CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. 1ª Evaluación. Tema 7.- La función de transferencia.

Transcripción

1 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Desarrollo del tema.. Introducción.. Concepto de función de transferencia. 3. Operaciones con los diagramas de bloques. 4. Estabilidad. Criterio de Routh. 5. Respuesta de un sistema de regulación. 6. Funciones de transferencia de algunos sistemas físicos..la función de transferencia.

2 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación.. Introducción. La teoría clásica del automatismo, se caracteriza por la introducción del concepto de la función de transferencia, lo que supone una descripción matemática ( por la utilización de la transformada de Laplace) de un sistema físico. Una vez determinada la función de transferencia, es posible conocer lo siguiente: a. El comportamiento de un sistema en cada situación, según la entrada que se produzca en el sistema, sabremos cuál será su respuesta o salida. b. Su estabilidad. Se debe saber si la respuesta del sistema se mantiene siempre dentro de unos límites determinados, o, por el contrario, en algún momento va a responder de forma no controlada (sistema inestable). c. Los valores que se pueden aplicar a determinados parámetros del sistema de manera que sea estable.. Concepto de función de transferencia. La función de transferencia G(s) de un sistema, se define como el cociente entre las transformadas de Laplace de las señales de salida y la de entrada. Entrada Salida Sistema r(t) c(t) Entrada Sistema Salida R(s) C(s) La función de transferencia: G(s) L[c t ] L[r t ] C s R s La función de transferencia G(s) depende únicamente de las propiedades físicas de los componentes del sistema, no de la señal de entrada aplicada. La función de transferencia se puede expresar como el cociente entre dos polinomios de variable compleja de Laplace b0. s m b. s m... b m N s G(s) D s a 0. s n a. s n... a n.la función de transferencia.

3 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. El conocimiento de la función de transferencia de un sistema de regulación permite caracterizarlo completamente desde un punto de vista externo, ya que permite obtener la variable de salida en función de la variable de entrada. La función de transferencia sirve para que una vez calculada la transformada de Laplace de entrada, conocer de una forma inmediata la transformada de Laplace de la salida. Calculando la transformada inversa se obtiene la respuesta en el tiempo del sistema ante esa entrada determinada. D(s) se conoce como la función característica, pues determina, por los valores de sus coeficientes, las características físicas de los elementos que componen el sistema. Cuando la función característica se iguala a cero, da lugar a la ecuación característica del sistema. D(s) a0. sn + a sn- + a sn an 0 Las raíces de esta ecuación se denominan polos del sistema. Las raíces del numerador N(s), reciben el nombre de ceros del sistema, ya que hace cero la función de transferencia G(s) Para que un sistema sea físicamente realizable, el número de polos ha de ser igual o mayor que el número de ceros. 3. Operaciones con los diagramas de bloques. Para realizar las operaciones de bloques es necesario tener en cuenta: a. Las variables.- Se indican mediante flechas que entran o salen de los bloques. b. La función de transferencia.- La variable de salida es igual a la de entrada multiplicada por la función de transferencia o bucle. S(s) F(s) * E(s) c. Conectores o sumadores.- Se cumple que la variable de salida es igual a la suma de todas las variables de entrada. Todas ellas deben de tener las mismas unidades. 3.La función de transferencia.

4 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. d. Punto de derivación.- Son puntos por los que la señal se lleva por uno o mas caminos y las flechas indican el sentido el flujo de información e. Conexión en serie.- La función de transferencia global para un sistema compuesto de n bloques en serie es igual al producto de las funciones de transferencia aisladas. f. Conexión en paralelo.- La función de transferencia global para un sistema compuesto de n bloques en paralelo es igual a la suma de las funciones de transferencia aisladas. 4.La función de transferencia.

5 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. g. Conexión de lazo o cerrado. R(S) E(S) B(S) ;; S(S) G*R ;; B H*S ;; S G * ( E-B) ;; S+GB GE S + GHS GE ;; S(S) G S E(S) G S H S h. Transposición de sumadores.tipo a. S(s) G * ( E + D) G*E + G*D Propiedad distributiva. 5.La función de transferencia.

6 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Tipo b. S(s) G*E + D G * ( E + * D ) G*E + D G i. Transposición de los puntos de derivación.- 6.La función de transferencia.

7 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. j.- Propiedad asociativa de los conectores. S A + B + C (A+B) + C (A+C)+B Problema.- Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: G (S) G ;; G G. (G ) ;; GF [ G (G ) + ] C(S) GF * R(S) Problema.- Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: Lo primero que se ha de hacer es transformar el bloque central : 7.La función de transferencia.

8 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. /G G /G3 G G. G. G 3 G.. G. G3. H G G. G. G3 G. G 3. H G /G3 G G H. G. G3 8.La función de transferencia.

