Universidad de Atacama. Física 1. Dr. David Jones. 11 Junio 2014

Transcripción

1 Universidad de Atacama Física 1 Dr. David Jones 11 Junio 2014

2 Vector de posición El vector de posición r que va desde el origen del sistema (en el centro de la circunferencia) hasta el punto P en cualquier momento, va modificando su dirección y sentido, no así su módulo R. El ángulo θ medido desde el eje x y en sentido anti-horario determina su dirección, por lo que el vector r puede expresarse como: r = R cosθî + R senθĵ

3 Periodo y frecuencia La partícula P recorre la circunferencia de radio R en el sentido anti-horario (positivo). El periodo P (o T ) se define como el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Su inversa es la frecuencia f = 1 P = 1 T y representa el número de vueltas que gira la partícula en la unidad de tiempo. Las unidades son, por tanto, s 1 = Hz (Hertz o ciclos/s). En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa son 2 π rad, tenemos: ω = 2 π P = 2 π T = 2 π f

4 Relación entre velocidad lineal y velocidad angular Decíamos que el ángulo en radianes es igual a la razón entre el arco y el radio. Para un s recorrido en un t, se cumplirá: s = R θ, siendo θ el ángulo girado en ese tiempo. Por tanto, dividiendo entre t, tendremos: s t = R θ t, o también: v = Rω A mayor distancia desde el punto P al centro de la circunferencia O, mayor será la rapidez tangencial v, para la misma velocidad angular ω.

5 Aceleración tangencial y centrípeta Los cambios en el vector velocidad lineal pueden ser: en la magnitud en la dirección en ambas

6 Aceleración tangencial y normal (o centrípeta) Se puede describir el vector aceleración en un sistema cartesiano de coordenadas móviles, consistentes en dos ejes de direcciones tangente y normal en cada punto. a = ar r + a θ θ donde r es un vector unitario en la dirección radial o normal y θ es un vector unitario en la dirección tangente.

7 Aceleración tangencial y normal (o centrípeta) Y, por tanto: Aceleración centrípeta: a r = v2 R Aceleración tangencial: a θ = v t = R ω t = Rα v 2 a = r + Rα θ R cuya magnitud es a = ω 4 R 2 + α 2 R 2

8 Aceleración tangencial y normal (o centrípeta) - ejemplo Un lanzador de disco gira el disco en un círculo con radio de 80.0 cm. En cierto instante, el lanzador gira con rapidez angular de 10.0 rad/s y la rapidez angular está aumentando a 50 rad/s 2. Calcule las componentes de aceleración tangencial y centrípeta del disco en ese instante, así como la magnitud de esa aceleración.

9 Aceleración tangencial y normal (o centrípeta) - ejemplo Aceleración tangencial: a θ = Rα = (0.800 m)(50.0 rad/s 2 ) = 40 m/s 2 Aceleración centrípeta: a r = ω 2 R = (10.0 rad/s) 2 (0.800 m) = 80 m/s 2 Magnitud de la aceleración: a = a 2 r + a 2 ω = 89.4 m/s 2

10 Dinámica del movimiento circular - Fuerza centrípeta Según la segunda ley de Newton: F = m a = m ar r + m a θ θ En un movimiento circular uniforme: Se llama fuerza centrípeta a: F = m ar r + m a θ θ F r = m a r r = m ω 2 R = m v2 R Su efecto es cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo.

11 Dinámica del movimiento circular - Fuerza centrípeta Cualquier fuerza puede actuar como fuerza centrípeta, como la tensión.

12 Dinámica del movimiento circular - Fuerza centrípeta

13 Fuerza centrípeta - ejemplo Un cuerpo de masa m, sujeto al extremo de una cuerda de longitud L, que describe una trayectoria circular en el plano horizontal, genera una superficie cónica, por lo que se llama péndulo cónico. Calcule la rapidez y el periodo de revolución de la masa.

14 Fuerza centrípeta - ejemplo Según la segunda ley de Newton: F = m a siendo w el peso. F = T + w = m a

15 Fuerza centrípeta - ejemplo Por componentes: Fx = T senα = m a r = m v2 r = m ω2 r Fy = T cosα m g = 0 Así: T cosα = m g m g v2 senα = m cosα r m g tanα = m v2 r tanα = v2 r g

16 Fuerza centrípeta - ejemplo De la geometría: Así: r = L senα tanα = v 2 L senα g v 2 = tanα L senα g v = g L tanα senα

17 Fuerza centrípeta - ejemplo También tenemos que el periodo: Y teníamos: P = 2 π ω Fx = T senα = m a r = m v2 r = m ω2 r m g cosα senα = m ω2 L senα g cosα = ω2 L P = 2 π L cosα g