Inferencia estadística: estimación de parámetros.

Transcripción

1 Capítulo 7 Iferecia estadística: estimació de parámetros Itroducció E este tema estudiaremos como aproximar distitos parámetros poblacioales a partir de ua m.a.s. formada por observacioes idepedietes de ua població, e los que sigue cuado digamos m.a.s. etederemos que es ua muestra aleatoria formada por observacioes idepedietes. Normalmete el parámetro por ejemplo µ, σ... tedrá distribució coocida o la aproximaremos por el T.L.C. 7.. Estimadores Defiició 115 Estadístico: Sea X 1,..., X v.a. iid que forma ua m.a.s. de ua població. U estadístico es ua fució de ua de ua muestra. Podemos decir que u estadístico ua variable aleatoria que es fució de la muestra. Defiició 116 Estimador putual: U estimador putual de u parámetro θ es u estadístico que da como resultado u úico valor del que se espera que se aproxime a θ. Ua realizació del estimador T x 1,..., x = ˆθ e ua muestra se llama estimació putual de parámetro. Ejemplo 117 Dada ua m.a.s. X 1,..., X y ua realizació de la misma x 1,..., x los pricipales estimadores de los parámetros poblacioales que hemos visto so: Parámetro Poblacioal Estimadorθ Estimacióˆθ µ X X = σ X SX = p ˆp X = Xi Xi X 1 Xi x = 1 xi 1 s X = xi xi x 1 Ejemplo 118 Cosideremos ua m.a.s. X 1, X, X 3, X 4, X 5 del lazamieto de u dado = 5. Ua realizació de esta muestra es x 1 =, x = 3, x 3 = 3, x 4 = 5, x 5 = 6. Sabemos que, si el dado es perfecto, µ = 3.5; el estadístico de esta muestra es y ua estimació es X = X 1 + X + X 3 + X 4 + X 5 5 x = x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 5 = = 19 5 =

2 Borrador RAM EST. SIS Si queremos estimar la proporció de veces que sale 3 es p 3 = 1 6 el estadístico es frec. de 3 e la muestra ˆp 3 = 5 y ua realizació será Estimadores isesgados Vamos a ver e esta secció alguas propiedades de los estimadores. La más imediata es pedirles que a medida que se aumete el tamaño muestral se aproxime más al verdadero valor del parámetro. Defiició 119 Estimador isesgado Sea ˆθ u estimador de u parámetro poblacioal θ. Diremos que ˆθ es isesgado si Eˆθ = θ. Es este caso la estimació putual se dice que es isesgada. Ejemplo 10 E el ejemplo aterior para cualquier muestra de tamaño, X 1,..., X, teemos que EX = µ X por lo tato X es u estimador isesgado de µ X. Proposició 11 Dada ua m.a.s. La media, variaza y proporció muestrales so estimadores isesgados de sus correspodietes parámetros poblacioales. Defiició 1 Sesgo: Sea ˆθ u estimador putual de u parámetro poblacioal θ, llamaremos sesgo de ˆθ a: Sesgoˆθ = Eˆθ θ Observació Evidetemete u estimador es isesgado si y sólo si tiee sesgo cero. Ua propiedad buea para u estimador es la carecia de sesgo. Pero podría suceder que tuviera ua gra variabilidad, etoces auque su valor cetral sea el verdadero valor del parámetro que se estima ua realizació del estadístico podría estar lejos del verdadero valor del parámetro. Parece pues iteresate emplear aquellos estimadores que tega variaza más pequeña. Defiició 13 Eficiecia: Sea ˆθ 1 y ˆθ dos estimadores de u parámetro poblacioal θ obteidos de la misma muestra. a Diremos que ˆθ 1 es más eficiete que ˆθ si V arˆθ 1 < V arˆθ b Defiimos la eficiecia relativa de ˆθ respecto de ˆθ 1 como Eff.rel = V arˆθ V arˆθ 1 de forma que si Eff.rel < 1 etoces ˆθ 1 es más eficiete que ˆθ Ejemplo 14 Sea x 1,..., x la realizació ordeada de meor a mayor de ua muestra de tamaño. Se defie la mediaa{ muestral como x +1 si es impar Me = x +x +1 si es par Como vimos e problemas la mediaa es tambié u valor de tedecia cetral, pero es u bue estimador de µ? Se puede demostrar que si la població tiee distribució ormal co media µ y variaza σx etoces σ X 1.57σ X EMe = µ y V arme = π etoces Eff.rel = V arme V arx = 1.57 Luego si la muestra es de ua població ormal X es más eficiete u 57 % más de variaza que la Mediaa. Defiició 15 Estimador más eficiete: Diremos que u estimador isesgado ˆθ del parámetro θ es el estimador más eficiete si o existe igú otro estimador isesgado que tega meor variaza que él tambié se le deomia estimador isesgado de variaza míima.

