Asignatura: Investigación de Operaciones

Transcripción

1 Asignatura: Investigación de Operaciones Tema II: Programación Lineal Contenido: Definición de P.L. Planteamiento del modelo de P.L. Objetivos: Conocer e interpretar los elementos del modelo. Platear modelos de P.L. basados en problemas cotidianos. La programación Lineal se aplica a situaciones que pueden ser presentadas mediante funciones lineales y es una de las técnicas de IO más usadas actualmente en la resolución de problemas de toma de decisiones. Definición matemática de Programación Lineal. La P.L. es el análisis de aquellos problemas en los que ha de hallarse el máximo o el mínimo de una función lineal de varias variables sujetas a cierto número de restricciones que tienen la forma de desigualdades y/o igualdades. En el modelo de Programación Lineal se busca la asignación óptima de los recursos escasos capital de trabajo, mano de obra, materiales, maquinas, espacio a diversas actividades competidoras. Elementos básicos de un modelo de P.L. 1) Un conjunto de variables no negativas que representan a las actividades que van a programarse, por ejemplo, productos por fabricarse, unidades por enviarse de un destino a otro, número de personas o máquinas que van a asignarse a un trabajo, etc. 2) Una función objetivo (F.O) que representa la meta que se desea alcanzar, por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos de producción. 3) Un conjunto de funciones lineales que representan las restricciones del sistema. Estas restricciones pueden deberse a la limitación de los recursos o a los requerimientos de demanda, entre otros.

2 La estructura del modelo general de Programación Lineal es la siguiente: Dado X 1, X 2,.., X n (variables de decisión) Maximizar (o minimizar) Z = C 1 X 1 + C 2 X C n X n (Función objetivo) Sujeto a las restricciones (s.a) a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n b 1 a 21 X 1 + a 22 X a 2n X n b 2 Restricciones Estructurales a m1 X 1 + a m2 X a mn X n b m Restricciones de no negatividad X j 0 j = 1, 2,. n. (una por cada variable) En este modelo de PL se establece que: n: representa el número de variables m: representa el número de restricciones C j : representa la contribución unitaria de X j al valor de la F.O. X 1, X 2,., X n : son las variables de decisión a ij : Coeficiente o requerimientos tecnológicos de las variables en las restricciones b i : representa la cantidad que se tiene de cada recurso o la demanda El símbolo en cada restricción puede ser sustituido por el símbolo ó = El símbolo representa un límite máximo en cada restricción. El símbolo representa un límite mínimo en cada restricción. Las restricciones de no negatividad garantiza que ninguna variable de decisión sea negativa. Limitaciones ( o supuestos) del modelo de P.L. Proporcionalidad: La función objetivo Z incrementa en proporción directa al incremento de X. Esto supone que la contribución de cada variable considerada independientemente de las otras es directamente proporcional al valor de la variable, tanto en la F.O. como en las restricciones.

3 Aditividad: Las contribuciones de los productos individuales son aditivas. Esto supone que no existen interacciones entre las actividades, es decir la contribución total en la F.O. es la suma de las contribuciones individuales. Divisibilidad: Supone que las actividades pueden dividirse en valores menores que la unidad por lo tanto, las variables de decisión pueden tomar valores fraccionarios. Formulación de problemas: 1. Identificación de variables de decisión 2. Determinar la cantidad que se optimizará (es decir la función objetivo) 3. Identificar todos los requerimientos, restricciones y limitaciones estipuladas y expresarlas en forma matemática. Ejemplo de modelo de Inversiones Una compañía de colocación de capitales tiene 350 millones de dólares de sus clientes para invertir buscando obtener el mayor rendimiento posible del dinero invertido. Las posibilidades actuales y las tasas de interés se dan en la tabla. Tipo de Proyecto Tasas Esperadas Inversión Máxima Empresas de Construcción 24% 100 millones Construcción de edificios de oficinas 26% 250 millones Construcción de centros comerciales 28% 200 millones Bonos del estado 17% 100 millones Para estas inversiones la compañía ha fijado la siguiente política: todo el capital debe ser colocado. Se debe invertir entre un 15% y un 30% en empresas de construcción; por lo menos el 50% del dinero deberá ser colocado en construcción de centros comerciales y edificios de oficinas; en bonos del estado se debe el 20% como máximo y el 10% como mínimo. Formular el modelo de PL para este problema. Siguiendo el procedimiento descrito primero se definen las variables de decisión Como lo que se quiere es determinar las cantidades de dinero que se colocarán en cada proyecto, es lógico que las variables representen las cantidades a invertir en cada tipo de proyecto. Sea: X 1 = Cantidad de $ a invertir en empresas de construcción

