SERIES CONVERGENTES. Fernando Mejías

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1 SERIES CONVERGENTES Ferado Mejías

2 SERIES CONVERGENTES Copyright 20, por Ferado Mejías Todos los derechos reservados

3 Para mis hermaas y hermaos

4 El mauscrito fue procesado utilizado LATEX2", es decir, básicamete LATEX co alguos macros especiales de AMS-LATEX. La fuete pricipal del texto es New Baskerville, ua variate modera (y ligeramete meos estilizada) de la clásica Baskerville, pero para resaltar la aturaleza clásica del material de las traduccioes se usa ua combiació de Bookma Old Style y Book Atigua. Las fuetes matemáticas pricipales so Math Tme Professioal II ( lite ) de Publish or Perish, Ic. Cualquier crítica, cometario, sugerecia y/o reporte de errores (de impreta o de coteido) será apreciado y puede ser eviado al autor vía correo electróico a la siguiete direcció:

5 PREFACIO Este libro fue cocebido origialmete como u (pequeño) maual auxiliar sobre series para estudiates de Cálculo; posteriormete la idea fue evolucioado y ampliado las perspectivas para ofrecer al lector ua visió geeral sobre el tema y sus relacioes co otros e Aálisis. El libro se iicia co u capítulo itroductorio (auque o prescidible) sobre sucesioes para pasar imediatamete al estudio de las series propiamete dichas, primero hacia series uméricas y luego series de fucioes. E cada capítulo se preseta los coceptos y resultados fudametales ilustrados co ejemplos de casos particulares. Los teoremas y los ejemplos está eumerados e forma cosecutiva. Para efatizar la diferecia teórica, el fial de la demostració de cada teorema se idica co el símbolo, mietras que para los ejemplos se usa u cuadrado vacío. Como parte itegral del estudio se preseta cojutos de problemas que permite al lector poer a prueba la asimilació de cada uo de los coteidos. Casi todos los problemas y los ejemplos so tomados de los exceletes libros Calculus (volume ) por T. Apostol y Calculus por M. Spivak, lo cual de algua forma idica el ivel de dificultad. Alguos problemas está divididos e partes, e alguos casos éstas se señala co úmeros y e otros co letras del alfabeto latio para idicar que los primeros poe a prueba la destreza operatoria mietras que los segudos so de aturaleza teórica, probablemete de iterés para estudiates de Matemáticas que se prepara para cursar estudios de Aálisis Real. E todo caso esta omeclatura o debe iterpretarse como u idicador del ivel de dificultad de los problemas, para lo cual presetamos u sistema de idicacioes co uo y dos asteriscos. E geeral, el istructor debe hacer ua selecció adecuada para sus estudiates. Al fial se ecuetra las solucioes de alguos de los problemas. Otro aspecto que se debe mecioar es la icorporació de alguas otas históricas que complemeta las traduccioes de trabajos origiales sobre series de Isaac Newto, Leohard Euler y Neils Herik Abel. El estudio de este material es altamete recomedado, o solamete por su valor técico, sio porque ayuda a formar ua idea acerca de la evolució del vii

6 viii Ferado Mejías cocepto de serie desde los primeros trabajos; después de todo, muchas de las más elaboradas teorías y técicas matemáticas de la actualidad tiee sus raíces e las obras de estos tres cietíficos. Estas lecturas está complemetadas co ua Reseña Bibliográfica que pretede servir de guía al estudiate para profudizar e los temas tratados, buscar problemas y ejercicios adicioales y explorar alguas de las aplicacioes del tema e otras áreas de las Matemáticas. Para cocluir, quiero recoocer el aporte de todas las persoas e istitucioes que ha colaborado para la producció de este libro. Los profesores Roy Quitero, Edgar Rosales y Wilfredo Zuleta del Núcleo Uiversitario Rafael Ragel leyero ua de las primeras versioes e hiciero varias recomedacioes valiosas; alguas coversacioes co los profesores Armado Motilla y José Romao, así como co otros amigos tambié ha servido de apoyo y estímulo, y ayudado a mejorar la presetació. Nárviz Mejías ayudó a corregir umerosos errores de impreta. La mayor parte de solucioes a los problemas de cálculo que aparece al fial del libro so obra de mi hija Ixhel quie los resolvió cuado estudiaba el tema e u curso de Cálculo (la tarea mía e este particular ha sido pricipalmete agregar el compoete didáctico, es decir, resumir las solucioes origiales suprimiedo la mayor parte de los detalles). La Comisió de Desarrollo del Pregrado de la Uiversidad de Los Ades ha cotribuido getilmete para que el cojuto de otas se covierta e u libro. Fialmete, después de idicar que, por supuesto, todos los errores e imperfeccioes que aú queda so mi resposabilidad, deseo expresar a todos mi agradecimieto sicero. Uiversidad de Los Ades Núcleo Uiversitario Rafael Ragel Trujillo, Jueves, 2 de Abril de 20 FERNANDO MEJÍAS

7 TABLA DE CONTENIDO Prefacio vii CAPÍTULO Sucesioes Ifiitas Aproximació de Fucioes por Poliomios Sucesioes 4 Subsucesioes 0 Sucesioes de Cauchy Sucesioes y Cotiuidad 2 Tres Ejemplos Notables 3 Problemas 9 CAPÍTULO 2 Series Ifiitas 27 Sumas Ifiitas 27 Series Telescópicas 3 Series Geométricas 34 Ua Nota Histórica 36 Problemas 38 CAPÍTULO 3 Series de Térmios o Negativos 43 Criterio de Acotació 43 Criterio de Comparació 44 Criterio de Comparació por paso al Límite 52 Criterio del Cociete 56 Criterio de la Raíz 6 Criterio de la Itegral 65 Criterio de Raabe y Criterio de Gauss 7 Teorema de Abel y Prigsheim 76 Problemas 78 ix

