Colisiones. Miguel Ángel Otaduy. Animación Avanzada 18 de Febrero de 2014
|
|
- Gregorio Lozano Prado
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Colisiones Miguel Ángel Otaduy Animación Avanzada 18 de Febrero de 2014
2 Detección vs. Respuesta Dos problemas diferentes, pero a la vez ligados. Hay colisión? Qué hacemos si hay colisión? La formulación del problema de detección de colisiones vendrá dada por el algoritmo de respuesta diseñado.
3 Problema Tipo 1 Dos objetos colisionan y queremos calcular fuerzas entre ellos para evitar interpenetración. Cálculo de penetración Fuerzas de penalty
4 Problema Tipo 2 Dos objetos colisionan pero no queremos que haya penetración. Detección de la primera colisión Fuerzas de restricción
5 Problema Tipo 3 Disparamos a un enemigo en un juego. Detección de colisión entre rayo y avatar
6 Problema Tipo 4 Buscar un camino libre de obstáculos para pasar un piano por una puerta (motion planning). Buscar puntos libres de colisión Calcular distancias al entorno
7 Problema Tipo 5 Buscar una configuración estable entre dos moléculas (molecular docking). Calcular distancias entre átomos.
8 Problema Tipo 6 Simulación de partículas. Para cada partícula, buscar las K partículas más cercanas y calcular la distancia a ellas (K nearest neighbor search)
9 Problema Tipo 7 Traza de rayos. Para cada píxel, encontrar el punto de la escena del que proviene el rayo incidente.
10 Problemas Generales 1. Detección de colisiones y consultas de proximidad (proximity queries): problema geométrico. 2. Determinación de contactos (contact determination): caracterización de la respuesta del problema puramente geométrico. 3. Respuesta a colisiones (collision response)
11 Geometría Computacional Resolver problema geométrico Cuestiones importantes: Complejidad asintótica del algoritmo Almacenamiento necesario Robustez Algoritmos y estructuras de datos
12 Índice Detección de colisiones y consultas de proximidad Problema general y coste computacional Broad phase vs. narrow phase Volúmenes envolventes Particiones espaciales Campos de distancias Detección continua
13 Ej: Cálculo de Intersecciones Dados 2 objetos A y B con n triángulos, calcular todas las intersecciones entre triángulos de A y B Algoritmo bruto: calcular la intersección entre cada triángulo de A y B Coste O(n 2 )
14 Ej: K Vecinos más Cercanos Dados n puntos, calcular para cada uno de ellos los K puntos más cercanos. Algoritmo bruto A: para cada punto, calcular la distancia a los demás. Recorrer la lista de distancia K veces, buscando los K más cercanos. Coste O(K n 2 ). Algoritmo bruto B: Ordenar las distancias y escoger los K más cercanos. Coste O(n 2 lg n)
15 Ej: Penetración Global Dados 2 objetos A y B con n triángulos cada uno, calcular la traslación mínima para separarlos. Coste? O(n 6 ) en 3D.
16 Espacio de Configuraciones y Suma de Minkowski Dados 2 objetos P y Q con n grados de libertad cada uno, el espacio de configuraciones representa todas las posibles combinaciones de configuraciones de ambos objetos Corolario: en el espacio de configuraciones podemos distinguir las configuraciones libres de colisión de las configuraciones con colisión (configuration space obstacles, CSO) Ejemplos a analizar: Punto en 2D/3D con obstáculos fijos Esfera en 2D/3D con obstáculos fijos Una caja que puede trasladarse y rotar en 2D Dos cajas que pueden trasladarse entre ellas en 2D
17 Espacio de Configuraciones y Suma de Minkowski Dados 2 objetos P y Q que sólo se pueden trasladar entre ellos, y con n vértices cada uno, el contorno del CSO se puede calcular mediante una suma de Minkowski:
18 Espacio de Configuraciones y Suma de Minkowski Teorema 1: Los objetos intersecan si y sólo si el origen del espacio de configuraciones está incluido en el CSO. Teorema 2: Si los objetos no intersecan, la distancia mínima entre ellos es igual a la distancia del origen al contorno del CSO. Teorema 3: Si los objetos intersecan, la distancia de penetración entre ellos es igual a la distancia del origen al contorno del CSO. El contorno del CSO puede tener O(n 6 ) vértices.
