FACTORIZACIÓN DE PREFERENCIAS DIFUSAS

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1 FACTORIZACIÓN DE PREFERENCIAS DIFUSAS Bonifacio Llamazares Rodríguez Dpto. de Economía Aplicada (Matemáticas) Universidad de Valladolid Resumen: En el marco convencional de la modelización de preferencias, la factorización de una relación de preferencia débil en sus componentes simétrica y asimétrica se realiza de forma única. En el ámbito de la lógica difusa, algunas de las propiedades empleadas para caracterizar dicha descomposición admiten distintas generalizaciones. Como consecuencia, la factorización de una relación difusa de preferencia débil no es única, puesto que depende tanto del conjunto de propiedades que se utilice, como de la t- norma y t-conorma elegidas para la representación de la intersección y de la unión de conjuntos difusos. En este trabajo se hace una revisión de las principales factorizaciones existentes en la literatura y se generaliza y caracteriza la dada por Barret y Pattanaik (1989). Palabras clave: preferencias difusas, preferencia débil, factorización.

2 1. INTRODUCCIÓN En la teoría de la elección social es habitual la utilización de una relación binaria completa R para representar las preferencias de los agentes sobre un conjunto de opciones A. A partir de esta relación de preferencia débil, que expresa cuando una opción es al menos tan buena como otra, se obtienen de forma única dos nuevas relaciones: una relación de preferencia fuerte P que indica cuando una opción es mejor que otra y una relación de indiferencia I que refleja la ausencia de preferencia fuerte. Sin embargo, este marco de referencia no permite tener en cuenta la intensidad con la que los agentes prefieren unas opciones a otras. Una forma de recoger esta información es mediante el empleo de la lógica difusa, de modo que las preferencias de los agentes se representan a través de relaciones difusas de preferencia débil. A diferencia del marco ordinario, en este ámbito existen diversas formas de factorizar una relación difusa de preferencia débil. Ello es debido a la utilización de diferentes t-normas y t- conormas para la representación de la intersección y la unión de conjuntos difusos, así como al empleo de distintos conjuntos de condiciones, equivalentes en el marco convencional, para la caracterización de P y I. El trabajo está organizado de la siguiente forma. En la sección 2 se introducen las herramientas necesarias para la modelización de las preferencias difusas. En la sección 3 se hace una breve revisión de las factorizaciones más habituales presentes en la literatura. Finalmente, en la sección 4, se establece el resultado principal de este trabajo: la generalización y caracterización de la factorización dada por Barret y Pattanaik (1989). 2. NOTACIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Sea A un conjunto no vacío de opciones. Una relación binaria ordinaria Q sobre A es un subconjunto de A A. La notación aqb se empleará para indicar ( a, b) Q. A partir de una relación binaria ordinaria Q sobre A se definen las relaciones Q 1 = {(a, b) A A (b, a) Q} y Q c = {(a, b) A A (a, b) Q}. Una relación binaria ordinaria Q sobre A se dice que es: 1. reflexiva si y sólo si aqa a A. 2

