Modelos Probabilísticos de Valores Máximos en Hidrología: Un Nuevo Enfoque

Transcripción

1 Modelos Probabilísticos de Valores Máximos en Hidrología: Un Nuevo Enfoque Agustín Felipe Breña Puyol UAM-IDepto de Ingeniería de Procesos e Hidráulica Resumen adicionalmente los modelos probabilísticos que se han desarrollado para analizar la frecuencia de valores máximos de eventos hidrológicos, utilizan únicamente la muestra de datos que está integrada por los valores máximos anuales, motivo por el cual este tipo de modelos no utilizan de manera precisa y adecuada la información que está contenida en las muestras de eventos hidrológicos Por tal situación, el objetivo que persigue este artículo es desarrollar nuevos esquemas para analizar la frecuencia de valores máximos en el campo de la hidrología estadística, a través de modelos que utilizan muestras de diferente longitud en lugar de la muestra de valores máximos anuales Asimismo, para ilustrar la eficiencia de los modelos propuestos se desarrolla un ejercicio numérico con los datos de las lluvias mensuales registradas en la estación del Servicio Meteorológico Nacional durante un periodo de 129 años ( ) Finalmente, con los resultados obtenidos se concluye que los modelos propuestos son una alternativa viable para obtener lluvias de diseño más precisas que el método tradicional Introducción El análisis de frecuencia de valores máximos es un desarrollo matemático establecido en el campo de la hidrología, para predecir la ocurrencia de los principales eventos hidrológicos tales como precipitaciones, escurrimientos, evaporaciones, temperaturas y algunos más En general, se puede decir que la estructura matemática del análisis de frecuencia de valores máximos radica en utilizar en forma conjunta la herramienta de las funciones de distribución de probabilidad y las series de tiempo constituidas por valores máximos, y a partir de su vinculación predecir su ocurrencia para diferentes periodos de retorno o probabilidades Por su parte, el análisis de frecuencia de valores máximos anuales, a partir de diferentes funciones de distribución de probabilidad con un número variable de parámetros, ha tenido una aplicación continua a lo largo del tiempo Al respecto, puede decirse que en las últimas décadas, se han desarrollado análisis de frecuencia de eventos máximos anuales por diversos autores, sobresaliendo las aplicaciones realizadas por Hazen (1914), Gumbel (1941, 1958), Chow (1951, 1964), Jenkinson (1955), Houghton (1978), Ahmad y Al (1988), Ahmad (1988) y algunos otros No obstante, en este artículo se desarrollan varios modelos probabilísticos de valores máximos cuyo objetivo es evaluar las variaciones en la estimación de su frecuencia, utilizando para ello series de valores de mayor longitud que las series de valores máximos anuales Además, es importante recalcar que el método clásico que se ha desarrollado para evaluar la frecuencia de valores extremos utiliza únicamente la serie de valores máximos anuales, mientras que en los modelos probabilísticos que se proponen como el nuevo enfoque, se podrán utilizar series de diferente longitud Finalmente, para demostrar la eficiencia de los modelos probabilísticos que se proponen como una nueva alternativa, se realiza una aplicación numérica con datos de lluvia mensual registrados en la estación climatológica del Servicio Meteorológico Nacional, ubicada en Tacubaya, D F Hipótesis de base La hipótesis de base de los modelos probabilísticos se fundamentan en la teoría de valores extremos y en las funciones de distribución de probabilidad, que se han desarrollado para evaluar la frecuencia en términos de la probabilidad de ocurrencia 54

