CAPÍTULO VIII MATRICES

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1 MTRICES Y DETERMINNTES 23 CPÍTULO VIII MTRICES 8. INTRODUCCIÓN Se da por entendido el concepto de transformación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, y se determina la matriz asociada a una transformación lineal, el estudio de las transformaciones lineales nos conecta a la suma y producto de matrices, con el fin de evitar una notación engorrosa simplificaremos la misma expresando una matriz en función de sus elementos conectados a una fila y columna, de la siguiente manera. Sea la matriz de m filas y n columnas.... a,,2,3, n... a 2, 2,2 2,3 2, n... a 3, 3,2 3,3 3, n a m, m,2 m,3 m, n 8.2 SUM DE MTRICES Para sumar dos matrices se requiere que ambas tengan la misma dimensión, la suma +B corresponde a una matriz C de la misma dimensión, cuyos elementos corresponden a la suma de los elementos que pertenecen a la misma fila y columna. b b b Sea: La matriz suma C=+B será:,,2,3,,2,3 B b b b 2, 2,2 2,3 2, 2,2 2,3 b b b 3, 3,2 3,3 3, 3,2 3,3 a b a b a b,,,2,2,3,3 C a b a b a b 2, 2, 2,2 2,2 2,3 2,3 a b a b a b 3, 3, 3,2 3,2 3,3 3,3

2 24 ÁLGEBR I 8.3 MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR Si una matriz se multiplica por un escalar k, todos los elementos de se multiplican por el escalar. k ka ka ka,,2,3 ka ka ka 2, 2,2 2,3 Ejemplo PRODUCTO DE MTRICES Dos matrices y B se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda, la matriz resultante tiene las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda. Los elementos de la matriz producto corresponden a la sumatoria de los productos de los elementos de la i-éima fila de por la j-ésima columna de B. a, a,2 a,3 b b a2, a2,2 a2,3 B b b a3, a3,2 a3,3 b b 4, 4,2 4,3,,2 2, 2,2 3, 3,2 La matriz tiene 4 filas y 3 columnas, la matriz B tiene 3 filas y 2 columnas, la matriz producto C= B tendrá 4 filas y 2 columnas y será igual a: C a. b a. b a. b a. b a. b a. b,,,2 2,,3 3,,,2,2 2,2,3 3,2 a. b a. b a. b a. b a. b a. b 2,, 2,2 2, 2,3 3, 2,,2 2,2 2,2 2,3 3,2 a. b a. b a. b a. b a. b a. b 3,, 3,2 2, 3,3 3, 3,,2 3,2 2,2 3,3 3,2 a4,. b, a4,2. b2, a4,3. b3, a4,. b,2 a4,2. b2,2 a4,3. b3,2

3 MTRICES Y DETERMINNTES 25 En el caso de matrices de igual número de filas y columnas es posible hallar los productos B y B, en general se verifica que el producto de matrices no es conmutativo, es decir: B B Ejemplo 2 Sean las matrices: B C D E F G H Hallar cuando sea posible: a) B F b) G B c) C D d) D C e) E+C D f) E C g) E D h) B a) B F B F b) G B B F G B c) C D G B B C D 2 0 2

4 26 d) D C e) E+C D f) E C g) E D E E C D E C D D 2 0 C DC E C C D ÁLGEBR I C E D No es posible efectuar el producto por que el número de columnas de E (3) no es igual al número de filas de D () h) B

5 MTRICES Y DETERMINNTES B B MTRICES CUDRDS Son aquellas que tienen igual número de filas y columnas, por ejemplo:,,2,3 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 Diagonal Secundaria Diagonal Principal Los elementos en los cuales se verifica que i = j constituyen la diagonal principal, mientras que los que verifican la identidad i+j = n+ constituyen la diagonal secundaria, donde n es la dimensión de la matriz. 8.6 MTRIZ IDENTIDD Es aquella cuyos elementos de la diagonal principal son igual a uno y los restantes igual a cero. Para cualquier matriz se verifica que: I = I = La matriz identidad de dimensión tres por tres será: 0 0 I MTRICES TRINGULRES Una matriz se denomina triangular superior si los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

6 28,,2,3 0 a a 0 0 2,2 2,3 a 3,3 ÁLGEBR I Una matriz B es triangular inferior si los elementos que se hallan por encima de la diagonal principal son ceros. a 0 0, B a a 2, 2,2 0 3, 3,2 3,3 La matriz C es diagonal por que sólo los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero. a 0 0 C, 0 a 0 2, MTRIZ TRSPUEST t Es aquella en la cual se han intercambiado las filas por las columnas,,2,3 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 Para la suma y el producto se verifica que: t t a 3,3, 2,2 3,,2 2,2 3,2,3 2,3 3,3 t t t t t B B ; B B Se denomina matriz simétrica aquella que es igual a su traspuesta. 8.9 INVERS DE UN MTRIZ - La matriz es inversible, si y solo si existe una matriz - tal que su producto por derecha o por izquierda con la matriz, es la identidad I En el caso del producto se verifica que: B B 8.0 TRNSFORMCIONES EN UN MTRIZ Las siguientes operaciones se pueden efectuar en una matriz obteniendo matrices equivalentes:

7 MTRICES Y DETERMINNTES 29 Se pueden permutar dos filas cualquiera. Toda ecuación se puede multiplicar por un escalar cualquiera k 0 de R. Se puede multiplicar una fila por un escalar y sumarla a cualquier otra. 8. MÉTODO DE GUSS JORDN Permite hallar la inversa de una matriz aplicando un método que consiste en aumentar la matriz a la derecha con la identidad y a través de transformaciones elementales trasladar la matriz identidad al lado izquierdo, la matriz que queda en lugar de la identidad es la inversa buscada. Si:,,2,3 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 La matriz aumentada será: ,,2,3,4,5, , 2,2 2,3 2,4 2,5 2, , 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 La matriz inversa de es - Ejemplo 4 Hallar la matriz inversa de:,4,5,6 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3, F2=F+F2 F2=F2/5 F=F2(-2)+F F2=F+F2 debe interpretarse como; fila más fila 2 La matriz inversa será:

8 30 ÁLGEBR I Para verificar el resultado multiplicamos la matriz original por su inversa Ejemplo Hallar la matriz inversa de: = F F3 F2=F+F2; F3=F(-2)+F F2 -F(3) F3=F2(-5)+F F3=F3/6 ; F2=F2+F3 ; F=F+F3 =

9 MTRICES Y DETERMINNTES F=F2(-2)+F 8.2 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES NO HOMOGÉNES Considérese el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas, donde no todos los h i = 0 a x a x... a x h,,2 2, n n a x a x... a x h 2, 2,, n n 2... a x a x... a x h n, n,2 2 n, n n n este sistema se puede asociar la siguiente matriz aumentada [ H], donde [] es la matriz de coeficientes y [H] la matriz columna con los valores h i a a... a h [ H ],,2, n a a... a h 2, 2,2 2, n 2... a a... a h n, n,2 n, n n El sistema tiene solución, si y sólo si, las ecuaciones son linealmente independientes, dicha solución puede hallarse llevando la matriz a su forma canónica de fila, es decir, aquella que tiene la matriz identidad a la derecha de la misma. Ejemplo 6 Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas x 2y z 3 2x 3y z 0 2x y 2z 2 La matriz de coeficientes asociada al sistema es:

10 32 ÁLGEBR I Por tanto: Ejemplo 7 Resolver: x ; y ; z La matriz equivalente es: 0 2 x y w 2 2x 3y z w x z 2 x y z 2w F2=F(-2)+F2 ; F3=F-F3 ; F4=F-F F2 -F3 ; F3=F2(-5)+F3 ; F4=F2(2)+F4

11 MTRICES Y DETERMINNTES F3=F3/-4 ; F4=F3(-3)+F F4=F4(2/5) ; F3=F4(/2)+F3 ; F2=F2-F3 ; F=F-F F=F2-F Las soluciones serán: x ; x2 ; x3 ; x DETERMINNTES El determinante de una matriz cuadrada de dimensión n, es un elemento único que corresponde a la sumatoria de n! productos de todas las combinaciones que se pueden hacer con sus elementos tomados de tal manera

12 34 ÁLGEBR I que de cada fila hay uno, y solo uno, y de cada columna uno y solo uno, cada producto esta dotado de un signo que alterna iniciándose en positivo.... a s n P j 2 j2 3 j3 Donde S n es el conjunto de todas las permutaciones de n símbolos contiene n! elementos. Ejemplo. El determinante de una matriz de dimensión [2,2] será: a, a,2 a, a2,2 a,2a2, a a Si la dimensión es [3,3],,2,3 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 2, 2,2 a ( a ) a ( a ) a ( a ), 2,2 3,3 2,3 3,2,2 2, 3,3 2,3 3,,3 2, 3,2 2,2 3, Si la dimensión es [4,4] a, a,2 a,3 a,4 a2, a2,2 a2,3 a2,4 a a3, a3,2 a3,3 a3,4 a 4, 4,2 4,3 4,4 2,2 2,3 2,4, 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 a 2, 2,3 2,4 2, 2,2 2,4..,2 3, 3,3 3,4,3 3, 3,2 3,4,4 4, 4,3 4,4 4, 4,2 4,4 nj n... a a 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 4, 4,2 4,3 8.4 PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Si todos los elementos de una fila o columna son ceros entonces =0 Si es triangular superior, inferior o diagonal el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Si B se obtiene de multiplicando su fila i (columna i) por un escalar no nulo k se tiene B =k. Si se permutan dos columnas de una matriz, entonces los correspondientes determinantes son opuestos. El determinante de toda matriz que tenga dos columnas idénticas es