19 Motivación de la Detección de Colisiones Si vamos a realizar muchas consultas similares, construimos una estructura de datos (acceleration data structure) que permita entresacar (prune/cull) muchas consultas de forma rápida.
20 Estructuras de Datos Jerarquías de Volúmenes Envolventes (Bounding Volume Hierarchies) Si el volumen A no interseca con el volumen B, ninguna primitiva incluida en el volumen A puede intersecar con las primitivas incluidas en el volumen B
21 Estructuras de Datos Particiones Espaciales (Spatial Partitioning) Una primitiva no puede intersecar con otras primitivas con las que no comparte ninguna celda de la partición espacial En el fondo, la base de ambos métodos es la misma. Las BVHs se centran en los objetos, mientras que las particiones espaciales se centran en el espacio.
22 Broad Vs. Narrow Phase Broad phase: Dados n objetos, determinar pares de objetos (potencialmente) en colisión. Ej: algoritmo sweep-and-prune. Narrow phase: Dado un par de objetos, entresacar partes libres de colisión y detectar pares de primitivas en colisión.
23 Sweep-and-Prune Se envuelve cada objeto con una caja AABB. Se proyectan las AABBs sobre los ejes X, Y, Z. Se ordenan los intervalos proyectados. Existe potencial colisión entre dos objetos si Hay intersección entre sus 3 pares de intervalos. Coste computacional: O(n lg n + m). Ordenación de los intervalos Número de pares de salida
24 Sweep-and-Prune Potencial colisión
25 Sweep-and-Prune Optimizaciones: Combinar SAP con particiones espaciales Explotar coherencia temporal (cambios pequeños entre fotogramas), y sustituir quicksort/mergesort por ordenamiento por inserción (insertion sort). Implementado en muchos (todos?) motores de física hoy en día.
26 Volúmenes Envolventes Almacenar un árbol, con particiones sucesivas del objeto, más volúmenes envolventes.
27 Test con BVHs Test recursivo: si hay colisión entre los nodos A y B, se testean sus nodos hijos, etc.
28 Tipos de Volúmenes Esfera, axis-aligned bounding box (AABB), oriented bounding box (OBB), cierre convexo (convex hull), k-discrete orientation polytope (k-dop), etc. Criterios de selección: Coste del test entre dos volúmenes Tamaño del volumen Coste de cálculo del volumen Un volumen más simple (p.ej., esfera) es más fácil de actualizar y testear, pero es más grande, dando lugar a más falsos positivos.
29 Algoritmo para Sólidos Rígidos Test(a, b) Transformar a al sistema de referencia local de b. Si Interseccion(a, b) y a y b son hojas Test de primitivas Si Interseccion(a, b) //Asumimos que a es mayor que b y tiene hijos Para todos los hijos de a: Test(a.hijo, b)
30 Algoritmo para Deformables Antes de realizar los test de colisiones, se han de recalcular los volúmenes. El resto del algoritmo funciona igual que con sólidos rígidos. Cuál es el coste mínimo con sólidos deformables, asumiendo coste O(1) para actualizar un volumen? O(n), porque un árbol tiene O(n) nodos.
31 Colisión: Esfera
32 Esfera Para sólidos rígidos, sólo es necesario trasladar el centro. Cálculo de esfera mínima: similar a programación lineal (miniball problem). Cálculo rápido a partir de dos hijos: Colocar el centro en el punto medio de la línea que une los dos centros, de manera que se envuelvan los dos radios.
33 AABB AABB en 3D, representada por 6 valores: minx, miny, minz, maxx, maxy, maxz. Colisión: Si los 3 intervalos intersecan.
34 AABB Cálculo rápido a partir de dos hijos: Incluir los máximos y mínimos de los hijos. Es un cálculo óptimo!
35 OBB Se almacena un punto y 3 segmentos. Este volumen está pensado para sólidos rígidos, como una caja óptima que se transforma con la transformación del sólido.
36 OBB Test del Eje Separador (Separating Axis Test) Dos objetos convexos no intersectan si y sólo si se encuentra un eje sobre el que las proyecciones no intersectan. Aplicado a OBBs: Sólo es necesario testear 15 ejes: las 6 direcciones de las caras, y los 9 productos vectoriales definidos por pares de aristas.