2 Modelos Probabilísticos Agustín Felipe Breña Puyol 55 Sea X una serie cronológica de variables aleatorias con una distribución común del tipo: F (X) = P (X x) (1) Por ejemplo, una serie típica puede ser el conjunto de precipitaciones mensuales máximas que ocurren en una estación de medición o bien en una región hidrológica Ahora bien, la serie X se puede dividir en N muestras de longitud k, de tal manera que: X = X 1, X 2, X k X k+1, X k+2, X 2k X (N 1)k+1 X (N 2)k+2 X Nk (2) donde N es el número de años disponibles; y Nk es el número total de valores de la serie X Ahora bien, se procede a determinar el número de variables de cada una de las muestras de diferente longitud que se puede definir a partir de la serie cronológica original La primera muestra esta integrada por el número total de valores de la serie X, que se puede definir como el conjunto de N muestras de 12 valores mensuales, es decir las muestras tendrá 12N valores Posteriormente, si en la serie X se extrae un solo valor por año, se obtendrá la segunda muestra de N valores máximos X m, constituida por: X m = {x max1, X max2, X maxn } (3) Finalmente, existe una tercera muestra formada por 12 muestras X k, asociadas al mes k, k = 1, 2,, 12 El número de valores de cada muestra x k es de N valores Por otra parte y de acuerdo con la teoría de valores extremos (Gumbel, 1958), se tiene que: M(x) = P (x max x) (4) El evento X max x implica que los otros valores de la serie X son iguales o inferiores a x, es decir: (X max x) = (X 1 x, X 2 x,, X k x) = (X i x) (5) y como la variable X es aleatoria: (X i x) = (X i x); i = 1, 2, 3, k (6) Entonces: M(x) = k P (X i x) = i=1 k F i (x) (7) i=1 Ahora bien, como todas las variables tienen la misma función de distribución, de acuerdo con la hipótesis de partida, se obtiene que: M(x) = [F (x)] k (8) La ecuación (8) es válida únicamente para el caso donde el valor máximo anual ocurre indistintamente en cada uno de los meses del año, es decir si en la muestra disponible de N años, el número de veces que el máximo anual ha ocurrido en un mes en particular, por ejemplo julio, es en promedio N/12 Estructura de los modelos El modelo probabilístico que se propone para evaluar la frecuencia de valores máximos, para el caso donde el valor máximo anual se produce indistintamente en cada uno de los meses del año, esta representado por la ecuación (8) No obstante, en las muestras de eventos máximos de fenómenos hidrológicos hay meses donde el valor máximo anual no se presenta jamás y, en consecuencia, será necesario estimar el valor de k, a partir de datos reales que se han registrado, para una variable hidrológica máxima Ahora bien, con el apoyo de las muestras de lluvias máximas en 24 horas que han ocurrido en la República Mexicana y que se tienen disponibles en formato electrónico en el Extractor Rápido de Información Climatológica (IMTA, 1999) y en la Información de 322 Estaciones Climatológicas de Referencia (CNA, 2000), se ha determinado que los valores máximos anuales están concentrados en 4 meses del año, es decir el valor de k es igual a 4

3 56 ContactoS 66, (2007) En consecuencia, la ecuación (8) se modifica a: M(x) = [F (x)] 4 (9) La ecuación (9) representa el modelo probabilístico de valores máximos para el caso específico donde el valor de k = 4 y las muestras de precipitación mensual correspondientes a cada uno de los 4 meses tienen la misma función de distribución Ahora bien, a partir del modelo probabilístico representado por la ecuación (9) se han propuesto 4 modelos alternativos cuyo objetivo es detectar los cambios en la estimación de la frecuencia de valores máximos, cuando se utilizan muestras de valores máximos de diferente longitud Por su parte, las características y estructura matemática de los 4 modelos que han sido seleccionados para evaluar la frecuencia de valores máximos son: Modelo (1): M 1 (x) = [F max (x)] (10) donde F max (x) es la frecuencia asociada con la muestra de N valores máximos X m Modelo (2): M 2 (x) = [F 1,2,3,4 (x)] 4 (11) donde F 1,2,3,4 (x) es la frecuencia asociada con las 4 muestras de precipitación mensual donde se concentran los valores máximos