6 6 + c. = 10 c 2 = 10. Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: = 10 c 1

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1 7 Determina c para que a distancia da recta x y + c 0 ó punto (6, ) sea de 0 unidades. (Hai doas solucións). dist (P, r) 6 + c c c Hay dos soluciones: c 0 c 0 0 c 0 0 c 0 Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: 0 x y P x y Calcula o valor de a para que a distancia do punto P (, ) á recta ax + y 0 sexa igual a. dist (P, r) a + a + 4 a + a + (a + 4) a + 4 a + a + (a + 4) a + 4 Al elevar al cuadrado obtenemos la misma ecuación en ambos casos. (a + ) (a + 4) a + 4a + 4 a + 8 a 4 ± 6 6 4a a Páxina 08 Ángulos 9 Acha o ángulo que forman os seguintes pares de rectas: y x + x y a) b) y x + 0x + 6y 0 x t x t x y 0 c) c) y t y 4 + t y + 0 a) r: y x + s: y x + m r m s sus pendientes son: ( ) + ( ) tg α α 4 + m r m s m r m s Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 6

2 b) v (, ) r w (0, 6) r α r r v, w v w 0 0 cos α 0 α 90 v w v w c) Los vectores directores de esas rectas son: d (, ) y d (, ) Entonces: d d cos α + α 4 d 0 d d) a (, ) r a (0, ) r α r r a, a a a 0 cos α a a 4 0,447 α 6 6',8" 0 Qué ángulo forma a recta x y co eixe de abscisas? No é necesario que apliques fórmula ningunha. Sabes que a pendente de r é a tangente do ángulo que forma r co eixe de abscisas. Acha o ángulo coa pendente de r. La pendiente de r es m r. La pendiente de r es, además, tg α: m r tg α tg α α 6 8',8" Y r α X Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 7

3 Qué ángulo forma a recta x y + 0 co eixe de ordenadas? O ángulo pedido é o complemento do ángulo que a recta forma co eixe de abscisas. El ángulo pedido, α, es complementario de β tg β tg α Por otro lado, tg β m r : tg α tg β α 6 ' 4," Y r α β X Calcula n de modo que a recta x + ny 0 forme un ángulo de 60 co OX. Y tg 60 r Como tg 60 m r, se tiene que: m r n 60 X n n PARA RESOLVER Calcula m e n nas rectas de ecuacións: r: mx y + 0 s: nx + 6y 8 0 sabendo que son perpendiculares e que r pasa polo punto P (, 4). As coordenadas de P deben verificar a ecuación de r. Así calculas m. Expre sa a perpendicularidade con vectores ou con pendentes e acha n. P (, 4) r m m (m, ) r (n, 6) s Como deben ser r s (m, ) (n, 6) (m, ) (n, 6) 0 m n + ( ) 6 0 n 0 n 4 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 8

4 m n NOTA: Usando las pendientes m r y m s, para que r s debe ser 6 m r m s, es decir: m n 6 ( ) mn n n 4 4 Acha as ecuacións das rectas r, s, t e p. t Y 0 0 r p s Y 0 t s p X r α β 80 β X r p: Pasa por los puntos (, ) y (, 4). Así, su pendiente es: 4 ( ) 7 m ( ) 4 Por tanto: 7 p: y + (x 4) 7x 4y r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto ( 0, ). Por tanto: r : y s: Su vector director es (0, ) y pasa por (, 0). Por tanto: x s: y t t: Pasa por los puntos (, 0) y (, ). Así, su pendiente es: 0 m 4 Por tanto: t: y (x ) x + y 0 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 9

