Notación de conjuntos

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1 Notación de conjuntos Por: Sandra Elvia Pérez Márquez Cuando escuchas la palabra conjunto, qué es lo primero que se te viene a la mente? Tal vez un grupo de personas que tocan música, un puñado de lápices o un montón de canicas, pero qué es lo que debe contener un elemento para pertenecer a un conjunto? Por ejemplo: Si hablamos de un conjunto musical, sus elementos al menos deben de ser personas que toquen un instrumento o canten, es decir, sus elementos pueden ser diferentes entre sí pero deben tener o compartir las mismas características. En consecuencia, podemos decir que un conjunto es una colección, listado u objetos que tienen características bien definidas, las cuales les permiten pertenecer a un grupo determinado. Para adentrarnos en este tema, es necesario familiarizarnos con su lenguaje. Un conjunto se representa generalmente con letras mayúsculas (A, B, C). Los grupos de objetos que los forman se llaman elementos, los cuales se representan con letras minúsculas (a, b, c) que se colocan dentro de llaves. El conjunto de los días de la semana: A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} El conjunto de números pares entre 3 y 11: B = {4, 6, 8,10} 2011 UVEG. Todos los derechos reservados 1

2 Representación de los conjuntos Los conjuntos se pueden describir de dos formas: Por comprensión: cuando se indica la propiedad que deben cumplir cada uno de los elementos del conjunto. A = {x x es una vocal}, y lo puedes leer como sigue: El conjunto A está formado por un elemento (representado por la letra x) tal que (representado por la línea vertical) el elemento (o sea x) es una vocal (la característica que tiene el conjunto). En resumen x x se lee: un elemento tal que este elemento. B = {x x es un número par menor que 10} En este caso, el conjunto se leería de la siguiente forma: El conjunto B está formado por un elemento tal que este elemento sea un numero par menor que 10. Por extensión, enumeración o forma de lista: cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. A = {a, e, i, o, u}, que si observas, corresponde al conjunto A = {x x es una vocal} B = {0, 2, 4, 6, 8} que de la misma forma corresponde a B = {x x es un número par menor que 10} 2011 UVEG. Todos los derechos reservados 2

3 Más ejemplos: 1.- Expresa los siguientes conjuntos por extensión a comprensión. A = 2, 4, 6, 8 A = x x es un par menor de 10 positivo B = 0, 1, 2, 3, 4 B = x x es un número 0 x Expresa los siguientes conjuntos por comprensión a extensión. A = x x es una vocal A = a, e, i, o, u B = B = x x es una consonante de la palabra Guadalajara g, d, l, j Cardinalidad Al número de elementos que tiene un conjunto se le llama cardinalidad. Se representa como card(a) o n(a). Por ejemplo: 1. Dado el conjunto A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} La cardinalidad del conjunto A se representa como card(a) = 7 n(a) = UVEG. Todos los derechos reservados 3

4 2. Dado el conjunto B = {4, 6, 8, 10} Su cardinalidad se representa como card(b) = 4 o n(b) = Dado el conjunto C = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno} Su cardinalidad se representa como card(c) = 8 o n(c) = Dado el conjunto D = {x x es una letra del alfabeto} Su cardinalidad se representa como card(d) = 27 o n(d) = Dado el conjunto E = {x x es un número real} Su cardinalidad se representa como card(e) = o n(e) =. Tipos de conjuntos Según Díaz, Arsuaga, & Riaño (2005), existen diferentes clasificaciones de conjuntos. Algunos tipos de conjuntos son: Conjuntos finitos. Tienen un número conocido de elementos. A = {x x es una vocal} B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Conjuntos infinitos. Tienen un número de elementos que no se pueden determinar. A= {x x es un número real} B= {1, 2, 3, 4 } Conjunto unitario. Aquel que solamente tiene un elemento UVEG. Todos los derechos reservados 4