8 x Ferado Mejías CAPÍTULO 4 Covergecia Absoluta 8 Criterio de Leibiz 8 Covergecia Absoluta 84 Reordeació de Series 86 Problemas 9 CAPÍTULO 5 Teorema de Abel 93 Fórmula de Abel 93 Criterio de Dirichlet 96 Criterio de Abel 97 CAPÍTULO 6 Producto de Series 99 Producto de Cauchy 99 Teorema de Abel para el Producto 04 CAPÍTULO 7 Series de Fucioes 05 Sucesioes de Fucioes 06 Covergecia Uiforme 0 Series de Potecias 20 Teorema del Límite de Abel 30 Problemas 36 CAPÍTULO 8 La Serie Biómica 39 Teorema del Biomio 39 Prueba de la Serie Biómica 43 Dos Cartas de Newto 47 Epistola Prior 50 Epistola Posteriori 54 CAPÍTULO 9 Series de Potecias Complejas 6 Sucesioes Complejas 6 Series Complejas 63 U Texto de Euler 70 Problemas 90 CAPÍTULO 0 Tres Obras de Abel 9 Ua Geeralizació de la Serie Biómica 94 Sobre la Serie Biómica 98 Acerca de las Series 236 Epílogo 252 Reseña Bibliográfica 253 Solucioes a Problemas Escogidos 259 Ídice Alfabético 275

9 SERIES CONVERGENTES

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11 Las series divergetes so u iveto del demoio, y es vergozoso basar sobre ellas cualquier demostració. NIELS HENRIK ABEL

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13 CAPÍTULO SUCESIONES INFINITAS Es digo de ser meditado el hecho de que, cada vez que es posible, el hombre elimia apresuradamete el ifiito... La matemática modera exhibe ua cosiderable variedad de ifiitos... Desde luego, todos so iituibles y jaloea el creciete alejamieto etre el mudo sesible y el mudo matemático. ERNESTO SÁBATO El objetivo primordial de este libro es establecer formalmete la oció de suma ifiita (es decir, ua suma co ifiitos térmios) y explorar sus propiedades; para lograr esta meta, debemos dar u paso prelimiar que cosiste e arreglar los supuestos ifiitos térmios, poiédolos e forma ordeada, algo así como a ; a 2 ; a 3 ; : : :. Éste es el puto al que se dedica el presete capítulo. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS E alguos casos resulta muy difícil o tal vez imposible determiar el valor f.x/ de ua fució dada e u puto x y por tato es deseable dispoer de u mecaismo que permita hacer ua estimació de tal valor. Uo de esos mecaismos es aproximar la fució f por u poliomio, ya que sus imágees so fáciles de calcular. Ua forma de abordar esta tarea es particularmete secilla cuado la fució f posee derivadas de orde e u itervalo I que cotega a u puto a, e este caso teemos el poliomio de Taylor de grado y cetrado e a para f defiido para todo x 2 I por P ;a.x/ D f.a/ C f./.a/.x a/ C f.2/.a/ 2Š.x a/ 2 C C f./.a/.x a/ : Š El ombre de este poliomio fue establecido e hoor al matemático iglés Brook Taylor quie cotribuyó al progreso y la difusió de las ideas origiales del Cálculo de acuerdo a la escuela de Isaac Newto.

14 2 Ferado Mejías E geeral existe ua diferecia o resto R ;a.x/ etre f.x/ y P ;a.x/: f.x/ D P ;a.x/ C R ;a.x/: Así, lo buea o mala que pueda ser la aproximació de f.x/ por P ;a.x/ depede de lo pequeño que resulte ser R ;a.x/. Desarrollado el poliomio de Taylor para las fucioes se, cos, exp, log y arctg teemos las siguietes igualdades: se x D x cos x D log. C x/ D x x 3 3Š C x5 5Š C C. / x2c.2 C /Š C R ;a.x/; x 2 2Š C x4 x2 C C. / 4Š.2/Š C R ;0.x/; e x D C x Š C x2 2Š C C x Š C R ;0.x/; arctg x D x x 2 2 C x3 3 x 3 3 C x5 5 C C. /C x C R ;.x/; C C. / x2c 2 C C R ;0.x/: U teorema clásico e Aálisis provee formas de estimar R ;a.x/ a partir de iformació sobre f. TEOREMA (TEOREMA DE TAYLOR) Sea f ua fució tal que las derivadas f./,...,f.c/ está defiidas sobre u itervalo Œa; x y R ;a.x/ está defiido por f.x/ D f.a/ C X kd f.k/.a/.x a/ k C R ;a.x/: kš Etoces () R ;a.x/ D f.c/./. C /Š.x /.x a/ para algú 2.a; x/. (2) R ;a.x/ D f.c/./. C /Š.x a/c para algú 2.a; x/. Además, si f.c/ es itegrable sobre Œa; x, etoces (3) R ;a.x/ D Z x a f.c/.x/.x / dx. Š La ecuació () es coocida como la forma de Cauchy para el resto, mietras que la ecuació (2) se deomia la forma de Lagrage y la ecuació (3) es la forma itegral. E muchos casos resulta que R ;a.x/ es razoablemete pequeño para valores grades de y la idea geeral es que la aproximació tiede a

15 . Sucesioes Ifiitas 3 mejorar e la medida e que el grado del poliomio de Taylor P ;a.x/ aumeta. Auque este feómeo o ocurre siempre, detro de este esquema de ideas surge la preguta cuál será la mejor aproximació posible? y ua respuesta igeua e iteresate sería si podemos platear ua suma ifiita de la forma f.x/ D f.a/cf./.a/.x a/c f.2/.a/ 2Š.x a/ 2 C C f./.a/.x a/ C : Š Por ejemplo e la lista de igualdades presetadas arriba, si asumimos que e todos los casos el resto tiede a 0 cuado es muy grade, etoces obtedríamos las siguietes igualdades: se x D x cos x D log. C x/ D x x 3 3Š C x5 5Š x 2 2Š C x4 4Š x 7 7Š C ; x 6 6Š C ; e x D C x Š C x2 2Š C x3 3Š C ; arctg x D x x 2 2 C x3 3 x 3 3 C x5 5 x 4 4 C ; x 7 7 C : De ser ciertas estas fórmulas, etoces teemos alguas igualdades muy iteresates, asigado alguos valores especiales a x, por ejemplo: 0 D 0 D 3 7 3Š C 5 5Š 7Š C ; Š C Š 2 6 6Š C ; e D C Š C 2Š C 3Š C ; log 2 D 2 C 3 4 D 3 C 5 4 C ; 7 C : Auque estas ideas resulta plausibles y sobre todo muy atractivas, todas tiee u gra defecto y es que la adició de úmeros reales es ua operació biaria, es decir podemos sumar solamete dos úmeros reales a la vez y por u proceso de iducció podemos defiir la suma de ua colecció fiita de úmeros, pero por esa vía o podemos llegar a defiir y trabajar co sumas ifiitas. Y es que la oció o es ta secilla como pudiera parecer e ua primera mirada. Cosideremos por ejemplo la suma ifiita C C C ; dode los térmios so sucesivamete y. Si ua suma ifiita ha de teer setido uo esperaría que se cumpla la ley asociativa, es decir que