5 x + t Dada a recta r: acha k de modo que r sexa paralela á y + kt bisectriz do segundo cuadrante. x t La bisectriz del segundo cuadrante es x y (en paramétricas). Su vector director es d y t (, ). El vector director de r es r (, k). Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores directores deben ser proporcionales: k k 6 No triángulo de vértices A(, ), B (, ), C (, 4), acha as ecuacións de: a) A altura que parte de B. b) A mediana que parte de B. c) A mediatriz do lado CA. a) La altura que parte de B, h B, es una recta perpendicular a AC que pasa por el punto B: h B AC (, 7) el vector director de h B es h B (7, ) B (, ) h B x t x + 7t h B : 7 x y y + t 7 t y h B : x 7y 8 0 b) m B (mediana que parte de B) pasa por B y por el punto medio, m, de AC: + m (, ) (, ) m B B (, ) m B 4 9 m B (, + ) (, ) es vector director de m B. Luego: x + m B : y + 9 t t x 0 + 9t t y Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 0

6 x 0 t 9 x 0 y m B : 6x 8y 0 t y 9 c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado, m'. Así: CA (, 7) z vector director de z: 4 + m' (, ) (, ) z z (7, ) x x + 7t t 4 x y + z: 4 0 y + t t y + 0 z: 0x 8y 4 0 z: x 7y A recta x + y 6 0 determina, ó cortar a os eixes de coordenadas, un segmento AB. Calcula a ecuación da mediatriz de AB. Despois de achar os puntos A e B, acha a pendente da mediatriz, inversa e oposta á de AB. Co punto medio e a pendente, podes escribir a ecuación. Y A B X x + y 6 0 A r I eje Y: y 6 0 y A (0, ) x 0 x + y 6 0 B r I eje X: x 6 0 x B (, 0) y 0 AB (, ) m AB (mediatriz de AB) m AB (, ) m AB (, ) (, ) (punto medio de AB) mediatriz y ( x ) y x m AB 4 : 6x 4y 0 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

7 8 Determina os puntos que dividen ó segmento AB, A(, ), B(, 4), en tres partes iguais. Se P e Q son eses puntos, AP AB. Escribe as coordenadas de AP e de AB e obtén P. Q é o punto medio de PB B A P Q AP AB (x +, y ) (7, ) 7 x + x P (, ) y y + 7 Q es un punto medio de PB Q ( / + + 4, ) Q 8 (, ) 9 Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que PQ QR 0, sendo Q(, ) e R(, )? PQ QR ( x, y) ( 4, ) 9 x 8 x P ( 7, 0 ) 6 y 6 0 Os puntos medios dos lados de cualquera cuadrilátero forman un paralelogramo. Comprobao co cuadrilátero de vértices: A(, 8) B(, ) C(, 0) D(, 6) A S D P R y 0 B 7 Q C P (, ) (4, ) Q (, ); R (0, ); S (, 7) PQ ( 4, ) (, 4) SR (0, 7) (, 4) SP (4, 7) (, ) RQ ( 0, ) (, ) PQ SR SP RQ Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

8 Acha o pe da perpendicular trazada desde P(, ) á recta r: x y Escribe a perpendicular a r desde P e acha o punto de corte con r. P (, ) r : x y P' (x, y) s Sea s la recta perpendicular a r desde P y r (, ) vector director de r. Así, PP' r el vector director de s, s, también es perpendicular a r ( s r ), luego podemos tomar s (, ). Como P (, ) s: x + t t x y + s: x x + y + y t t y + s: x + y 0 El punto P' (x, y) es tal que: P' s I r s: x + y 0 y x r: x y Sustituyendo en la segunda ecuación: x ( x) x + 4x x y ( ) Luego: P' (, ) As ecuacións dos lados do triángulo ABC son AB: x + y 4 0, AC: x y 0, BC: x + y 0. Acha: a) Os vértices do triángulo. b) O vector que une os puntos medios de AB e AC. Comproba que é paralelo a BC. b) As coordenadas de BC deben ser proporcionais ás do vector que calculaches. Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

