Capítulo 4. Inferencia Estadística: Introducción Preliminares Noción de Muestra.

Transcripción

1 Capítulo 4 Iferecia Estadística: Itroducció. 4.. Prelimiares. Nos hemos maejado co la Teoría de la Probabilidad y os dispoemos a afrotar problemas de Iferecia Estadística. Para ello, además del maejo de dicha teoría, es de capital importacia establecer u modo de captar iformació e relació co el feómeo que estamos estudiado. Esta iformació será uestra base de datos para poder iferir, proyectar resultados o emitir juicios e relació al feómeo que es objeto de estudio. La herramieta capaz de maejar la iformació e térmios probabilísticos es la muestra Noció de Muestra. Cocepto de muestra: Supogamos que estamos estudiado cierto feómeo F cuyo espacio de muestras es Ω, i.e. F Ω. Se etiede por muestra cualquier cojuto de Ω represetativo de F. Ua muestra represeta e mayor o meor medida al feómeo si a partir de ésta se ifiere algua iformació relevate de F, veamos u ejemplo: Ejemplo 4. Supogamos que ua moeda está cargada de la siguiete maera, P (C) 0,85, P(X) 0,5. Lazamos la moeda 0 veces obteiedo la muestra

2 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. ½ ¾ 7) C, C, C, X,..., X y os plateamos e base a dicha muestra si efectivamete P (C) 0,85. Co todaseguridadyaoserquesedispogadeotraiformaciócomplemetaria, diremos que la muestra o es represetativa de la suposició iicial o que por cotra se admite dudas sobre dicha hipótesis. Ejemplo 4. Supogamos que estamos estudiado los beeficios etos e milloes de pesetas durate.997, de las empresas ubicadas e CLM. Después de elegir a 0 de las más represetativas y pregutar por sus beeficios, lamuestradetamaño0resultatees {0, 0,5, 0, 5,,,..., 3, 4}. Si esta muestra es represetativa podremos iferir, co cierta precisió, por ejemplo, sobre el beeficio medio e toda la regió. Existe varios tipos de muestras: (a) Muestreo probabilístico: ua muestra es probabilística si puede medirse la probabilidad de obteerse cada ua de las posibles muestras. (b) Muestreo opiático: u muestreo opiático es aquél que depede úicamete de la opiió del sujeto que lo realiza sobre la represetatividad de éste. (c) Muestreo errático: es aquél que se realiza si teer e cueta ada a priori. (d) Existe u cuarto tipo que estudiamos co detalle y que e todo lo que sigue será el elegido para uestro trabajo: Muestreo aleatorio simple, se caracteriza por lo siguiete: (i) La muestra es elegida al azar siedo la elegida co igual probabilidad que cualquier otra. (ii) Cada elemeto de la població tiee la misma probabilidad que los demás de ser elegido para coformar la muestra. Además tal elecció se hace deformaqueelhechodequehayamosseleccioadouelemetooifluye para ada sobre la elecció de los restates, es decir, hay idepedecia etre

3 4.. PRELIMINARES. 3 los elemetos de la muestra. Paso fudametal e la costrucció de ua muestra aleatoria simple (m.a.s.): sea Ω ua població e la que se quiere estudiar cierto feómeo y e relació co éste se defie ua v.a. ξ, de esta forma todos los posibles valores de la ξ se idetifica co todas las posibles cocrecioes del feómeo. Volvamos al Ejemplo de la moeda: sea la m.a.s. de tamaño 0, {ω,ω,...,ω 0 } correspodiete a 0 lazamietos de la moeda. E lugar de escribir esta sucesió de caras y cruces, y co el objeto de saber si efectivamete la hipótesis P (C) 0,85 es verdadera o o, cosideraremos la v.a. ½ si sale cara ξ 0 si sale cruz, escribiremos {ξ (ω ),ξ(ω ),...,ξ(ω 0 )} {ξ,ξ,..., ξ 0 } sucesió de uos y ceros que resulta más maejable que la primera. E lo que sigue, e lugar de cosiderar muestras del tipo {ω,ω,..., ω } tedremos e cueta {ξ ξ (ω ),ξ ξ (ω ),..., ξ ξ (ω )}. Puesto que el elemeto de la muestra ω i puede ser cualquiera, so elegidos de maera aleatoria e idepediete, el resultado ξ i ξ (ω i ), que represeta al resultado de la i-ésima etapa, puede ser cualquier valor de los que toma la v.a. ξ. Hasta que o se cocreta los resultados ω i o sabremos cual es la realizació (umérica) ξ,ξ,..., ξ de la muestra, sucesió de úmeros destiados a iferir resultados sobre F. Así pues, dada cualquier {ω,ω,..., ω } escribiremos {ξ,ξ,..., ξ }, cualquier resultado posible de la realizació de la muestra, co ξ i la variable aleatoria que represeta al resultado obteido e la i-ésima compoete de la muestra; además las v.a. ξ,ξ,..., ξ so idepedietes. Defiició 4. Ua muestra aleatoria simple de tamaño, e relació co cierto feómeo F y descrito co la ayuda de la v.a. ξ, es u cojuto de variables aleatorias idepedietes ξ,ξ,..., ξ tal que F ξi (x) F ξ (x), i,...,.

