Funciones de una variable real II Integrales impropias

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1 Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics (22/04/203??/05/203)

2 Contents Contenido Recordtorio, series 2 Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy 3 Convergenci bsolut

3 Objetivos Recordtorio, series Objetivos Recordr el concepto de convergenci de series y sus propieddes, pr estblecer prlelismo con integrles impropis. 2 Definir y entender el concepto de integrl impropi. 3 Anlizr los primeros ejemplos de integrles impropis. 4 Entender y sber utilizr l condición de Cuchy pr convergenci de integrles. 5 Aprender el concepto de convergenci bsolut de un integrl. 6 Utilizr en situciones práctics los conceptos nteriores.

4 Series: definición Definición Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n) n N, (S n) n N relcionds por l fórmul S n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n=

5 Series: definición Definición Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n) n N, (S n) n N relcionds por l fórmul S n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n= n se le llm término generl de l serie.

6 Series: definición Definición Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n) n N, (S n) n N relcionds por l fórmul S n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n= n se le llm término generl de l serie. 2 S n se llm sum prcil n-ésim.

7 Series: definición Definición Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n) n N, (S n) n N relcionds por l fórmul S n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n= n se le llm término generl de l serie. 2 S n se llm sum prcil n-ésim. 3 L serie numéric (o simplemente serie) se dice convergente si existe lim n S n =: S K.

8 Series: definición Definición Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n) n N, (S n) n N relcionds por l fórmul S n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n= n se le llm término generl de l serie. 2 S n se llm sum prcil n-ésim. 3 L serie numéric (o simplemente serie) se dice convergente si existe lim n S n =: S K. 4 S recibe el nombre de sum de l serie y se escribe n. = S. n=

9 Series: definición Definición Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n) n N, (S n) n N relcionds por l fórmul S n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n= n se le llm término generl de l serie. 2 S n se llm sum prcil n-ésim. 3 L serie numéric (o simplemente serie) se dice convergente si existe lim n S n =: S K. 4 S recibe el nombre de sum de l serie y se escribe n. = S. n= 5 Cundo n R y lim n S n = ± l serie se dice divergente ±.

10 Ejemplos de series Ejemplo L serie geométric r n n=0 con r < es un serie convergente con sum Si r l serie es divergente. r. Ejemplo L serie n 2 n= es convergente y que l sucesión (S n) n es monóton creciente y cotd. L serie n= n es divergente, y que no stisfce el criterio de Cuchy.

11 Convergenci de series Condición necesri de convergenci Si l serie n converge entonces existe limn n y vle 0. n=

12 Convergenci de series Condición necesri de convergenci Si l serie n converge entonces existe limn n y vle 0. n= Condición de Cuchy pr l convergenci de un serie L serie numéric n n= es convergente si y sólo si pr cd ɛ > 0 existe n 0 N tl que se verific p + p+ + + q < ɛ, siempre que los nturles p, q cumpln n 0 p q.

13 Criterio de convergenci de l integrl: ejemplos Criterio de comprción Sen n, b n series de términos no negtivos. Si existe n 0 N y M > 0 tles que n Mb n pr todo n 0 n N, entonces l convergenci de b n implic l convergenci de n. Criterio de comprción Sen n, b n series de términos estrictmente positivos y supongmos que existe l := lim n Si 0 < l < entonces ls dos series tienen el mismo crácter. 2 Si l = 0 entonces l convergenci de b n implic l convergenci de n. 3 Si l = entonces l convergenci de n implic l convergenci de b n. b n

14 Reordención de series Definición Sen n y b n dos series. Diremos que l serie b n es un reordención de l serie n si existe un biyección φ : N N tl que b n = φ(n).

15 Reordención de series Definición Sen n y b n dos series. Diremos que l serie b n es un reordención de l serie n si existe un biyección φ : N N tl que b n = φ(n). Proposición Se n un serie convergente de términos positivos, entonces culquier reordend suy converge y mbs tienen l mism sum. Definición L serie n con n R se dice bsolutmente convergente si l serie n es convergente. Proposición Si l serie n es bsolutmente convergente entonces es convergente.

16 Concepto de integrl impropi: tipos Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy En l integrl de Riemnn se us un función cotd en un intervlo cotdo cerrdo [, b]. Ls integrles impropis corresponden lgun situción de no cotción, se en l función, se en el intervlo, o en mbos.