3 Borrador RAM EST. SIS Ejemplo 16 1 Si la població es ormal la media muestral es el estimador isesgado más eficiete de la media poblacioal. Si la població es ormal la variaza muestral es el estimador isesgado más eficiete de la variaza poblacioal. Si la població es biomial la proporció muestral es el estimador isesgado más eficiete de la proporció poblacioal Métodos para calcular estimadores Existe diversos métodos para el cálculo de estimadores: Método de los mometos. Mometo cetral de orde r m r = Xi Xr El de meor error cuadrático medio Eˆθ θ Covergecia e probabilidad P ˆθ θ < ɛ 1 Estimadores máximo verosímiles. E esta secció veremos sólo este último método. Estimadores máximo verosímiles. Defiició 17 Fució de verosimilitud Sea X ua v.a. tal que su distribució desidad o fució de probabilidad depede de u parámetro descoocido λ E el caso discreto P X x; λ y e el cotiuo f X x; λ. Sea X 1,... X ua m.a.s. de X es decir so v.a. iid como X y sea x 1, x,..., x ua realizació de la muestra. Etoces la fució de verosimilitud de la muestra es: a E el caso discreto Lλ = P X x 1 ; λ P X x ; λ b E el caso cotiuo Lλ = f X x 1 ; λ f X x ; λ Defiició 18 Dada ua fució de verosimilitud Lλ de ua muestra, sea ˆλ = gx 1,..., x el puto dode se alcaza e máximo de Lλ para la realizació de la muestra x 1,..., x, es decir Lˆλ = máx Lλ. Etoces defiimos el estimador de máxima verosimilitud de λ como el valor: ˆΛ = gx 1,..., X λ E ocasioes es coveiete trabajar co el logaritmo de la fució de verosimilitud ya que el máximo de loglλ y Lλ es el mismo y suele ser más fácil de maximizar. Ejemplo 19 Sea X 1,... X ua muestra co observacioes idepedietes, de ua població Berouilli, por ejemplo se preguta a 100 persoas si votará al partido P.X. e las próximas eleccioes y se aota u 1 si lo vota y cero e cualquier otro caso. Sea ˆθ = T X 1,..., X u estimador cualquiera. Sea p la proporció poblacioal de persoas que votará a P.X. Etoces o lo que es lo mismo P X i = 1 = p y P X i = 0 = 1 p = q, 1 Más cocretamete estos estimadores so del tipo UMVUE del acróimo iglés Uiformly Miimum Variace Ubiased Estimator": Estimadores isesgados uiformemete de míima variaza".