3 2. simétrica si y sólo si Q Q 1 (aqb bqa a,b A). 3. asimétrica si y sólo si Q Q 1 = (aqb no bqa a,b A). 4. completa si y sólo si Q Q 1 = A A (aqb ó bqa a,b A). Un subconjunto difuso B de A está definido a través de su función característica, µ B : A [0, 1], donde µ B (a) representa el grado con el que a pertenece a B. Dados dos subconjuntos difusos B y C de A, B C si y sólo si µ B (a) µ C (a), para todo a A. Una relación binaria difusa Q sobre A es un subconjunto difuso de A A. Si µ Q es la función característica de una relación binaria difusa Q sobre A, el valor µ Q (a, b) se denotará por Q(a, b) y representa el grado con el que a está relacionado con b. A partir de una relación binaria difusa Q sobre A se definen las relaciones Q 1 y Q c dadas por Q 1 (a, b) = Q(b, a) y Q c (a, b) = 1 Q(a, b), para cualesquiera a, b A. Las propiedades definidas anteriormente para las relaciones binarias ordinarias admiten generalizaciones al caso difuso. Una relación binaria difusa Q sobre A se dice que es: 1. reflexiva si y sólo si Q(a, a) = 1 a A. 2. simétrica si y sólo si Q(a, b) = Q(b, a) a, b A. 3. asimétrica si y sólo si Q(a, b) > 0 Q(b, a) = 0 a, b A. 4. completa si y sólo si Q(a, b) + Q(b, a) 1 a, b A. En la teoría de los subconjuntos difusos las operaciones de la intersección y de la unión se definen a través de normas y conormas triangulares, respectivamente. Estas funciones fueron introducidas por Schweizer y Sklar (1983) en el estudio de espacios métricos probabilísticos. Una función T : [0, 1] 2 [0, 1] es una norma triangular (t-norma) si y sólo si satisface las siguientes propiedades: 1. T(1, x) = x x [0, 1]. 2. T(x, y) = T(y, x) x, y [0, 1]. 3. T(x, y) T(u, v) x, y, u, v [0, 1] tales que x u, y v. 3

4 4. T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z) x, y, z [0, 1]. Una función S : [0, 1] 2 [0, 1] es una conorma triangular (t-conorma) si y sólo si satisface las siguientes propiedades: 1. S(0, x) = x x [0, 1]. 2. S(x, y) = S(y, x) x, y [0, 1]. 3. S(x, y) S(u, v) x, y, u, v [0, 1] tales que x u, y v. 4. S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) x, y, z [0, 1]. Dada una t-norma T, la función S(x, y) = 1 T(1 x, 1 y) es una t-conorma y se denomina t-conorma dual a T. A continuación se muestran algunas de las t-normas más utilizadas en la literatura: el mínimo, el producto y la t-norma de ukasiewicz; y sus t- conormas duales. t-norma t-conorma dual min(x, y) max(x, y) (x, y) = x y (x, y) = x + y x y W(x, y) = max(x + y 1, 0) W (x, y) = min(x + y, 1) Una aplicación φ : [0, 1] [0, 1] es un automorfismo de orden si y sólo si es biyectiva y monótona creciente. Todo automorfismo de orden φ es estrictamente creciente, continuo y verifica φ (0) = 0, φ (1) = 1. Además, la aplicación φ 1 es también un automorfismo de orden. Un automorfismo de orden φ es recíproco si y sólo si φ (1 x) = 1 φ (x), para todo x [0, 1]. Es inmediato comprobar que un automorfismo de orden φ es recíproco si y sólo si lo es φ 1. Para cada t-norma T y cada automorfismo de orden φ es posible definir una nueva t- norma dada T φ (x, y) = φ 1 (T(φ (x), φ (y))). Una relación binaria ordinaria R sobre A es una relación ordinaria de preferencia débil si y sólo si es completa. Cualquier relación ordinaria de preferencia débil se descompone en dos nuevas relaciones: una relación ordinaria de preferencia fuerte P = 4

5 R (R 1 ) c, y una relación ordinaria de indiferencia quedan caracterizadas por las siguientes propiedades: I = R R 1. Estas relaciones A1. P es asimétrica. A2. I es simétrica. A3. P I =. A4. R = P I. En el marco ordinario, el hecho de que una relación sea completa origina que también sea reflexiva. Sin embargo, no ocurre así en el caso difuso, por lo que una relación difusa de preferencia débil R se define como una relación binaria difusa reflexiva y completa. Otra diferencia entre el marco ordinario y el difuso es que en este último, las relaciones P = R (R 1 ) c y I = R R 1 no se derivan de las propiedades A1, A2, A3 y A4. Recíprocamente, P = R (R 1 ) c y I = R R 1 no verifican, en general, las condiciones A1, A3 y A4. Por esta razón, en el ámbito difuso hay dos líneas de actuación, según se utilicen las condiciones A1, A2, A3 y A4 o la definición anterior de las relaciones P y I. Además, el hecho de que la intersección y la unión de conjuntos difusos puedan ser interpretadas de distintas maneras en función de la t-norma y de la t- conorma elegida ha originado la aparición en la literatura de diversas factorizaciones de R en P y en I. 3. MODELOS DE PREFERENCIAS DIFUSAS Dutta (1987), utilizando como t-norma el mínimo, caracteriza las relaciones difusas de preferencia débil que admiten una factorización que satisface las propiedades A1, A2, A3 y A4. Dichas relaciones son aquellas que verifican R(a, b) = R(b, a) = I(a, b) = I(b, a) ó R(a, b) {0, 1}, para cualesquiera a, b A. A la vista de este resultado tan restrictivo, Dutta (1987) mantiene las condiciones A1, A2 y A4 e introduce una nueva propiedad que le permite obtener una factorización de R dada con anterioridad por Ovchinnikov (1981). De forma similar, Banerjee (1994) y Richardson (1998), utilizando la t-norma de ukasiewicz, también mantienen las tres propiedades anteriores y añaden 5