16 4 Ferado Mejías si uo agrupa uos sumados esto o debe alterar el valor del resultado. Pero observemos que teemos: C. C / C. C / C. C / C D C 0 C 0 C 0 C D ; mietras que por otro lado. / C. / C. / C D 0 C 0 C 0 C D 0; lo cual resulta ser cotradictorio, y por tato debe ser evitado. El resto de este pequeño libro es ua exposició del desarrollo de la teoría de sumas ifiitas de la forma a C a 2 C C a C ; pero para ello debemos primeramete efocar uestra ateció hacia la colecció ifiita misma de elemetos que queremos sumar. SUCESIONES Ua sucesió (ifiita) de úmeros reales es ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales y cuyo recorrido es u subcojuto de R. La coveció usual idica que ua sucesió a se debe deotar por a W N! R y que el valor de a e u úmero 2 N (el térmio -ésimo) por a./, pero la tradició ha llevado a hacer casi uiversal otra otació, e la que escribimos a e lugar de a./ y la sucesió misma se deota por fa g. Por supuesto, es posible cosiderar sucesioes fiitas, para lo cual es suficiete hacer ua ligera modificació a la defiició aterior, si embargo este cocepto o tiee mucha importacia pues lo iteresate de ua sucesió fa g es su comportamieto para valores muy grades de. Por este motivo teemos que la represetació gráfica usual de fucioes resulta poco iteresate cuado se trata de sucesioes pues o ilustra lo que ocurre a la mayor parte de los térmios x 3 x x FIGURA.(a) FIGURA.(b) Por ejemplo, e la Figura (a) se muestra la represetació gráfica usual de la sucesió fx g defiida por x D =. Para mejorar esta situació

17 . Sucesioes Ifiitas 5 se ha diseñado u sistema de represetació gráfica que se aplica exclusivamete a estas fucioes y que suele ser más ilustrativo (Figura (b)). La sucesió fx g tiee u comportamieto iteresate para valores grades de : el hecho de que sus térmios tiede a acumularse e toro a u puto dado (específicamete al 0). E geeral decimos que ua sucesió fa g coverge hacia el límite si para todo " > 0 existe u úmero atural N tal que para todo, si N etoces ja lj < " (tambié decimos que la sucesió fa g es covergete, Figura 2). E este caso escribimos a! l cuado! o simplemete lim a D l. Si fa g o coverge,! decimos que diverge o que es divergete. Notemos que si la sucesió fa g diverge sigifica que para todo úmero real l existe u " > 0 tal que para todo úmero atural N existe u N tal que ja lj ". x 3 x N x x 2 ( ) l " l l C " FIGURA 2. A cotiuació presetamos u resultado que establece la uicidad del límite de ua sucesió covergete, u hecho que es bastate evidete y sirve como u esayo para el uso del cocepto de covergecia. TEOREMA 2 Si la sucesió fa g coverge hacia l y tambié coverge hacia m, etoces l D m. DEMOSTRACIÓN Supogamos que l m y cosideremos " D jl mj=2. Puesto que lim a D! l teemos que existe u N 2 N tal que para todo, si N se cumple que jl mj ja lj < : 2 Aálogamete, existe u úmero atural N 2 tal que para todo, si N 2 se cumple que jl mj ja mj < : 2 Luego, si tomamos N D max.n ; N 2 / teemos jl mj D jl a Ca mj ja ljcja mj < jl mj C jl 2 mj 2 D jl mj; lo cual es ua cotradicció.

18 6 Ferado Mejías EJEMPLO 3 Si x D = para todo, etoces lim x D 0. Este resultado es ua co! secuecia de la propiedad arquimediaa de los úmeros reales (ver Problema 20) que establece que para todo " > 0 existe u úmero atural N tal que N < ": Por tato teemos que para todo úmero atural, si N se cumple que ˇˇˇ ˇ 0 ˇ D N < ": EJEMPLO 4 Supogamos que y D. / C para todo, etoces fy g diverge. Notemos que si l > podemos tomar " D l y etoces resulta que para todo se cumple jy lj ". Aálogamete si l <, es suficiete tomar " D l. Si < l < etoces podemos cosiderar " D mi. l; lc/. Si l D basta tomar " D para ver que jy 2C C j > ". Fialmete, si l D, etoces co " D teemos jy 2 j > ". A cotiuació presetamos otro ejemplo acerca de ua sucesió divergete pero cuyo comportamieto es totalmete distito al de la sucesió descrita e el Ejemplo 4. EJEMPLO 5 Supogamos que D para todo, etoces f g diverge y escribimos! cuado!. Como e el caso de límites de fucioes e u puto, existe u teorema sobre el álgebra de límites de sucesioes que facilita la tarea de hacer cálculos. La semejaza etre estos resultados o es casual, e efecto la demostració es prácticamete la misma, sobre todo si utilizamos el siguiete lema tomado de Calculus por Spivak (referecia [] de la Reseña Bibliográfica, p. 0). LEMA () Si jx x 0 j < " 2 y jy y 0 j < " 2 ; etoces (2) Si jx etoces j.x C y/.x 0 C y 0 /j < ": " x 0 j < mi ; 2.jy 0 j C / jxy x 0 y 0 j < ": y jy y 0 j < " 2.jx 0 j C / ;

19 . Sucesioes Ifiitas 7 (3) Si y 0 0 y etoces y 0 y jy jy0 j y 0 j < mi 2 ; "jy 0j 2 ; 2 ˇˇˇ ˇy ˇ < ": y 0 Ahora teemos el siguiete resultado. TEOREMA 6 Sea fa g y fb g dos sucesioes covergetes tales que a! l y b! m cuado!. Etoces las sucesioes fa C b g y fa b g tambié coverge y () lim!.a C b / D l C m, (2) lim!.a b / D l m. Además si m 0, etoces la sucesió fa =b g tambié coverge y teemos a (3) lim D l! b m. DEMOSTRACIÓN () Para cualquier " > 0 existe dos úmeros aturales N y N 2 tales que para todo si N, etoces ja lj < " 2 y si N 2, etoces jb mj < " 2. Etoces si N D max.n ; N 2 / y N, teemos que ja lj < " 2 y jb mj < " 2 ; luego, por el Lema () teemos que si N, etoces ja j.a C b /.l C m/j < ": (2) Dado " > 0 existe dos úmeros aturales N y N 2 tales que para todo lj < mi ;, y si N 2, etoces jb mj < " 2.jlj C /. " 2.jmj C / Etoces si N D max.n ; N 2 / y N, teemos por el Lema (2) " " ja lj < mi ; y jb mj < 2.jmj C / 2.jlj C / : Luego, el Lema (2) implica que ja b lmj < ":