4 4 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. Por tato ua m.a.s. de tamaño es u cojuto de v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas ξ,ξ,..., ξ y ua realizació de tal muestra es u cojuto de úmeros reales x,x,...,x que represeta a los valores que toma ξ sobre los elemetos ω i seleccioados Los métodos de la Iferecia. Dado u feómeo aleatorio sobre el cual queremos estudiar ciertos aspectos, costruimos ua v.a. ξ yuam.a.s.ξ,ξ,..., ξ. Nos propodremos por lo geeral determiar la aturaleza aleatoria del feómeo y por tato, iferir cuál es la ley de probabilidades que modela a la v.a. ξ. Se da varios casos: (a) Cuado o sabemos ada sobre la fució de distribució F ξ. (b) Cuado se sabe que F ξ perteece a cierta familia o clase de distribucioes pero se descooce u parámetro, que e adelate deotaremos por θ, del cual depede la distribució de probabilidad. Por ejemplo, se sabe que ξ B(,θ) pero θ o se cooce, sólo se sabe que θ Θ (a Θ se le llama espacio paramétrico). Nuestro objetivo es determiar de algua maera este parámetro θ. El tipo de iferecia estadística que practicaremos e los capítulos 4, 5 y 6 es la que se ha descrito e (b), recibe el ombre de Iferecia Paramétrica. Los métodos que propoemos para obteer iformació sobre θ so los siguietes: (i) Estimació putual: cosiste e obteer u valor umérico que aproxime al valor real del parámetro θ. Los más iteresates so el método de los mometos y el de la máxima verosimilitud (Capítulo 5). (ii) Estimació por itervalo (itervalos de cofiaza): cosiste e la costrucció de u itervalo I [θ,θ ] de forma que la probabilidad de que θ perteezca a I sea grade y a su vez la logitud de dicho itervalo sea pequeña (Capítulo 5). (iii) Cotrastació de Hipótesis: cosiste e emitir ua cojetura sobre θ para más tarde, y e base a ua serie de reglas y ua muestra, dilucidar si tal cojetura es o o aceptable (Capítulo 6).

5 4.. ESTADÍSTICOS Estadísticos. Los valores que se observa al realizar ua m.a.s. ξ,ξ,...,ξ so utilizados para iferir sobre la distribució de la v.a. ξ que represeta al feómeo. Nótese que al realizar ua muestra las ξ i se covierte e úmeros cocretos, deja de ser aleatorio. Para proyectar iformació es fudametal el uso de estadísticos. Defiició 4. U estadístico T es cualquier fució de la m.a.s. ξ,ξ,..., ξ que o depede de parámetros descoocidos: T T (ξ,ξ,..., ξ ). Los estadísticos so catidades, magitudes que se calcula ua vez que se haya realizado la muestra. Defiició 4.3 Los estadísticos más importates:. El mometo de orde k N de la m.a.s. ξ,ξ,..., ξ es el estadístico defiido como P j ξk j M k.. Se defie la media muestral como el mometo de orde : ξ X ξ j. j 3. La cuasivariaza muestral se defie como S X ξj ξ. 4. Se cooce co el ombre de variaza muestral al estadístico j V X ξj ξ j