4 X 2 = Cantidad de $ a invertir en construcción de edificios de oficinas X 3 = Cantidad de $ a invertir en construcción de centros comerciales X 4 = Cantidad de $ a invertir en bonos del estado Función objetivo: La meta es obtener el rendimiento máximo de la inversión total. Cada $ colocado en empresas de construcción produce una utilidad del 24%, por lo tanto la utilidad total de los X 1 millones invertidos en empresas de construcción es de 0.24 X 1. De manera similar se obtienen las otras utilidades. La función objetivo queda así: Maximizar Z = 0.24 X X X X 4 Restricciones Entre las restricciones estructurales figuran las siguientes: Primero el capital es de 350 millones de dólares y se debe de colocar en su totalidad. Esto se expresa matemáticamente así: X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 350 millones (capital total a invertir) Para cada tipo de proyecto debe existir una restricción que refleje la concesión máxima posible a otorgar. En el caso del proyecto de empresa de construcción el máximo a invertir es 100 millones, en consecuencia la restricción es X millones Hay que incluir tres restricciones más para el resto de los proyectos. Por otra parte se debe invertir entre un 15% y un 30% en empresas de construcción y como se debe invertir todo el capital, se puede calcular directamente el monto que representa el 15% y el 30% del total (350 millones) = millones y 0.30 (350 millones) = 105 millones Se obtienen las siguientes dos restricciones: 52.5 millones X millones Se debe invertir por lo menos el 50% del capital en construcción de edificios de oficinas y centros comerciales 0.50 (350 millones) = 175 millones La restricción es X 2 + X millones En bonos del gobierno se debe invertir entre un 10% y un 20% del total

5 0.10 (350 millones) = 35 millones y 0.20 (350 millones) = 70 millones La restricción es 35 millones X 4 70 millones La formulación completa del modelo para este problema es: Maximizar Z = 0.24 X X X X 4 Sujeta a X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 350 millones (capital total a invertir) X millones X 2 X millones 200 millones Inversión máxima en todos los proyectos X 4 = 100 millones 52.5 millones X millones (Límite de inversión en construcción de empresas) X 2 + X millones (Inversión en construcción de edificios de oficinas y centros comerciales) 35 millones X 4 70 millones (Inversión en bonos del Estado) X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 0 (Restricción de no negatividad) Ejemplo de Programación de la Producción de un Pedido Una microempresa emplea durante 2 semanas a 4 carpinteros para ensamblar mesas y sillas. El horario de trabajo es de 7: 00 a.m. a 12:00 m.d. y de 1:00 p.m. a 4:00 p.m., de lunes a viernes y de 7:00 a.m. a 11:00 a.m. los días sábados (5.5 días por semana). Cada carpintero ganará C$ 60 por hora. Un carpintero puede ensamblar 4 mesas o 16 sillas por día. El costo de los materiales es de C$ 1200 por mesa y de C$ 350 por silla. El precio de venta de las mesas es de C$ 2500 y de las sillas es C$ 650 cada una. Cada mesa se vende con 4 sillas. El problema consiste en determinar la cantidad de mesas y sillas que deberán producirse en 2 semanas, las variables de decisión del modelo se definen como: X 1 : Número de mesas fabricadas en las 2 semanas X 2 : Número de sillas fabricadas en las 2 semanas Formulación de la Función Objetivo

6 Como se necesita calcular la utilidad de cada mesa y de cada silla se debe hacer los siguientes cálculos: Según los datos del problema un operario trabaja 8 horas por día y puede hacer 4 mesas o 16 sillas. Si un operario hace 4 mesas en 8 horas, entonces una mesa la hace en 2 horas 8 horas 4 mesas = 2horas/mesa Si un operario hace 16 sillas en 8 horas, entonces una silla la hace en media hora 8 horas = 0.5 horas/silla 16 sillas Costo de mano de obra por mesa = (2 horas) (C$ 60) = C$120 por cada mesa Costo de mano de obra por silla = (0.5 horas) (C$ 60) = 30 por cada silla Contribución por cada producto = Precio de venta (Costo de material + Costo de producción) Contribución por cada mesa: C 1 = 2,500 ( ) = 1,180 Contribución por cada silla: C 2 = 650 ( ) = 270 La utilidad de producir X 1 mesas está dada por: X 1 La utilidad de producir X 2 sillas es de: 270 X 2 La Función Objetivo es: Maximizar Z = X X 2 Formulación de las restricciones Una restricción corresponde al periodo de tiempo que dura la producción Cada operario trabaja 5.5 días durante 2 semanas por 8 horas diarias Total de horas de trabajo en las 2 semanas = (11 días) (8 horas) (4 operarios) = 352 horas Una mesa necesita 2 horas de trabajo, para hacer X 1 mesas se necesita 2X 1 horas. Una silla necesita 0.5 horas de trabajo, para hacer X 2 sillas se necesita 0.5 X 2 horas. La restricción que expresa el total de horas de trabajo en dos semanas es: 2 X X horas

7 Además como cada mesa se vende con cuatro sillas, se deben producir una cantidad cuatro veces mayor de sillas que de mesas. Esto da que X 2 es cuatro veces mayor que X 1, por lo que al plantear la restricción se establece la siguiente proporción: El modelo completo sería Maximizar Z = 1,180 X X 2 x 1 x 2 = 1 4 4x 1 = x 2 x 1, x 2 0 Sujeto a 2X X (Horas disponibles en el período de dos semanas) 4X 1 = X 2 X1, X2 0 (Fabricar 4 sillas por cada mesa) (Restricción de no negatividad) Bibliografía 1)Lipcia Munguía Ulloa. María Auxiliadora Protti Quesada Investigación de Operaciones 2) Frank S. Budnick Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales