a 21 x a 22,a 22,b 2,a 21,b 1,a 12

Transcripción

1 UNA APROXIMACIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON CALC 1.- INTRODUCCIÓN El objeto del presente documento es ofrecer una aplicación de la hoja de cálculo al aprendizaje y a la comprensión de un fundamento matemático básico, al que se recurre durante toda la enseñanza secundaria e incluso durante las enseñanzas universitarias: los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. La programación de las fórmulas y la construcción de los gráficos en las hojas de cálculo y su posterior utilización, permitirá: 1.Comprender el concepto de sistema de ecuaciones lineales. 2.Poder clasificar los sistemas de ecuaciones lineales en función del número de soluciones y analizar éstos a partir de los coeficientes de las ecuaciones. 3.Poder relacionar la posición relativa de dos rectas en el plano con la clasificación de los sistemas de ecuaciones en función de sus soluciones. El libro de la hoja de cálculo que se va describir contiene tres hojas: 1.s de ecuaciones: Permite resolver el sistema de ecuaciones lineales cuando las ecuaciones vienen dadas con las expresiones implícitas. 2.Dos rectas: Hoja que permite resolver el sistema de ecuaciones lineales cuando las ecuaciones vienen dadas con las expresiones explícitas. 3.Recta y parábola: de ecuaciones no lineales. Determina los puntos de corte de una recta y una parábola vertical. 2.- CONSTRUCCIÓN DE LA HOJA: SISTEMAS DE ECUACIONES Esta hoja contiene las instrucciones para resolver y representar geométricamente un sistema de ecuaciones lineales cuyas ecuaciones están dadas en forma implícita, es decir, un sistema de ecuaciones dadas de la forma: { a xa y=b xa 22 y=b a 2} 11,a 12,,a 22,b 1,b 2 R Matricialmente el sistema de ecuaciones quedaría de la forma: 1

2 a 11 a 12 a 22 x y = b 1 b 2 a 11,a 12,,a 22,b 1,b 2 R En el gráfico 1 se puede observar cómo la hoja de cálculo resuelve y representa gráficamente el sistema dado, en forma implícita o general, es decir, por las expresiones: { 2x3y=10 4x2y=8 } El sistema de ecuaciones anterior se expresa matricialmente de la forma: x y = 10 8 En este ejemplo de sistema de ecuaciones se introducen los datos numéricos en las celdas B3:D4, que además tienen definido el color rojo para la fuente. Con este color y con las celdas definidas mediante un borde se resaltan estas celdas sobre el resto. Las celdas cuya fuente no tengan el color rojo presentan valores consecuencia de aplicación de fórmulas sobre los valores introducidos, y por tanto en ningún caso hay modificar estas fórmulas. La hoja también presenta los valores de los coeficientes de cada ecuación dada en forma explícita. Esto es, pasa la ecuación en forma implícita a forma explícita. El lugar en la hoja de cálculo que le corresponde es el rango definido por las celdas F3:G4 y para el sistema anterior viene dado por las ecuaciones: { y= 0, 6 x3 } e y= 2x4 2

3 Gráfico 1 La hoja presenta cuatro elementos de gran importancia: 1.Presentación del sistema de ecuaciones en forma explícita: Este sistema anterior es el resultado del cálculo de la pendiente y la ordenada en el origen de cada ecuación. Estos cálculos sólo son posibles para rectas no verticales y permitirán clasificar el sistema de ecuaciones en función de sus soluciones y de la posición relativa de las rectas que se visualizarán en el gráfico definido por la hoja. La fórmula correspondiente a la pendiente de la primera recta viene expresada en la celda F3 y contiene la siguiente expresión: =SI(C3=0;"pendiente infinita";(-b3/c3)),una fórmula similar está implementada para hallar la pendiente de la segunda recta. La fórmula correspondiente a la ordenada en el origen de la primera recta viene dada en la celda G3 y contiene la siguiente expresión : =SI(C3=0;"recta vertical; x=";(d3/c3)). 2.Cálculo de la solución y la clasificación del sistema de ecuaciones:el método de resolución que se ha insertado para resolver el sistema de ecuaciones ha sido el método de Cramer particularizado para sistemas 2x2. 3