6 6 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. 5. Defiimos la desviació stadard de la muestra como S S. Ejemplo 4.3 Supogamos que os iteresamos por la altura de los idividuos perteecietes a cierta població. Se supoe que este feómeo esta modelizado co la ayuda de la v.a. ξ altura del idividuo, co ξ N (μ, σ). Aquí el parámetro puede ser uidimesioal o bidimesioal, depediedo de si se cooce a μ o σ. Se realiza ua m.a.s. de tamaño 5obteiédose los resultados x,70, x,74, x 3,66, x 4,69 y x 5,7. etoces podemos evaluar los distitos estadísticos defiidos ateriormete: m k 5X x k i (,70) k (,7) k i o s 4 5X x k i m. i Veamos propiedades iteresates de los estadísticos, pero ates ecesitamos itroducir uevos tipos de distribucioes de probabilidad: 4... X de Pearso y t de Studet. Sea ξ,..., ξ v.a. idepedietes distribuidas todas ellas segú ua N(0, ). Defiimos X η ξ i. i Toda v.a. costruida como η se distribuye como ua X de Pearso (co grados de libertad). Si etoces se trata del cuadrado de ua N(0, ): η ξ ; determiemos

7 4.. ESTADÍSTICOS. 7 su fució de distribució: para cada x 0 se tiee F η (x) P ω : ξ (ω) x ª P x ξ x ª F ξ x Fξ x Z x Z x x π e t / dt π e t / dt. Z x π e t / dt El cálculo de la fució de desidad es ahora secillo: f η (x) d dx F η (x) d Fξ x Fξ x dx F 0 ( x) x + F 0 ( x) x µ e x/ + e x/ x π π x e x/, π co x 0. Fució característica: ϕ η (t) La esperaza y la variaza: Z 0 e itx π x e x/ dx ( it) /. E [η] i ϕ0 η (0) i i ( it) 3/ t0, y puesto que E [η ]3, V [η].

8 8 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. Caso geeral: puesto que las ξ i se supoe idepedietes etoces tambié lo so las ξ i, por cosiguiete podremos utilizar los resultados de idepedecia del Capítulo 3. E particular tedremos que ϕ η (t) ϕ P i ξ (t) i Π iϕ ξ i (t) ( it) /... ( it) / ( it) /. Los cálculos de la esperaza y la variaza so secillos, se obtiee si dificultad a que E [η], V [η]. Sea ξ 0,ξ,..., ξ N(0, ). Defiimos y + v.a. idepedietes idéticamete distribuidas y X i η ξ 0, y ξ i esto es, η N(0,σ) q. Uav.a.sedicequetieeuadistribuciót -tde X Studet co grados de libertad - si está costruida como η. La fució de desidad de masa asociada a ua t es Distribució Gamma. f η (x) Γ + µ x π Γ + (+), x R. Ua v.a. ξ sigue ua distribució gamma de parámetros a y p, yseescribirá ξ Γ (p, a), si su fució de desidad es a p f ξ (x) Γ (p) e ax x p si x>0, 0 si x 0

9 4.. ESTADÍSTICOS. 9 dode Γ (p) R a p e ax x p dx (se demuestra mediate u cambio de variable que Γ (p) R 0 e y y p dy). 0 Calculemos su fució característica: ϕ ξ (t) ap Γ (p) ap Γ (p) Z 0 Z e itx e ax x p dx e ( it+a)x x p dx 0 y( it+a)x a p Z µ y e y Γ (p) 0 it + a Z e y (y) p dy Γ (p) ( it + a) p 0 µ p a it ap a µ it p. a p dy it + a Se observa que ua X tiee la misma fució característica que ua gamma Γ de parámetros p /, a /, y gracias al Teorema de uicidad (ver Capítulo III) tedremos que la distribució de ua X es de tipo Γ (/, /) ; de la misma maera vemos que la fució característica de ua X coicide co la de ua gamma Γ (/, /), por tato el Teorema de uicidad garatiza que la distribució de ua X coicide co la de ua Γ (/, /). Por cosiguiete, si η X etoces la desidad asociada es (/) / f η (x) Γ (/) e x/ x si x>0 0 si x 0. No obstate, tato e el caso de ua X como e el de ua t, el cálculo de probabilidades se hace mediate tablas. h P Proposició 4. S i ξ i ξ i.

10 0 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. La prueba cosiste e ejercitarse co ciertos cálculos elemetales: S X ξj ξ j " X ξ j ξ j X ξ j + j " X # ξ j ξ + ξ j " X # ξ j ξ. j # X ξ j Otra operació elemetal de mometos e relació co ua m.a.s. ξ,..., ξ es el cálculo de la variaza, se tiee "P # j V [M k ]V ξk j α k α k dode α es el mometo de orde de cualquier ξ j. Nótese que dada cualquier v.a. ξ yuacostatec, V [cξ] c V [ξ]. Teorema 4. (Fisher) Sea ua m.a.s. ξ,..., ξ de distribució N (μ, σ). Etoces P j ξj ξ S X σ σ yademáss y ξ so idepedietes. Bajo las mismas hipótesis que el Teorema.4 es secillo demostrar que el estadístico ξ μ σ/ sigue ua distribució N(0, ), i.e. ξ μ σ/ N(0, ). Para la prueba se tiee presete la siguiete observació: sabemos que si ξ,..., ξ es ua m.a.s. N (μ, σ) etoces

11 4.. ESTADÍSTICOS. E ξ μ y V ξ σ. Asimismo se demuestra que ξ N (μ, σ/ ). Así es ya que si ξ N (μ, σ) etoces ϕ ξ (t) e itμ t σ, y gracias a la idepedecia de los elemetos de muestra, ϕ ξ (t) ϕp j ξ j (t) Π jϕ ξ j (t) Π jϕ ξj (t/) e itμ/ t σ µ e itμ/ t σ...e itμ/ t σ e itμ t (σ/ ), que se correspode co la fució característica de ua ormal de parámetros (μ, σ/ ), por tato e virtud del Teorema de uicidad se tiee que ξ N (μ, σ/ ). ξ μ Este estadístico, σ/, es a meudo usado e iferecia, si embargo hay ocasioes e las que la desviació típica es descoocida y como parámetro descoocido o puede aparecer e la defiició del estadístico. Para solvetar esta situació sustituiremos a σ por S, haremos uso de la siguiete proposició: Teorema 4.3 ξ μ S/ t. La prueba de este resultado o ecierra igua dificultad, basta usar el Teorema 4. y recordar la defiició de ua t de Studet: ξ μ S/ ξ μ p S /σ ξ μ σ/ σ q S σ N(0, ) p X / t.

12 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. Dejamos como ejercicio comprobar que si ξ,..., ξ es ua m.a.s. N (μ,σ ) y η,..., η m es ua m.a.s. N (μ,σ ), co ξ,..., ξ,η,..., η m idepedietes (lo cual implica que ξ y η so idepedietes), etoces à ξ η N μ μ, r σ + σ m!. Y u resultado u poco más complicado de demostrar es el siguiete: r m ξ η (μ μ ) r + m ³ ( )S t m+. ξ + (m )S η m+ σ σ 4... Distribució F de Fisher-Sedecor. Añadimos a uestra colecció de estadísticos otros cuyos distribució es la deomiada de Fisher-Sedecor, su defiició es la siguiete: sea las variables aleatorias idepedietes X X e Y X m; etoces la v.a. Z X/ Y/m se dice que tiee ua distribució F de Fisher-Sedecor co, m grados de libertad, se escribe Z X/ Y/m F,m y toda v.a. costruida como cociete de ua X etre ua X m tedrá dicha distribució. Es obvio que si ξ F,m etoces ξ F m,. Nota 4. El cálculo de probabilidades para las distribucioes X, t o F se hace co la ayuda de tablas Covergecia e ley. Tratamos co el estudio de la covergecia saber cuál es la distribució de estadísticos defiidos co la ayuda de ua muestra aleatoria simple de gra tamaño. Precisamos del cocepto de sucesió de variables aleatorias. Etederemos por ua sucesió de v.a. a ua colecció ifiita de variables aleatorias que deotaremos por ξ,..., ξ,..., odemaeraabreviadapor{ξ }