13 MTRICES Y DETERMINNTES 35 nulo. El determinante de una matriz no varía si a una columna se le suma una combinación lineal de las otras. El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales. Ejemplo o bien: 2 0 ( 2 0) 2(4 0) 3( 4 3) Ejemplo 9 a b c d 0 b a c a d a 2 a b c d 0 b ab c ac d ad a b c d 0 b ab c ac d ad F2=F2+F(-a) ; F3=F3+F2(-a) ; F4=F4+F3(-a) b a c a d a 0 b a c a d a b( b a) c( c a) d( d a) 0 b( b a) c( c a) d( d a) b ( b a) c ( c a) d ( d a) 0 b ( b a) c ( c a) d ( d a) 0 b a c a d a 0 b( b a) c( c a) d( d a) 0 b ( b a) c ( c a) d ( d a) b a c a d a b( b a) c( c a) d( d a) b ( b a) c ( c a) d ( d a)

14 36 ÁLGEBR I ( b a)( c a)( d a) b c d Ejemplo 0 Hallar el determinante de: b c d F2=F2+F(-b) ; F3=F3+F2(-b) ( b a)( c a)( d a) 0 c b d b 0 c( c b) d( d b) c b d b ( b a)( c a)( d a) c ( c b ) d ( d b ) ( b a)( c a)( d a)( c b)( d b) c d ( b a)( c a)( d a)( c b)( d b)( d c) F2=F(-4)+F ( 3 2) 3( 6 ) 5(4 )

15 MTRICES Y DETERMINNTES REGL DE CHIO Permite reducir un determinante de orden n a otro de orden n-, con objeto de facilitar el cálculo del mismo. Consiste en elegir un elemento cualquiera de la matriz diferente de cero como pivote y transformar la fila o columna en ceros, con un mecanismo similar al método de Gauss Jordan teniendo en cuenta, el factor (-) i+j a ij Ejemplo Calcular el siguiente determinante F2=F3(-3)+F2 ; F=F3(-3)+F ; ; F3=F3-F2 ; F2=F(4)+F Ejemplo 2 Hallar el determinante de: F2=F3(-2)+F2 ; F=F3(2)+F ; ; F3=F(-2)+F

16 38 ÁLGEBR I 8.6 INVERSIÓN DE MTRICES POR PRTICIÓN Sea una matriz M particionada en cuatro bloques de matrices de la siguiente manera B M C D Y sea la una partición similar de la matriz inversa M - X Y M Z U Siendo M - la inversa de M se verifica que: O sea B X Y C D Z U N I X BZ I () Y BU N (3) p CX DZ N (2) CY DU I (4) De la ecuación (2) obtenemos DZ CX ; D DZ D CX ; Z D CX (5) (5) en () X BD CX I ; BD C) X I ; X ( BD C ) (6) De (4) p p I p N q DU I CY ; U D D CY (7) q Sustituyendo en (3) Y BD BD CY N ; ( BD C) Y BD Premultiplicando por ( BD C) X resulta: Y XBD (8) Las relaciones (5), (6), (7), (8) permiten la determinación de X, Y, Z, U en función de los datos y de la inversa de D. Ejemplo 3 Utilizando el método de las particiones hallar la inversa de: q Rojo rmando Edit. El teneo 985 Pag 4

17 MTRICES Y DETERMINNTES M Particionamos en cuatro bloques de dimensión dos por dos 0 D I D B C 0 2 X ( BD C) ( BC ) BC BC La inversa de esta matriz será: X Y XBD XB Z D CX CX 2 2

18 40 ÁLGEBR I U D D CY I CY Con los cuatro bloques obtenidos se forma la matriz inversa M COFCTOR El cofactor de cada elemento de una matriz el igual al determinante que se obtiene luego de eliminar la fila y columna del elemento correspondiente, alternando los signos de cada determinante empezando por la primera fila. Ejemplo 4 Encuentre la matriz de cofactores de: 3 4 Matriz de cofactores Matriz de cofactores MTRIZ DJUNT Es la traspuesta de la matriz de cofactores

19 MTRICES Y DETERMINNTES 4 Ejemplo 5 Encuentre la matriz adjunta de: Matriz djunta INVERS DE UN MTRIZ POR EL MÉTODO DE L DJUNT Si una matriz cuadrada tiene inversa, se puede hallar a través de la siguiente expresión: dj Det La inversa de una matriz es igual a la matriz adjunta dividida entre el determinante de la matriz. Ejemplo 6 Encuentre la matriz inversa de: El determinante de esta matriz será: La Matriz Inversa ( ) 4(2 5) ( 5) dj Det

20 42 ÁLGEBR I Ejemplo 7 Hallar la inversa de la siguiente matriz, utilizando el método de la matriz aumentada y el método de la adjunta F F2 F2=F(-2)+F2 ; F3=F(-3)+F F3=F2(2)+F3 F3=F3/ F2=F3+F F=F3(-)+F

21 MTRICES Y DETERMINNTES F=F2(2)+F La matriz inversa será: La matriz de cofactores será: = La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores Matriz djunta= El determinante de la matriz es: (4 ) ( 3)( 2 3) ( 6) La matriz inversa será:

22 djunta 5 7 det 7 ÁLGEBR I Que coincide con el resultado hallado con el primer método.

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