4 En primer lugar se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, a saber, A=[ a 11 a 12 a 22] cuya expresión es det( A) a11 a22 a21 a12. La fórmula del determinante de la matriz de coeficientes está implementada en la celda B6, con la expresión: =B3*C4-C3*B4. En la celda C6 está la clasificación del sistema de ecuaciones, básicamente la clasificación corresponde con la tabla 1. de Ecuaciones Lineales { a 11 xa 12 y=b 1 xa 22 y=b 2} a 11,a 12,,a 22,b 1,b 2 R Determinante de A det( ) 0 A=[ a 11 a 12 a 22] A det( A) 0 Comparación de las ordenadas en el origen No procede n n' n n' Clasificación del sistema Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible Soluciones Una única solución Infinitas soluciones No tiene solución Interpretación geométrica Rectas secantes Rectas coincidentes Rectas paralelas Tabla 1 La tabla 1 se ha programado en la celda C6 de la hoja de cálculo usando dos funciones condicionales encadenados de la siguiente forma: =SI(B6=0;SI(G3=G4;" Compatible Indeterminado; Rectas coincidentes";" Incompatible; Rectas paralelas");" compatible Determinado; Rectas secantes"). 3. Las soluciones del sistema de ecuaciones vienen dadas por las expresiones: Para la abcisa del punto solución se tiene la fórmula: = (-D4*C3+D3*C4)/B6 en la celda B8. Es la programación en la hoja de Cálculo de la fórmula: det b 1 a 12 b 2 a 22 x= det A 4

5 Para la ordenada del punto solución se tiene la fórmula: =(B3*D4-D3*B4)/B6 en la celda B9. Es la programación en la hoja de Cálculo de la fórmula: det a 11 b 1 b 2 y= det A Donde B6 es la celda que dispone del valor del determinante de la matriz de coeficientes, A. 4. Representación gráfica de las rectas que definen las ecuaciones del sistema. 3.- CONSTRUCCIÓN DE LA HOJA: DOS RECTAS La hoja dos rectas pretende estudiar la solución y la posición relativa de dos rectas, dadas las ecuaciones de las rectas en expresión explícita, es decir, dadas de la forma : { y=mxn e y=m' xn'} m,n,m',n' R Gráfico 2 El objetivo de esta hoja no es otro que determinar: 5

6 1.La posición relativa de las dos rectas y la clasificación del sistema de ecuaciones que definen estas rectas, en virtud de su número de soluciones. 2.Los puntos de corte de las rectas si los hay, y las soluciones del sistema de ecuaciones. Para determinar estos dos objetivos, en vez de utilizar los valores del determinante, como en la hoja anterior, se consideran y comparan los valores de las pendientes y de las ordenadas en el origen de cada una de las rectas y a partir de estas comparaciones se llega a dos clasificaciones: La clasificación geométrica: La posición relativa de las rectas se obtiene con la fórmula que está incluida en la celda A11 y tiene la siguiente expresión: =SI(C2=C5;SI(C3=C6;"Rectas coincidentes";"rectas paralelas");"rectas secantes"). La clasificación algebraica: El tipo de sistema de ecuaciones se obtiene con la fórmula que está incluida en la celda A15 y tiene la siguiente expresión:=si(c5=c2;si(c6=c3;"infinitas soluciones";"no hay solución");"una única solución "). de Ecuaciones Lineales { y=mxn m,n,m',n' R y=m' xn'} Comparación de las pendientes m m m m Comparación de las ordenadas en el origen No procede n n' n n' Clasificación del sistema Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible Soluciones Una única solución Infinitas soluciones No tiene solución Interpretación geométrica Rectas secantes Rectas coincidentes Rectas paralelas Tabla 2 Como se puede apreciar en el gráfico 2 el sistema de ecuaciones planteado es { y=3x8 e y=3x1} Es un sistema Incompatible y corresponde geométricamente con un par de rectas paralelas, que evidentemente no se cortan 1. 1 Dos rectas paralelas no se cortan en la geometría euclídea. Este axioma geométrico ha sido de gran riqueza para el desarrollo de la geometría y de las matemáticas en general. 6