13 4.3. CONVERGENCIA EN LEY. 3 (y a veces simplemete por ξ ). Tales v.a. está defiidas desde u mismo espacio de probabilidad (Ω, A,P) a valores e R, i.e. ξ :(Ω, A,P) R. Supodremos que cada ua de estas variables ξ tiee ua fució de distribució F (x) y uestro objetivo es coocer si estas distribucioes de probabilidad coverge e algú setido a algua fució de distribució de probabilidad F (x). Se dirá que {ξ } es ua sucesió de v.a. idepedietes si al tomar cualquier úmero fiito de v.a. de la sucesió éstas resulta ser idepedietes. Si además cada ua de ellas tiee asociada ua misma fució de distribució etoces se dirá que está idéticamete distribuidas. Defiició 4.4 edicequelasucesiódev.a.{ξ }, dode la distribució de ξ es F (x), coverge e ley alav.a.ξ, siedo F (x) la distribució de ξ, si para cada puto x dode F es cotiua se cumple lím F (x) F (x). La otació empleada para idicar que la sucesió {ξ } coverge e ley ley a ξ es ξ ξ (o F (x) ley F (x)). Puede darse la circustacia e que lím F (x) F (x) si ser F ua fució de distribució de probabilidad, e tal caso o hay covergecia e ley. ley ley Observamos que si ξ ξ y ξ η etoces P {ω Ω : ξ (ω) η (ω)}, es decir las v.a. ξ y η so iguales co probabilidad uo - so iguales casi seguro -. El siguiete resultado relacioa este tipo de covergecia co las fucioes características asociadas a las v.a. que defie la sucesió y la v.a. límite: Teorema 4.4 (de cotiuidad) Sea ξ sucesió de v.a. y ϕ ξ (t) ϕ (t) sus correspodietes fucioes características. Etoces:. Si ξ ley ξ etoces lim ϕ (t) ϕ (t) para cada t R, dode ϕ (t) ϕ ξ (t).

14 4 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN.. Si lim ϕ (t) ϕ (t) y ϕ (t) es cotiua e t 0etoces ξ ley ξ, dode ξ es cualquier v.a. que tiee como fució característica a ϕ (t). Co el siguiete resultado se satisface e gra parte el objetivo marcado al pricipio de la secció, se trata de uo de los resultados más importates de la Iferecia Estadística: Teorema 4.5 (Teorema Cetral del Límite o de Levy-Lideberg) Sea ξ sucesió de v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas co E [ξ ]μ y etoces V [ξ ]σ, P i ξ i μ p V [ P i ξ i] ley η co η N(0, ). Corolario 4. (Teorema de Moivre) Sea ξ sucesió de v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas co ξ i B(,p) para todo i. Etoces P i ξ i p p p( p) ley η co η N(0, ) Ejemplos. E esta secció os dedicaremos a ejercitar los coceptos expuestos e seccioes precedetes y al mismo tiempo familiarizaros co el maejo de las tablas e el cálculo de probabilidades de las uevas distribucioes defiidas. Ejemplo 4.4 Se defie para todo lo que sigue a comoaquélúmeroparaelcual X,α P ξ (ω) X,αª α

15 4.4. EJEMPLOS. 5 siedo ξ ua v.a. cuya distribució es ua X. Co 4os propoemos ecotrar a X 4,0,95. E las tablas ecotramos que P {ξ (ω) 6,57} 0,05, de esto se desprede que P {ξ (ω) 6,57} 0,95 yquex 0,95,4 6,57. Tomado 5,ξ,...,ξ 5 ua m.a.s. N (μ, σ ) y co la ayuda de los cálculos ateriores demostramos que P 0,47σ S,69σ ª 0,9, (4.) lo cual iforma de que e el 90 % de las muestras de tamaño 5 que realicemos S estará etre 0,47σ y,69σ. Demostramos (4.): P 0,47σ S,69σ ª ½ 6,57 P 4 σ S 3,7 ¾ 4 σ ½ ¾ (5 ) P 6,57 S 3,7 σ F ξ (3,7) F ξ (6,57) dode ξ X 4, basta pues mirar a las tablas de esta distribució y comprobar que esta probabilidad coicide co 0.9 (F ξ (3,7) 0,95 y F ξ (6,57) 0,05). Ejemplo 4.5 Sea ξ,..., ξ 0 ua m.a.s. N (μ, σ ). Se pide hallar u úmero A tal que à P0 0 i P ξ i μ! A 0,9. (4.) σ Sabemos que P 0 i ξ i μ σ/ N(0, ), co lo cual à P 0! i ξ i μ σ/ X. Por lo tato (4.) se escribe como à P0 0 i P ξ i μ! A P {Z A} σ siedo Z ua v.a. tal que Z X ; basta usar las tablas y segú éstas A X 0,,,7.

