Derivadas por Definición

Transcripción

1 Derivadas por Deinición Nota: (x es una unción cualquiera a es un valor cualquiera del eje x Δx es una distancia cualquiera entre dos valores del eje x Introducción Ya vimos como hallar la pendiente de una recta tangente, que hay dos ormas de hacerlo y que es relativamente sencillo, aplicando un límite. A continuación intentaremos encontrar una orma que nos permita resolver ese límite de orma genérica (es decir, para cualquier valor de a. Antes de eso, recordemos como se hacía una vez más. Supongamos que queremos saber la pendiente de la recta tangente a la unción ( x = x Cuando el valor de la absisa es x =. Aplicando cualquiera de los dos métodos ya conocidos: y ( x ( a ( a = mtg x a y ( a+ ( a ( a = mtg Reemplazando en a por el valor de x pedido y resolviendo el límite, obtendríamos el valor de la pendiente de la recta tangente en ese punto, recordamos que llamamos a este valor Derivada de la unción en x = a (en este caso, Derivada de la unción en x =. A este proceso, se lo conoce como Derivada por Deinición. Es importante recordar y remarcar que en absolutamente todos los casos, el límite que representa a la Derivada por Deinición es una indeterminación del tipo 0/0. 1 Derivada por Deinición Matemática Escuela Técnica ORT 01 Ezequiel Wajs

2 Elegimos cualquiera de los dos métodos, en este caso el segundo, y resolvemos para x = : y ( + ( ( = mtg ( + ( = lim Reemplazamos la potencia: ( = lim ( +( + ( +( + 56 Aplicamos distributiva doble, de a dos paréntesis a la vez: ( = lim (16 8 ( Nuevamente propiedad distributiva doble con el paréntesis azul y el rojo (el resultado en verde: ( = lim Agrupando los términos que tienen la misma potencia de Δx ( = lim Hay dos términos iguales y opuestos a 56, por lo tanto, pueden cancelarse, sacamos actor común Δx, que igura en todos los términos restantes: ( = lim ( x x x Derivada por Deinición Matemática Escuela Técnica ORT 01 Ezequiel Wajs

3 Los dos actores en rojo son iguales y pueden simpliicarse, con este paso, queda eliminada la indeterminación y puede resolverse el límite (recordamos que Δx tiende a cero: ( ( = lim = 56 ( = 56 Por lo tanto, la derivada (pendiente de la recta tangente de (x, cuando x vale es 56. Cálculo de la Derivada por Deinición cualquier valor de a Si ahora quisieramos saber el valor de la derivada de (x cuando x valga -, 7, 8 y 7, no nos quedaría otra opción que repetir ese límite (muy engorroso por cierto, otras cuatro veces. Por eso propondremos resolver el límite una sola vez, sin reemplazar el número que nos interesa, sino dejando una letra (a por ejemplo, que representa a ese número y a cualquier otro. De esta orma, resolvemos el límite una única vez, y luego reemplazamos el valor de a por el/los valores cuya derivada (pendiente de la recta tangente nos interese conocer. Es importante recordar a todo momento que si bien a parece ser una variable, no lo es, es un número conocido, simplemente no reemplazado. Para el mismo ejemplo anterior, realizaremos la Derivada por Deinición cuando x es igual a a, nuestro número de interés, en este caso, lo haremos por los dos métodos, para la misma unción : Método y ( a+ ( a ( a = mtg ( a+ a ( a = lim ( a+( a+( a+( a+ a ( a = lim Derivada por Deinición Matemática Escuela Técnica ORT 01 Ezequiel Wajs

4 Aplicando la propiedad distributiva sobre los actores rojos como en el ejemplo anterior llegamos a: ( a = a + a + 6a + a + a lim Donde hay dos términos iguales y opuestos a que pueden cancelarse y todos los términos restantes están multiplicados al menos por un Δx, por lo tanto se puede sacar un actor común: ( a = lim ( a + x a a Los actores en rojo pueden simpliicarse y queda resuelta la indeterminación, y puede hallarse el resultado del límite: ( ( a = lim a + 6a + a + = a Es decir, que la derivada de la unción ( a = a ( x = x en cualquier valor de x ese ese valor de x elevado al cubo y multiplicado por. Como a responde en realidad a un valor de x (el valor de x en donde nos interesa conocer la pendiente de la recta tangente a la unción, reescribimos el resultado volviendo a intercambiar a por x: ( x = x Y llamamos a este resultado Derivada de (x, lo escribimos (x y se lee prima de x. Por supuesto, la expresión de (x depende de la expresión de (x. Reemplazando en la Derivada de (x el valor de x en donde nos interesa hallar la pendiente de la recta tangente, obtenemos, ácilmente, el resultado que saldría de plantear el límite para ese valor. Derivada por Deinición Matemática Escuela Técnica ORT 01 Ezequiel Wajs

5 Para inalizar, volvemos a realizar este análisis por el método altante (el primero para veriicar que obtenemos el mismo resultado. Cada uno eligirá luego, con que método se siente más cómodo y seguro, nuevamente, los resultados son exactamente los mismos. Método 1 y ( x ( a ( a = mtg x a ( a = lim x a Aplicando la dierencia de cuadrados en el numerador: ( a = lim ( x a ( x + a En el actor rojo puede volver a aplicarse la dierencia de cuadrados: x a ( a = lim x a ( ( x+ a( x + a Los actores en azul son iguales y pueden simpliicarse, quedando resuelta la indeterminación y pudiéndose resolver el límite (recordamos que en este caso, x tiende al valor a : ( ( ( ( a = lim x+ a x + a = ( a+ a a + a = a a ( a = a Y se obtiene el mismo resultado que antes, volviendo a cambiar a por x: ( x = x Volvimos a obtener la misma derivada de (x. 5 Derivada por Deinición Matemática Escuela Técnica ORT 01 Ezequiel Wajs