Sistemas numéricos -aritmética- Taller de programación

Transcripción

1 Sistemas numéricos -aritmética- Taller de programación I semestre, 2016

2 Aritmética en sistemas numéricos Temas

3 Precisión En computadoras todas las operaciones se dan entre números binarios con tamaño finito, esto aplica tanto para operandos como para resultado. Si los registros de un procesador son de 8 bits y una operación aritmética produce un acarreo en el bit más significativo, ese noveno bit será representado como un acarreo en el registro de estado del procesador y el resultado será dado en 8 bits sin el acarreo final.

4 Suma Cuando se hacen sumas en decimal tomamos dos números y los alineamos uno sobre el otro y tomamos cada columna desde la de los números menos significativos hasta aquella con los más significativos: Para cada uno realizamos una operación sencilla de suma de dos (o tres) dígitos. Si el resultado fuera mayor que 9 entonces tenemos un acarreo que lo colocamos como un tercer dígito a sumar en la siguiente columna más significativa. Acarreo Sumando Sumando Resultado Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Se continúa hasta terminar el número.

5 Suma Binaria Es igual = = 1 ( = 1) = 0 (con acarreo de 1) = 1 (con acarreo de 1) Acarreo 1101 Sumando 1101 Sumando Resultado Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Otros detalles interesantes: La compuerta lógica XOR (o exclusivo) tiene un comportamiento similar a la suma binaria de 1 bit, sin incluir el bit de acarreo. Utilizando 4 compuertas NAND es posible construir un XOR. Combinando un AND y un XOR tenemos un sumador de 1 bit (imagen) Basic Half Adder Circui wikipedia)

6 Resta Cuando se hacen restas en decimal tomamos dos números y los alineamos unos sobre el otro y tomamos cada columna desde la de los números menos significativos hasta aquella con los más significativos: Para cada uno realizamos una operación sencilla de resta de dos dígitos. Si el minuendo fuera menor que el sustraendo entonces pedimos prestado uno al siguiente dígito más significativo y realizamos la operación Minuendo con préstamo Minuendo Sustraendo Diferencia Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Se continúa hasta terminar el número.

7 Resta Binaria Es igual. 0-0 = = = = 1 (con préstamo de 1) Minuendo con préstamo Minuendo Sustraendo Diferencia Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Es importante tener claro que cundo se hace un préstamo la cantidad prestada es igual a la base, que en este caso es dos y se representa como 10. Restas de minuendos menores que los sustraendos las veremos más adelante. (negativos) En las computadoras la forma de implementar las restas es utilizando sumas, entre el minuendo y el complemento a dos del sustraendo. (más adelante)

8 Multiplicación La multiplicación consiste en sumar un número tantas veces como lo indique el multiplicador. 3 * 4 = = 12 Pero normalmente si los números son grandes utilizamos otro método: Se multiplica el multiplicando por cada uno de los dígitos del multiplicador, haciendo un corrimiento por cada operación o resultado parcial Nota: el resultado parcial respeta la posición del dígito del multiplicador (gracias al acarreo) Sumar los resultados parciales de manera normal Multiplicando 324 Multiplicador * 223 Acarreo de la suma final Primer resultado parcial Segundo resultado parcial Tercer resultado parcial Producto final Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel

9 Multiplicación Binaria Es igual. 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Operación lógica AND? Multiplicando 1111 Multiplicador * 1101 I resultado parcial 1111 II resultado parcial Suma de resultados parciales (I y II) 1111 III resultado parcial acarreo Multiplique: * Nota: a pesar de que se pueden acumular todos los resultados parciales de la multiplicación y al final sumar es preferible no acumularlos para evitar confusiones con el resultado Suma resultado parcial III y suma parcial IV resultado parcial acarreo Producto final Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel

10 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: 1 El 1 más a la izquierda es el dígito más significativo de / 45 = 4 + 1/45

11 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: 1 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Si El dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Dígito = 1, Divisor = 45 Dígito < divisor, entonces se anota el / 45 = 4 + 1/45 Dígito = 18, Divisor = 45 Dígito < divisor, entonces se anota el 0

12 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: / 45 = 4 + 1/45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Si el dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Si el dígito es mayor o igual que el divisor entonces se calcula cuantas veces cabe el divisor en el dígito. (en el ejemplo sucede cuando dígito es 181, por lo que 181 >= 45 por lo que el cociente es 4)