9 A B C a) A AB I AC B AB I BC C AC I BC A: AB: x + y 4 0 AC: x y 0 Sumamos las ecuaciones: x 4 0 x Sustituyendo en AC: y 0 y Luego: A (, ) B: AB: x + y 4 0 BC: x + y 0 x y Luego: B ( 4, 4) y + y 4 0 y 4 x 4 C: AC: x y 0 BC: x + y 0 x y Luego: C (0, 0) y y 0 y 0 x 0 b) El punto medio de AB es M AB (, ). El punto medio de AC es M AC (, ). M AB MAC (, ) BC (4, 4) Así, M AB MAC // BC, pues: M AB MAC BC Calcula o área dun cuadrilátero de vértices: A( 4, ), B(0, ), C(4, ) e D(, ) Traza unha diagonal para descompoñelo en dous triángulos da misma base. Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 4

10 B (0, ) A ( 4, ) D (, ) C (4, ) La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya medida es: AC (8, ) 89 Sean h B y h D las alturas desde B y D, respectivamente, a la base: h B dist (B, r) y h D dist (D, r) donde r es la recta que contiene el segmento AC. Tomando como vector director de r el vector AC, la ecuación de dicha recta es: x + 8y + k 0 Como ( 4, ) r k 0 k 4 r: x + 8y 4 0 Luego: h B dist (B, r) h D dist (D, r) ( ) + 8 ( ) Así: b h A ABCD A ABC + A ADC B b h + D b (h B + h D ) 89 6 ( + ) Calcula a área do triángulo que teñen os lados sobre as rectas: r: x s: x + y 6 0 t: x y 7 0 r A s C B t Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

11 x A r I s 6 + y 6 0 y 0 x + y 6 0 Luego: A (, 0) x B r I t y 7 0 y 4 x y 7 0 Luego: B (, 4) x + y 6 0 C s I t x y 7 0 x y + 7 (y + 7) + y 6 0 y y 6 0 y y 8 7 x Luego: C (, ) Consideramos el segmento AB como base: AB (0, 4) La altura desde C es h C dist (C, r) ( 8/) + 0 Así: AB h C 4 / Área 46 Páxina 09 Traza, polo punto B(0, ), unha recta de pendente /. Polo punto C(, 0), traza unha recta perpendicular á anterior. Córtanse nun punto A. Calcula a área do triángulo ABC. r B (0, ) A (, 6) r C (, 0) Sea r la recta por A y B. Su pendiente es m r r: y x + Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 6

12 Sea s la recta por A y C. Su pendiente es m s (pues r s): s: y 0 (x ) s: y x + y (/)x + A r I s x + x + y x + 0 x 0 x y + 6 Luego: A (, 6) La base del triángulo es: AB (, ) 0 La altura es: AC (, 6) 40 0 AB AC 0 0 El área es: A ABC 0 6 No triángulo de vértices A(, ), B(, 4) e C(4, ), acha as lonxitudes da mediana e da altura que parten de B. Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC. M (, 0) BM (, 0 4) ( ), 4 La longitud de la mediana es: BM / Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B. AC (, ) la recta que contiene ese segmento es: x + t x + y + r: x y 0 y + t v (, ) AC la recta s r que pasa por B: x t x y 4 s: x + y 8 0 y 4 + t r: x y 0 P r I s s: x + y 8 0 Multiplicamos la primera por y la segunda por, y sumamos: 4x 0y 6 0 x + 0y x 96 0 x 96 9 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 7

13 y 0 y y : 9 96 Luego: P (, ) 9 Así: h B BP (, ),8 7 Acha o punto da recta x 4y que equidista de A( 6, 0) e B(0, 6). P r A ( 6, 0) B (0, 6) P (x, y) debe verificar dos condiciones:. P (x, y) r x 4y dist (A, P) dist (B, P) (x + 6) + y x + (y + 6) x 4y x 4y x + x y x + y + y + 6 x y x 4x x 8 y P (8, 8) 8 Determina un punto na recta y x que diste unidades da recta x y P (x, y) r: y x dist (P, r'), donde r': x y y x x x + 8 x + 8 x y dos posibilidades: x x 0 8 x x 0 8 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 8