17 Concepto de integrl impropi: tipos Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy En l integrl de Riemnn se us un función cotd en un intervlo cotdo cerrdo [, b]. Ls integrles impropis corresponden lgun situción de no cotción, se en l función, se en el intervlo, o en mbos. Ejemplo. Función no cotd en intervlo cotdo Se f (x) = x en I = (0, ] y queremos ver cómo definir 0 Tommos hor u (0, ] y clculmos u dx = ( ) x u 2 y entonces definimos de mner nturl definimos 0 dx := lim = lim x u 0 + u x u x dx ( u ) = 2

18 Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Ejemplo 2. Función cotd en intervlo no cotdo Se f (x) = en el intervlo I = [, ), y queremos drle sentido l x 2 expresión x dx 2 Ddo u [, ) culquier, podemos clculr u [ x dx = ] u ( = ) 2 x u y entonces de mner nturl definimos dx := lim x 2 u u ( dx = lim ) = x 2 u u

19 Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Ejemplo 3. Función no cotd en intervlo no cotdo Se f (x) = x 2 en el intervlo I = (0, ), y queremos dr sentido 0 x 2 dx Por nlogí con l integrl de Riemnn ordinri es rzonble definir 0 x dx := 2 0 x dx + 2 x 2 dx L primer integrl corresponde función no cotd en intervlo cotdo; l segund función cotd en intervlo no cotdo. 0 dx := lim ( x 2 u 0 + x = lim + ) = u 2 u 0 + u y como el vlor de l segund es, concluimos 0 dx = x 2

20 Definición Recordtorio, series Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy f : [, b) R, (b ), diremos que es loclmente integrble si pr todo u [, b), f restringid [, u] es integrble, es decir, existe u f (x) dx.

21 Definición Recordtorio, series Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy f : [, b) R, (b ), diremos que es loclmente integrble si pr todo u [, b), f restringid [, u] es integrble, es decir, existe u f (x) dx. Si f es loclmente integrble y existe lim u b u f (x) dx R, diremos que l integrl impropi b f (x) dx es convergente y que su vlor es b f (x) dx := lim u b u f (x) dx. Análogmente definimos pr f : (, b] R l integrl impropi b f (x) dx.

22 Definición Recordtorio, series Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy f : [, b) R, (b ), diremos que es loclmente integrble si pr todo u [, b), f restringid [, u] es integrble, es decir, existe u f (x) dx. Si f es loclmente integrble y existe lim u b u f (x) dx R, diremos que l integrl impropi b f (x) dx es convergente y que su vlor es b f (x) dx := lim u b u f (x) dx. Análogmente definimos pr f : (, b] R l integrl impropi b f (x) dx. Si el límite nterior es + o, diremos que l integrl (impropi) diverge hci + o respectivmente. Si no existe dicho límite diremos que no existe l integrl en sentido impropio. L integrl impropi es linel L linelidd de l integrl de Riemnn y el pso l límite que involucr l integrl impropi hce que est últim se linel tmbién.

23 Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Proposición Se f : [, b) R loclmente integrble y se < c < b. Son equivlentes: f es integrble en sentido impropio en [, b) 2 f es integrble en sentido impropio en [c, b) Además se cumple b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx.

24 Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Proposición Se f : [, b) R loclmente integrble y se < c < b. Son equivlentes: f es integrble en sentido impropio en [, b) 2 f es integrble en sentido impropio en [c, b) Además se cumple b f (x) dx = c f (x) dx + b c Definición f (x) dx. Se f (, b) R, con < b +. Diremos que l integrl impropi b f (x) dx es convergente si existe c (, b) de modo que ls integrles impropis c f (x) dx y b f (x) dx son convergentes. En este cso, definimos c b f (x) dx := c f (x) dx + b c f (x) dx. L convergenci y el vlor de l integrl no dependen del c elegido.

25 Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Ejemplos importntes: ls rmónics 0 dx converge sii α > x α dx converge sii α < x α Más ejemplos + + x dx, te t dt, 2 0 x dx x dx, 0 (x ) x dx

26 Condición de Cuchy y plicciones Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Como l convergenci se define en términos de existenci de un límite, un ciert condición de Cuchy result esperble.