13 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: / 45 = 4 + 1/45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: El dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Si el dígito es mayor o igual que el divisor entonces se calcula cuantas veces cabe el divisor en el dígito. (en el ejemplo sucede cuando dígito es 181, por lo que 181 >= 45 por lo que el cociente es 4) Se multiplica la cantidad de veces que cabe el dígito dividendo por el divisor y se le resta al antiguo dividendo/dígito. (En el ejemplo: )

14 División binaria Divida: / 101 Operandos: Dividendo: Divisor: 101 Resultados: Cociente: 111 Residuo: 0 El procedimiento es igual al desarrollado en la división en base diez. La división binaria es más sencilla en comparación a la decimal

15 Ejercicio: convierta a binario y realice las operaciones aritméticas Asuma que el tamaño de los registros (precisión) es de 8 bits e indique cuando hay un acarreo. (CC) 16 + (3B) 16, (B5) 16 + (8F) 16, (A7) 16 + (1F) 16, (AB) 16 + (CD) 16, (32) 16 + (65) 16, (8) 16 - (1) 16, (C4) 16 - (25) 16, (EE) 16 (BA) 16 (1001) 2 * (1100) 2, (1101) 2 * (1111) 2 (101000) 2 / (1000) 2, ( ) 2 / (110) 2 Utilizar complemento a dos: (DB) 16 - (B2) 16 (8B) 16 - (81) 16 (86) 16 (36) 16

16 Referencias y Lecturas Complementarias Material suministrado por el profesor Jeff Schmidt, Instituto Tecnológico de Costa Rica. I semestre 2011.

17 Las presentaciones para el curso IC-1801: "Taller de Programación" por Ing. En Computación Alajuela se distribuyen bajo una Licencia Creative Commons Atribución-Compartir Igual 3.0 Costa Rica *La licencia de la presentación no cubre las imágenes utilizadas*

18 Sistemas numéricos -aritmética- Taller de programación I semestre, 2016

19 Aritmética en sistemas numéricos Temas

20 Precisión En computadoras todas las operaciones se dan entre números binarios con tamaño finito, esto aplica tanto para operandos como para resultado. Si los registros de un procesador son de 8 bits y una operación aritmética produce un acarreo en el bit más significativo, ese noveno bit será representado como un acarreo en el registro de estado del procesador y el resultado será dado en 8 bits sin el acarreo final.

21 Suma Cuando se hacen sumas en decimal tomamos dos números y los alineamos uno sobre el otro y tomamos cada columna desde la de los números menos significativos hasta aquella con los más significativos: Para cada uno realizamos una operación sencilla de suma de dos (o tres) dígitos. Si el resultado fuera mayor que 9 entonces tenemos un acarreo que lo colocamos como un tercer dígito a sumar en la siguiente columna más significativa. Acarreo Sumando Sumando Resultado Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Se continúa hasta terminar el número.

22 Suma Binaria Es igual = = 1 ( = 1) = 0 (con acarreo de 1) = 1 (con acarreo de 1) Acarreo 1101 Sumando 1101 Sumando Resultado Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Otros detalles interesantes: La compuerta lógica XOR (o exclusivo) tiene un comportamiento similar a la suma binaria de 1 bit, sin incluir el bit de acarreo. Utilizando 4 compuertas NAND es posible construir un XOR. Combinando un AND y un XOR tenemos un sumador de 1 bit (imagen) Basic Half Adder Circui wikipedia)

23 Resta Cuando se hacen restas en decimal tomamos dos números y los alineamos unos sobre el otro y tomamos cada columna desde la de los números menos significativos hasta aquella con los más significativos: Para cada uno realizamos una operación sencilla de resta de dos dígitos. Si el minuendo fuera menor que el sustraendo entonces pedimos prestado uno al siguiente dígito más significativo y realizamos la operación Minuendo con préstamo Minuendo Sustraendo Diferencia Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Se continúa hasta terminar el número.