6 nuevas condiciones para obtener factorizaciones establecidas anteriormente por Roubens y Vincke (1987) y Orlovski (1978), respectivamente. Cabe destacar que la descomposición dada por Roubens y Vincke (1987) se realiza en un contexto más general, donde no se exige que la relación R sea completa, por lo que aparece una relación de incomparabilidad. En este mismo contexto, Barret y Pattanaik (1989) dan una factorización que será caracterizada en la sección 4 de este trabajo. A continuación se muestran las factorizaciones previamente comentadas: Orlovski (1978), Richardson (1998): P(a, b) = max(r(a, b) R(b, a), 0), I(a, b) = min(r(a, b), R(a, b)). Ovchinnikov (1981), Dutta (1987): P( a, b) R( a, b), si R( a, b) > Rb (, a), = 0, en caso contrario, I (a, b) = min(r(a, b), R(b, a)). Banerjee (1994) objeta a este modelo que P(a, b) puede coincidir con R(a, b) aun cuando I(a, b) > 0. Además, también señala que esta factorización no permite que se den situaciones que, a priori, no parecen ilógicas: R(a, b) = 1, I(a, b) = 0.8, P(a, b) = 0.2 R(b, a) = 0.8, I(b, a) = 0.8, P(b, a) = 0. Richardson (1998) añade la objeción de que la relación P no es continua, lo que posibilita que pueda tomar valores muy distintos en situaciones parecidas: R(a, b) R(b, a) P(a, b) Roubens y Vincke (1987), Dutta (1987), Banerjee (1994): P(a, b) = 1 R(b, a), I(a, b) = min(r(a, b), R(b, a)). 6

7 Richardson (1998) pone de manifiesto que para que la relación P sea asimétrica es necesario que se verifique max(r(a, b), R(b, a)) = 1, para cualesquiera a, b A. Esta condición es demasiado exigente, por lo que sería necesario introducir un nuevo concepto de asimetría. Otra objeción que pone Richardson es que P puede tomar los mismos valores en situaciones muy distintas: R(a, b) R(b, a) P(a, b) Sin embargo, esto también puede ocurrir en el caso ordinario: R(a, b) R(b, a) P(a, b) Barret y Pattanaik (1989): P(a, b) = 1 R(b, a), I(a, b) = R(a, b) + R(b, a) RESULTADOS Y CARACTERIZACIONES A partir de las relaciones P = R (R 1 ) c y I = R R 1 se pueden obtener, en función de la t-norma elegida, distintas factorizaciones de una relación difusa de preferencia débil. A título de ejemplo, las t-normas presentadas en la sección 2 generan las siguientes descomposiciones: t-norma mínimo P(a, b) = 1 R(b, a), I(a, b) = min(r(a, b), R(b, a)). t-norma producto P(a, b) = R(a, b) (1 R(b, a)), 7