7 4.- CONSTRUCCIÓN DE LA HOJA: RECTA Y PARÁBOLA Esta hoja permite determinar la posición relativa de una recta y una parábola vertical dadas por su expresión explícita, así como los puntos de corte cuando los hubiera. Este caso es un claro ejemplo para analizar sistemas de ecuaciones no lineales y de cómo su comportamiento geométrico y analítico es diferente a las situaciones de los dos casos anteriores que corresponden con sistemas de ecuaciones lineales aunque estén expresados de forma distinta. Dado el sistema definido por las ecuaciones expresadas de la forma siguiente. { y=mxn e a,b,c,m,n R,a 0 y=ax² bxc} Los coeficientes de las ecuaciones se introducen en zonas de la hoja de cálculo o rangos separados para evitar confundirse entre la ecuación lineal (recta) y la ecuación no lineal (parábola). Estos coeficientes se introducen en los rangos siguientes: 1.Para los coeficientes de la parábola se completan el rango C2:C4. 2.Para los coeficientes de la recta (pendiente y ordenada en el origen) se completan el rango C6:C7. Este sistema de ecuaciones se resuelve aplicando el método de igualación y queda equivalente a resolver y discutir la ecuación de segundo grado como la siguiente: ax 2 ( b m) x c n 0 (1) Que es precisamente una ecuación de segundo grado que se resuelve en varios pasos: 1.Calcular el discriminante de esta ecuación en la celda B13. =b m² 4a c n 2.Calcular la raíz del discriminante en la B14, siempre que sea posible. =b m² 4ac n a 0,b,c,m,n R/b m² 4ac n 0 3.En la celda D16 se determina el número de soluciones de la ecuación de segundo grado y del sistema de ecuaciones, a partir de la fórmula siguiente: =SI(B13>0;2;SI(B13=0;1;0)), teniendo en cuenta que si el discriminante es negativo la ecuación (1) y por tanto el sistema no tiene solución. Si el discriminante es positivo tiene dos soluciones y por tanto dos puntos de corte. Si el discriminante es cero la ecuación tiene una única solución doble y por tanto un único punto de contacto que se llamará punto de tangencia de la recta a la curva. 4.En las celdas B18:C19 se incluyen los puntos de corte de la parábola y de la recta mediante la resolución de la ecuación cuadrática (1) aplicando la fórmula habitual, 7

8 aunque utilizando el valor de la raíz del determinante calculado en la celda B13. Para hallar la coordenada y u ordenada, sólo basta sustituir en la expresión de la ecuación de la recta. x 1 = b m y 2a 1 =mx 1 n x 1,y 1 Es un puntode corte x 2 = b m 2a y 2 =mx 2 n x 2,y 2 Esun punto de corte En la tabla 3 se presentan las fórmulas programadas en el rango B18:C19 de la hoja de cálculo que se han utilizado para el cálculo de los puntos de corte, esto es, de las soluciones del sistema planteado. x y sol_1 =(C6-C3+B14)/(2*C2) =B18*C$6+C$7 sol_2 =(C6-C3-B14)/(2*C2) =B19*C$6+C$7 Tabla 3 En el ejemplo que se presenta en la hoja en el gráfico 3 { y= x2 Ecuación lineal e y= 2x²6x Ecuación nolineal} 8

9 Gráfico 3 La ecuación auxiliar de segundo grado que resuelve la hoja de cálculo viene dada por: 2x 2 (6 1) x Las soluciones de este sistema corresponden con las soluciones expresadas en la tabla 4 que permite observar mejor los resultados de la hoja que visualiza el gráfico 3. Analíticamente Delta 9 Raíz 3 Número de soluciones 2 x y sol_1 0,5 2,5 sol_2 2 4 Tabla 4 Puede observarse cómo la gráfica comprendida dentro del gráfico 4 corresponde con los valores obtenidos por la hoja de cálculo en el rango B18:C19 por procedimientos algebraicos. Con la gráfica se obtiene una descripción global del sistema de 9

10 ecuaciones y con los valores numéricos obtenidos en la tabla 4 otra más precisa y local. Consecuencia de esta tabla se puede observar que la recta corta a la parábola en los puntos (0,5;2,5) y (2;4). En el sistema de ecuaciones siguiente se puede observar cómo la parábola y la recta no presentan puntos de corte, por lo tanto este sistema no va a disponer de solución. { y= x2 Ecuación lineal e y= 2x²6x Ecuación nolineal} El gráfico 4 corresponde con el sistema planteado anteriormente y se puede observar que no hay punto de contacto entre la recta y la curva, por lo que no hay punto de corte. Ya que el valor del dicriminante es negativo, la celda B13 tiene un valor negativo -7. Gráfico 4 En el sistema de ecuaciones siguiente se puede observar cómo la parábola y la recta presentan un único punto de corte, que además es el llamado punto de tangencia, de la recta sobre la parábola, por lo tanto este sistema va a tener una única solución doble que es el punto (3,2). 10

11 { y=x 1 Ecuación e y=x² 5x8 Ecuaciónnolineal} Gráfico 5 De forma generalizada se puede decir que habrá punto de tangencia cuando el valor del discriminante, que se encuentra en la celda B13, es cero. Se podría incluir una función condicional como por ejemplo:=si(b13=0; La recta es tangente a la parábola ; ) 5.-CONCLUSIÓN En este documento se ha comprobado cómo la hoja de cálculo, que es una herramienta de carácter general y de gran versatilidad, puede ser utilizada en igualdad de condiciones que el numeroso software educativo presente en cualquier centro de enseñanza. La hoja de cálculo puede ser utilizada en la enseñanza secundaria para asegurar aprendizajes muy valiosos para las matemáticas, con la única premisa básica: la curiosidad. 11