INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION

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Adolfo Ávila Peña
hace 6 años
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1 INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION Cundo intentmos explicr que er un integrl hicimos vris suposiciones: l función dentro de l integrl estb definid en un intervlo FINITO [,b], l función no tení discontinuiddes. Pr entender que es un integrl impropi usremos nuev terminologí. Debemos entender el significdo de convergenci, divergenci e intervlo no cotdo. Pr entender el significdo de los términos menciondos primero debes sber que es un integrl impropi. Como identifico un integrl impropi? Voy referirme l siguiente integrl Como dije, nteriormente nos referímos un intervlo [, b] donde l función f(x) estb definid, pero hor, que sucede si lgún número del intervlo [, b] est fuer del dominio de f(x)? Este será el primer criterio exminr. (1) Está l función definid en el intervlo [, b]? Lo que puede suceder es que dentro del intervlo [, b] encuentre un síntot verticl u horizontl. Puede ser que l función crezc sin control en cierto punto del intervlo (esto puede incluir los extremos del intervlo). Pr entender que me refiero te mostrré un ejemplo. 1

2 1 dx Ejemplo Ilustrtivo 1: Exmin l integrl 0 x Primero miro que el dominio de l función dentro de l integrl es todos los números reles excepto 0. Su gráfic Como ves el eje y o x = 0 es un síntot de l función f(x), por eso l función proxim ser cero pero solo eso, lo proxim nunc lleg tocr el eje y. Entre l gráfic de l función f(x) y l rect x = 0 siempre existirá un espcio (por que l función no toc el eje y!!) A simple vist precier que tenemos un áre infinit, simple vist (puede que no se infinit)... después te dré un explicción más riguros pr sber si relmente es un áre infinit o no. Si ves, lo que sucede cundo l función proxim x = 0 l mism comienz crecer muy rápido. El punto donde ocurre este crecimiento se le llm singulridd. Otro cso exminr puede ser 1 1 dx x. Su gráfic 2

3 Qué sucede si los límites de integrción son infinitos? Eso es, qué sucede si el intervlo no está cotdo? Exminremos integrles de l form,, esto es, el intervlo de integrción no está cotdo, es un intervlo infinito. Entonces el segundo criterio pr llmr un integrl impropi será (2) Es intervlo es infinito? Ejemplo Ilustrtivo 2: Exminr l integrl 0 e x dx Pr comenzr, le echré un vistzo l gráfic de l función f(x) = e x (siguiente págin) Estoy nlizndo l función en el intervlo [0, ]. Primero debo ver, qué sucede con l función cundo x? Si x entonces e x 0. L función proxim ser 0 cundo x se hce muy grnde, pero l función nunc tom el vlor de 0 en sí. Gráficmente, l función no toc l eje x ; se cerc mucho l eje pero no lleg tocrlo. Puede ser que est integrl me represente un áre infinit, o puede ser que represent un áre finit, pero como me doy cuent? qué método puedo utilizr pr encontrr l respuest que busco? 3

4 I.) Evlundo un integrl impropi (Cso 1) Como evlúo un integrl que teng un singulridd? Veré el cso donde f(x) tiene un singulridd en x = como se muestr. En vez de clculr el áre bjo l gráfic de l función f(x) en el intervlo [, b], clculré el áre bjo l gráfic en el intervlo [t, b] en otrs plbrs evluré t 4

5 Cuál es l ide? Lo que hré es cercr t cd vez más l vlor de y ver que sucede con el vlor de l integrl. Si el vlor de l integrl se v cercndo un número en específico signific que l integrl converge, de otr form (no se cerc nd) diverge. Si un integrl converge signific que el áre representd por dich integrl es finit. En vez de evlur l integrl múltiples veces pr ver si se cerc lgo, mejor utilizré un límite. Si este límite existe entonces l integrl es convergente. Si estoy cercndo t el vlor entonces = lim t + t Si f(x) tiene un singulridd en x = b entonces el límite será = lim t b t NOTA: Logrs ver por que cundo l singulridd está en x =, t tiende por l derech? (t + )? Mir l primer gráfic de est sección y verás que pr cercr l rect x = t l rect x = debo ir moviéndol hci l derech. En el otro cso (t b ) debo mover l rect hcí l izquierd. 5

6 Qué sucede si l singulridd no está en los extremos del intervlo [, b], si no en el intervlo (, b) (sin incluir los extremos)? Digmos que está singulridd está en x = c, donde c es un número dentro del intervlo menciondo. En este cso tendré que seprr l integrl en dos prtes = c + c Pr estudir el comportmiento de l función cerc de l singulridd usré dos límites lim t c t + lim n c + n n es un vrible similr t. Uso n pr no tener que repetir t. II.) Evlundo un integrl impropi (Cso 2) Veremos hor el método pr evlur un integrl con límites infinitos. integrles debes segurrte que l función se continu en el intervlo de integrción. Antes de evlur ests 6

7 Evluré integrles de l form,, En csos como este, puede ser que l gráfic de l función f(x) esté tn cerc del eje x que el áre entre el eje y l gráfic se finit. Cómo demostrmos esto? Primero tomré el cso en el que el intervlo de integrción se [, ) (mir l gráfic). En vez de evlur l integrl en el intervlo [, ) l evluré en un intervlo finito [, N] N Lo que hré es ir hciendo N más y más grnde y observr si se cerc lgún número en específico. Si se cerc lgún número en específico entonces l integrl converge, de otr mner (no se cerc ningún número) diverge. Pr ver como se comport l integrl medid N se hce más grnde usré un límite. Si este límite existe entonces l integrl es convergente. Simbólicmente N = lim N 7

8 Si ests sobre un intervlo de integrción (, b] entonces pr evlur l integrl Pr un intervlo (, ) entonces, = lim N N RECUERDA: N = lim N N Desde hor, ntes de evlur un integrl definid, revisrás si l función está bien definid en su intervlo de integrción. Si evlús sin fijrte en esto, obtendrás un resultdo incorrecto. Curiosidd: Ls integrles que poseen un intervlo de integrción infinito se les llm Integrles de Primer Especie. Ls integrles que tengn lgun singulridd en su intervlo de integrción son llmds Integrles de Segund Especie. 8

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