d) el valor más frecuete d) S la mayoría de los estudates de este grupo de estadístca ha leído y estudado este capítulo ta cudadosamete que sabe las respuestas a cas todas las pregutas de estos ejerccos, la dstrbucó de calfcacó de la prueba probablemete sería a) Normalmete dstrbuda b) sesgada haca la zquerda c) sesgada haca la derecha Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 6

23 6. Se aplcó la msma prueba de ortografía a ua muestra aleatora de estudates de tres escuelas dferetes y el resultado para cada escuela, cuado se grafcó, se aproxmó a ua curva co forma de campaa. El resume de resultados fue como sgue: Escuela A Escuela B Escuela C X S N Cuál escuela parecería a) ser más homogéea? b) teer más estudates co calfcacoes arrba de 75? c) teer el mayor rago? d) teer la meor calfcacó promedo de ortografía? 7. E u grupo de sexto grado co 36 estudates, se admstra u técca socométrca de adva que para evaluar el grado de relacoes postvas etre ellos para cada estudate. Los valores para los 36 estudates fuero: a) Cuál es el rago? b) Calcule la meda, la medaa y la moda. c) Compare la dstaca de Q1 (Cuartl 1) a Q (Cuartl ), co la dstaca de Q (Cuartl ) a Q3 (Cuartl 3). El patró sugere asmetría haca la. d) Cuál es la varaza y la desvacó estádar? 8. Ua muestra aleatora de ses estudates destacados fue seleccoada y se les aplcó u exame de memora. Los datos se lsta abajo. Para esos datos, calcule a) la medaa, b) la moda, c) el rago, d) los grados de lbertad, e) la meda, f) la varaza de la muestra y la g) desvacó estádar De la sguete tabla de frecueca, calcule la moda, medaa, meda, varaza y desvacó estádar. La tabla de frecueca que se da descrbe las velocdades a las que ba los coductores multados por la polcía de la cudad de Moterrey. Estos coductores vajaba a través de ua zoa co límte de velocdad de 30 km/hora sobre Garza Sada, que pasa por el Tecológco de Moterrey. Velocdad Frecueca Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 63

24 10. La dstrbucó por edades de los empleados de ua fábrca de almetos preparados es como sgue. Edades Frecueca Se trata de ua dstrbucó leptocúrtca o platcúrtca? Estadístca Mtro. Ccs. Tomás Cahuch 64

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