anuales En este modelo el número de valores es igual a (4N) Modelo (3): M 3 (x) = [F 1,2,3 (x)] 3 (12) donde F 1,2,3 (x) es la frecuencia asociada con las 3 muestras de precipitación mensual donde se concentran los valores máximos anuales de mayor ocurrencia En este modelo el número de valores es igual a (3N) Modelo (4): M 4 (x) = [F 1,2 (x)] 2 (13) donde F 1,2 (x) es la frecuencia asociada con las 2 muestras de precipitación mensual donde se concentran los valores máximos anuales de mayor ocurrencia En este modelo el número de valores es igual a (2N) Número de valores de las muestras de diferente longitud Para determinar el número de valores de los 4 modelos que han sido seleccionados para evaluar la frecuencia, se procede a utilizar las series X y F k (x) Con el auxilio de la primera serie se determina la muestra de N valores máximos X m, constituida por X m = {X max1, X max2, X maxn }, mientras que para los modelos que utilizan las muestras de valores mensuales se recurre a la serie F k (x) La tabla 1 indica el número de valores de las 4 muestras mensuales Tabla 1 Número de valores de las 4 muestras mensuales Año X 1 X 2 X 3 X 4 1 X 11 X 21 X 31 X 41 2 X 12 X 22 X 32 X 42 3 X 13 X 23 X 33 X 43 N X 1N X 2N X 3N X 4N Con el apoyo de la tabla 1 se determinan para los modelos M 2, M 3 y M 4, el número de valores de cada una de las muestras de diferente longitud, que serán utilizadas para estimar la frecuencia de valores máximos La tabla 2 indica el número de valores que han sido asignados a cada una de las muestras de los modelos alternativos Evaluación de la frecuencia La variable de análisis de la frecuencia de valores máximos será la altura de lluvia X T y para cada uno de los modelos seleccionados se calculará el valor de X T correspondiente a un periodo de retorno Ahora bien, para calcular la altura de lluvia máxima X T, se utilizan las funciones de distribución de probabilidad con un número variable de parámetros, y a lo largo del tiempo ha tenido una aplicación muy fecunda en el campo de la hidrología Asimismo, es importante recalcar que cada una de las funciones de distribución que se han diseñado para calcular la frecuencia de valores máximos proporciona ajustes de magnitud variable entre los datos

4 Modelos Probabilísticos Agustín Felipe Breña Puyol 57 Tabla 2 Número de valores de las muestras de los modelos probabilísticos Modelo Número de valores de las muestras M 1(x) X max = [X max1, X max2,, X maxn ] M 2(x) X 1,2,3,4 = [X 11, X 12,, X 1N ; X 21, X 22,, X 2N ; X 31, X 32,, X 3N ; X 41, X 42,, X 4N ] M 3(x) X 1,2,3 = [X 11, X 12,, X 1N ; X 21, X 22,, X 2N ; X 31, X 32,, X 3N ] M 4(x) X 1,2 = [X 11, X 12,, X 1N ; X 21, X 22,, X 2N ] observados y los teóricos Por tal situación y previo análisis de los datos disponibles y de la bondad de ajuste, entre datos observados y teóricos, fue seleccionada la función de Gumbel, como el criterio más preciso para evaluar la frecuencia de valores máximos A continuación se determinará para cada modelo la expresión que permitirá evaluar la frecuencia de lluvia máxima X T, utilizando la función de distribución de Gumbel (1958) Modelo (1): De acuerdo con Gumbel (1958) la forma explícita de la función de distribución está representada por: { } (x a) F (x) = exp exp c (14) donde a y c son los parámetros de ubicación y escala, respectivamente Además, por definición el concepto del periodo de retorno T r, se define como: F (x) = 1 1 T r (15) Si se sustituyen las ecuaciones (14) y (15) en la (10), la cual representa el modelo probabilístico M 1 (x), y después de varias transformaciones algebraicas se obtiene: ˆX T = â ĉ ln ln (16) â y ĉ son los parámetros estimados a partir de la muestra de valores máximos anuales X max ; T r es el periodo de retorno, en años; y ln es el logaritmo natural Modelo (2): Sustituyendo las ecuaciones (14) y (15) en la (11), la cual representa el modelo probabilístico M 2 (x), y después