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1 Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur

2 Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático Tem: L integrl

3 Mtemático Tem: L integrl Integrl Índice L integrl. Definición y ejemplos Bibliogrfí

4 Mtemático Tem: L integrl Integrl L integrl. Definición y ejemplos

5 L integrl Mtemático Tem: L integrl Sen f : [, b] R un función continu y positiv. A f [, c]: áre contenid entre l función, el eje OX, y ls rects x = y x = c. En lo que sigue, será fijo y c será vrible. Integrl Relción entre ls funciones A f [, ] y f Cundo f es continu en c, se verific que pr culquier h > 0 (pequeño) el vlor de A f [, c + h] A f [, c] es proximdmente f(c)h, o lo que es lo mismo, A f [, c + h] A f [, c] h f(c)

6 L integrl Mtemático Tem: L integrl Integrl Tomndo hor ĺımite cundo h 0 en mbos miembros de l expresión A f [, c + h] A f [, c] h y usndo l definición de derivd, se tiene que A f [, c] = f(c) es decir, A f [, ] es un primitiv de f. f(c) Teorem (Teorem fundmentl del cálculo y Regl de Brrow) Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces A f [, ] es derivble y su derivd es f, o lo que es equivlente, A f [, ] es un primitiv de f. A f [, c] = f(c) Además, si φ es primitiv de f, el áre A f [, b] se puede clculr sí: A f [, b] = [φ(x)] b = φ(b) φ(),

7 L integrl Mtemático Tem: L integrl Definición (Integrl de Riemnn) Llmmos integrl o de Riemnn de f en el intervlo [, b] l vlor de A f [, b], que normlmente se denot con l expresión Integrl En cso de > b, se define: f(x)dx b f(x)dx = f(x)dx. Pr clculr l integrl de un función continu bst conocer un de sus primitivs φ(x): f(x) dx = [φ(x)] b = φ(b) φ().

8 L integrl Mtemático Tem: L integrl Integrl Ejemplos 2 0 π/ x 2 dx = x = 8 3 sen(x)dx = cos(x) π/4 0 = cosπ/4 + cos0 = 5x + 1dx = 2(5x + 1) 3/ = 2(26)3/2 2(6)3/

9 Mtemático Tem: L integrl Integrl de l integrl

10 de l integrl Mtemático Tem: L integrl 1 Si m y M son respectivmente el vlor mínimo y máximo de f en [, b], entonces Integrl (f(x) ± g(x))dx = m(b ) cf(x)dx = c c f(x)dx = f(x)dx ± f(x)dx, c R. f(x)dx + c f(x)dx M(b ). g(x)dx. f(x)dx, c (, b). 5 Si f(x) g(x), x [, b], entonces f(x)dx g(x)dx.

11 de l integrl Mtemático Tem: L integrl Integrl Teorem Tod función continu en un intervlo [, b] es integrble en [, b]. Además, se tiene 1 Si f : [, b] R es un función integrble en [, b], y f(x) 0, entonces f(x)dx es igul l áre de l región entre l gráfic de f y el eje OX desde hst b. 2 Si f es integrble en [, b], entonces 1 2 f(x)dx es igul l áre por encim del eje OX menos el áre por debjo del eje OX f(x) dx es igul l áre de l región entre l gráfic de f y el eje OX desde hst b.

12 de l integrl Mtemático Tem: L integrl Ejemplo L integrl entre y b de l función f(x) del dibujo inferior es A 2 + A 4 (A 1 + A 3) Integrl Asimismo, se tiene que f(x) dx = A 1 + A 2 + A 3 + A 4.

13 de l integrl Mtemático Tem: L integrl Integrl Observción Hemos supuesto que f : [, b] R es un función continu en [, b]. Sin embrgo, todo sigue siendo válido si dmitimos que f present un número finito de discontinuiddes de slto finito. Bst descomponer [, b] en intervlos donde f sí se continu y podmos plicr ls propieddes nteriores. Ejemplo Por ejemplo, f : [0, 5] R por { e x si x [0, 3] f(x) = x si x (3, 5] present un discontinuidd de slto finito en x = 3. Su integrl en [0, 3] es 5 0 f(x)dx = 3 0 e x dx x dx = [e x ] [ x 2 2 ] 5 3 = (e 3 1) + 8.

14 de l integrl Mtemático Tem: L integrl Integrl Observción Es posible extender el concepto de integrl un mrco más generl. Por ejemplo, se pueden considerr funciones que no estén cotds o que estén s sobre intervlos no cotdos (llmds integrles impropis). Sin embrgo, ests cuestiones supern los objetivos de est lección.