9 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. G G. G. G3 G.G 3. H G.G.G 3 H.. H. G. G 3 G 3 G. G. G3 H. G. G H. G. G 3 G G GT G G G. G. G3 H. G. G H. G. G 3 G. G. G 3 C R GT 4. Estabilidad. Criterio de Routh. Un sistema es estable cuando permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa, en cuyo caso se alcanzará de nuevo el reposo, cuando desaparezcan las excitaciones externas. En un sistema estable, cada variable limitada o acotada, produce una salida también acotada, permaneciendo sus valores dentro de unos límites determinados. 9.La función de transferencia.

10 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Las raíces de la ecuación característica, D(S), se denominan polos. Las raíces del numerador, N(S), se denominan ceros, ya que hacen cero la función de transferencia G(S). Las raíces de la ecuación característica serán S σ + ω j. Para que el sistema sea estable debe de ocurrir que la parte real de la solución sea negativa: σ Є R- El cálculo de los polos es interesante para determinar su estabilidad; el conocimiento de los polos es importante para evaluar los efectos que la modificación de un parámetro produce en el comportamiento del sistema. Como ya se ha estudiado, la condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable, ha de cumplir que sus polos se encuentren en el semiplano negativo de Laplace. Problema 3.- Determinar el margen de K para que el sistema de bloques representativo sea estable. Resolución.Lo primero que se ha de calcular es la función característica a partir de la de transferencia. G (s) G s G s C s R s 0.La función de transferencia. K s s K s s N s D s

11 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Resolviendo la fracción se obtiene: G (s) K s s K La ecuación característica, D(s) (s+)(s+)+k s + 3 s + (+K) Haciendo igual a cero para determinar los polos, se obtiene la ecuación: s + 3 s + (+K) 0, siendo s 3± 3 4. K < 0, para que el sistema sea estable. 9 > 9 4 ( K+) ;; K+ > 0 K>- Para determinar la estabilidad o no de un sistema, se recurre a la regla de Routh.. Se escribe la ecuación característica:.la función de transferencia.

12 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Problema 4.- Determinar, aplicando el teorema de Routh si los sistemas son estables, cuando se definen por las siguientes ecuaciones características: a. S4 + S3 + 3 S + 4 S b. S3 + S + S + 0 c. S5 + S4 + 3 S3 + S 5 S 0 0 a. b. S4! 3 S3! 4 S! 5 S! -6 0 S0! -5 S3! 5 El sistema es inestable, hay cambio de signo. S! S! 0 0 S0! 0 El sistema es estable, no hay cambio de signo. c. El sistema es inestable, algún coeficiente es negativo. Problema 5.- Estudiar la estabilidad de un sistema cuya función de transferencia del bucle cerrado es : M(s) s 5 s.la función de transferencia.

13 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Resolución.Ecuación característica D(s) s +5 s + 0 s 5± 5 4. < 0 ;; el sistema siempre es estable. Problema 6.- Determinar el valor de K para que el sistema sea estable. Resolución.- La función de transferencia será : G s G s M(s) K s s s s K s s s s K s s s s K D(s) s4 + 3 s3 + 3 s + s + K 0 S4! 3 S3! 3 S! 7/3 K S! D S0! K 0 K El sistema es inestable, hay cambio de signo. D ((4/3)-3K)/(7/3) 4 9 K > 0 ;; K < 3.La función de transferencia K 3 >0 7 3

14 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. 5. Respuesta de un sistema de regulación. La función de transferencia de un sistema de bloques permite obtener la información necesaria sobre el comportamiento del mismo en cuento a sus relaciones excitación-respuesta. A lo largo del tiempo se pueden distinguir los siguientes tipos de respuestas: a. Respuesta permanente.- Es aquella que ofrece un sistema en el momento en que sus variables se han estabilizado y presentan un valor normal de funcionamiento. b. Respuesta transitoria.- Es aquella que se produce en un sentido cuando, al estar sus variables sin estabilizar, aún no se ha alcanzado el régimen permanente. Esta parte de la respuesta tiende a anularse a medida que va pasando el tiempo. La respuesta transitoria es muy importante para explicar el comportamiento de un sistema ante la respuesta permanente de una entrada. La respuesta transitoria debe de ser la adecuada, por lo que es necesario ajustar una serie de parámetros para que así sea. En estado transitorio la respuesta se caracteriza fundamentalmente por un comportamiento dinámico del sistema, en cuento a su estabilidad y rapidez; por el contrario, la respuesta en régimen permanente establece una idea de precisión y de equilibrio del sistema. Las señales que establecen la respuesta del sistema ante una determinada entrada, pueden variar en el tiempo de una forma lenta o de una forma rápida o incluso al azar. Las entradas teóricas más utilizadas son las de escalón, las de rampa o las de impulso. Se va a estudiar, por su simplicidad, la entrada en función de escalón. La función escalón se define como: r(t) 0, para t < 0 r(t) k, para t 0 Cuando el valor del parámetro k, la función es unitaria. Si r(t), la transformada de Laplace será L[r(t)] La función de transferencia será : 4.La función de transferencia. R(s) s