14 y P ( 8, 6 6) y P ( 0 8, 6 0 6) r' P P r 9 Acha dous puntos da recta y x + que equidistan das rectas x +y 0 e 4x y + 0. Sean r, r y r las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Buscamos los puntos P (x, y) que cumplan: P r y x + dist (P, r ) dist (P, r ) x + y x + ( x + ) 4x ( x + ) + 4x y + 0 6x x, o bien x 6x x 6x + x 6x, o bien 8x x /8 x 6x + 4x x /4 y y P (, 8 8 ) P (, ) 4 40 Calcula c para que a distancia entre as rectas 4x + y 6 0 e 4x + y + c 0 sexa igual a. Sea P r donde x 0 0 y 0 P (0, ) r 4 Así, dist (r, r ) dist (P, r ) c c 6 + c c c c Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 9

15 4 O lado desigual do triángulo isóscele ABC, ten por extremos A(, ) e B(4, ). O vértice C está na recta x y Acha as coordenadas de C e a área do triángulo. La recta del lado desigual (base) tiene como vector director AB (, ): x + t x y + r: r: x y 0 y + t La recta que contiene la altura tiene por vector director a (, ) AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por m (, ) : x / t x y h c : y / + t 0 6 h c : x + 0y 40 0 h c : 6x + 0y 0 0 C s I h c donde s: x y x y x + 0y 0 0 x x + 0 x Luego: C (, ) base altura AB Cm Área (*) AB (, ) AB 6 4 Cm (, ) Cm 6x + y 6 0 6x + 0y 0 0 y 6 0 y (*) 4 ( 80/6) 4, Duas casas están situadas nos puntos A(4, 0) e B(0, ). Quiérese construir un pozo que estea á mesma distancia de A e de B, e a 8 m de unha canalización que une A e B. Cal será o lugar adecuado? La recta que une A y B tiene por vector director: x 4 4t x 4 y AB ( 4, ) r: r: x + 4y 0 y t 4 El pozo debe estar en un punto P (x, y) tal que: Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 0

16 dist (P, r) 8 dist (P, A) dist (P, B) x + 4y x + 4y (x 4) + y x + (y ) x 8x y x + y 6y + 9 x + 4y 40 8x + 6 6y + 9 x 6y y y 40 8y + + y y 7 0 0y 7 0 0y (79/0) + 7 ( )/0 y x ( 49/0) + 7 y x Luego: P (, ), P 4 49 (, ) (Son dos puntos de la mediatriz del segmento AB). P B A P 4 Acha a ecuación da recta que pasa polo punto de intersección das rectas r e s e forma un ángulo de 4 coa recta: x + y 6 0. r: x y 9 0 s: x 0 x y 9 0 P r I s: 9 y 9 0 y 0 x 0 Luego: P (, 0) Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

17 Como la recta pedida y x + y 6 0 forman un ángulo de 4, entonces si sus pendientes son, respectivamente, m y m, se verifica: m m tg 4 + m m ( /) m + ( /) m m m m m, o bien ( m ) m 4m 6 m 6/4 6m 4 m 4/6 6 Hay dos posibles soluciones: t : y 0 (x ) t : y x t : y 0 (x ) t : y x Dadas as rectas: r: x y 7 0 s: x ky 8 0 calcula o valor de k para que r e s se corten formando un ángulo de 60. Acha a pendente de r. A pendente de s é /k. Ten en conta que obterás dúas solucións. Las pendientes de r y s son, respectivamente: m r y m s Entonces: / /k tg 60 k + / /k k + 6 k dos casos: (k + 6) k k + 6 k (k + 6) k k 6 k k 6, k + 6 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

18 4 As rectas r: x y + 6 0, s: x + y 6 0 e t: x y 4 0 son os lados dun triángulo. Represéntao e calcula os seus ángulos. m r Y m s ; m t / ( ) + / ( ) tg (r, s) Luego: (r, s) 60 ' 8,4" 7/ 7 4 t r s X / / + / / tg (r, t) 6 Luego: (r, t) 4 0' 0,7" Por último, (s, t) 80 (r, s) (r, t) 8 4' " 46 Acha os ángulos do triángulo con vértices A(, ), B(8, ) e C(, 4). Representa o triángulo e observa si ten algún ángulo obtuso. AB (, ); BA (, ) Y AC (6, 6); CA ( 6, 6) A (, ) BC (, ); CB (, ) cos ^A AB AC ,868 0 AB AC 7 C (, 4) X B (8, ) Luego: ^ A 9 44' 4,6" cos ^B BA BC 9 0,69 0 BA BC 4 ^ Luego: B 46 ' 7,9" ^ Así, C 80 ( ^A + ^B) 04 ' 0," Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