20 8 Ferado Mejías (3) Es suficiete demostrar que la sucesió f=b g coverge hacia =m; pero existe u detalle que coviee aclarar: el hecho de que b! m 0 cuado! o garatiza que =b esté defiido para todo, e efecto, es fácil dar u ejemplo dode este feómeo se presete. Si embargo, resulta que si b! m 0 etoces existe solamete ua catidad fiita de valores de para los cuales b D 0 (esta es ua cosecuecia de la primera parte del Lema (3)). Por tato b puede ser ulo solamete para alguos de los úmeros ; 2; : : :; N. E este caso podemos trabajar co ua ueva sucesió c la cual coverge hacia m y c 0 para todo defiida así c D b N C. Comúmete este procedimieto se cosidera como algo puramete formal y se trabaja directamete co la sucesió fb g. Ahora, sea " > 0 existe u úmero atural N tal que para todo jmj si N, etoces jb mj < mi 2 ; "jmj2. 2 Etoces, por el Lema (3) queda que ˇb mˇ < ": La diferecia de comportamieto etre las sucesioes fy g y f g de los Ejemplos 4 y 5 ilustra u puto sutil que determia ua característica muy importate de las sucesioes covergetes. Notemos que el cojuto de térmios de la sucesió f g o está acotado, es decir o es posible ecotrar dos úmeros a; b 2 R, tales que 2.a; b/ para todos los úmeros, mietras que el cojuto de térmios de la sucesió fy g si está acotado. E este último caso decimos que la sucesió está acotada y, resulta evidete que todas las sucesioes covergetes está acotadas, e efecto esta proposició se formaliza e el siguiete teorema. TEOREMA 7 Si fa g es ua sucesió covergete, etoces fa g está acotada. DEMOSTRACIÓN Supogamos que a! l cuado!. Etoces tomado " D e la defiició de sucesió covergete teemos que existe u úmero atural N tal que, para todo, si N, etoces luego es decir ja lj < ; < a l < ; l < a < l C : Por tato, para todo N teemos que a 2.l ; C /. Por otro lado, el resto de los térmios de la sucesió, a saber a ; a 2 ; : : : ; a ; costituye ua catidad fiita, etoces existe ua itervalo abierto.u; v/ que

21 . Sucesioes Ifiitas 9 los cotiee a todos. Fialmete, si cosideramos a D mi.u; l / y b D max.v; l C / teemos que todos los térmios de la sucesió fa g está coteidos e el itervalo abierto.a; b/. E alguos casos teemos que el cojuto de los térmios de ua sucesió fa g está acotado superiormete, etoces decimos que la sucesió está acotada superiormete y si tal cojuto está acotado iferiormete decimos que la sucesió está acotada iferiormete. Por tato, ua sucesió está acotada si y sólo si está acotada tato superior como iferiormete. Notemos que el Teorema 7 es equivalete a la siguiete proposició: si ua sucesió fa g o está acotada, etoces la sucesió es divergete. Cocluimos esta secció co u resultado muy importate que depede de la completitud del sistema de los úmeros reales y para el cual ecesitamos uas defiicioes sobre ciertas características especiales de alguas sucesioes. Decimos que la sucesió fa g es creciete si a < a C para todo (Figura 3). Aálogamete decimos que la sucesió fa g es decreciete si a > a C para todo. Alguas veces o se ecesita codicioes ta estrictas y decimos que la sucesió fa g es o creciete si a a C para todo ; mietras que la sucesió fa g es o decreciete si a a C para todo. Fialmete, decimos que ua sucesió fa g es moótoa si fa g es o bie o creciete o bie o decreciete. a a 2 a 3 a 4 a a C FIGURA 3. TEOREMA 8 Si fa g es ua sucesió o decreciete y acotada superiormete, etoces fa g coverge. DEMOSTRACIÓN Sea A el cojuto formado por todos los a. Por hipótesis teemos que A está acotado superiormete y como A ;, existe u 2 R tal que D sup A. ( a a 2 " a N FIGURA 4.

22 0 Ferado Mejías Dado " > 0 existe u x 2 A tal que x < ", es decir existe u N tal que a N < " (Figura 4). Por otro lado teemos que si N etoces a a N, de dode a a N < "; o sea, a! cuado!. SUBSUCESIONES Alguas veces coviee realizar el aálisis de ua sucesió examiado el comportamieto de ua o varias coleccioes ifiitas de sus térmios. Por ejemplo, cosideremos la sucesió fy g defiida por y D. / C, teemos dos coleccioes ifiitas de térmios otables f; ; ; : : :g y f ; ; ; : : :g: Evidetemete, si cosideramos cada ua de estas coleccioes como sucesioes teemos que ambas coverge, la primera hacia y la seguda hacia - y de la uicidad del límite deducimos que la sucesió fy g es divergete. E el exame aterior hemos cosiderado ua colecció ifiita de térmios de ua sucesió dada como ua sucesió e sí misma y las dos coleccioes así formadas so llamadas subsucesioes. Formalmete, ua subsucesió de ua sucesió fa g es la composició de fa g co ua sucesió creciete de úmeros aturales fk g, y la deotamos por fa k g. La discusió iicial de esta secció queda formalmete establecida co el siguiete lema (cuya demostració es casi obvia a partir de la observació de que k ). LEMA 9 Si la sucesió fa g es covergete hacia l y fa k g es ua subsucesió, etoces la subsucesió tambié coverge hacia l. Ua propiedad muy iteresate de las sucesioes queda plasmada e el siguiete resultado. LEMA 0 Toda sucesió fa g cotiee ua subsucesió la cual es o bie o creciete o bie o decreciete. Este lema se combia co el Teorema 8 para producir uo de los resultados teóricos más importates sobre sucesioes. COROLARIO (TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS) Toda sucesió acotada tiee ua subsucesió covergete.