37 OBB Cálculo por Covarianza Puntos: Media: Covarianza: Los vectores propios de la matriz de covarianza definen (en la mayoría de los casos) buenos segmentos para una OBB.
38 Árbol de una BVH Top-down: dado un conjunto de puntos, se encuentra la dirección de máxima dispersión, se busca el punto medio, y se dividen los puntos a un lado y otro del punto de medio (y así sucesivamente). Bottom-up: se define una hoja por triángulo, y se agrupan las hojas de manera que el volumen de los nodos resultantes sea mínimo. Vector propio de la matriz de covarianza con valor propio máximo
39 Particiones Espaciales Rejilla regular Octree K-d Tree: muy usado para el problema de los k vecinos más cercanos Binary space partitioning tree (BSP-Tree): muy usado en su día para el cálculo de visibilidad (antes del z-buffer)
40 Spatial Hashing (Rejilla regular con tablas hash) En lugar de almacenar una rejilla regular completa, se mapean las celdas a una tabla hash. Pequeño problema: múltiples celdas mapean a una misma posición de la tabla. 2 problemas ejemplo: Detección de penetraciones entre mallas de tetraedros Detección de impactos entre triángulos y vértices
41 Penetraciones en Mallas de Tetraedros Paso 1: Por cada nodo, se calcula el índice de la celda correspondiente, y se introduce un puntero en la posición de la tabla hash....
42 Penetraciones en Mallas de Tetraedros Paso 2: Por cada tetraedro, se calcula una caja envolvente, se calculan los índices de las celdas ocupadas por la caja, y se introducen punteros al tetraedro en las posiciones de la tabla hash....
43 Penetraciones en Mallas de Tetraedros Paso 3: En las posiciones de tabla hash con nodos y tetraedros, se testean las primitivas. A) Sin colisión B) Colisión... C) Autocolisión
44 Función Hash Coordenadas de la celda Números primos grandes Tamaño de la tabla hash
45 Diagramas de Voronoi Dadas n primitivas, partición del espacio en n celdas, de manera que la celda i está formada por los puntos cuya primitiva más cercana es la i. Dado un punto, podemos consultar de manera automática la primitiva más cercana
46 Campos de Distancias En cada punto del espacio se almacena la distancia a la primitiva más cercana (también se pueden almacenar la dirección al punto más cercano y un índice de primitiva).
47 Campos de Distancias Aplicación a sólidos rígidos: se precalcula un campo de distancia por sólido, y la detección de colisiones es simplemente una consulta de puntos en el campo de distancia (Utilizado en vídeo juegos). Aplicación a sólidos deformables: se puede aproximar la deformación del campo de distancias.
48 Aproximación para Deformables Mallado del interior del objeto (tetraedros) Definir distancias exactas en los nodos próximos a la superficie. Luego se propagan las distancias siguiendo las aristas del mallado Distancias exactas Distancias aproximadas Glondu et al., Efficient Collision Detection for Brittle Fracture, Symposium on Computer Animation 2012
49 Aproximación para Deformables Ejemplo de propagación de frente Cada número indica los vértices alcanzados en el mismo paso
50 Aproximación para Deformables Cálculo de distancias. Llegamos a un punto p en el paso i+1. Definimos como N i (p) todos sus vecinos alcanzados en el paso i Cálculo de la dirección del punto p:
51 Detección Continua Dadas primitivas en los instantes t=0 y t=1, detectar el instante t en que colisionan
52 Detección Continua Sirve para detectar colisiones en: Objetos que se mueven muy rápido y cruzan completamente a otro (proyectiles en videojuegos) Objetos superficiales, sin volumen (ropa) Cualquier intervalo de tiempo se puede normalizar como el intervalo [0,1] Se puede hacer culling jerárquico Finalmente hay que hacer test entre primitivas Triángulo vs. Vértice Arista vs. Arista
53 Detección Continua 1. Calcular el instante de tiempo para el que las primitivas son coplanares. Se asume que las primitivas se mueven linealmente, y se convierte en una ecuación cúbica en el tiempo. 2. Dado el instante de tiempo, comprobar si está en el intervalo [0,1], y comprobar si la intersección está dentro de las primitivas (por coordenadas baricéntricas)
54 Otros Problemas Autocolisiones Colisiones entre superficies paramétricas Colisiones entre personajes articulados Algoritmos paralelos
Introducción a la Geometría Computacional. Análisis de Algoritmos
Introducción a la Geometría Computacional Análisis de Algoritmos Geometría Computacional La Geometría Computacional surgió a finales de los 70s del área de diseño y análisis de algoritmos. Estudio sistemático
