Distribución Gaussiana o normal
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- Francisco San Segundo Flores
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1 FLUCTUACIONES ESTADÍSTICAS Los postulados fundamentales de la teoría estadística de errores establecen que, dado un conjunto de medidas, todas efectuadas en idénticas condiciones, suficientemente grande : I. El valor más probable de la serie de mediciones es el valor medio. II. Es igualmente probable cometer errores de igual valor y distinto signo (Esto quiere decir que es igualmente probable obtener valores mayores que el valor medio, errores por exceso, o menores que el valor medio, por defecto). III. En una serie de mediciones es tanto más probable cometer un error cuanto menor sea su valor absoluto respecto del valor medio. (Esto significa que es más probable que los valores sean próximos al valor medio que alejados de éste) Distribución Gaussiana o normal
2 Curva de Gauss para distintos valores de h (inversamente proporcional al ancho de la distribución) h grande, valores concentrados h pequeña, valores distribuídos El área bajo la curva es: si el área bajo la curva vale la unidad, K queda determinada, y la curva quedará determinada por los parámetros m y h VALOR MEDIO Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA SERIE DE MEDIDAS Si medimos N veces la magnitud de interés obtendremos los N datos experimentales: x 1, x 2, x 3,..., x N La media aritmética de las N medidas (valor medio o promedio) será: < x > = (x 1 + x 2 + x x N )/N Valor más probable El valor de la medida i-ésima podría escribirse como: x i = < x >+ d i donde d i = x i -<x>, es la desviación i-ésima respecto del valor medio <x>. Es posible probar que d 1 + d 2 + d d N = 0, es decir: la suma de las desviaciones es 0.
3 VALOR MEDIO Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA SERIE DE MEDIDAS Para medir la dispersión de los valores experimentales entorno al valor medio se introduce otra magnitud: la desviación cuadrática media, varianza S 2 : S 2 = (d d 2 2+ d d N 2)/N (varianza, promedio de las desv.cuadráticas) y S= [(d d 2 2+ d d N 2) / N] ½ =[ (Σ (x i -<x>) 2 ) / N ]½ S, desviación estándar, es la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media. S depende del valor que se elija como mejor valor de la medidas. VALOR MEDIO Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA SERIE DE MEDIDAS A partir de S= [ (Σ (x i -<x>) 2 ) / N ]½ Operando algebraicamente y buscando el mínimo de la función se puede demostrar que: el promedio de los valores medidos (valor medio) minimiza la desviación estándar (y la dispersión que queremos cuantificar) y es igual al valor más probable. el valor medio coincide con la moda y la mediana Trabajamos con S y no con la varianza S 2 ya que S posee las mismas dimensiones que las observaciones. En realidad la expresión correcta de la desviación estándar es: S (= [ Σ (x i -<x>) 2 /(N-1)]½ para un solo evento N=1, S da infinito)
4 (para N tendiendo a infinito) La desviación estándar S (o σ) se relaciona con h en la Gaussiana El número relativo de datos entre x y x+dx, ΔN/N, es : x 2 - x 1 representa la probabilidad de que una medida caiga en dicho intervalo. Si (en el caso que N tienda a infinito) integro entre <X>- σ y <X>+ σ Si realizo una nueva medida habrá un 68% de probabilidad que ésta esté comprendida en <x>± σ un 95% en <x>±2 σ y un 99.7 % en <x>±3 σ. DISTRIBUCIÓN DE GAUSS Y MEDICIONES REALES (finitas) VARIAS (M) SERIES DE N MEDIDAS DE UNA MISMA MAGNITUD. Si para cada serie defino <x> i = [(Σ x i )/N Puedo definir=promedio de los promedios =(Σ<x> i ) / M = [Σ x i (suma de todos los valores obtenidos)]/nm (número total de mediciones)= Aquí=<X> = promedio total= mejor valor Considerando a los promedios de cada serie como datos individuales de una serie de M mediciones podremos determinar la desviación estándar, que notaremos σ, para esa serie (o sea la desviación estándar de los promedios) De acuerdo con la definición de desviación estándar (S): σ = [ Σ(<x> i -<X>) 2 / M ]½ desviación estándar de los promedios o desviación estándar de la media. La teoría estadística demuestra que puede expresarse en términos de las desviaciones de cada una de las series de N medidas mediante la ecuación σ = { Σd i2 / N (N-1)}½ = S / N½ Es un resultado práctico muy poderoso!! donde S es la desviación estándar de una de las M series de medidas.