16 6 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. Ejemplo 4.6 Sea ξ,..., ξ ua m.a.s. N(μ, σ) y η ua v.a N(0, ) idepediete de ξ. Se pide demostrar que η + ξ μ σ X. Se trata de ua aplicació directa de alguas defiicioes y resultados ateriores, los detalles se deja al lector. Ejemplo 4.7 Sea ξ,..., ξ y η,..., η m muestras aleatorias simples idepedietes de distribucioes N(μ,σ ) y N(μ,σ ) respectivamete. Se defie las variazas muestrales de éstas como V ξ V η m X ξi ξ, i mx ηj η. Ecotrar la ley de probabilidad para el estadístico cociete Se tiee que j Y V ξ V η. Por tato P V ξ V η ½ V ξ V η S ξ m m S η σ σ X Xm σ Sξ σ σ m Sη σ ( )σ (m )σ ( )σ F (m )σ,m. ¾ x P ( ( )σ (m )σ ( P F,m F Ã (m )σ! x ( )σ X / ( ) X m / (m ) F,m x ) ) (m )σ x ( )σ

17 4.4. EJEMPLOS. 7 co F ua fució distribució de Fisher-Sedecor de parámetros,m. Ejemplo 4.8 Sea ξ,..., ξ 5 ua m.a.s. N (μ, σ) de tamaño 5. Determiar la probabilidad de que la variaza muestral sea 0,03 veces mayor que la variaza poblacioal σ. Se pide evaluar P {V 0,7σ } ; como etoces V X ξi ξ i S X ξi ξ i P V (0,7) σ ª ½ ¾ 4 P 5 S 0,7σ ½ ¾ 4 P σ S (5) (0,7) P X 4 8 ª 0,8. Ejemplo 4.9 Sea el triágulo rectágulo formado por las estrellas A, B y C. Los catetos de dicho triágulo so AC y AB. Las medicioes de tales catetos so de carácter aleatorio de forma que X, la v.a. que mide el cateto AC, e Y, la de AB, está distribuidas segú ua N(0, ). Se supoe que tales medicioes so idepedietes. Calcular la probabilidad de que ua medició de la hipoteusa BC sea superior a La probabilidad pedida es P q 6. 5 Z q o 6, co Z la v.a. que mide la dis- 5 tacia de dicha hipoteusa. Sabemos por el Teorema de Pitágoras que Z X + Y, etoces P ( X + Y r ) 6 5 P P ½ X + Y 6 ¾ 5 ½ X 6 ¾ 0,83. 5

18 8 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. Ejemplo 4.0 Calcular la probabilidad de que el mayor valor de ua m.a.s. de tamaño 0 de distribució U (0, ), exceda de 0,9. Cuálseríalaprobabilidad de que el meor valor fuese meor que 0,5?. La probabilidad pedida es P {max {ξ,...,ξ 0 } > 0,9} P {max {ξ,..., ξ 0 } 0,9} P {ξ 0,9, ξ 0,9,..., ξ 0 0,9} P {ξ 0,9} P {ξ 0,9}...P {ξ 0 0,9} (0,9) 0. El siguiete cálculo es P {mi {ξ,..., ξ 0 } < 0,5} P {mi {ξ,..., ξ 0 } 0,5} P {ξ 0,5, ξ 0,5,..., ξ 0 0,5} P {ξ 0,5}...P {ξ 0 0,5}, ycomop {ξ 0,5} R dt 0,5, 0,5 P {ξ 0,5} (0,5) 0. Ejemplo 4. Sea ua m.a.s. de tamaño 6 de ua població de tipo ormal de media μ. Determiar aquél úmero c para el que P ξ μ c S ª 0,9, dode ξ es la media muestral y S la desviació stadard de la muestra. Observamos que P ξ μ c S ª ½ ξ μ P S/ 6 c 6 ¾ P t 6 c 6 o 0,9, y esto segú las tablas implica que 4c,34, es decir c 0,3355. Ejemplo 4. Sea ua població represetada por la v.a. ξ co E [ξ] 5 y V [ξ] 40. Se extrae ua m.a.s. de tamaño 00. Determiar P ξ [3,55, 8,] ª.