Más detallesVisión artificial y Robótica Modelos de movimiento y mapas. Depto. de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial
Visión artificial y Robótica Modelos de movimiento y mapas Depto. de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial Contenidos Sistemas de coordenadas Localización de objetos en el espacio Modelos
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesProblemas métricos. Ángulo entre rectas y planos
Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares
Más detallesFundamentos de POV-Ray. Computación Geométrica 2010/2011 Jorge Calvo Zaragoza
Fundamentos de POV-Ray Computación Geométrica 2010/2011 Jorge Calvo Zaragoza Índice 1. Introducción 2. Fundamentos del trazado de rayos 3. Construcción de escenas con POV-Ray 4. Geometría sólida constructiva
Más detallesTEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes
Más detallesMYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME)
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2014-2015 Fecha 19/05/2015 APUNTES DE GEOMETRÍA 2º ESO 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
Más detallesFEM para Mecánica 3D. Miguel Ángel Otaduy. Animación Avanzada 7 de Marzo de 2014
FEM para Mecánica 3D Miguel Ángel Otaduy Animación Avanzada 7 de Marzo de 2014 Índice Repaso Hoy Funciones de forma Formulación fuerte formulación débil Matriz de rigidez Ec. de elasticidad en 3D Deformación
Más detallesIntroducción a la geometría
Introducción a la geometría Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares. Plan de estudios (217 temas)
Más detallesGeometría de las superficies
Geometría de las superficies Klette, schluns, koschan Computer vision: three dimensional data from images Cap 3 1 Representaciones funcionales Representación mediante una ecuación condicional para X e
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2012 2013) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = P, ū 1, ū 2, ū 3 },
Más detallesRestricciones (Constraints)
Restricciones (Constraints) Miguel Ángel Otaduy Animación Avanzada 11 de Febrero de 2014 Índice Mecánica Lagrangiana Concepto de restricción (constraint) Aplicaciones Restricciones Débiles: Energías y
Más detallesFormulación del problema de la ruta más corta en programación lineal
Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,
Más detallesa) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2013 2014) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = P, ū 1, ū 2, ū 3 },
Más detallesConjuntos y funciones convexas
Conjuntos y funciones convexas Un conjunto X R n se dice convexo si para todo par de puntos x 1 y x 2 en X, λ x 1 + ( 1- λ) x 2 X, para todo λ [0,1] Qué significa esto geométricamente? Un punto λ x 1 +
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesMatemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos
Más detallesVisión artificial y Robótica Geometría. Depto. de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial
Visión artificial y Robótica Geometría Depto. de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial Contenidos Geometría 2D y 3D Transformación de coordenadas Calibración de la cámara Álgebra necesaria
Más detallesPROGRAMA DE CURSO. Código Nombre CC5502 Geometría Computacional Nombre en Inglés Computational Geometry SCT Auxiliar. Personal
PROGRAMA DE CURSO Código Nombre CC5502 Geometría Computacional Nombre en Inglés Computational Geometry SCT es Horas de Horas Docencia Horas de Trabajo Docentes Cátedra Auxiliar Personal 6 10 3 0 7 Requisitos
Más detallesOPTIMIZACIÓN VECTORIAL
OPTIMIZACIÓN VECTORIAL Métodos de Búsqueda Directa Utilizan sólo valores de la función Métodos del Gradiente Métodos de Segundo Orden Requieren valores aproimados de la primera derivada de f) Además de
Más detallesx = 1-2t 3. [2014] [EXT-B] Dados el plano y la recta r siguentes: 2x-y+2z+3 = 0, r z = 1+t
. [04] [EXT-A] Dados los puntos A(,0,-), B(,-4,-), C(5,4,-) y D(0,,4) a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.. [04] [EXT-A] Dados los planos x-z-
Más detallesINTERSECCIONES P 2 P 1 1/10
INTERSECCIONES El cálculo de intersecciones en el espacio tiene varias finalidades en CG. La más simple es el clipping: el recorte de los objetos mediante la ventana de dibujo, renderizando sólo la fracción
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesINDICE 1. Introducción: Graficación por Computador 2. Programación en el Paquete SRGP 3. Algoritmos Básicos de Gráficos de Barrido para Dibujar
INDICE 1. Introducción: Graficación por Computador 1 1.1. Algunas aplicaciones de la graficación por computador 1 1.2. Breve historia de la graficación por computadora 7 1.2.1. Tecnología de salida 9 1.2.2.
