Soluciones Hoja 4: Relatividad (IV)

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1 Soluciones Hoj 4: Reltividd (IV) 1) Un estdo excitdo X de un átomo en reposo ce su estdo fundmentl X emitiendo un fotón En físic tómic es hitul suponer que l energí E γ del fotón es igul l diferenci de energí de los estdos tómicos, E = (M M)c 2, donde M y M son ls mss en reposo de los estdos fundmentl y excitdo del átomo Esto no puede ser exctmente cierto porque el átomo en retroceso dee llevrse lgo de l energí E Mostrr que de hecho E γ = E[1 E/(2M c 2 )] Ddo que E es del orden de unos pocos ev, mientrs que el átomo más ligero tiene M del orden de 1 GeV/c 2, discutir l vlidez de l suposición E γ = E Solución: Plntemos l conservción de l energí y del momento linel: M c 2 = E γ + E M E M = M c 2 E γ, E γ /c = p M p M c = E γ Aquí, E M es l energí totl del átomo en el estdo fundmentl (después de l emisión) De este modo, elevndo l cudrdo ms ecuciones y restándols tenemos que E 2 M (p M c) 2 = (Mc 2 ) 2 = (M c 2 E γ ) 2 E 2 γ = (M c 2 ) 2 2E γ M c 2 Despejndo E γ tenemos que E γ = (M c 2 ) 2 (Mc 2 ) 2 = (M c 2 + Mc 2 )(M c 2 Mc 2 ) 2M c 2 2M c 2 = E ( 2M c 2 ) E 2M c 2 ( E γ = E 1 E ) 2M c 2 Con est expresión, si considermos, por ejemplo, que E = 2 ev y M c 2 = 1 GeV, tenemos que l diferenci reltiv E γ E / E 10 9, lo que explic que hitulmente se desprecie l diferenci entre E γ y E en físic tómic 2) Un fotón de energí E 1 colision con otro fotón de energí E 2 formndo un ángulo θ Demostrr que el vlor mínimo de E 1 pr que se cree un pr de prtículs de ms m viene ddo por 2m 2 c 4 E 1,min = E 2 (1 cos θ) Solución: Pr resolver este prolem seguiremos l estrtegi utilizd pr otener l energí umrl en un rección de prtículs L ide es hcer uso de l invrinci del módulo del cudrimomento totl: (E Totl /c) 2 p 2 Totl En el sistem CM (donde p Totl = 0 por definición) y después de l colisión, l energí mínim se lcnz cundo ls prtículs surgen prds Por tnto, (E CM,Totl /c) 2 p 2 CM,Totl = 4m 2 c 2 Ahor vmos clculr l mism cntidd en el sistem del lortorio ntes de l colisión En este sistem de referenci los dos cudrimomentos de los fotones serán p 1 = ( E1 c, E 1 c cos θ, E 1 c sen θ, 0 )T 1 y p 2 = ( E2 c, E 2 c, 0, 0 )T

2 De este modo, el producto esclr l cudrdo del cudrimomento totl será (p 1 + p 2 ) (p 1 + p 2 ) = 2p 1 p 2 = 2 E 1 c E 2 c 2E 1 c cos θ E 2 c = 2E 1E 2 c 2 donde hemos usdo que p 1 p 1 = p 2 p 2 = 0 porque son fotones Así pues, igulndo los dos resultdos tendremos que 2 E 1,minE 2 c 2 (1 cos θ) = 4m 2 c 2 E 1,min = 2m 2 c 4 E 2 (1 cos θ) (1 cos θ), 3) Considérese l colisión elástic que se muestr en l figur En el sistem del lortorio S l prtícul está inicilmente en reposo, l prtícul se proxim con un cudrimomento p y se dispers formndo un ángulo θ y l prtícul retrocede formndo un ángulo φ En el sistem de referenci S del centro de mss (CM), ls dos prtículs se proximn y emergen con momentos igules y opuestos y l prtícul se dispers con un ángulo θ () Demostrr que l velocidd del CM reltiv l sistem del lortorio es V = p c 2 /(E + m c 2 ) () Trnsformndo el momento finl de del sistem CM l sistem del lortorio, demostrr que γ V (cos θ + V/v ), donde v es l velocidd de en el CM (c) Demostrr que en el límite de que tods ls velociddes son mucho más pequeñs que c, este resultdo se reduce l resultdo no reltivist (d) Prticulrizr hor l cso m = m y demostrr que en este cso V/v = 1 Encontrr, demás, un fórmul pr tg φ (e) Demostrr que el ángulo entre los momentos slientes está ddo por tg (θ + φ) = 2/(βV 2 γ V ) Mostrr que en el límite V c se recuper el conocido resultdo no-reltivist θ + φ = 90 o θ φ x θ sistem del lortorio sistem del CM Solución: () El cudrimomento totl del sistem ntes de l colisión viene ddo por P = ((E + m c 2 )/c, p ) T Por tnto, l velocidd del CM viene dd por V = p c 2 E + m c 2 () El ángulo θ en el sistem S viene ddo por p,y /p,x Pr clculr ests componentes del momento linel de hcemos uso de ls trnsformciones de Lorentz: p,x = γ V (p,x + β V E /c) = γ V (p cos θ + β V E /c) = γ V p (cos θ + β V E /(p c)) 2