23 . Sucesioes Ifiitas SUCESIONES DE CAUCHY Si fa g es ua sucesió que coverge hacia el límite l, ituitivamete, esto os idica que los putos a se ecuetra muy cerca del puto l cuado toma valores arbitrariamete grades, e cuyo caso, los diferetes térmios a y a m se ecuetra muy cerca etre sí cuado y m so úmeros muy grades, porque ja a m j ja lj C jl a m j: Aálogamete, resulta razoable pesar que si los térmios a y a m de ua sucesió dada se ecuetra muy próximos etre sí para valores muy grades de y m, etoces la sucesió es covergete. Motivados por esta observació establecemos la siguiete defiició que proporcioa u istrumeto muy eficaz para el estudio de las sucesioes: decimos que la sucesió fa g es ua sucesió de Cauchy si para todo " > 0 existe u úmero atural N tal que para todos y m, si ; m N, etoces ja a m j < ". TEOREMA 2 Si fa g es ua sucesió covergete, etoces fa g es ua sucesió de Cauchy. DEMOSTRACIÓN Supogamos que a! l cuado! y sea " > 0. Etoces existe N 2 N tales que si N etoces ja lj < "=2. Luego, si ; m N etoces ja lj < " y ja m lj < " 2 2 : Por tato, si ; m N teemos ja a m j ja lj C jl a m j < " 2 C " 2 D ": Como hemos sugerido arriba, el recíproco del Teorema 2 tambié es cierto. TEOREMA 3 Si fa g es ua sucesió de Cauchy, etoces fa g coverge. DEMOSTRACIÓN Para empezar otemos que toda sucesió de Cauchy está acotada (este hecho se puede probar siguiedo el esquema de la demostració del Teorema 7). Ahora, de acuerdo co el Teorema de Bolzao-Weierstrass fa g tiee ua subsucesió fa k g la cual coverge hacia u límite l. Dado " > 0, existe u N tal que para todos y m, si ; m N, etoces ja a m j < " 2 : Tambié teemos que existe u N 2 tal que para todo si k N 2 etoces ja k lj < " 2 : Luego, si N D max.n ; N 2 / (recordemos que k ) teemos ja a k j < " 2 y j k j < " 2 ;

24 2 Ferado Mejías y por tato teemos es decir lim! a D l. ja lj ja a k j C ja k lj < " 2 C " 2 D "; SUCESIONES Y CONTINUIDAD Esta secció está dedicada al estudio de la cotiuidad de fucioes mediate el uso de sucesioes. La idea cetral cosiste e demostrar qué codicioes de cotiuidad de ua fució f garatiza la posibilidad de itercambiar la fució co límites de sucesioes covergetes (Figura 5), así lim f.x / D f lim x :!! El resultado presetado a cotiuació establece codicioes ecesarias para que se cumpla tal igualdad y además demuestra que el problema puede ser abordado e setido iverso, es decir que la posibilidad de itercambiar la fució co límites proporcioa iformació sobre la cotiuidad de la fució. 2 FIGURA 5. TEOREMA 4 Sea p u puto de u itervalo abierto I y f ua fució defiida e todos los putos de I (excepto quizá e p) tal que lim f.x/ D q: x!p Supogamos que fa g es ua sucesió co térmios e I que coverge hacia p, co a p para todo. Etoces lim f.a / D q:! Recíprocamete, si esta proposició es cierta para toda sucesió fa g que satisface las codicioes ateriores, etoces lim f.x/ D q: x!p

25 . Sucesioes Ifiitas 3 DEMOSTRACIÓN Supogamos que lim f.x/ D q: Etoces, dado u úmero " > 0 existe x!p u ı > 0 tal que, para todo x 2 I, si 0 < jx pj < ı etoces jf.x/ qj < ": Si fa g es ua sucesió co térmios e I fpg la cual coverge hacia p, etoces existe u úmero atural N tal que para todo, si N, etoces 0 < ja pj < ı: Luego jf.a / qj < ": Por tato, f.a /! q cuado!. Supogamos ahora que lim f.a / D q para toda sucesió fa g co! térmios e I fpg tal que lim a D p: Si o fuese lim f.x/ D q, existiría! x!p u " > 0 tal que para todo ı > 0 existiría u x co 0 < jx pj < ı y jf.x/ qj ": E particular, para cada existiría u x tal que 0 < jx pj < = pero jf.x / qj ": Así, la sucesió fx g sería covergete hacia p, pero la sucesió ff.x /g o sería covergete hacia q. Ua cosecuecia imediata del Teorema 4 es el siguiete resultado. COROLARIO 5 Sea A u subcojuto de R, f W A! R ua fució y p u puto de A. Etoces f es cotiua e p si y sólo si para toda sucesió fx g co lim x D p,! se cumple lim f.x / D f lim x D f.p/:!! La igualdad establecida por el Corolario 5 costituye ua herramieta ivaluable para efectos de cálculo de límites, juto co el Teorema 6 y las siguietes igualdades forma toda la maquiaria ecesaria para resolver casi todos los problemas de este libro (que cociere a límites, claro está). lim! TRES EJEMPLOS NOTABLES D 0; si > 0; lim! x D 0; si jxj < ; lim! = D ; lim C D e ; para todo 2 R:! Esta secció preseta tres ejemplos de aplicacioes del cocepto de covergecia e la exploració de alguos problemas. La primera de tales

26 4 Ferado Mejías aplicacioes es u resultado que se usa para la exploració de la estructura del cojuto de los úmeros reales, el cual es coocido como el teorema de los itervalos ecajados (de Cator, e hoor al matemático George Cator, Figura 6). FIGURA 6. Retrato de George Ferdiad Ludwig Philipp Cator. EJEMPLO 6 Dada ua sucesió de itervalos cerrados I D Œa ; b, I 2 D Œa 2 ; b 2,..., los cuales se ecuetra ecajados, es decir I C I ; para todo ; etoces \ I ;; o sea, existe u úmero x tal que x 2 I para todo (Figura 7). I I 2 [ [ [ ] ] ] a a 2 a 3 b 3 b 2 b FIGURA 7. La demostració del teorema se realiza partiedo de la observació que la hipótesis I C I para todo es equivalete a decir que la sucesió fa g es o decreciete y que la sucesió fb g es o creciete y, puesto que ambas está acotadas, teemos que existe y ˇ tales que lim! a D y lim! b D ˇ.