Más detallesComputación Gráfica. Eduardo Fernández
Computación Gráfica Eduardo Fernández Determinación de superficies visibles Basado en: Capítulo 13 Del Libro: Introducción a la Graficación por Computador Foley Van Dam Feiner Hughes - Phillips Dos métodos
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesProblemas de exámenes de Geometría
1 Problemas de exámenes de Geometría 1. Consideramos los planos π 1 : X = P+λ 1 u 1 +λ 2 u 2 y π 2 : X = Q+µ 1 v 1 +µ 2 v 2. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si π 1 π 2 Ø, entonces
Más detallesMODELADO DE OBJETOS 3D. Computación Gráfica
MODELADO DE OBJETOS 3D Computación Gráfica Referencia K.Shoemake. Animating Rotation with Quaternion Curves. SIGGRAPH 1985. http://run.usc.edu/cs520-s12/assign2/p245- shoemake.pdf Tipos de modelado de
Más detallesOPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA. Tema 4 Optimización no Lineal
OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA Tema 4 Optimización no Lineal ORGANIZACIÓN DEL TEMA Sesiones: El caso sin restricciones: formulación, ejemplos Condiciones de optimalidad, métodos Caso con restricciones:
Más detallesINTERSECCIONES P 2 P 1 1/12
INTERSECCIONES El cálculo de intersecciones en el espacio tiene varias finalidades en CG. La más simple es el clipping: el recorte de los objetos entre los límites del volumen visual, renderizando sólo
Más detallesUnidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan
Más detallesIES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría
P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A,
Más detallesÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia.
ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de 2012. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. El segmento de recta es una cuerda. El segmento de recta es una cuerda que pasa por el centro, por lo tanto
Más detallesEspacios Vectoriales
Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido
Más detallesLa Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones
58 Sociedad de Matemática de Chile La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones Miguel Bustamantes 1 - Alejandro Necochea 2 El propósito
Más detallesVisión por computadora Computer vision
Visión por computadora Computer vision Conjunto de algoritmos que permiten obtener una representación visual del mundo, suficiente para la realización de una tarea dada. Representación visual El mundo:
Más detallesCUERPOS. Poliedros: Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos, como por ejemplo, el prisma, la pirámide; etc.
CUERPOS Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede calcular el volumen del mismo
Más detalles1 Representación por superficies de polígonos
1 La representación de frontera que más se utiliza para un objeto gráfico tridimensional es un conjunto de polígonos de superficie que encierran el interior del objeto. Muchos sistemas gráficos almacenan
Más detallesIntersección de segmentos de línea
Intersección de segmentos de línea Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 22 de febrero del 2013 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Intersección de segmentos de línea 22 de febrero del 2013
Más detallesÍndice general. Agradecimientos Resumen Abstract
Índice general Agradecimientos Resumen Abstract Índice general Índice de figuras 1 Introducción 1.1. Contexto 1.2. Marco de la tesis 1.3. Estructura de la tesis 2 Planificación de secuencia de desensamblado
Más detallesAcademia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos
Más detallesRESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
RESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 1.- Figuras Congruentes y Semejantes. Teorema de Thales. Escalas. - Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo
Más detallesGrafos. Amalia Duch Brown Octubre de 2007
Grafos Amalia Duch Brown Octubre de 2007 Índice 1. Definiciones Básicas Intuitivamente un grafo es un conjunto de vértices unidos por un conjunto de líneas o flechas dependiendo de si el grafo es dirigido
Más detallesSISTEMASS DE REPRESENTACIÓNN Geometría Básica
SISTEMASS DE REPRESENTACIÓNN Geometría Básica Coordinadora de Cátedra: Ing. Canziani, Mónica Profesores: Arq. Aubin, Mónica Arq. Magenta, Gabriela Ing. Medina, Noemí Ing. Nassipián, Rosana V. Ing. Borgnia,
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesGeometría combinatoria de cuadrados mágicos, latinos, sudokus y otras tablas curiosas
Geometría combinatoria de cuadrados mágicos, latinos, sudokus y otras tablas curiosas Jesús A. De Loera University of California, Davis trabajo conjunto con Shmuel Onn (Technion Haifa Israel) Cuadrados
Más detallesEl pipeline de visualización es el conjunto de
Sistemas de Visualización Pipeline de visualización 3D Definición del modelo geométrico Transformaciones geométricas Transformaciones de visualización Volumen de visualización Proyecciones Pipeline de
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesConceptos básicos de Geometría
Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 15 de enero del 2013 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) 15 de enero del 2013 1 / 25 1 Geometría Afín Geometría Euclidiana Áreas y ángulos Dr. Eduardo
Más detallesGeometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo,
Geometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo, 2007. 42 Índice. 1. Superficies. 2. El espacio eucĺıdeo tridimensional. Coordenadas Cartesianas. 3. Distancia entre
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesÁngulos complementarios Un par de ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es.
Materia: Matemática de Séptimo Tema: Ángulos y pares de ángulos Objetivos de aprendizaje Entender e identificar ángulos complementarios. Entender e identificar ángulos suplementarios. Entender y utilizar
Más detallesALGORITMO DE RECORTES Y DE NIVELES DE DETALLES PARA EL INCREMENTO DE LA VELOCIDAD DE VISUALIZACIÓN DE MODELOS 3D EN DISPOSITIVOS DE BAJO COSTE.
Revista de investigación Editada por Área de Innovación y Desarrollo, S.L. Envío: 08-07-2013 Aceptación: 4-08-2013 Publicación: 30-09-2013 ALGORITMO DE RECORTES Y DE NIVELES DE DETALLES PARA EL INCREMENTO
Más detallesejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA
GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB= (2,-1,3) y el punto B(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A =(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1)
Más detallesPROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL ORIENTACIONES PARA EL PLANEAMIENTO ANUAL
Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL ORIENTACIONES PARA EL PLANEAMIENTO ANUAL 2016 I PARCIAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Más detalles1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.
UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado
Más detallesParticiones binarias del espacio (BSP)
(BSP) Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones. Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles
Más detallesMATEMÁTICAS 2º DE BACHILLERATO
MATRICES 1. Matrices y tipos de matrices 2. Operaciones con matrices 3. Producto de matrices 4. Matriz traspuesta 5. Matriz inversa 6. Rango de matrices DETERMINANTES 7. Determinantes de orden 2 y 3 8.
Más detallesGeometría Analítica Agosto 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman
Más detallesTranslaciones, giros, simetrías.
Translaciones, giros, simetrías. Transformaciones geométricas Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesFunciones Cuadráticas en una Variable Real
en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido adrática : Contenido Discutiremos: qué es una función cuadrática : Contenido Discutiremos: qué es una función cuadrática
Más detalles2.2 Rectas en el plano
2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Ángulos
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE GRANADA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE GRANADA EXAMEN GEOMETRÍA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO EJERCICIO PROYECCIÓN DIÉDRICA. Un plano P tiene su traza horizontal formando
Más detallesGeometría Computacional
Geometría Computacional La geometría computacional es una rama de ciencia de la computación que estudia algoritmos para resolver problemas geométricos. Nos concetraremos en la representación y programación
Más detallesGrupo de Informática Gráfica Avanzada Universidad de Zaragoza. Polígonos. Diego Gutiérrez
Grupo de Informática Gráfica Avanzada Universidad de Zaragoza Polígonos Indice Definición Representación Triangulación (Gouraud, Phong) Modelado poligonal Con lo que habíamos visto hasta ahora... Definición
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DEL BAJO CAUCA
Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la geometría. La geometría es la ciencia que estudia la forma y posición de la figuras y nos enseña a medir su extensión. Geometría (del griego geo, tierra,
Más detallesTEMA 7 Las formas y las medidas que nos rodean. 2. Repaso a las figuras planas elementales
TEMA 7 Las formas y las medidas que nos rodean 1. Introducción 1.1. Qué es la geometría? Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano
Más detallesGuía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias
Guía de Estudio Para Ciencias Agropecuarias Unidad: Geometría Analítica Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detalles18 Experimentos aleatorios. Sucesos y espacio muestral. Frecuencia y probabilidad de un suceso.
PRIMER CURSO DE E.S.O Criterios de calificación: 80% exámenes, 10% actividades, 10% actitud y trabajo 1 Números naturales. 2 Potencias de exponente natural. Raíces cuadradas exactas. 3 Divisibilidad. Concepto
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - PRÁCTICA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS
Más detallesProgramación. Tema 8: Tablas Hash. Apuntes elaborados por: Eduardo Quevedo, Aaron Asencio y Raquel López Revisado por: Javier Miranda el????
Programación. Tema : Tablas Hash /Mayo/ Apuntes elaborados por: Eduardo Quevedo, Aaron Asencio y Raquel López Revisado por: Javier Miranda el???? Tema : Tabla Hash Las tabla hash aparece para conseguir
Más detallesObjetivos formativos de Matemática Discreta. Tema 1: Conjuntos, aplicaciones y relaciones
Objetivos formativos de Matemática Discreta Para cada uno de los temas el alumno debe ser capaz de hacer lo que se indica en cada bloque. Además de los objetivos que se señalan en cada tema, se considera
Más detallesDiagonal: es un segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.
CLASIFICASION DE CUERPOS GEOMETRICOS 1 2 Cuerpos Geométrico s Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras del poliedro. El ángulo formado por tres o más caras que concurren en un vértice, se denomina
Más detallesMICROSOFT EXCEL 2016 Avanzado
MICROSOFT EXCEL 2016 Avanzado METODOLOGÍA DE LOS CURSOS Cursos interactivos sobre materias especializadas en los que el alumno avanza de forma guiada bajo una concepción learning by doing (aprender haciendo).
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesAmpliación de Robótica PLANIFICACIÓN, 1 4 ROBOTS MÓVILES
Ampliación de Robótica PLANIFICACIÓN, 1 4 ROBOTS MÓVILES TEMA IV: ROBOTS MÓVILES 4.1 Introducción: Preliminares y Conceptos. 4.2 Características de los Robots Móviles. 4.3 Algoritmos de Planificación.
Más detallesTema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.
Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo
Más detallesINDICE 1. Desigualdades 2. Relaciones, Funciones, Graficas 3. La Línea Recta 4. Introducción al Cálculo. Límites
INDICE 1. Desigualdades 1 1. Desigualdades 1 2. Valor absoluto 8 3. Valor absoluto y desigualdades 11 2. Relaciones, Funciones, Graficas 16 1. Conjunto. Notación de conjuntos 16 2. El plano coordenado.
Más detalles3.1. Distancia entre dos puntos. Definición 3.1. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a y b que se denota por d (a, b), a la cantidad:
III. UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA LANA. La Geometría Analítica permite usar los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos, recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden
Más detallesRECTAS, PLANOS EN EL ESPACIO.
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA: Grafica rectas, planos y sólidos geométricos en el espacio RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resuelve problemas geométricos que involucran rectas y planos en el espacio. Resuelve problemas
Más detallesSistemas Combinacionales y Sistemas Secuenciales
y Prof. Rodrigo Araya E. raraya@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática Valparaíso, 1 er Semestre 2006 y 1 2 3 y Contenido Al hablar de sistemas, nos referimos
Más detalles13. Utilizar la fórmula del término general y de la suma de n términos consecutivos
Contenidos mínimos 3º ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra. 1. Utilizar las reglas de jerarquía de paréntesis y operaciones, para efectuar cálculos con números racionales, expresados en forma
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesSuperficies Visibles. Dpto. de Informática Fac. Cs. Físico-Mat. y Nat. Universidad Nacional De San Luis Argentina
Superficies Visibles Dpto. de Informática Fac. Cs. Físico-Mat. y Nat. Universidad Nacional De San Luis Argentina Superficies Visibles Introducción En teorías anteriores se aprendió a transformar la geometría
Más detallesProfesor: Fernando Ureña Portero
Curso 13-14 1.-Los puntos A(1,3,1) y B(2,1,3) son vértices consecutivos de un cuadrado. Los otros dos vértices pertenecen a una recta r que pasa por el punto P(2,7,0). a) (3p) Hallar la ecuación de la
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 001 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 3, Opción B Junio, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio
Más detallesBLOQUE 2 : GEOMETRÍA
BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detalles