de varias transformaciones algebraicas se obtiene: ˆX T = â ĉ ln ln ĉ ln(k) (17) â y ĉ son los parámetros estimados a partir de las 4 muestras mensuales X 1,2,3,4 ; T r es el periodo de retorno, en años; K es una constante equivalente a K = 1/4; y ln es el logaritmo natural Modelo (3): Si se sustituyen las ecuaciones (14) y (15) en la (12), la cual representa el modelo probabilístico M 3 (x), y después de varias transformaciones algebraicas se obtiene: ˆX T = â ĉ ln ln ĉ ln(k) (18) â y ĉ son los parámetros estimados a partir de las 3 muestras mensuales X 1,2,3 ; T r es el periodo de retorno, en años; K es una constante equivalente a K = 1/3; y ln es el logaritmo natural Modelo (4): Si se procede a sustituir las ecuaciones (14) y (15) en la (13), la cual representa el modelo probabilístico M 4 (x), y después de varias transformaciones algebraicas se obtiene: ˆX T = â ĉ ln ln ĉ ln(k) (19) â y ĉ son los parámetros estimados a partir de las 2 muestras mensuales X 1,2 ; T r es el periodo de retorno, en años; K es una constante equivalente a K = 1/2; y ln es el logaritmo natural

5 58 ContactoS 66, (2007) Aplicación numérica La estación climatológica del Servicio Meteorológico Nacional, ubicada en Tacubaya, D F, ha sido seleccionada para aplicar los modelos probabilísticos propuestos para evaluar la frecuencia de valores máximos de lluvia Los datos de lluvia mensual registrados durante un periodo de 129 años ( ) han sido seleccionados para la aplicación numérica de los modelos y a partir de su análisis se han determinado las muestras de lluvias de diferente longitud requeridas para los modelos, así como la distribución mensual de los valores máximos La tabla 3 indica la distribución mensual de los valores máximos durante el periodo de registro y los resultados destacan que en los meses de junio, julio, agosto y septiembre se concentran el mayor número de valores máximos, es decir el valor de k es igual a 4 Tabla 3 Distribución mensual de los valores máximos Mes Número de valores máximos Mayo 1 Junio 26 Julio 43 Agosto 32 Septiembre 25 Octubre 2 Total 129 Además, para calcular las alturas de lluvia ˆX t, asociadas a diferentes periodos de retorno, con los modelos probabilísticos propuestos, se calcularon la magnitud de los parámetros â y ĉ de cada uno de ellos Para llevar a cabo tal acción, se utilizo el método de momentos (Chow, 1964) y las muestras de datos extraídas del registro de lluvias mensuales de la estación Servicio Meteorológico Nacional Los resultados se sintetizan en las expresiones siguientes: Modelo M 1 (x): ˆX T = 175, , ln ln Modelo M 2 (x): (20) ˆX T = 111, , ln ln Modelo M 3 (x): 47, ln( 1 4 ) (21) ˆX T = 114, , ln ln Modelo M 4 (x): 47, ln( 1 3 ) (22) ˆX T = 124, , ln ln 45, ln( 1 2 ) (23) Posteriormente, con el auxilio de las ecuaciones (20), (21), (22) y (23) se determinan las curvas de frecuencia de las lluvias observadas y las teóricas para periodos de retorno que oscilen entre 1 y 100 años y al analizarlas en forma visual permite detectar el grado de ajuste A modo de ejemplo y para ilustrar el comportamiento de las curvas de frecuencia las figuras 1 y 2 ilustran los resultados obtenidos por los modelos M 1 (x) y M 2 (x), los cuales presentan los niveles de ajuste de mayor precisión entre las lluvias observadas y las teóricas No obstante, existen métodos cuantitativos que miden la bondad de ajuste entre los elementos de las muestras de eventos hidrológicos y las funciones de distribución de probabilidad El método del Error Estándar de Ajuste (EEA) desarrollado por Kite (1977) mide cuantitativamente la bondad de ajuste entre los valores observados X i de una muestra de datos y los calculados ˆX i con una función de distribución de probabilidad con el apoyo de la expresión: EEA j = [ n i=1 (X i ˆX ] 1/2 i ) (24) n p