27 Condición de Cuchy y plicciones Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Como l convergenci se define en términos de existenci de un límite, un ciert condición de Cuchy result esperble. Proposición (Condición de Cuchy) L integrl impropi b f (t) dt, donde f : [, b) R es loclmente integrble y b +, es convergente si y sólo si pr cd ɛ > 0 existe c (, b) tl que si c y < z < b entonces z f (t) dt < ɛ. y

28 Condición de Cuchy y plicciones Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy Como l convergenci se define en términos de existenci de un límite, un ciert condición de Cuchy result esperble. Proposición (Condición de Cuchy) L integrl impropi b f (t) dt, donde f : [, b) R es loclmente integrble y b +, es convergente si y sólo si pr cd ɛ > 0 existe c (, b) tl que si c y < z < b entonces z f (t) dt < ɛ. y Un consecuenci de l condición de Cuchy es que si b = y existe lim x f (x) = L y f converge, entonces L = 0.

29 Condición de Cuchy y plicciones Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy En los ejemplos que hemos visto siempre hemos podido clculr un primitiv y sí estudir l convergenci de l integrl impropi y su vlor. Pero no siempre es sí. Ejemplo Consideremos f (x) := sen x pr x (0, ]. L siguiente integrl converge? 0 f (x) dx

30 Condición de Cuchy y plicciones Concepto, tipos y modelos importntes Condición de Cuchy En los ejemplos que hemos visto siempre hemos podido clculr un primitiv y sí estudir l convergenci de l integrl impropi y su vlor. Pero no siempre es sí. Ejemplo Consideremos f (x) := sen x pr x (0, ]. L siguiente integrl converge? 0 f (x) dx Proposición Si g : (, b] R es cotd y g R([c, b]) pr todo c (, b] entonces g es integrble en (, b] en sentido impropio.

31 Convergenci bsolut Si f 0, es obvio que F (x) := x f es creciente por lo que l convergenci de l integrl impropi equivle l cotción de F. Proposición (Criterio de comprción) Sen f, g : [, b) R + con b y supongmos que existen c [, b) y un constnte M > 0 tles que f (t) Mg(t) pr todo t [c, b). Entonces l convergenci de b g implic l convergenci de b f. (Y l divergenci de b f implic l divergenci de b g). Corolrio f (x) Sen f, g : [, b) R +. Suponemos existe L := lim x b g(x) () Si 0 < L < entonces b f y b g tienen el mismo crácter. (2) Si L = 0 entonces b g converge implic b f converge. (3) Si L = entonces b f converge implic b g converge.

32 Convergenci bsolut Relción entre series numérics e integrles impropis Proposición (Criterio de l integrl) Se f : [, ) R + monóton decreciente y se n = f (n). Entonces l serie n converge si, y solo si, converge l integrl impropi f Un imgen que lo dice todo g h n n n + f Aplicción L serie es convergente y pr n= n 2 cd entero k 2 n 2 (x ) dx 2 n=k Utilizr lo nterior pr dr un estimción de cundo se n= n 2 proxim por sums prciles. k

33 Convergenci bsolut Ejemplos del criterio de comprción Estudio de l convergenci de 2 Estudio de l convergenci de 2 sen x 2 dx (2 x)(x ) dx Ejemplo de estudio del crácter Crácter, según los vlores del número rel k, de l integrl impropi Γ(k) := 0 t k e t dt Clcule Γ(k) pr k =, 2, 3, 4, 5. Se treve con l fórmul pr Γ(k) pr k N? Mxim conoce l función, se llm gmm.

34 Convergenci bsolut Convergenci bsolut Proposición (Convergenci bsolut implic convergenci) Se f : [, b) R con b y supongmos que l integrl impropi b f converge. Entonces tmbién converge l integrl impropi b f L clve de l demostrción es l condición de Cuchy. Pr nlizr l convergenci de un integrl impropi con integrndo f de signo no constnte, lo primero es sustituir f por f y plicr los criterios de comprción. Pero...

35 Convergenci bsolut Convergenci bsolut Proposición (Convergenci bsolut implic convergenci) Se f : [, b) R con b y supongmos que l integrl impropi b f converge. Entonces tmbién converge l integrl impropi b f L clve de l demostrción es l condición de Cuchy. Pr nlizr l convergenci de un integrl impropi con integrndo f de signo no constnte, lo primero es sustituir f por f y plicr los criterios de comprción. Pero... no bst sólo con eso Ejemplos de integrles convergentes, unque no bsolutmente 0 0 sen x x dx sen x 2 dx Estos ejemplos son csos prticulres de teorems más generles (ver bibliogrfí), pero exceden los contenidos de este curso. Podemos usr Mxim pr experimentr ls firmciones.

36 Bibliogrfí Recordtorio, series Convergenci bsolut J. M. Mir; B. Cscles y S. Sánchez-Pedreño

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