La propiedad de Distributividad

Transcripción

1 La propiedad de Distributividad Lema: Sea L un reticulado; entonces son equivalentes: 1 Para todo x, y, z L, x (y z) = (x y) (x z) 2 Para todo x, y, z L, x (y z) = (x y) (x z)

2 Reticulados Distributivos Sea L un reticulado, entonces L se dice distributivo si satisface alguna de las propiedades del Lema. Ejemplos: 1 N con el orden usual es distributivo 2 [0, 1) con el orden usual es distributivo 3 P({a, b, c} es distributivo 4 D n es distributivo

3 Casos paradigmáticos de no distributividad 1 a b c 0 M 3 1 a b c 0 N 5 c (b a) (c b) (c a) b (c a) (b c) (b a)

4 Distributividad implica compleménto único Lema: Si L es un reticulado acotado y distributivo, entonces todo elemento tiene a lo sumo un complemento. Notar que puede no haber complementos, por ejemplo 1 a 0

5 Criterio para analizar distributividad Lema: Un reticulado es distributivo si y sólo si no contiene subreticulados isomorfos a M 3 ni N 5.

6 Resumen de criterios para analizar distributividad Para comprobar la distributividad de L: 1 Ver que L es subreticulado de algún reticulado de la forma P(X) o D n. Para refutar la distributividad de L: 1 Ver que existe un elemento con más de un complemento. 2 Ver que contiene como subreticulados a M 3 o N 5.

7 Álgebras de Boole Es una estructura del tipo B,,,, 0, 1, donde B es un conjunto no vacío, y además satisface: 1 B,, es un reticulado distributivo 2 Para todo x B se tiene 0 x x 1 3 para cada x L, se tiene que x x = 1, x x = 0

8 Álgebra de Boole de conjuntos Sea X un conjunto. Entonces P(X),,, c,, X es un álgebra de Boole, {a} P({a}) {a, b} {a} {b} P({a, b})

9 Leyes de de Morgan Sea B,,,, 0, 1 un álgebra de Boole, entonces se cumple: (x y) = x y (x y) = x y

10 Isomorfismo de Álgebras de Boole Sean B,,,, 0 B, 1 B y B 1, 1, 1,, 0 B 1, 1 B 1 Álgebras de Boole. Una función F : B B 1 se dice un isomorfismo si F es biyectiva y para todo x, y L se cumple que F(x y) = F(x) 1 F(y) F(x y) = F (x) 1 F(y) F(x ) = (F(x)) F(0 B ) = 0 B 1 F(1 B ) = 1 B 1

11 Comparación de las nociones de Isomorfismo Isomorfismo como posets: x y F(x) F(y) Isomorfismo como estructura algebraica: F(x y) = F(x) 1 F(y) F(x y) = F(x) 1 F(y) F(x ) = (F (x)) F(0 B ) = 0 B 1 F(1 B ) = 1 B 1

12 Equivalencia de las nociones de Isomorfismo Teorema: Sean B,,,, 0 B, 1 B y B 1, 1, 1,, 0 B 1, 1 B 1 Álgebras de Boole y sean (B ) y (B 1, 1 ) los posets asociados. Entonces una función F : B B 1 es un isomorfismo entre las estructuras B,,,, B, 1 B y B 1, 1, 1,, 0 B 1, 1 B 1 si y sólo si lo es entre los posets (B, ) y (B 1, 1 ).

13 Cuestión a resolver Todas las Álgebras de Boole vistas (aunque estén camufladas como D 6 o D 30 ) son en definitiva (vía isomorfismo) de la forma P(X). O sea, son álgebras de conjuntos. Será cierto que todas las Álgebras de Boole son álgebras de conjuntos? (En tal caso estaríamos en presencia de una abstracción "poco abstracta")

14 Próximo objetivo: Teorema de Representación Toda Álgebra de Boole finita B es un álgebra de conjuntos. O sea, existe X tal que B = P(X) Pregunta inicial: Qué objetos juegan el rol de elementos de X?

15 Átomos Relaciones Sea B un álgebra de Boole (basta con que sea reticulado). Un elemento a B será llamado átomo si a cubre a 0. Notación: At(B) es el conjunto de todos los átomos de B. Por ejemplo: 1 En P(X), los átomos son los conjuntos unitarios. 2 Los átomos de D 12 son 2 y 3.

16 Hay suficiente cantidad de átomos Lema A Sea B un álgebra de Boole finita. Para todo x B distinto de 0 existe a At(B) tal que a x. Lema B Sea B un álgebra de Boole finita, y sean x, y B tales que x y. Entonces existe a At(B) tal que a x y a y.