6 Modelos Probabilísticos Agustín Felipe Breña Puyol 59 79cm49cmc:/cs/n66ne/modelos/modelo01bmp Figura 1 Curva de frecuencia obtenida con el modelo M 1(x) Figura 1 Figura 2 Curva de frecuencia obtenida con el modelo donde es el valor estimado del error estándar de ajuste asociado a la j-ésima función de distribución de probabilidad;, i = 1, 2, 3,,n son las magnitudes de los valores observados;, i = 1, 2, 3,,n son las magnitudes de los valores teóricos calculados con la j-ésima función de distribución de probabilidad para las mismas frecuencias que los eventos ; es el número total de valores de la muestra de datos; y es el número de parámetros de j-ésima función de distribución de probabilidad Aplicando el criterio de Kite (1977) se calculó el error estándar de ajuste (EEA) de los modelos probabilísticos propuestos para evaluar la frecuencia de lluvias máximas y en la tabla 4 se indican los resultados obtenidos Analizando globalmente los resultados se concluye que el modelo proporciona el mejor ajuste entre las lluvias observadas y teóricas, ya que presenta el EEA de menor magnitud Tabla 4 Error estándar de ajuste EEA de los modelos probabilísticos Modelo probabilístico Error estándar de ajuste EEA, en mm Modelo M 1(x) 733 Modelo M 2(x) 690 Modelo M 3(x) 987 Modelo M 4(x) 2031 En el Anexo A se adjunta el registro de las lluvias mensuales de la estación climatológica Servicio Meteorológico Nacional, Tacubaya, D F, donde se ilustra el proceso para obtener la muestra de lluvias máximas anuales Conclusiones Los resultados obtenidos al aplicar los modelos probabilísticos con los datos de la muestra de lluvias mensuales registradas en la estación del Servicio Meteorológico Nacional, han demostrado la eficiencia del nuevo esquema que permite estimar la frecuencia de valores máximos asociados con eventos hidrológicos El modelo resultó ser más eficiente para estimar lluvias asociadas a diferentes periodos de retorno, que el modelo tradicional el cual utiliza solamente la muestra de valores máximos anuales Por su parte, las aplicaciones principales de las lluvias asociadas a un determinado periodo de retorno, que se estiman con el modelo, es diseñar, revisar, operar y proteger estructuras hidráulicas tales como drenaje urbano y drenaje de aeropuertos, alcantarillas de vías de comunicación y algunas otras más Finalmente, con el mismo esquema y estructura de los modelos propuestos en este artículo se están analizando lluvias ciclónicas y orográficas, las cuales tienen una gran incidencia en diferentes cuencas hidrológicas de nuestro país Bibliografía Ahmad, M I (1988) Application of statistical methods to flood frequency analysis Thesis pres in fulfillment of Ph D degree, Univ of St Andrews, Scotland Ahmad, M I, Sinclair, C D y Werrity, A (1988) Log-logistic flood frequency analysis J Hydrol, 98, pp Chow, V T (1951) A general formula for hydrologic frequency analysis ans Amer Geophys Union No 32, pp Chow, V T (1964) Handbook of Applied Hydrology McGraw-Hill, New York, NY Colisión Nacional del Agua, CNA (2000) Información de 322 Estaciones Climatológicas de Referencia, ) Información climatológica disponible en formato electrónico Gumbel, E J (1941) The return period of flood flows Ann Math Statist, 12(2), pp Gumbel, E J (1958) Statistics of extremes Columbia University Press, New York, NY Hazen, A (1914) Storage to be provided in impounding reservoirs for municipal water supply ans ASCE, 77, Paper No 1308, pp Houghton, J C (1978) Birth of a parent: The Wakeby distribution for modelling flood flows Water Resources Res 14(6), pp Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, IM- TA (1999) Extractor Rápido de Información Climatológica, v 20 Información climatológica disponible en formato electrónico

7 60 ContactoS 66, (2007) Jenkinson, A F (1955) The frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of meteorological elements Quart J Roy Meteor Soc, 81, pp Kite, G W (1977) Frequency and risk analysis in hydrology Water Resources Publications, Fort Collins, CO, 224 p