MATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA

Transcripción

1 MATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA

2 1. RepÀs d estadística unidimensional 1.1. Freqüències absoluta i relativa Si ho recordeu, una de les primeres magnituds que es calcula en un estudi estadístic és la freqüència absoluta (f a ). Aquesta freqüència ens indica el nombre de vegades que apareix un determinat valor de la variable que mesurem. A continuació, podem calcular la freqüència relativa (f r ), que s obté dividint la freqüència absoluta entre el nombre total de dades. Aquesta quantitat ens dóna una idea de quantes vegades apareix un determinat valor, en relació al nombre total de dades Mesures de centralització Però al cap i a la fi, el que ens interessa és intentar «resumir» d alguna manera la informació que ens donen les dades. Per a això hi ha les mesures de centralització Mitjana La mesura de centralització més important és la mitjana. És una mesura precisa, que podem calcular si sumem tots els valors recollits i els dividim entre el nombre total de dades Moda i mediana 1.3. Mesures de dispersió La moda i la mediana són dues mesures més de centralització, que ens permeten trobar una mesura central de les dades, sense fer cap tipus de càlcul. La moda és el valor que es repeteix més vegades entre les dades. En canvi, per calcular la mediana, primer cal ordenar les dades de més petita a més gran. El valor que es troba al punt mig de la llista és la mediana del conjunt de dades. Pot passar que la mitjana de dues sèries de dades diferents sigui la mateixa; això vol dir que les mesures de centralització no ho diuen tot sobre el conjunt de dades. Ens interessa saber si les dades són més o menys regulars, és a dir si els valors estan a prop o no dels valors centrals. Els estudis estadístics també ho poden tenir en compte això, i els paràmetres que serveixen per mesurar aquestes característiques són les mesures de dispersió. ESTADÍSTICA 1

3 Rang o recorregut El rang o recorregut de les dades és la diferència que hi ha entre el valor més gran i el valor més petit del recull de dades. Aquesta és la manera més senzilla que tenim de fer-nos una idea de la dispersió de les dades Variància La variància és una mesura de dispersió molt utilitzada, que es defineix així: En general, la variància és la mitjana aritmètica de les diferències entre les dades i la mitjana, elevades al quadrat. L'expressió següent és una manera alternativa (però equivalent) de calcular-la: Desviació típica La variància mesura les distàncies entre els valors de les dades i la mitjana. Però algunes dades són més petites que la mitjana i altres més grans, i cal evitar que en sumar-les es compensin les unes amb les altres. Tot i que hem aconseguit el nostre objectiu de no tenir en compte els signes, quan hem elevat al quadrat les diferències hem fet que el seu pes sigui més gran del que hauria de ser. Per arreglar-ho, senzillament hem de desfer el que hem fet. Per sort, les matemàtiques tenen operacions inverses que s anul len mútuament. En el nostre cas, haurem de fer l arrel quadrada per desfer l efecte d elevar un nombre al quadrat. Després d aplicar-la, ja tindrem el valor adequat de la desviació. Per això, l arrel de la variància s anomena desviació típica. 2. Variables estadístiques bidimensionals Quan observem simultàniament dues característiques d un mateix element d una població estadística diem que estem usant variables estadístiques bidimensionals. Direm també, que cadascuna de les dues característiques és una component de la variable. ESTADÍSTICA 2

4 2.1. Taula de doble entrada El primer pas per realitzar un bon estudi estadístic és endreçar les variables de forma adequada, per poder-ne extreure la informació sense gaires complicacions. Per crear una taula de doble entrada només cal fer una llista on assignem una fila a cada observació, i al costat, en dues columnes, anotar els valors de les components corresponents. Alçada noi Alçada noia Parella Parella Parella Parella Parella Parella Parella Parella Gràfic de dispersió Amb aquesta taula de doble entrada, hem creat un model per analitzar les variables amb què treballem. Serà útil i aplicable a tots els estudis que farem a partir d ara amb variables bidimensionals. Posar les dades per parelles no vol dir que hi hagi relació entre unes i altres: pot passar que, simplement, estiguin associades per mera casualitat. Indaguem ara si hi ha alguna manera de mesurar quin és el nivell de relació que s estableix entre les dues quantitats mesurades. Com ha passat altres vegades, la manera més immediata de detectar les relacions existents entre un parell de variables és fer-ne una representació gràfica. Un gràfic de dispersió consisteix en un parell d'eixos graduats que representen els valors de les dues components de la variable bidimensional. Aleshores, a cada parella li correspondrà un punt de la gràfica. Altra vegada veiem com les gràfiques són una eina molt bona per veure si dues variables estadístiques estan relacionades entre elles o no. ESTADÍSTICA 3

5 2.3. Dependència i aleatorietat Anomenarem aquestes gràfiques diagrames de dispersió, ja que precisament serveixen per avaluar la dispersió de les dades que estem estudiant. En general, ens trobarem amb tres situacions: Pot passar que les variables tinguin una dependència molt marcada l una de l altra, segons alguna funció concreta. Aleshores direm que hi ha una dependència funcional. Però també pot passar que les variables estiguin relacionades entre elles sense que segueixin cap funció concreta. Aleshores direm hi ha una dependència aleatòria o correlació. També pot passar que els punts de la gràfica no segueixin cap pauta concreta, sinó que formin un «núvol» sense cap forma definida. Aleshores diem que són variables independents o no correlacionades. 3. CovariÀncia i correlació 3.1. Covariància Com ja hem vist altres vegades, sovint és pràctic trobar mesures que ens permetin analitzar, de cop, tota la llista de valors que hem recollit al llarg de l estudi. En aquest cas, ens pot interessar alguna nova quantitat que avaluï el grau de relació entre les dues components d una variable bidimensional. Aquesta quantitat s'anomena covariància. La covariància d'una variable bidimensional es defineix així: N'hem donat dues expressions, que, igual com passa amb la variància, són equivalents. Podem observar que: Quan la relació entre les dades té la forma d una recta de pendent positiu, el valor de la covariància és positiu. Quan la relació entre les dades té la forma d una recta de pendent negatiu, el valor de la covariància és negatiu. Com menys relació tenen les diferents variables, més s aproxima el valor de la covariància a 0. ESTADÍSTICA 4