19 47 Acha a ecuación da recta que pasa polo punto (0, ) e forma un ángulo de 0 coa recta x. A recta que buscamos forma un ángulo de 60 ou de 0 co eixe OX. r Y La recta r forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. Su pendiente es: (0, ) 60 0 x 0 X m tg 60, o bien m tg 0 Teniendo en cuenta que debe pasar por posibles soluciones son: P (0, ), las r : y x + r r : y x + 48 A recta x + y 0 é a bisectriz dun ángulo recto que ten como vértice (, ). Acha as ecuacións dos lados do ángulo. Las pendientes de las tres rectas son: m b, m r, m r' r V (, ) 4 4 b: x + y 0 r' m b m r m r tg 4 + m b m r m r m r m r m r + m r' m r' m r' / r: y ( x + ) y x + r': y ( x + ) y x + 6 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 4

20 49 Encontra un punto na recta x y 6 0 que equidiste dos eixes de coordenadas. Eje X: y 0 Eje Y: x 0 P (x, y) r dist (P, eje X) dist (P, eje Y ) x y 6 0 y x dos casos: x y 6 0 x y x y y y 6 0 y 6 x 6 y y 6 0 y x P ( 6, 6) P (, ) Y r X P P 0 Acha as ecuacións das rectas que pasan por A(, ) e forman un ángulo de 60 coa recta x y. b: x y su pendiente es m b m + m tg 60 + m m m + + m m m + Teniendo en cuenta que pasan por A (, ): m + m r : y (x + ) + + r : y (x + ) + ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos

21 Un raio luminoso parte do punto P(, 4) e reflíctese sobre o eixe das abscisas no punto Q(, 0). Acha a ecuación do rayo reflectido. Sea β el ángulo que forma PQ con el eje X. Como PQ (, 4): tg β 4 Y P r α α Q X Por otra parte, α 80 β tg α tg (80 β) tg β 4 tg α 4 Como la pendiente de r es m r tg α y esa recta, r, pasa por Q (, 0): r: y 0 (x ) r: y x Escribe a ecuación da recta r que pasa por A(, ) e B (, 6) e acha a ecuación de unha recta paralela a r, que estea a unha distancia de r igual á distancia entre A e B. vector director AB (, ) x + t r: r: pasa por A (, ) y + t x y x y + 0 r: x y + 0 s // r m s m r y x + c s: x y + c 0 dist (r, s) dist (A, s) dist (A, B) + c + ( ) AB + c 8 + c 6 c c 6 c 6 + s : x y s : x 0 Busca o punto simétrico de P(, ) respecto á recta x y 4 0. PP' v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y v es el vector director de la misma. PP' v 0 (x, y ) (, ) 0 (x ) + (y ) 0 x + y 0 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 6

22 Además, el punto medio de PP', m, debe pertenecer a la recta. Luego: x + y + m (, ) r x + y x + y 8 0 x y 9 0 Así, teniendo en cuenta las dos condiciones: x + y 0 x y 9 0 x 9 + y (9 + y) + y y + y 0 y x 9 + ( ) 9 6 Luego: P' (, ) 4 Un rombo ABCD ten un vértice no eixe das ordenadas; outros dous vértices opuestos son B(, ) e D(, ). Acha as coordenadas dos vértices A e C e a área do rombo. Sea A eje Y A (0, y ) y sea el punto C (x, y ). Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M. Además, AC BD. Y C B (, ) M X D (, ) A M (, ) (, ) es el punto medio de BD (y de AC). Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC): BD ( 8, 4) d (4, 8) es vector director de d M (, ) d La pendiente de d es m d 8 4 M (, ) d d : y + (x + ) y x Así: y x A d I eje Y: y A (0, ) x 0 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 7