5 A = {8} B = {x x es el satélite natural de la Tierra} Conjunto universo o universal. Contiene todos los elementos considerados de una población o muestra, pero esto puede ser relativo, pues depende de lo que se quiera denotar como universo. Se representa con el símbolo U. U = {x x es un números natural} U = {x x es un estudiante de la UVEG} U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Conjunto vacío. También llamado nulo. Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota con los símbolos: Ø o { }. Ejemplo: A = {x x es un triángulo de cuatro lados} Como no existe ningún triángulo de cuatro lados, entonces podemos decir que es un conjunto vacío, es decir, no tiene elementos y se puede representar como Ø o { }. El cero es un número y por lo tanto un elemento. La siguiente representación no es un conjunto vacío: A = { 0 } De esta forma, si se requiere conocer la cardinalidad de los siguientes conjuntos será: Dados los conjuntos A = { 0 } y B= Ø Card(A) = 1 porque hay un elemento dentro del conjunto. Card(B) = 0 porque no hay elementos dentro del conjunto, es un conjunto vacío UVEG. Todos los derechos reservados 5

6 Conjuntos ajenos. Son los que no tienen ningún elemento en común. A = {5, 7, 8} y B = {1, 2, 3} A = {x x es una vocal} y B = {x x es una consonante} Conjuntos iguales. Son aquellos conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos. A = {5, 7, 8} B = {5, 7, 8} A = B C = {x x es una vocal de la palabra septiembre} y D = {x x es una vocal de la palabra diciembre} C = D Conjuntos equivalentes. Son aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad, por lo tanto, los conjuntos iguales también son equivalentes. A = {5, 7, 8} y B = {1, 2, 3} C = {5, 7, 8} y D = {5, 7, 8} Relación entre conjuntos Si cada miembro del conjunto A es también miembro del conjunto B, se dice que A es subconjunto de B, expresándolo A B, pero si los elementos del conjunto A no son parte del conjunto B, se dice que no es subconjunto y se representa como A B UVEG. Todos los derechos reservados 6

7 Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c} B = {a, b, c, d, e, f, g, h} C = {u, v, w} Entonces: A B, A es un subconjunto de B, es decir, los elementos de A se encuentran dentro del conjunto B. C B, C no es subconjunto de B, ya que los elementos del conjunto C no se encuentran dentro del conjunto B. 2. Sean los conjuntos A = {x x es el Sistema Solar} B = {x x es un planeta del Sistema Solar} C = {x x es el satélite natural de la Tierra} Entonces: B A Los planetas son subconjunto del Sistema Solar, es decir, los primeros son parte del segundo. A C El Sistema Solar no es parte del satélite natural de la Tierra. C A El satélite natural de la Tierra es subconjunto del Sistema Solar. El conjunto vacío siempre es subconjunto de cualquier conjunto. Relación de pertenencia y no pertenencia El símbolo se utiliza para indicar que un elemento específico es miembro de un conjunto o pertenece a él. Si no es miembro, entonces se indica con. Sea C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 2011 UVEG. Todos los derechos reservados 7

8 Se puede decir que: 4 C y se lee: 4 es elemento del conjunto C. O bien, 9 C y se lee: 9 no es elemento del conjunto C. Sea A = {x x es un día de la semana} Miércoles A y se lee: Miércoles es elemento del conjunto A. O bien, Junio A y se lee: Junio no es elemento del conjunto A. Los símbolos y se usan solamente entre conjuntos. Los símbolos y se usan solamente entre un elemento y un conjunto. Referencias Díaz, J., Arsuaga, E., & Riaño, J. (2005). Introducción al álgebra. España: Netbiblo. [Versión en línea]. Recuperado de 419&sa=X&ei=5tAzUuWhDYji2gXXlIGYDA&ved=0CCwQ6AEwAA#v=onepage&q=conjunto%20va cio&f=falsel 2011 UVEG. Todos los derechos reservados 8