27 . Sucesioes Ifiitas 5 Además teemos que ; ˇ 2 Œa ; b para todo, etoces podemos tomar x cualquier puto de Œ ; ˇ. Nótese que es posible que el itervalo Œ ; ˇ coste solamete de u puto, e efecto este es el caso si se cosidera la hipótesis adicioal lim!.b a / D 0. E este cotexto, el ombre de Cator se asocia tambié co u objeto matemático de aturaleza muy sigular, el cual se costruye de la siguiete forma: sea K 0 D Œ0; K D K 0 3 ; 2 3 ; h i K 2 D K ; 2 [ 7 ; 8 ; h 2 i K 3 D K 2 ; 2 [ 7 ; 8 [ 9 ; 20 [ 25 ; : Observemos que K resulta de extraer del itervalo Œ0; el itervalo abierto 3 ; 2 3, resultado que K D 0; 3 [ 2 3 ; ; aálogamete K 2 se puede represetar como la uió de 2 2 itervalos cerrados y, e geeral K como la uió de 2 itervalos cerrados (Figura 8). 0 : : : : FIGURA 8. Notemos además que 0 2 K para todo, etoces el cojuto de Cator C se defie por: \ C D K : D0 Evidetemete el cojuto de Cator cotiee muchos más elemetos que 0 (e efecto ua colecció ifiita, ver Problema 9) y, para probarlo es suficiete aplicar el teorema de los itervalos ecajados a subcojutos de los K coveietemete elegidos. Notemos que la coclusió del teorema de los itervalos ecajados o se obtiee si la hipótesis de que los itervalos I sea cerrados se reemplaza por la suposició de que so abiertos. Por ejemplo, si I D.0; =/

28 6 Ferado Mejías para todo, teemos que I C I para todo y \ I D ;: El siguiete ejemplo ilustra ua aplicació del cocepto de covergecia para probar la existecia de solucioes de cierto tipo de ecuacioes especiales y se cooce como (u) teorema de puto fijo. Para establecer el resultado ecesitamos ua defiició prelimiar: dada ua fució f, u puto fijo para f es u úmero tal que f. / D. EJEMPLO 7 Supogamos que f W Œ0;! Œ0; es ua fució cotiua y creciete sobre Œ0;. Etoces para todo x 2 Œ0; la sucesió x; f.x/; f.f.x//; f.f.f.x///; : : : coverge hacia u puto fijo de f. La idea geométrica e el fodo del argumeto está ilustrada e la Figura 9. α α FIGURA 9. De forma aecdótica el matemático Littlewood cueta como u gráfico similar a éste le sugirió la idea para resolver u problema y de allí su opiió de que e alguos casos solamete ua figura es suficiete como solució a u problema (ver la págia 35). E primer lugar coloquemos etiquetas a la sucesió así: a 0 D x y a C D f.a /; para todo 0,

29 . Sucesioes Ifiitas 7 es decir a C D f.a / D f.f.a // D f.f.f.a 2 /// : D f B f B B f C veces.a 0 /: Supogamos que f.x/ > x, es decir a > a 0. Como f es creciete teemos que f.f.x// > f.x/; o sea E geeral teemos que a 2 > a : a C > a para todo 0. Como el recorrido de f está coteido e Œ0;, resulta que la sucesió fa g es creciete y acotada, y es por tato covergete. Sea D lim a,! etoces por el Corolario 5 teemos D lim! a C D lim! f.a / D f lim a! D f. /; es decir, es u puto fijo para f. Para el caso e que f.x/ < x se procede e forma aáloga. Nuestro último ejemplo cosiste e la aplicació de sucesioes covergetes para hallar raíces de ua fució, utilizado las rectas tagetes a su gráfica, el procedimieto fue desarrollado por Newto y es coocido como el método de las tagetes de Newto. EJEMPLO 8 Sea f W R! R ua fució derivable y x 0 u úmero real. Etoces la ecuació de la recta tagete e el puto.x 0 ; f.x 0 // es y.x/ D f 0.x 0 /.x x 0 / C f.x 0 /: Es fácil verificar que el puto de itersecció de esta recta co el eje horizotal es.x ; 0/ dode x D x 0 f.x 0 / f 0.x 0 / si f 0.x 0 / 0. Ahora cosideremos la recta tagete a la gráfica de f e el puto.x ; f.x //, cuya ecuació es y 2.x/ D f 0.x /.x x / C f.x /:

30 8 Ferado Mejías Aálogamete, si supoemos que f 0.x / 0, teemos que el puto de itersecció etre esta recta y el eje horizotal es u puto.x 2 ; 0/, dode x 2 D x f.x / f 0.x / : FIGURA 0. E geeral, obteemos ua sucesió fx g tal que.x C ; 0/ es el puto de itersecció etre la recta tagete a la gráfica de la fució f e el puto.x ; f.x // y el eje horizotal (Figura 0), y si f 0.x / 0 teemos que x C D x f.x / f 0.x / : Resulta que bajo las hipótesis f 0 ; f 00 > 0 y f.x 0 / > 0 se tiee que fx g es ua sucesió o creciete la cual coverge a u puto co f. / D 0. Utilizado el método de Newto para f.x/ D x 2 2 y x 0 D ; 4 co los primeros cuatro térmios de la sucesió fx g obteemos aproximació muy buea de p 2, así x 0 D ; 4 x D ; x 2 D ; x 3 D ; 44236:

31 . Sucesioes Ifiitas 9 PROBLEMAS Para cada ua de las siguietes sucesioes fa g hallar ua expresió para el térmio geeral a. () ; 2 ; 4 ; 8 ; : : :. (2) ; 3 2 ; 9 4 ; 27 8 ; : : :. (3) 2 ; 3 4 ; 9 8 ; 27 6 ; : : :. (4) 2; ; 4; 3; 6; 5; : : :. (5) ; 0; 3 ; 0; 5 ; 0; 7 ; 0; : : :. Idicació: Puede defiirse a por partes segú si es par o impar, pero ua solució más elegate se puede obteer observado el comportamieto de la sucesió defiida por se./ para cierto valor de. 2 E cada uo de los siguietes casos decidir si la sucesió dada es covergete o o. E caso de que la respuesta sea afirmativa calcular el límite respectivo. () a D C (2) a D cos 2. (3) a D 2. (4) a D 3. (5) a D C. /. (6) a D C. /. (7) a D. / (8) a D 2 =. C. C C. /. 2 (9) a D. /. 3p (0) a D 2 cos.š/. C () a D. / C 2. / C C 2 C. (2) a D 3 C. 2/ 3 C C. 2/ C. (3) a D, co j j <. (4) a D C C cos 2. (5) a D. /p se. /. C (6) a D p a C b, a; b 0.