23 M es punto medio de AC (, ) (, ) x + y y Área x AC BD AC (, 4) 0 BD ( 8, 4) 8 4 No triángulo de vértices A(, ), B(, ) e C(4, ), acha o ortocentro e o circuncentro. O ortocentro é o punto de intersección de as alturas. O circuncentro é o punto de intersección de as mediatrices. ORTOCENTRO: R h A I h B I h C donde h A, h B y h C son las tres alturas (desde A, B y C, respectivamente). a BC (, ) a (, ) x + t h A h A : A h A y + t x + y h A : x y + 0 b AC (7, ) b (, 7) x + t h B h B : B h B y + 7t y x h B : 7x y C (, ) 0 + x + y c AB ((4, ) c (, 4) x 4 + t h C h C : C h C y 4t Área 4 0 y x 4 h C : 4x + y Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección: h B I h C : 7x y 4 0 4x + y 7 0 Sumando: x 0 x y 7x R (, ) Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 8

24 NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en h A. Basta con sustituir en su ecuación. CIRCUNCENTRO: S m A I m B I m C, donde m A, m B y m C son las tres mediatrices (desde A, B y C, respectivamente). a BC a (, ) m A Punto medio de BC: m (, ) m A y ( x ) y x c AB (4, ) c (, 4) m C Punto medio de AB: m' (, ) m C y 4 (x + ) y 4x 7 4 Así: 7 y x 7 4 S m A I m C : x 4x 4 y 4x 6x 7 6x 6 x x 4 y 4 7 Así, S (, ). 7 NOTA: Se podría calcular m B y comprobar que S m B. 6 A recta x + y 4 0 é a mediatriz dun segmento que ten un extremo no punto (0, 0). Acha as coordenadas do outro extremo. r: x + y 4 0 O (0, 0) A (x, y) Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 9

25 Un vector director de la recta es el v (, ). Debe verificarse que: v OA v OA 0 (, ) (x, y) 0 x y 0 x y Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta: x y M (, ) r y y y + y 8 0 x y 6 8 Luego: A (, ) 8 8 y x 6 Páxina 0 7 Os puntos P(, 4) e Q(6, 0) son vértices consecutivos dun paralelogramo que ten o centro na orixe de coordenadas. Acha: a) Os outros dous vértices. b) Os ángulos do paralelogramo. P (, 4) Y S O X Q (6, 0) R a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices: R (, 4), S ( 6, 0) b) PQ SR (8, 4) QP RS ( 8, 4) PS QR ( 4, 4) SP RQ (4, 4) cos ^P PS PQ + 6 0,6 PS PQ 80 ^ P 08 6',8" ^R Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 40

26 ^ S 60 ( ^P + ^R) 7 ' 4" ^Q NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores: cos ^S SP SR 6 ^ 0,6 S 7 ' 4" SP SR 80 8 Dos dos lados dun paralelogramo están sobre as rectas x + y 0 e x y e uno dos seus vértices é o punto (6, 0). Acha os outros vértices. Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r : x + y 0 x + y 0 r : x y x + y 4 0 y 6 0 y x + 0 x 0 Luego un vértice es A (0, ). El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s // r una recta que pasa por C y s // r una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre s las que están los otros lados. A r B Así, los otros vértices, B y r D, serán los puntos de corte de: r I s B r I s D D C s x + y + a 0 s : s : x + y 6 0 C s a 0 a 6 x y + b 0 s : s : x y 6 0 C s b 0 b 6 x + y 0 B r I s : x y 6 0 Resolviendo el sistema: De la primera ecuación x y en la segunda y y y x B (, ) Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 4