15 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. G(s) C s R s C(s) G s s Por lo tanto, el valor de la respuesta de un sistema frente a un escalón unitario, en dominio temporal, se obtiene dividiendo la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia entre el valor de la variable s. Si un sistema posee una función de transferencia g(s), el valor final de g(t) será : g( ) El valor en régimen permanente, valor final de un sistema será : La respuesta será siempre la prevista de antemano. La salida de una función de escalón unitario puede ser prevista, ya que su valor final será: Según el teorema del valor medio: 0 Las raíces de la ecuación característica D(s) 0, reciben el nombre de polos. De acuerdo al número de polos, los sistemas se clasificarán de orden cero, uno, dos, tres, etc, si el número de polos son cero, uno, dos, etc. Cuando un sistema posee una función de transferencia, cuyo numerador es una constante k y su orden es n, se dirá que es un sistema de orden n simple. Los sistemas de orden cero, son muy simples, puesto que la señal de salida con relación a la entrada se hace mediante una constante. Los de orden uno, son más interesantes y los de orden dos o más, son muy complicados de estudiar. Si el sistema es de primer orden simple y el polo es s La transformada de Laplace será : 5.La función de transferencia. T

16 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. K T. s G(s) C(s) R(s). G(s) siendo T la constante de tiempo del sistema. K T. T. s K. s T. s s Observando la tabla de las transformadas inversas de Laplace: c(t) K K.e t T K es la amplitud final en régimen permanente El parámetro K, recibe el nombre de ganancia estática del sistema de primer orden. Es el valor que adopte la salida en régimen permanente para una entrada de escalón unitario. Si t T c(t) K ( e-) 0,63 K c(t) 0,8646 K c(3t) 0,950 K, prácticamente el valor de K T es la constante de tiempo que representa el valor del tiempo en donde la respuesta es el 63, % de la respuesta final. Representando la función c(t) frente a t, la respuesta será: Respuesta ideal unitario Respuesta real ante escalón unitario de orden uno Se puede decir que los polos retrasan la respuesta, hace que ésta sea más lenta y menos brusca. Los polos indican el comportamiento del sistema en los transitorios. Cuanto más alejado se encuentre el polo del origen de coordenadas, mayor será la pendiente del estado transitorio y mas brusca será la respuesta. 6.La función de transferencia.

17 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Los polos, por lo tanto, van a determinar que la respuesta del sistema ante una entrada, sea más lenta y definen el comportamiento del sistema. Cuando el orden del sistema es superior a uno, se producen una serie de oscilaciones limitadas. En la figura siguiente, se representa un sistema de orden dos y ningún cero, ante la entrada de escalón unitario. Se observa una sobreoscilación que se produce en torno a la salida de régimen permanente. 7.La función de transferencia.

18 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Las tres características básicas de la respuesta transitoria son: a. La sobreoscilación máxima de la salida con respecto a su valor permanente. Viene establecida por el pico de sobreoscilación b. La velocidad inicial de la respuesta del sistema frente a una señal de entrada. Se mide con el tiempo tp, que es el tiempo que tarda en producirse la sobreoscilación o mediante el tiempo de subida tr que es el tiempo para que la respuesta pase del 0% hasta el 90% de la respuesta total c. El tiempo necesario para que la salida alcance el valor del régimen permanente. Este tiempo se mide mediante el tiempo de establecimiento t s, que es el tiempo que la respuesta tarda en entrar y permanecer en una zona del +- 5% en torno a su valor de equilibrio. En los sistemas de tercer orden o superiores, resulta muy complejo calcular matemáticamente sus respuestas frente a una entrada de escalón unitario. Sólo es posible obtenerlas por medio de una simulación de computación con programas tales como el MatLab. En ocasiones sus repuestas suelen ser similares a los de primer y segundo orden, dependiendo de la posición de los polos y ceros del sistema, cuanto más alejados estén del origen de coordenadas, menos relevancia tendrán con respecto a otros que se encuentren más próximos al origen de coordenadas. Los ceros o raíces de la función de transferencia, también afecta en la respuesta transitoria del sistema, haciéndolo más rápido y más oscilatorio. Influye sobre todo el los sistemas de segundo orden. La sobreoscilación aumenta de frecuencia así como el tiempo de establecimiento t s, durando más tiempo la fase transitoria. Los tiempos de pico y de subida disminuyen 6. Funciones de transferencia de algunos sistemas físicos. La función de transferencia representa un modelo matemático del sistema que se intenta estudiar. En un automatismo aparecen sistemas de regulación mecánicos, eléctricos, electromecánicos, hidráulicos, térmicos, etc. Veamos algunos de ellos: 8.La función de transferencia.