32 20 Ferado Mejías (7) a D 22 Š. (8) a D. / C. (9) a D C C C 2. p p e C e (20) a D 2 C C p e. 3 Cada ua de las sucesioes presetadas a cotiuació coverge hacia el límite ` idicado. Verificar este hecho obteiedo e cada caso u valor de N, para u " > 0 dado, de tal forma que para todo, si N, etoces ja `j < ". () a D, ` D 0. (2) a D 2 C, ` D =2. (3) a D Š, ` D 0. 9 (4) a D. / 0, ` D 0. (5) a D se, ` D 0. 4 Probablemete las sucesioes más simples so las costates. A cotiuació discutimos esta proposició y establecemos las cadidatas a ser sus más fuertes competidoras. (a) Sea fa g ua sucesió covergete de úmeros eteros. Demostrar que existe u úmero atural N tal que a es costate para todo N. (b) Determiar todas las subsucesioes covergetes de la sucesió f. / C g. 5 (a) Supogamos que fx g es ua sucesió covergete y que existe u úmero atural N tal que x 0 para todo N. Demostrar que lim x 0.! (b) Demostrar que si fx g y fy g so dos sucesioes covergetes y que existe u úmero atural N tal que x y para todo N, etoces lim x lim y.!! (c) Demostrar mediate u ejemplo que si fx g es ua sucesió covergete y existe u úmero atural N tal que x > 0 para todo N o se sigue ecesariamete que lim x > 0.! 6 Dar u ejemplo de ua sucesió fa g, tal que para cada úmero atural k, exista ua subsucesió de fa g la cual sea covergete hacia k.

33 . Sucesioes Ifiitas 2 7 Dar u ejemplo de ua sucesió fa g, tal que para cada úmero real, exista ua subsucesió de fa g la cual sea covergete hacia. 8 Supogamos que fx g, fy g y f g so tres sucesioes tales que x y y que lim x D lim!! D `. Demostrar que fy g coverge y lim y D `:! 9 Demostrar que si lim! a D `, etoces a C C a lim! D `: 0 Existe casos e que es ecesario (o coveiete) determiar que fx g es ua sucesió covergete cuyos térmios perteece a u cojuto, se tiee ecesariamete que el límite tambié perteece a dicho cojuto. E este problema se discute dos casos cocretos. (a) Demostrar que si fx g es ua sucesió covergete hacia p y todos sus térmios está e el itervalo cerrado Œa; b, etoces p 2 Œa; b. (b) Demostrar que la parte (a) o ecesariamete es cierta si el itervalo Œa; b se reemplaza por.a; b/. Este problema platea el estudio de ua sucesió muy iteresate y que costituye ua boita aplicació del Corolario 5. Para empezar otemos que si 0 < a < 2, etoces 0 < p 2a < 2. (a) Demostrar que la sucesió q p 2; 2 p r q 2; 2 2 p 2; : : : es creciete y acotada superiormete y, por tato, covergete. (b) Hallar el límite. Idicació: observe que si lim a D `, etoces p! 2a D p 2`. lim! 2 Existe ua sucesió fa g defiida por recurrecia que despierta admiració geeral a D ; a 2 D ; a D a C a 2 para 3. Así los primeros diez térmios de la sucesió so ; ; 2; 3; 5; 8; 3; 2; 34; 55:

34 22 Ferado Mejías La sucesió fa g es coocida como la sucesió de Fiboacci e hoor al italiao Fiboacci, tambié coocido como Leoardo de Pisa quie la descubrió e el estudio de u problema relacioado co la cría de coejos (para los detalles cosultar el Problema 2-20 de la referecia [] de la Reseña Bibliográfica). Posteriormete se ha ecotrado que los úmeros de Fiboacci aparece e muchos cotextos de feómeos aturales. Demostrar que para todo se cumple la siguiete igualdad a D C p 5 2! p! 5 2 p 5 : 3 El ombre del matemático suizo Leohard Euler se ecuetra asociado a u par de úmeros muy iteresates. E primer lugar el úmero " que puede defiirse como e D log./; dode log deota la fució logaritmo (atural), es decir log x D Z x t dt: Es u hecho otable que además el úmero de Euler se puede expresar como el límite de ua sucesió particularmete otable, a saber e D lim C :! Alguos autores prefiere tomar la ecuació aterior como defiició de e, después de probar que la sucesió e cuestió es o decreciete y acotada superiormete (otra defiició puede tomarse e cosideració después de realizar u estudio sobre series). Ciertamete o resulta exagerado platear que el úmero e es uo de los úmeros más importates del Cálculo y de las Matemáticas e geeral y etre sus múltiples propiedades se destaca el hecho de que es u úmero irracioal (más aú, es u úmero trascedete, es decir o se puede obteer por el proceso de resolver ecuacioes algebraicas). Por otro lado está otro úmero asociado al ombre de Euler, que o desempeña u papel ta crucial e Cálculo y i siquiera se ha determiado si es racioal o o. Tal úmero es coocido como la costate de Euler y está defiido e térmios de sucesioes como se idica a cotiuació. (a) Demostrar que para todo úmero atural se tiee que C < log. C / log < : Idicació: use la defiició de log idicada arriba y aplique alguas propiedades elemetales de la itegral.