27 D r I s : y x D (, ) x + y x + y 6 0 x 6 y 6 y y Acha un punto do eixe de abscisas que equidiste das rectas 4x + y e x + 4y 9 0. P (x, 0) debe verificar dist (P, r) dist (P, s): x x + 6 x 9 x P (, 0), P (, 0) 60 Dada a recta r: x y 4 0 e o punto P(, ), acha os vértices dun cadrado que ten en P uno dos seus vértices e un lado sobre r. Traza a perpendicular a r desde P e acha o punto de corte, Q. Acha a paralela a r que pasa por P e as paralelas a PQ a unha distancia igual a PQ. Hai dous cadrados. Un segundo vértice estaría en el punto de corte de r con la perpendicular a r por P, s (de vector director (, )). s: x + y + C 0 P (, ) s + + C 0 C s: x + y 0 x y 4 0 Así: Q s I r x + y 0 Resolvemos el sistema y obtenemos Q (, ). Un tercer vértice estará en una recta t, t // r, que pase por P (, ). Entonces: t: x y + k 0 P (, ) t 4x + 6 (x 9) x /7 + k 0 k t: x y + 0 4x Así, el tercer y cuarto vértices serán los puntos de corte de la recta paralela (hay dos soluciones) a s a una distancia igual a PQ, con t y con r, respectivamente. Sea m // s x + y + M 0, con: dist (P, m) dist (P, Q) + + M + ( ) + M + M + M M m : x + y M M 8 m : x + y Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 4

28 Calculemos, por último, los vértices R y S (habrá dos soluciones para cada uno): R m I r (4 + y) + y + 0 y 0 y x 0 Luego: R (0, ) R m I r (4 + y) + y 8 0 y 0 y 0 x 4 Luego: R (4, 0) S m I t (y ) + y + 0 y 0 y 0 x Luego: S (, 0) S m I t (y ) + y 8 0 y 0 y x Luego: S (, ) x + y + 0 x y 4 0 x 4 + y x + y 8 0 x y 4 0 x 4 + y x + y + 0 x y + 0 x y x + y 8 0 x y + 0 x y Por tanto, hay dos cuadrados: PQR S y PQR S NOTA: Podríamos haber calculado S y S teniendo en cuenta que el punto medio de las dos diagonales coincide. 6 Acha o punto da recta x 4y 0 que coa orixe de coordenadas e o punto P( 4, 0) determina un triángulo de área 6. Se tomamos como base PO 4, a altura do triángulo mide. O punto que buscamos está a unidades de PO e en a recta dada. Hai dúas solucións. Los vértices son O (0, 0), P ( 4, 0), Q (x, y). Si tomamos como base OP, entonces: OP h 4 h Área 6 h El punto Q (x, y) r x 4y 0 y debe verificar que d (Q, OP). La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector director OP ( 4, 0) y pasa por (0, 0). Luego es el eje X: y 0. Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 4

29 Así: x 4y 0 y y 0 + y x 4 0 x x 4 ( ) 0 x Luego hay dos triángulos, OPQ y OPQ, donde: Q (, ) y Q (, ) 6 Dados os puntos A(, ) e B(4, 0), determina un punto C tal que AC BC. Acha a recta que pasa por C e ten pendente igual a. Llama D ó punto de corte desa recta co eixe de ordenadas. Demostra que a área do triángulo ACD é o doble da do triángulo BCD. AC BC (x +, y + ) (x 4, y 0) x + x 8 x 0 C (0, ) y + y y r: y (x 0) y x 9 D r I eje Y D (0, 9) Área ACD Área BCD AC h D BC h' D Pero como C es tal que AC BC, entonces: A, B y C están alineados h D h' D Luego: AC BC 48 7 AC h Área ACD D BC h' D Área BCD Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 44