19 4.4. EJEMPLOS. 9 Se trata de u ejemplo típico e el que se usa el Teorema Cetral del Límite. Segú este resultado P i ξ i μ p V [ P i ξ i] ley N(0, ), pero esto es lo mismo que ξ μ P p V [ i ξ i] ξ μ p V [ξi ] ξ ξ Co esto vemos que P ξ [3,55, 8,] ª P 3,55 ξ 8, ª ( ) 3,55 5 P ξ 5 8, ( ),45 P,55 ξ 5 3, 0 40,55 ( ) P 0,935 ξ F () F ( 0,935) 0,9733 0,749 0,798, 0 dode F es la distribució de ua N(0, ). Ejemplo 4.3 Sea ua població represetada por ua v.a. ξb(, p). Determiar y p para que P {ξ >/} 0,9. Ua ξ sigue la misma distribució que la suma de v.a. ξ,..., ξ de tipo

20 30 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN. B(,p). Por tato e lugar de escribir ξ tomaremos P i ξ i yasí ( X ) P {ξ >/} P ξ i >/ P i ( P i ξ i p p V [ P i ξ i] > ( P N(0, ) > ) / p p P V [ i ξ i] ) / p p 0,9 p( p) si y sólo si / p,85. Por ejemplo co p 3 queda p( p) / (3/0),85p (9/400) i.e. (3/0) ³,85 p (9/400) (0,375) co lo cual bastará co elegir 400 (0,375) > Problemas del Capítulo IV. Calcular los siguietes valores de la variable que sigue ua z de Fisher- Sedecor: z 0,05,5,, z 0,0,4,, z 0,05,8,4.. Calcular las siguietes probabilidades: a) P (X 0 0,4) b) P (X 4 > 3,) c) P (,9 X 8 3,4) 3. Calcular X 45,0,05 y X 4,0,95 4. Dada ua població que sigue ua distribució ormal co media coocida y desvicaió típica descoocida, se extrae ua muesra de tamaño 6. Calcular probabilidad P (0,5 < S σ <,8).

21 4.5. PROBLEMAS DEL CAPÍTULO IV 3 5. Calcular t 5,0,, t 5,0, y t 8,00,. 6. La producció diaria de u determiado artículo se supoe de tipo uiforme y oscila etre y uidades. Determiar la probabilidad de que la producció media supere las 8.00 uidades, habiédose realizado observacioes durate 30 días, y supuesto que el úmero de uidades producidas e u día es idepediete de los restates. 7. Sea la variable aleatoria η que represeta la suma de los putos que sale al lazar veces u dado. a) Calcular E [η ] y V [η ]. b) Utilizar el Teorema Cetral del Límite para ecotrar u atural, lo más pequeño posible, de modo que η o P 3,5 0, 0,. 8. Ecuétrese u úmero k tal que P (490 <ξ<k)0,5 si ξ úmero de caras obteido al lazar ua moeda 000 veces. 9. Sea X,..., X 50 m.a.s. de distribució U(0, ) (uiforme e (0, )). Cosideramos el estadístico X 50 P 50 i X i. Euciar co todo detalle el Teorema Cetral del Límite y aplicarlo al cálculo de P X<0,4 ª. 0. La logitud e milímetros ξ que se puede estirar u filameto de ylo si ruptura sigue ua distribució de probabilidad cuya desidad de probabilidad es ½ 5e 5x si x 0 f ξ (x) 0 e el resto Emplear el Teorema Cetral del Límite para determiar de maera aproximada, la probabilidad de que la logitud promedio de 00 filametos esté compredida etre 0,8 y 0, (Ayuda: α /5y α ). 5

22 3 CAPÍTULO 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTRODUCCIÓN.. Se sabe que e u baco la probabilidad de recibir u cheque si fodos a lo largo de ua semaa es 0,5. Si durate ua semaa se espera recibir 000 cheques, se pide: a) Calcular de maera aproximada, utilizado el Teorema Cetral del Límite para ello, la probabilidad de que e tal semaa se reciba como máximo 5 cheques si fodos. b) Si supoemos que por cada cheque si fodos la etidad bacaria se beeficia e 00 pesetas, determiar el úmero de cheques que debe recibir e ua semaa para que co ua probabilidad de 0,9, el baco, por ese cocepto, se beeficie e 0000 pesetas.. De ua població N (μ, σ) y ua muestra aleatoria simple ξ,..., ξ, se pretede estimar su variaza σ a través del estadístico Se pide: ξ P i ξ i. a) Calcular la esperaza de ξ. b) E qué codicioes ξ es isesgado? c) Cuádo es ξ eficiete? (Ayuda: usar que E [χ ]yquev [χ ])