4 Borrador RAM EST. SIS P X = x i = p xi q 1 xi si x i = 0, 1 Como las observacioes so idepedietes. la fució de verosimilitud es: Lp = P X1,...,X x 1,..., x = P X 1 = x 1,..., X = x = P X 1 = x 1 P X = x = p x1 q 1 x1 p x q 1 x = p xi q 1 xi = p xi q xi etoces el valor de p que hace máxima esta probabilidad es el más verosímil o el de máxima verosimilitud de esta muestra. El problema se reduce a estudiar qué valor de p maximiza Tomado logaritmos Derivado respecto de p p xi q xi = p log p xi 1 p xi = xi 1 p xi x i log p + x i log1 p Despejado x i 1 p 1 x i 1 p = 0 1 p x i p x i = 0 por lo tato p = x i luego el estimador máximo verosímil de p es la proporció muestral, que es el que maximiza la fució de verosimilitud Lp. De modo similar se puede defiir los estimadores máximo verosímiles cuado el úmero de parámetros o coocidos de la distribució so más de uo Estimació por itervalos Ua estimació por itervalos de u parámetro poblacioal es ua regla para determiar u rago o u itervalo dode, co cierta probabilidad, se ecuetre el verdadero valor del parámetro. La estimació correspodiete se llama estimació por itervalo. Más formalmete: Defiició 130 Sea θ u parámetro, el itervalo A, B es u itervalo de cofiaza del 1 α 100 % para el parámetro θ si P A < θ < B = 1 α. El valor 1 α recibe el ombre de ivel de cofiaza, α es la "cola"de probabilidad sobrate que ormalmete se reparte por igual α/ a cada lado del itervalo. Es muy frecuete que el ivel de cofiaza se dé e tato por cieto. E lo que sigue daremos distitas maeras de calcular o aproximar itervalos de cofiaza para distitos parámetros.

5 Borrador RAM EST. SIS Itervalo de cofiaza para la media de ua població ormal: variaza poblacioal coocida Sea X 1,..., X ua m.a.s. de ua v.a. X co distribució ormal y V arx = σ coocida. Ecotremos u itervalo de cofiaza al ivel de cofiaza del 90 % para la media poblacioal µ. Sabemos por el tema aterior que bajo estas codicioes la variable Z = X µ σ sigue ua distribució ormal estádar pues es ua trasformació lieal de ua combiació lieal de variables ormales e idepedietes.. Ejemplo 131 Comecemos calculado u itervalo cetrado e 0 para esta Z que tega probabilidad Etoces = P δ < Z < δ = F Z δ F Z δ = F Z δ 1 F Z δ = = mirado e las tablas de la distribució ormal estádar, etoces F Z.4 = y por lo tato δ =.4 Luego P.4 < Z <.4 = E resume, hemos obteido lo siguiete = P.4 < X µ σ <.4 = P X.4 σ < µ < X +.4 σ Hemos ecotrado u itervalo de cofiaza para µ, y además la probabilidad de que µ se ecuetre e el itervalo X.4 σ, X +.4 σ es 0.975; luego es u itervalo de cofiaza co ivel de cofiaza 97.5 % Ejemplo 13 Supogamos que teemos ua muestra co = 16 de ua v.a. ormal de forma que x = 0, y la desviació típica poblacioal es coocida σ = 4. Etoces u itervalo de cofiaza al 97.5 % para µ será: 0.44, La probabilidad co que el verdadero valor del parámetro µ se ecuetra e el itervalo 17.76,.4 es 0.975, o lo que es lo mismo: P < µ <.4 = Iterpretació: E el 97.5 % de la muestras de tamaño 16 el verdadero valor del parámetro µ se ecotrará detro del itervalo correspodiete. E geeral si teemos ua m.a.s. X 1,..., X de ua població ormal represetado por la v.a. X co distribució ormal de media µ y variaza coocida σ el itervalo de cofiaza para µ al ivel de cofiaza 1 α 100 % será: 1 α = P z α/ < Z < z 1 α/ = P z α/ < X µ σ < z 1 α/ = P z α/ σ < X µ < z 1 α/ σ = P X + z α/ σ < µ < X + z 1 α/ σ