30 6 Sexan A, B, C, D os puntos de corte das rectas x y + 0 e x y 0 cos eixes de coordenadas. Proba que o cuadrilátero ABCD é un trapecio isóscele e acha a súa área. x y + 0 Sean: A r I eje OX: x A (, 0) y 0 x y + 0 B r I eje OY: y B (0, ) x 0 x y 0 C s I eje OX: x C (, 0) y 0 x y 0 D s I eje OY: y D (0, ) x 0 Calculamos los vectores dirección de los lados: AB (, ) BC (, ) CD (, ) DA (, ) DA BC BC // DA AB CD Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA. Para calcular el área necesitamos la altura: Como AD (, ) y x AD: x + y + 0, D (0, ) h dist (B, AD) Así: BC+ DA + 9 Área A recta x + y 0 e unha recta paralela ela que pasa polo punto (0, ) determinan, xunto cos eixes de coordenadas, un trapecio isóscele. Calcula a súa área. s//r: x + y 0 x + y + k 0 P (0, ) s Luego s: x + y k 0 k Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 4

31 x + y 0 Sean: A r I eje X: x A (, 0) y 0 AB (, ); x + y 0 B r I eje Y: y B (0, ) x 0 x + y 0 C s I eje X: x C (, 0) y 0 x + y 0 D s I eje Y: y D (0, ) x 0 CD (, ) AB+ CD AB+ CD Área h dist (A, s) Os puntos A(, ) e B (, ) son vértices dun triángulo de área 8. O vértice C está sobre a recta x + y 0. Áchao. AB h Área 8 (, ) h 6 h 6 8 h 6 h dist (C, AB) AB (, ) pendiente m A (, ) AB AB: y x 7 AB: x y x y 7 h dist (C, AB) 6 6 C : x y 7 6 x y 7 6 hay dos soluciones: x y 7 6 r: x + y 0 y x AB: y + (x ) x + x 7 6 7x x 6 6 y C (, ) x y 7 6 C : r: x + y 0 y x x + x 7 6 7x 7 x y 4 C (, 4) 7 Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 46

32 66 Un punto P, que é equidistante dos puntos A(, 4) y B(, 6), dista o dobre do eixe de abscisas que do eixe de ordenadas. Cales son as coordenadas de P? y x d (P, OX ) d (P, OY ) y x y x AP PB (x ) + (y 4) ( x) + (6 y) x + 9 6x + y + 6 8y x + + 0x + y + 6 y 6x 8y + 0x y + 6 6x 4y x y Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: y x 9 P : 4x x x y 9 4x y Luego: P ( 9, 9) y x 9 P : 4x + x x y 4x y Luego: P (, ) 67 De todas as rectas que pasan polo punto A(, ), acha a pendente daquela que diste da orixe. A ecuación y + m(x ) representa a todas esas rectas. Pásaa a forma xeral e aplica a condición d(o, r). Esas rectas tienen por ecuación: y + m (x ) mx y + ( m) 0 m m + d (0, r) m m m m + + ( m) m m 4m m + 4 4m m 4 68 Dado o triángulo de vértices A ( 4, ), B (, ) e C (, ), acha as ecuacións das rectas r e s que parten de B e que cortan a AC, dividindo ó triángulo en tres triángulos de igual área. La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales: A B Y r s C X Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 47

33 OP O A + O C ( ), ; OC + O C 8 OQ (, 0) La recta r es la que pasa por B y por P: 6 m 8 ( /) ( ) (/) y 8 (x + ) r: 8x + y + 0 La recta s es la que pasa por B y por Q: 0 m ( ) (8/) ( /) y (x + ) y x s: x + y Dada a recta r: x y + 0, acha a ecuación da recta simétrica de r, respecto ó eixe OX. Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (, ) y B (, ) Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (, ) y B' (, ) La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B': ( ) + m La recta r' es: y (x ) y 9 x + 4 x + y + 0 De otra forma: Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, y) es un simétrico respecto al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje OX, será: x ( y) + 0 x + y + 0 Páxina CUESTIÓNS TEÓRICAS 70 Proba que si as rectas ax + by + c 0 e a'x + b'y + c' 0 son perpendiculares, se verifica que aa' + bb' 0. El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c 0. El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' 0. Si las dos rectas son perpendiculares, entonces: (a, b) (a', b' ) 0; es decir, aa' + bb' 0. Unidade 8. Xeometría analítica. Problemas afins e métricos 48

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