24 Resta Binaria Es igual. 0-0 = = = = 1 (con préstamo de 1) Minuendo con préstamo Minuendo Sustraendo Diferencia Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel Es importante tener claro que cundo se hace un préstamo la cantidad prestada es igual a la base, que en este caso es dos y se representa como 10. Restas de minuendos menores que los sustraendos las veremos más adelante. (negativos) En las computadoras la forma de implementar las restas es utilizando sumas, entre el minuendo y el complemento a dos del sustraendo. (más adelante) En decimal cuando pido un préstamo es de 10, o sea la base. En binario también es de 10 la base, que en decimal es dos, por eso cuando vuelvo a prestar presto 1 y me quedo con 1.

25 Multiplicación La multiplicación consiste en sumar un número tantas veces como lo indique el multiplicador. 3 * 4 = = 12 Pero normalmente si los números son grandes utilizamos otro método: Se multiplica el multiplicando por cada uno de los dígitos del multiplicador, haciendo un corrimiento por cada operación o resultado parcial Nota: el resultado parcial respeta la posición del dígito del multiplicador (gracias al acarreo) Sumar los resultados parciales de manera normal Multiplicando 324 Multiplicador * 223 Acarreo de la suma final Primer resultado parcial Segundo resultado parcial Tercer resultado parcial Producto final Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel

26 Multiplicación Binaria Es igual. 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Operación lógica AND? Multiplique: * Nota: a pesar de que se pueden acumular todos los resultados parciales de la multiplicación y al final sumar es preferible no acumularlos para evitar confusiones con el resultado Multiplicando 1111 Multiplicador * 1101 I resultado parcial 1111 II resultado parcial Suma de resultados parciales (I y II) 1111 III resultado parcial acarreo Suma resultado parcial III y suma parcial IV resultado parcial acarreo Producto final Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel En las computadores se puede implementar utilizando compuertas AND, corrimientos (shift) y sumas sucesivas.

27 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: 1 El 1 más a la izquierda es el dígito más significativo de / 45 = 4 + 1/45

28 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: 1 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Si El dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Dígito = 1, Divisor = 45 Dígito < divisor, entonces se anota el / 45 = 4 + 1/45 Dígito = 18, Divisor = 45 Dígito < divisor, entonces se anota el 0

29 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: / 45 = 4 + 1/45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Si el dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Si el dígito es mayor o igual que el divisor entonces se calcula cuantas veces cabe el divisor en el dígito. (en el ejemplo sucede cuando dígito es 181, por lo que 181 >= 45 por lo que el cociente es 4)

30 División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: / 45 = 4 + 1/45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: El dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Si el dígito es mayor o igual que el divisor entonces se calcula cuantas veces cabe el divisor en el dígito. (en el ejemplo sucede cuando dígito es 181, por lo que 181 >= 45 por lo que el cociente es 4) Se multiplica la cantidad de veces que cabe el dígito dividendo por el divisor y se le resta al antiguo dividendo/dígito. (En el ejemplo: )

31 División binaria Divida: / 101 Operandos: Dividendo: Divisor: 101 Resultados: Cociente: 111 Residuo: 0 El procedimiento es igual al desarrollado en la división en base diez. La división binaria es más sencilla en comparación a la decimal

32 Ejercicio: convierta a binario y realice las operaciones aritméticas Asuma que el tamaño de los registros (precisión) es de 8 bits e indique cuando hay un acarreo. (CC) 16 + (3B) 16, (B5) 16 + (8F) 16, (A7) 16 + (1F) 16, (AB) 16 + (CD) 16, (32) 16 + (65) 16, (8) 16 - (1) 16, (C4) 16 - (25) 16, (EE) 16 (BA) 16 (1001) 2 * (1100) 2, (1101) 2 * (1111) 2 (101000) 2 / (1000) 2, ( ) 2 / (110) 2 Utilizar complemento a dos: (DB) 16 - (B2) 16 (8B) 16 - (81) 16 (86) 16 (36) 16

33 Referencias y Lecturas Complementarias Material suministrado por el profesor Jeff Schmidt, Instituto Tecnológico de Costa Rica. I semestre Acá tengo que agregar los textos que avilés ha utilizado para esto.

34 Las presentaciones para el curso IC-1801: "Taller de Programación" por Ing. En Computación Alajuela se distribuyen bajo una Licencia Creative Commons Atribución-Compartir Igual 3.0 Costa Rica *La licencia de la presentación no cubre las imágenes utilizadas*