Ms. C. Marco Vinicio Rodríguez

Transcripción

1 Ms. C. Marco Vinicio Rodríguez

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3 Uno de los objetivos de la estadística es saber acerca del comportamiento de parámetros poblacionales tales como: la media (μ), la varianza (σ²) o la proporción (P). Se extrae una muestra aleatoria de la población y se calcula el valor de un estadístico correspondiente, por ejemplo, la media muestral (Ẋ), la varianza muestral (S²) o la proporción muestral (Ṕ). El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada. y, por lo tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual es llamada la Distribución Muestral del Estadístico. Algunas distribuciones muestrales son de interés particular, como la de la Media. En este punto se introduce las distribuciones muestrales de la Media, Varianza y proporción. Más adelante se introducirá otras distribuciones.

4 Se define la distribución muestral de un estadístico (distribución de muestreo) en una población, como la distribución de probabilidad de todos los posibles valores que un estadístico puede asumir para cierto tamaño de la muestra. Específicamente, se trabajará con las distribuciones muestrales para: medias, proporciones y varianzas. Una distribución muestral es una distribución de probabilidad de un estadístico muestral calculado a partir de todas las muestras posibles de tamaño n, elegidas al azar en una población determinada. Si la población es infinita, tenemos que concebir la distribución muestral como una distribución muestral teórica, ya que es imposible sacar todas las muestras aleatorias posibles de tamaño n de una población infinita. Si la población es finita y moderada se puede construir una distribución muestral experimental, sacando todas las muestras posibles de un tamaño dado, calculando para cada muestra el valor del estadístico que nos interesa.

5 Ejemplo, supongamos que se tiene una población de tamaño N = 10 y queremos extraer con reemplazamiento todas las muestras posibles de tamaño n = 5, para esto se utiliza la relación N n, es decir, 10 5 = muestras de tamaño n = 5. En cambio, si el muestreo es sin reemplazamiento, el número de muestras de tamaño N = 5 viene dado por la combinatoria: N n = N! n! N n! = 10! 5! 10 5! = = = 252 Por lo que considerando este caso, la distribución muestral para un estadístico determinado, por ejemplo, la media X viene dado por: Esto es,,,.. o sea, la distribución muestral de medias.

6 A partir de las distribuciones muestrales es importante diferenciar si estamos hablando de elementos de la población o de la muestra y esto lo haremos teniendo en cuenta la siguiente notación. Vamos a construir una distribución muestral experimental de medias calculadas a partir de todas las muestras posibles que se pueden obtener de una población pequeña, con el fin de comprender la naturaleza de la distribución muestral

7 En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. μ ó es el símbolo de la media aritmética. La formula para calcular la Media aritmética para datos no agrupados es: μ= La formula para calcular la Media aritmética para datos no agrupados es: μ=

8 En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como σ²) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Está medida en la unidad de medida de la variable al cuadrado. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado.

9 Para calculara la varianza utilizaremos la formula: σ²= ( )² La principal función y utilidad que se le puede encontrar a la varianza es que nos permite saber y determinar qué es normal, qué es grande, qué es pequeño, aquello que es extra grande o bien aquello que es extra pequeño. La Desviación Estándar es la Raíz Cuadrada de la Varianza, su formula entonces es: σ= = σ²

10 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

11 1. La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. 4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

12 1. La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza. 3. La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

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14 Xi-μ (Xi-μ)² Varianza σ²= ()² σ² = = = σ= σ= 147 = 21704

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16 Construcción De una población discreta, finita, de tamaño N, extraer todas las muestras posibles de tamaño n * Calcular el valor del estadístico de interés de cada muestra * Hacer una tabla con dos columnas: en la primera los posibles valores diferentes del estadístico y en la segunda, la frecuencia de ocurrencia. Distribución Muestral de la Media Una población consiste de 10 vendedores de una compañía. La variable de interés, X, es la antigüedad. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} Podemos calcular los siguientes Xi (Xi-μ)² (Xi-μ)² 1 (1-5.5)² = (2-5.5)² = (3-5.5)² = (4-5.5)² = (5-5.5)² = (6-5.5)² = (7-5.5)² = (8-5.5)² = (9-5.5)² = (10-5.5)² = Totales Media μ= Varianza σ²= ()² = = 5.5 =. = 8.25

17 Consideremos una población conformada por 5 personas (N=5). La variable de interés es el gasto anual en alimentación (en miles de Quetzales). Los datos de la población son: {78, 67, 83, 56} vamos a responder a cada literal teniendo en cuenta la notación utilizada. a. Calcular la media y la desviación estándar de la población b. La Varianza Xi (Xi-μ)² (Xi-μ)² 78 (78-71)² = (67-71)² = (83-71)² = (56-71)² = 225 Totales μ= σ²= Media = Varianza ()² = = 71 =

18 Marca de Clase Absoluta LI LS Xi fi Xi*fi (Xi-μ)²*fi Media 1820 = μ= 42 Varianza σ²= (Xi-μ)²*fi N = = Desviacion Estandar σ= (Xi μ)² fi) = N = 14.79