6 Borrador RAM EST. SIS Resume: Itervalo de cofiaza para µ: σ coocida. Codicioes: a Població Normal co media µ y variaza σ coocida b Muestra aleatoria de tamaño Etoces el itervalo de cofiaza del 1001 α % para µ es: σ σ X + z α, X + z 1 α dode z α es el cuatil α, es decir P Z z α = α, cuado Z tiee distribució ormal estádar, mietras que z 1 α es el cuatil 1 α, es decir P Z z 1 α = 1 α, cuado Z tiee distribució ormal estádar. Notemos que z α = z 1 α Ejemplo 133 Para discutir la coveiecia de aumetar sus istalacioes ua empresa desea estimar la demada que espera recibir. Para ello, seleccioa al azar a diez de sus clietes, observado el úmero de uidades demadadas e el último año por éstos se distribuye de la forma siguiete: Núm. Uidades Núm. Clietes Uidades Clietes Total Supogamos que la demada sigue ua distribució ormal co variaza poblacioal coocida σ = 16 y que se espera que e el futuro siga comportádose como e el periodo aterior, calcular u itervalo de cofiaza al 90 % para la media de la demada futura. Solució: Teemos las siguietes codicioes: Població de demadas ormal variaza σ = 16 coocida Muestra aleatoria de tamaño = 10 Podemos etoces aplicar la formula aterior para 1 α = 0.9, de dode α = 0.1, etoces α 1 α = 0.95 Calculemos la media aritmética de las observacioes = 0.05 y etoces el itervalo es x = = 1.006, z , z Mirado e las tablas de la ormal P Z 1.65 = etoces z 0.95 = 1.65, y z 0.05 = 1.65 sustituyedo teemos que z 1 α σ = = 0.66 z α σ = = 0.66 por lo que el itervalo de cofiaza del 90 % para la media de la demada es : , = 0.346, Lo que quiere decir que e el 90 % de la ocasioes e que tomemos ua muestra de tamaño 10 la demada media está compredida etre y 1.666

7 Borrador RAM EST. SIS Amplitud del itervalo de cofiaza Como de todos es coocido la amplitud logitud de u itervalo es la diferecia etre sus extremos superior e iferior. E el caso aterior la amplitud A será σ A = X + z 1 α σ X + z α = z 1 α σ + z 1 α σ = z 1 α σ El error máximo, al ivel 1 α, que cometemos al estimar µ por X será la mitad de la amplitud del itervalo de cofiaza z 1 α σ Si queremos calcular el tamaño de la muestra para aseguraros que el itervalo de cofiaza para µ al ivel 1 α tiee amplitud prefijada A o u error A se puede despejar así: σ = z 1 α A Observacioes: El itervalo está cetrado e X. Para y 1 α fijos si la variaza poblacioal aumeta etoces A aumeta. Para ua variaza poblacioal coocida y 1 α fijos si aumeta etoces A dismiuye. Para ua variaza poblacioal coocida y fijos si 1 α aumeta etoces A aumeta Itervalo de cofiaza para la media poblacioal: tamaños muestrales grades Codicioes: Població co media µ y variaza σ coocida o si o se estima por S Muestra aleatoria de tamaño grade criterio 30 Etoces el itervalo de cofiaza del 1001 α % para µ es: S S X z α, X + z α E caso de que σ sea coocida podremos σ e lugar de S Ejemplo 134 Se tomó ua muestra de 147 expertos e ivestigació de mercados y se les pidió que calificase e ua escala de 1 totalmete e desacuerdo a 10 totalmete de acuerdo la siguiete afirmació: A veces utilizo técicas de ivestigació que garatiza la obteció de los resultados que mi cliete o jefe desea. La calificació media de la muestra fue 6.06 y la desviació típica muestral fue Se pide calcular u itervalo de cofiaza al 90 % para la media de las putuacioes. Solució: El euciado o os asegura que la població sea ormal pero como el tamaño de la població es grade podemos aplicar el resultado aterior. Teemos = 147, S = 1.43, 1 α = 0.1 etoces α = 0.05 y por lo tato z El itervalo para la media poblacioal de las putuacioes al ivel de cofiaza del 90 % es , = , Distribució t de Studet Si queremos calcular u itervalo de cofiaza para µ e ua població ormal co variaza poblacioal descoocida ecesitamos ua ueva distribució: la t de Studet. Dada ua muestra de observacioes co media muestral X y desviació típica muestral S X procedete de ua població ormal co media µ la variable aleatoria: t = X µ S X sigue ua distribució t de Studet co 1 grados de libertad.

8 Borrador RAM EST. SIS Proposició 135 La distribució t de Studet es similar a la ormal si el úmero de grados de libertad es grade. Su fució de desidad es simétrica respecto al orige como la de la ormal estádar. Es decir si t ν es ua v.a. que sigue la distribució t de Studet co ν g.l. etoces: P t ν t = 1 P t ν t Notació: Sea t ν ua v.a. que sigue ua distribució t de Studet co ν g.l. Deotaremos por t ν,α al valor para el que se verifica que: P t ν t ν,α = α. Luego t ν,α es el α cuatil de ua t de Studet co ν g.l. y t ν,α = t ν,1 α Itervalo de cofiaza para la media de ua població ormal: variaza poblacioal descoocida Codicioes: Muestra aleatoria de observacioes idepedietes Població ormal variaza descoocida Etoces si X y S X so respectivamete la media y la desviació típica muestrales u itervalo de cofiaza al ivel 1 α100 % para la media de la població µ es: X + t 1, α S X, X + t 1,1 α S X Siedo t 1, α y t 1, α los cuatiles de ua v.a. t 1 co distribució t de Studet co -1 g.l., respectivamete. Ejercicio Demostrar que la probabilidad co que µ se ecuetra e el itervalo aterior es 1 α Ejemplo 136 U fabricate de cartuchos de tita para impresoras afirma e su publicidad que sus cartuchos imprimirá u promedio de 500 págias*; dode el asterisco remite a ua ota a pie de págia dode afirma que: Datos técicos: Muestra mesual de tamaño = 5 població supuesta ormal ivel de cofiaza del 90 %. Ua orgaizació de cosumidores desea comprobar estas afirmacioes y toma tambié ua muestra al azar de tamaño = 5 obteiedo como media x = 518 págias y ua desviació estádar S X = 40. Comprobar que co esta muestra la media poblacioal que afirma el fabricate cae detro del itervalo de cofiaza del 90 % Solució: El problema se reduce a calcular, bajo las codicioes que afirma el fabricate el itervalo de cofiaza para µ co α = 0.1. Mirado e las tablas de la t de Studet para 1 = 4 g.l. teemos que t 1, 1 α = t 4, = El itervalo para la media al 90 % es , = , Es este caso la afirmació del fabricate queda cotradicha por la muestra pues 500 cae fuera del itervalo. E cualquier caso se equivoca a favor del cosumidor Itervalos de cofiaza para ua proporció El procedimieto es similar al caso de las medias. Comecemos co u ejemplo. Ejemplo 137 E ua muestra aleatoria de 500 familias que posee televisores e ua ciudad se ecotró que 340 se había suscrito al caal TEVE. Ecotrar u itervalo de cofiaza del 95 % para la proporció actual de familias de esta ciudad que está suscritas a TEVE.

9 Borrador RAM EST. SIS Teemos ua població biomial dode los éxitos so las familias que tiee cotrato co TEVE. Sea X el úmero de familias cotratadas co TEVE etre ua muestra aleatoria de tamaño. Etoces X sigue ua distribució biomial co repeticioes y probabilidad de éxito p proporció poblacioal de familias cotratadas p1 p a TEVE. Si llamamos ˆp X = X a la proporció muestral, sabemos que Z = ˆp X p sigue aproximadamete ua distribució ormal estádar. Pero como es evidete o coocemos p así que o teemos más remedio que aproximar el deomiador p1 p ˆpX 1 ˆp X Si la muestra es grade Z = ˆp X p ˆpX 1 ˆp X seguirá siedo aproximadamete ormal estádar. Itervalos de cofiaza para la proporció poblacioal:muestras grades Codicioes: Ua muestra aleatoria de tamaño grade. Població Berouilli co proporció de éxitos p descoocida Bajo estas codicioes y si ˆp X es la proporció de éxitos e la muestra, u itervalo de cofiaza al ivel 1 α100 % es ˆpX 1 ˆp X ˆpX 1 ˆp X ˆp X z α, ˆp X + z 1 α Criterio: los itervalos de cofiaza ateriores so fiables si 40. Observacioes El itervalo de cofiaza aterior está cetrado e la proporció muestral. Cuado crece se reduce la amplitud del itervalo de cofiaza. La amplitud del itervalo de cofiaza es A = z 1 α ˆp X 1 ˆp X De la fórmula aterior o podemos determiar el tamaño de la muestral si coocer ˆp X podremos e el caso peor: El máximo de ˆp X 1 ˆp X se alcaza e ˆp X = 0.5 y e este caso por lo tato e el peor de los casos así que os = 0.5z 1 α A Itervalo de cofiaza para la variaza de ua població ormal Recordemos que si teemos ua població ormal co variaza σ y ua muestra aleatoria de tamaño de esta població co variaza muestral S X etoces el estadístico χ 1 = 1S X σ sigue ua distribució χ co 1 g.l. Notació Si χ ν es ua v.a. que tiee distribució χ co ν g.l. deotaremos por χ ν,α al valor que verifica: Por esto e las especificacioes o detalles técicos de las ecuestas se suele leer, por ejemplo: Uiverso població Balear mayor de 18 años. Ecuesta telefóica, selecció aleatoria, de tamaño mil, error e las proporcioes ±3 % co ua cofiaza del 95 % supuesto que p = q = 1

10 Borrador RAM EST. SIS P χ ν χ ν,α = α es decir el cuatil α de ua v.a. co distribució χ ν. Estos valores está tabulados para distitos g.l. e la tabla de la distribució χ. Ejemplo 138 Sea χ 10 ua v.a. que tiee distribució χ co 10 g.l. Etoces χ 10,0.995 = 5.19 y χ 10,0.005 =.16, es decir Además tedremos que P χ = y P χ = P.16 χ = P χ P χ = = = 0.99 E geeral dado α etre 0 y 1 tedremos que 1 α = P χ ν, α χ ν χ ν,1 α Si teemos ua muestra de tamaño de ua població ormal co desviació típica muestral S X, dado u ivel de cofiaza 1 α tedremos que χ 1 = 1 S X σ y etoces: 1 α = P χ 1, α χ 1 χ 1,1 α = P χ 1, α 1S X σ χ 1,1 α = P 1 S X χ 1,1 α σ 1 S X χ 1, α Luego, bajo estas codicioes, u itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal del 1 α100 % es 1 S X χ, 1 S X 1,1 χ. α 1, α Itervalo de cofiaza para la variaza de ua població ormal Codicioes Població ormal Muestra aleatoria de tamaño co variaza muestral S X Etoces u itervalo de cofiaza del 1 α100 % es 1 S X χ, 1 S X 1,1 χ α 1, α Dode χ 1, α es el valor que verifica P χ 1 < χ 1, α = α y χ 1,1 α es el valor tal que P χ 1 χ 1,1 α = 1 α dode χ 1 es ua v.a. que sigue ua distribució χ co 1 g.l. Observació El itervalo de cofiaza para σ o está cetrado e S X.

11 Borrador RAM EST. SIS Ejemplo 139 Ua cadea de hoteles tiee ua Líea 900 para recibir reservas telefóicas. U ídice de la calidad del servicio es el tiempo de espera, el tiempo que trascurre desde que el teléfoo suea por primera vez hasta que el operador respode. El estádar de la cadea es que el tiempo promedio de espera o debe ser superior a 30 segudos además se supoe que la distribució del tiempo de espera será aproximadamete ormal. La cadea tiee ispectores que visita los distitos hoteles y verifica todos los aspectos del servicio. Estas persoas realiza cada semaa 30 llamadas para hacer reservas y aota, etre otros idicadores el tiempo de espera e cad ua de ellas. E ua semaa los tiempos de espera e segudos so: 1, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 5, 5, 6, 7, 30, 33, 34, 35, 40, 40, 51, 51, 58, 59, 83 Calcular u itervalo de cofiaza para la variaza y la desviació poblacioales al ivel 95 %. Solució: Sea X el tiempo de espera. Haciedo los cálculos teemos que redodeado al segudo decimal: X = 8.37 y s X = Como 1 α = 0.95 teemos que α = 0.05, etoces mirado e las tablas de la χ y redodeado tambié al segudo decimal χ 1, α = χ 9,0.975 = 45.7 y χ 1, 1 α = χ 9,0.05 = Por lo tato u itervalo de cofiaza del 95 % para σ es , = , Es decir P σ = 0.95 y operado teemos que luego u itervalo de cofiaza del 95 % para σ es P σ = 0.95, 13.83, 3.35.