8 I(a, b) = R(a, b) R(b, a). t-norma de ukasiewicz P(a, b) = max(r(a, b) R(b, a), 0), I(a, b) = R(a, b) + R(b, a) 1. Es natural tratar de imponer, a las factorizaciones que satisfacen P = R (R 1 ) c y I = R R 1, alguna de las propiedades A1, A2, A3, o A4. La simetría de la relación de indiferencia I siempre se satisface al ser consecuencia inmediata de la definición de t- norma. De las tres propiedades restantes, en este trabajo nos centramos en R = P I. Si la intersección y la unión vienen representadas por la t-norma T y su t-conorma dual S, entonces, las relaciones P = R (R 1 ) c, I = R R 1 y R = P I se satisfacen si y sólo si para cualesquiera a, b A se verifica R(a, b) = S(P(a, b), I(a, b)) = S(T(R(a, b), 1 R(b, a)), T(R(a, b), R(b, a))). Si x = R(a, b) e y = R(b, a), de la completitud de R se deduce que la condición anterior es equivalente a que para cualesquiera x, y [0, 1] tales que x + y 1 se cumpla S(T(x, 1 y), T(x, y)) = x. En esta línea cabe destacar el resultado dado por Alsina (1985). Teorema 1. No existe ninguna t-norma T con t-conorma dual S que verifique S(T(x, 1 y), T(x, y)) = x, para cualesquiera x, y [0, 1]. Un resultado análogo se obtiene, utilizando un razonamiento similar al efectuado por Fodor y Roubens (1994), cuando dicha condición sólo se exige a los valores cuya suma sea mayor o igual que 1. Teorema 2. No existe ninguna t-norma T con t-conorma dual S que verifique S(T(x, 1 y), T(x, y)) = x, para cualesquiera x, y [0, 1] tales que x + y 1. Demostración. Si x = 1 entonces para cualquier y [0, 1] se tiene 1 T(1 y, y) = S(y, 1 y) = S(T(1, y), T(1, 1 y)) = 1. Por tanto T(1 y, y) = 0, para todo y [0, 1]. Por otra parte, si x = y = 0.5 entonces 0.5 = S(T(0.5, 0.5), T(0.5, 0.5)) = S(0, 0) = 0, 8

9 lo cual es absurdo. Dado que las condiciones P = R (R 1 ) c, I = R R 1 y R = P I son incompatibles entre sí, se hace necesario sustituir alguna de ellas con el fin de obtener algún resultado positivo. En el marco ordinario y bajo el supuesto de completitud de R, las relaciones R 1 y P son complementarias en A A. Por tanto, además de P = R (R 1 ) c, también se cumple P = (R 1 ) c. En el marco difuso P = (R 1 ) c se traduce en P(a, b) = 1 R(b, a), para cualesquiera a, b A. En consecuencia, las condiciones P = (R 1 ) c, I = R R 1 y R = P I se satisfacen si y sólo si para cualesquiera a, b A se verifica R(a, b) = S(P(a, b), I(a, b)) = 1 T(1 P(a, b), 1 I(a, b)) = 1 T(R(b, a), 1 T(R(a, b), R(b, a))). Puesto que R es completa, si x = R(a, b) e y = R(b, a), la condición anterior es equivalente a que para cualesquiera x, y [0, 1] tales que x + y 1 se verifique T(y, 1 T(x, y)) = 1 x. Antes de caracterizar las t-normas que satisfacen esta relación, mostraremos un resultado auxiliar dado por Fodor y Roubens (1994). Proposición 1. Sea T una t-norma continua. Entonces son equivalentes: 1. T(x, 1 x) = 0 para todo x [0, 1]. 2. Existe un automorfismo de orden φ tal que T = W φ y 1 x φ 1 (1 φ (x)) para todo x [0, 1]. Teorema 3. Sea T una t-norma continua. Entonces son equivalentes: 1. T(y, 1 T(x, y)) = 1 x para cualesquiera x, y [0, 1] tales que x + y Existe un automorfismo de orden recíproco φ tal que T = W φ. Demostración. 1 2: Si x = 1 entonces se tiene T(y, 1 y) = T(y, 1 T(1, y)) = 0 para todo y [0, 1]. Por la Proposición 1 existe un automorfismo de orden φ tal que T = W φ y 1 x φ 1 (1 φ (x)). Por tanto, T(x, y) = φ 1 (max(φ(x) + φ (y) 1, 0)) y φ (1 x) 1 φ (x). Para probar la desigualdad contraria, primeramente vamos a demostrar que dados x, y [0, 1], si x + y > 1 entonces φ (x) + φ (y) > 1. Razonando por reducción al 9