3 Por tnto, p,x = γ V p (cos θ + V/v ), p,y = p,y = p γ V (cos θ + V/v ) (c) Si v c, entonces cos θ + V/v Es fácil compror que este es el resultdo no reltivist trnsformciones de Glileo del siguiente modo: Pr ello podemos usr ls v,y v,x = v,y v,x + V = v v cos θ + V = cos θ + V/v (d) Si ls mss son igules, l conservción de l energí y del momento linel hcen que tods ls velociddes (ntes y después de l colisión) sen igules en módulo en el sistem CM De este modo, V = v Pr encontrr un expresión pr φ procedemos como en el prtdo () En este cso, tg φ = p,y /p,x y ls trnsformciones de Lorentz pr l prtícul son p,x = γ V (p,x + β V E /c) = γ V (p cos(θ π) + β V E /c) = γ V p ( cos θ + β V E /(p c)) p,x = γ V p ( cos θ + 1), p,y = p,y = p sen (θ π) = p En l primer trnsformción hemos usdo que V = v porque ls mss son igules Por tnto, tg φ = γ V (1 cos θ ) (e) Pr clculr tg (θ + φ) hcemos uso de l siguiente relción trigonométric tg (θ + φ) = tg θ + tg φ 1 tg θ + tg φ Con los resultdos de los prtdos nteriores (pr mss igules), es fácil mostrr que tg θ + tg φ = 2/(γ V ), mientrs que 1 tg θ tg φ = β 2 V Por tnto, tenemos que tg (θ + φ) = 2 β 2 V γ V Es ovio que cundo V c, tg (θ + φ) y, por tnto, θ + φ = π/2 3

4 4) Encontrr el ángulo máximo de pertur entre los fotones producidos en l desintegrción π 0 γ + γ si l energí totl del pión neutro es de 10 GeV Not: l ms del pión es m π = 135 MeV/c 2 Nótese que, en generl, los dos fotones no tienen por qué tener l mism energí Solución: Aplicmos l conservción del cudrimomento: Elevndo l cudrdo tenemos que p π = p γ1 + p γ2 p π p π = (m π c) 2 = p γ1 p γ1 + p γ2 p γ2 + 2p γ1 p γ2 = 2p γ1 p γ2 Usndo que p γi = (E γi /c)(1, ˆn i ) T, donde ˆn i es el vector unitrio que punt en l dirección del fotón i, tenemos que p γ1 p γ2 = E γ 1 E γ2 (1 cos θ), donde θ es el ángulo que formn ls tryectoris de los dos fotones Así pues, c 2 (m π c) 2 = 2 E γ 1 E γ2 c 2 (1 cos θ) cos θ = 1 (m πc 2 ) 2 2E γ1 E γ2 Si hor usmos l conservción de l energí, E γ2 = E π E γ1, tenemos que cos θ = 1 (m π c 2 ) 2 2E γ1 (E π E γ1 ) El ángulo máximo se lcnzrá cundo cos θ se mínimo, es decir, cundo d(cos θ) = (m πc 2 ) 2 (E π 2E γ1 ) de γ1 2 Eγ 2 1 (E π E γ1 ) = 0 E 2 γ 1 = E π /2, que corresponde l situción simétric E γ1 = E γ2 = E π /2 Por tnto, cos θ mx = 1 2(m πc 2 ) 2 θ mx = 1547 o, donde hemos usdo que m π c 2 = 135 MeV y E π = 10 GeV E 2 π 5) Un resultdo muy conocido de l mecánic newtonin nos dice que si un prtícul en reposo es lcnzd por otr prtícul idéntic y el choque es elástico, el ángulo que formn sus tryectoris susiguientes es de 90 o El ojetivo de este prolem es demostrr que este resultdo dej de ser cierto en l mecánic reltivist Pr ello considerremos el cso especil en el que después del choque ls dos prtículs mrchn simétricmente formndo el mismo ángulo θ/2 con l dirección de l prtícul incidente Suponiendo que l energí cinétic de l prtícul incidente es K 1 y l energí en reposo de ls prtículs es E 0, demostrr que el ángulo θ viene ddo por: cos θ = K 1 K 1 + 4E 0 4

5 Discutir qué ocurre en los csos no reltivist y ultrreltivist Solución: Aplicmos l conservción del cudrimomento: p 1,in + p 2,in = p 1,f + p 2,f, donde l notción es evidente Ahor, elevndo l cudrdo tenemos que p 1,in p 1,in + p 2,in p 2,in + 2p 1,in p 2,in = p 1,f p 1,f + p 2,f p 2,f + 2p 1,f p 2,f p 1,in p 2,in = p 1,f p 2,f Los cudrimomentos iniciles vienen ddos por: p 1,in = ((E 0 + K 1 )/c, p 1,in ) T y p 2,in = (E 0 /c, 0) T De este modo, p 1,in p 2,in = (E 0 + K 1 )E 0 /c 2 Por su prte, p 1,f p 2,f = E 1,f E 2,f /c 2 p 1,f p 2,f cos θ = E 2 1,f/c 2 p 2 1,f cos θ = E 2 1,f/c 2 (E 2 1,f/c 2 E 2 0/c 2 ) cos θ, donde hemos usdo el hecho de que, como es ovio del enuncido, E 1,f = E 2,f y p 1,f = p 2,f Además, en l últim iguldd, hemos usdo que (p 1,f c) 2 = E 2 1,f E 2 0 Así pues, (E 0 + K 1 )E 0 = E 2 1,f (E 2 1,f E 2 0) cos θ Por otr prte, l conservción de l energí nos llev l relción: 2E 1,f = 2E 0 + K 1 E 1,f = E 0 + K 1 /2, que sustituyendo en l ecución nterior nos d (E 0 + K 1 )E 0 = (E 0 + K 1 /2) 2 [(E 0 + K 1 /2) 2 E 2 0] cos θ Operndo y despejndo cos θ, llegmos l resultdo finl cos θ = K 1 K 1 + 4E 0 En el límite no reltivist, donde E 0 K 1, tenemos que cos θ 0, con lo que θ = 90 o Por contr, en el cso ultrreltivist donde E 0 K 1, tenemos que cos θ 1, con lo que θ = 0 o 5

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