6 Per tant, en general podrem dir que: 3.2. Coeficient de correlació Si S xy > 0, tindrem una relació de proporcionalitat directa amb signe positiu entre les variables. Si S xy < 0, tindrem una relació de proporcionalitat directa amb signe negatiu entre les variables. Si S xy = 0, no tindrem cap tipus de relació entre les variables. Amb la covariància tenim una primera indicació sobre la possible relació entre dos conjunts de dades. Però cadascuna de les dues variables, x i y, són per si mateixes variables estadístiques, i la covariància també incorpora, implícitament, la mesura de la dispersió de cadascun dels conjunts de dades, per separat. Per eliminar la dependència de la covariància amb la dispersió de les dades, només cal dividir-la entre alguna quantitat que hi estigui relacionada, com per exemple, la desviació típica. Així obtenim el coeficient de correlació. El coeficient de correlació es defineix així: Aquest coeficient ens informa, únicament, de la relació existent entre dues variables, i obvia la dispersió que hi pot haver entre els valors de cadascuna. Així, aquest serà el coeficient que farem servir per determinar el grau de relació entre les variables de qualsevol estudi bidimensional. També ens servirà per realitzar comparacions entre diferents estudis. A partir d aquests casos, podem deduir algunes propietats generals del coeficient de correlació: El seu valor sempre es trobarà entre 1 i 1. Si r > 0, les variables poden tenir una relació de proporcionalitat directa amb pendent positiu. És a dir, quan una augmenta, l altra també. Com més proper a 1 sigui el valor de r, més probable és aquesta dependència. Si r < 0, les variables poden tenir una relació de proporcionalitat directa amb pendent negatiu. És a dir, quan una augmenta, l altra disminueix. Com més proper a 1 sigui el valor de r, més probable és aquesta dependència. Per a valors propers a 0, és menys probable que existeixi alguna relació entre les dues variables, fins a l extrem que quan r = 0, pràcticament podem assegurar que són completament independents. ESTADÍSTICA 5

7 4. RegressiÓ lineal Quan el coeficient de correlació és prou diferent de zero, ens podem preguntar quina és la recta que representa millor aquesta correlació. Un cop sabem que existeix una relació clara entre les dues variables, ens pot interessar conèixer amb més precisió quina és l equació d aquesta recta que les relaciona. Aquesta operació s anomena regressió lineal i, per tant, la recta que trobem s anomena recta de regressió. La recta de regressió és la recta que s ajusta millor a la forma del conjunt de punts representat gràficament. L operació per trobar-la s anomena regressió lineal. La seva utilitat és notable, ja que ens permet extrapolar aquesta relació i mirar què passa amb valors dels quals no tenim cap dada. Hem de ser conscients, però, que sempre cometrem un cert error en la previsió que fem perquè, tret que el coeficient valgui exactament +1 o 1, les dades reals no es troben exactament sobre una mateixa recta. Per intentar fer que aquest error sigui mínim, hem de trobar un pendent que faci que la recta passi el més a prop possible de tots els punts coneguts. Concretament, podem demostrar que el pendent (m) es pot calcular de la següent manera: i que la recta passarà pel punt: Amb aquesta informació, ja podem obtenir l equació de la recta que busquem, fent servir l equació d una recta que passa per un punt donat i de la qual en coneixem el pendent: L equació de la recta de regressió és: ESTADÍSTICA 6

8 Amb l ajuda de la regressió lineal, es pot estimar el valor més probable de la variable y per a qualsevol valor donat de x, que serà el resultat d aplicar aquest valor a l equació de la recta de regressió. Cal tenir en compte, però, que hi pot haver un cert error, perquè les dades reals no s ajusten exactament a la recta, sinó que tenen una dispersió respecte a aquesta; el valor que dóna la recta és el valor esperat, no el valor real. Com més proper a zero sigui el valor del coeficient de correlació més probable és que el valor real s'allunyi del valor esperat. 5. RECAPITULACIó La freqüència absoluta d un valor és el nombre de vegades que apareix aquest valor. La seva freqüència relativa és el nombre de vegades que apareix dividit entre el nombre total de dades. La mitjana és la mesura de centralització que s obté sumant tots els valors i dividint el resultat pel nombre total de dades. La variància és una mesura de la dispersió de les dades i s obté amb l expressió: La desviació típica és una altra mesura de la dispersió. És l arrel quadrada de la variància. Les variables bidimensionals són aquelles en què observem simultàniament dues característiques d un mateix element d una població estadística. La covariància és una mesura que ens dóna una idea de la relació existent entre dos conjunts de variables. S expressa d aquesta manera: El coeficient de correlació és una mesura molt precisa de la relació lineal que hi ha entre dues variables. S expressa així: La recta de regressió és la recta que s ajusta millor al conjunt de punts representat gràficament. La seva equació és: ESTADÍSTICA 7