10 absurdo se tendría T(x, y) = φ 1 (max(φ (x) + φ (y) 1, 0)) = 0 y T(y, 1 T(x, y)) = T(y, 1) = y > 1 x, en contradicción con la hipótesis. Finalmente, sea {y n } n =1 [0, 1] una sucesión decreciente de puntos con límite 1 x. Puesto que x + y n > 1 se verifica φ (x) + φ (y n ) > 1, para todo n IN. Por la continuidad de φ se tiene lim n (φ (x) + φ (y n )) = φ (x) + φ (1 x) : Como φ es creciente y recíproco, se cumple φ (y) φ (1 x) = 1 φ (x), siempre que y 1 x. Por tanto, si x + y 1 entonces φ (x) + φ (y) 1 y T(x, y) = φ 1 (max(φ (x) + φ (y) 1, 0)) = φ 1 (φ (x) + φ (y) 1). De nuevo, por la reciprocidad de φ se tiene 1 T(x, y) = φ 1 (2 φ (x) φ (y)). En consecuencia, para cualesquiera x, y [0, 1] tales que x + y 1 se verifica T(y, 1 T(x, y)) = φ 1 (max(φ (y) + φ (1 T(x, y)) 1, 0)) = φ 1 (max(1 φ (x), 0)) = φ 1 (1 φ (x)) = 1 x. Corolario 1. Sea R una relación difusa de preferencia débil. Entonces son equivalentes: 1. P = (R 1 ) c, I = R R 1 y R = P I. 2. Existe un automorfismo de orden recíproco φ tal que para cualesquiera a, b A se verifica P(a, b) = 1 R(b, a), I(a, b) = φ 1 (φ (R(a, b)) + φ (R(b, a)) 1). Demostración. Es consecuencia inmediata del Teorema 3. La factorización dada por Barret y Pattanaik (1989) se obtiene cuando φ es el automorfismo identidad, es decir, cuando se utiliza la t-norma de ukasiewicz. Cabe destacar que bajo esta factorización se tiene que para cualesquiera a, b A se verifica R(a, b) = P(a, b) + I(a, b) y P(a, b) + I(a, b) + P(b, a) = 1; condiciones acordes con la descomposición de una relación difusa de preferencia débil en una relación de preferencia fuerte y una relación de indiferencia. 5. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la Consejería de Educación y Cultura de la Junta de Castilla y León (proyecto VA30/01). 10

11 6. BIBLIOGRAFÍA ALSINA, C. (1985): On a family of connectives for fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems 16, pp BANERJEE, A. (1994): Fuzzy preferences and Arrow-type problems in social choice. Social Choice and Welfare 11, pp BARRET, C.R. PATTANAIK, P.K. (1989): Fuzzy sets, preference and choice: some conceptual issues. Bulletin of Economic Research 41, pp DUTTA, B. (1987): Fuzzy preferences and social choice. Mathematical Social Sciences 13, pp FODOR, J. ROUBENS, M. (1994): Fuzzy Preference Modeling and Multicriteria Decision Support. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. OVCHINNIKOV, S. (1981): Structure of fuzzy binary relations. Fuzzy Sets and Systems 6, pp ORLOVSKI, S. (1978): Decision-making with a fuzzy preference relation. Fuzzy Sets and Systems 1, pp RICHARDSON, G. (1998): The structure of fuzzy preferences: Social choice implications. Social Choice and Welfare 15, pp ROUBENS, M. VINCKE, P. (1987): Fuzzy preferences in an optimization perspective. En J. Kacprzyk y S. Orlovski (eds.), Optimization Models Using Fuzzy Sets and Possibility Theory. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, pp SCHWEIZER, B. SKLAR, A. (1983): Probabilistic metric spaces. Elsevier Science, New York. 11