19 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. a. Sistemas mecánicos.- Los sistemas mecánicos de regulación suelen ser de traslación, de rotación y combinación de ambas. En el caso de sistema mecánico de traslación, se cumplirá la ley de Newton : R Fi m. a En el caso de la dinámica de rotación: M I. α Si la dinámica es de rotación y traslación el valor total será la suma de las dos componentes. Debido a su sencillez, una masa M se le somete a una fuerza f(t), variable con el tiempo: f(t) M d x t, aplicando la transformada de Laplace G(s) d t M.s F(s) M s. X(s) En el caso de la recuperación elástica de un muelle : f(t) k. y(t), siendo k la constante de elasticidad del muelle. La función de Laplace será : G(s) k F(s) k. Y(s) Al aplicar la fuerza F(s) de entrada se produce una elongación en el resorte Y(s) que es la salida. Es un sistema de orden cero. Si al sistema se le somete a una entrada de escalón unitari, la salida será también de escalón y será: Y(s) F(s). G(s) resulta, y(t). s k y(t) 9.La función de transferencia. ; la transformada inversa k

20 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. En el proceso de la transmisión de un fluido en régimen laminar: f(t) η. d y t. La función de Laplace será : G(s) dt.s siendo η, la viscosidad del fluido medido en dp (decapoises) η Problema 7.- Determinar la función de transferencia para el siguiente sistema de la figura que recupera el muelle sin amortiguación y con amortiguación. b. Con amortiguación a. Sin amortiguación M. d x t - k x + f(t) dt M. d x t -kx -β dt 0.La función de transferencia. d x t + f(t) dt

21 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Las transformadas de Laplace serán : X(s) [ M s + k] F(s) G(s) X s F s X(s) [M s + β s + k ] F(s) M s k ;; G(s) X s F s M s s k En los dos casos, son de segundo orden simple. Sistemas eléctricos.- En el caso de la presencia de resistencias óhmicas, V(t) R I(t), que se transforma en V(s) R. I(s) ; la función de transferencia será: I s G(s) R V s Si a la resistencia se la somete una señal de entrada de escalón unitario, de tensión unidad I(s)., que al calcular la s R transformada inversa, i(t) R En el caso de un circuito con un condensador, si entre las armaduras existe una tensión V, la ecuación será: + v(0+) v(t) La función de transferencia será :.La función de transferencia.

22 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. G(s) V s I s V(s) s.c Si se somete al condensador a una entrada de escalón unitario, s.c ; la transformada inversa de Laplace será : v(t).t C Cuando en el circuito exista una bobina de autoinducción L, la ecuación representada será : + i(0+) i(t) La función de transferencia será : G(s) I s V s s.l Si la entrada es un escalón unitario de tensión: I(s) s.l y la transformada inversa de Laplace será: i(t).t L.La función de transferencia.

23 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Problema 8.- Calcular la función de transferencia del siguiente sistema físico, formado por una resistencia R, una bobina L y un condensador C. Resolución.- v(t) R. i(t) + L d i t dt + 3.La función de transferencia.

24 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. La trasformada de Laplace será : V(s) R I(s) + L. s I(s) + G(s) I s V s R L s C.s I(s) C.s s R s L s C ; por lo tanto es de segundo orden. Problema 9.- Determinar la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques : Resolución.- G(s) Gi(s) 0. s s 0 s Problema 0.- Determinar la función de transferencia del diagrama de bloque siguiente: Resolución.- G (s) G G. H G ;; G (s) G G. H G 4.La función de transferencia.

25 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. G * G. G G. G. H G G. H G. G G. H. G. H G. H G. H G* GT G G. H 3 G. G G. H. G. H G. H G. H H 3.G. G G. G G. H. G. H H 3. G.G Problema.- Determinar la estabilidad del siguiente sistema : Resolución.- G(s) G s G s 000 s 7 s 00 D(s) 0 ; las raíces son : s 7± La parte real es positiva, por lo tanto el sistema es inestable. Problema.- Determinar el valor de K para que el siguiente sistema de bloques sea estable: 5.La función de transferencia.

26 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. K s s K G(s) s ± 4. K < K < 4 ;; K > 0 ;; K > - Problema 3.- Calcular la función de transferencia: Resolución.v(t) R. i(t) + V(s) R I(s) + G(s) I(s) C.s I s V s Cs C.s. R Es un sistema de orden. que es estable puesto que el polo es real negativo. 6.La función de transferencia.

27 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Anexo.- Ejemplos de automatismos. 7.La función de transferencia.

28 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. Anexo.- 8.La función de transferencia.

29 CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. ª Evaluación. 9.La función de transferencia.