5 Si hacemos varios muestreos, o sea si tomamos M conjuntos de N observaciones caracterizados por sus respectivas <x> i y S i 1) la distribución de los valores medios de los conjuntos <x> i es Gaussiana y está centrada en <X> (centro de la distribución total). 2) la distribución de los promedios σ es más estrecha que la original S, σ < S (σ = S / N ). (σ da el orden de magnitud con el cual podemos esperar que los promedios fluctuen alrededor del valor más representativo de la medida) Una nueva muestra (M+1) tiene un 68% de probabilidad de estar comprendida en el intervalo <X>± σ y un 95% de estar en el intervalo <X>± 2σ. Como no medimos infinitamente, podemos expresar la medida como: x=<x> i ± σ incluye al mejor valor (con un 68% de probabilidad) DETERMINACIÓN DE LA DESVIACION ESTANDAR DEL PROMEDIO σ = [(Σ (x i -<x i >) 2 )]/N(N-1)] 1/2 = S / N CONSECUENCIA En cualquier proceso de medida cuanto mayor sea el número de observaciones N más exacta será nuestra afirmación: -Sobre el valor más probable (o mejor valor) estimado por <X> i puesto que σ (que disminuye con N ) me habla de esta estimación pues x medido = <X> i ± σ - Sobre la desviación estándar S i (que me habla de la dispersión o precisión de la medida, y NO disminuye con N ) - Limite al número de medidas
6 Resumen tratamiento de incertidumbres en una medición rea Si: N = 1 x m ± Δ t donde x m :valor medido Δ T = [( Δ s) 2 + ( Δ a) 2 + ( Δ d) 2 + ( Δ i) 2 ] 1/2 N < 10 Δ T = [( Δ s) 2 + ( Δ a) 2 + ( Δ d) 2 + ( Δ i) 2 + ( Δ f) 2 ] 1/2 donde Δf estima la incertidumbre máxima debida a las fluctuaciones, a partir del valor mayor medido el valor menor medido. N > 10 Δ T = [( Δ s) 2 + ( Δ a) 2 + ( Δ d) 2 + ( Δ i) 2 + ( Δσ) 2 ] 1/2 con σ, la desviación estándar del promedio σ = [(Σ (x i -<x i >) 2 )]/N(N-1)] 1/2 = S / N σ depende de N, y es menor cuanto más grande sea N, hasta qué punto tiene sentido seguir realizando medidas para lograr σ 0? Δ T = [( Δ s) 2 + ( Δ a) 2 + ( Δ d) 2 + ( Δ i) 2 + ( Δσ) 2 ] 1/2 no es razonable esforzarse en disminuir σ mucho más que ( Δ a) Número óptimo σ ( Δ a) Así para determinar el número óptimo de medidas, como S es independiente de N, realizamos entre 5 a 10 medidas preliminares y calculamos S Usando que σ ( Δ a) S (= [ Σ (x i -<x>) 2 /(N-1)]½
7 podemos hacer un tratamiento estadístico de los datos: Resultado: X = (Σ x i ) / N Δ f = σ (si queremos el resultado con un 68 % de probabilidad) Δ f = 2σ Δ f = 3σ (95 % probabilidad) (99 % probabilidad) σ ={ Σ(x i -<x>) 2 / N (N-1)} ½ = [ 1/N] ½ S
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