35 . Sucesioes Ifiitas 23 (b) Usar la parte (a) para demostrar que si a D C 2 C C log ; etoces a es covergete (probado que fa g es decreciete y acotada iferiormete). La costate de Euler está defiida por D lim C! 2 C C log : 4 Como e el problema aterior, e éste explotamos alguas propiedades de la itegral aplicadas a la fució log para establecer uos hechos otables acerca de algua sucesió especial que ivolucra e su defiició al factorial de u úmero (que suele ser muy complicada de maipular por lo difícil que es estimar el valor de Š cuado es muy grade). (a) Demostrar que si f es creciete sobre Œ0; / etoces f./ C C f. / < Z f.x/ dx < f.2/ C C f./: Idicació: hacer ua represetació gráfica (y recuerde que toda fució creciete es itegrable). (b) Ahora cosidere el caso particular f D log para demostrar que. C /C < Š < e e ; y por tato lim! Lo cual a veces se expresa así p Š e p Š D e : para grade. 5 El Corolario 5 establece, e térmios geerales, que fucioes cotiuas lleva sucesioes covergetes a sucesioes covergetes. E este problema se estudia la relació etre la cotiuidad de fucioes y las sucesioes de Cauchy. (a) Dar u ejemplo de u cojuto de úmeros reales X, ua fució f W X! R cotiua sobre X y ua sucesió de Cauchy fx g co térmios e X, tales que ff.x /g o sea ua sucesió de Cauchy. La situació descrita e la parte (a) se puede mejorar cosiderablemete itroduciedo u refiamieto al cocepto de cotiuidad: Decimos que la fució f W X! R es uiformemete

36 24 Ferado Mejías cotiua sobre X si para todo " > 0 existe u ı > 0 tal que para todos x; y 2 X si jx yj < ı, etoces jf.x/ f.y/j < ". Notemos que si f es uiformemete cotiua sobre X etoces f es cotiua sobre X, pero que la proposició recíproca o siempre es cierta. (b) Demostrar que si f W X! R es ua fució uiformemete cotiua sobre X, etoces para toda sucesió de Cauchy fx g co térmios e X se cumple que ff.x /g es ua sucesió de Cauchy. 6 (a) Demostrar que si la sucesió fa g coverge hacia ` etoces fja jg coverge hacia j`j. Idicació: se puede dar ua solució elemetal utilizado la desigualdad triagular pero otra prueba muy elegate puede costruirse usado el Corolario 5. (b) Demostrar mediate u ejemplo que la covergecia de fja jg o implica la covergecia de fa g. 7 Sea M la colecció de todas las sucesioes de úmeros reales fa g acotadas. Si D fa g; ˇ D fb g 2 M, defiir la fució d por d. ; ˇ/ D sup ja b j W 2 : Demostrar que la fució d satisface las siguietes propiedades para todos D fa g; ˇ D fb g; D fc g 2 M. (a) (Positividad) d. ; ˇ/ 0. Además, d. ; ˇ/ D 0 si y sólo si D ˇ. (b) (Simetría) d. ; ˇ/ D d.ˇ; /. (c) (Desigualdad triagular) d. ; ˇ/ d. ; / C d.; ˇ/. Este problema suele iterpretarse diciedo que la fució d defie ua distacia (o métrica) e el mudo M de las sucesioes acotadas, que es e cosecuecia u ejemplo de u espacio métrico. 8 Sea fa g ua sucesió tal que a > 0 para todo y Demostrar que existe lim! a = y a C lim D `:! a lim a = D `:! 9 Sea fa g ua sucesió acotada y cosideremos la sucesió defiida por x D sup fa ; a C ; : : : g :

37 . Sucesioes Ifiitas 25! (a) Demostrar que fx g coverge. El límite lim x se deomia límite! superior de fa g y es deotado por lim a o lim sup a. Aáloga-! mete se defie el límite iferior y se deota por lim! (b) Demostrar que lim if a lim sup a :!! (c) Demostrar que fa g coverge si y sólo si E este caso teemos lim if a D lim sup a :!! lim a D lim if a D lim sup a :!!! a o lim if! a. E térmios elemetales el proceso de cotar cosiste e asigar a cada elemeto de u cojuto ua etiqueta que correspode a u úmero atural. E el siguiete problema se describe alguas aplicacioes geerales de este cocepto, pero primero establecemos cierto marco formal. U cojuto A ; es fiito si existe u úmero atural N y ua fució biyectiva a W f; 2; : : :; N g! A; e este caso decimos que A posee N elemetos (por coveio teemos que ; es fiito co 0 elemetos). Decimos que u cojuto es ifiito si o es fiito. U cojuto A es ifiito umerable (o cotable) si existe ua fució biyectiva a W N! A, es decir, sus elemetos se puede represetar como ua sucesió fa ; a 2 ; : : : g. Decimos que A es umerable si es fiito o ifiito umerable. El ejemplo típico de u cojuto o umerable R; otro caso otable es el cojuto de Cator C (Ejemplo 6). 20 E este problema examiamos la umerabilidad de ciertos cojutos importates. Nuestro estudio se iicia co el caso más emblemático de cojutos umerables. (a) Demostrar que el cojuto N de los umeros aturales es umerable. (b) Demostrar que el cojuto Z de los umeros aturales es umerable. Idicació: establecer ua defiició formal para la sucesió 0; ; ; 2; 2; : : :. (c) Utilizar u artificio similar al de la parte (b) para demostrar que la uió de dos cojutos umerables tambié es umerable. (d) Demostrar el hecho más sorpredete de que el cojuto Q de los umeros racioales es umerable. Notemos que de aquí se deduce que la colecció R Q de los úmeros irracioales o es

38 26 Ferado Mejías umerable. Idicació: utilizar el siguiete diagrama si preocuparse por los elemetos repetidos y luego utilizar la parte (c) : %. % %. % %. % %. % : : 4 4 : (e) Imitado la parte (d), demostrar que si A ; A 2 ; : : : so cojutos umerables, etoces A [ A 2 [ es u cojuto umerable. 2 Demostrar que las siguietes proposicioes so equivaletes. (PA) El cojuto N de los úmeros aturales o está acotado. (PA2) Para todo " > 0 existe u 2 N tal que = < ". (PA3) Para todo x 2 R y para todo k > 0 existe u 2 N tal que k > x. Frecuetemete la proposició PA3 es coocida como la propiedad arquimediaa de los úmeros reales e hoor al sabio griego Arquímedes quie la formuló e térmios geométricos: la distacia etre dos putos cualesquiera de ua recta puede medirse co ua regla cualquiera mediate ua catidad fiita de pasos.

39 CAPÍTULO SERIES INFINITAS 2... Sosteer el ifiito e la palma de la mao y la eteridad e ua hora. WILLIAM BLAKE La idea cetral de este libro es explorar la posibilidad de desarrollar ua suma ifiita, es decir, dada ua sucesió fa g queremos asigarle u sigificado preciso a la expresió de la forma a C a 2 C a 3 C ; y luego comparar las propiedades de estas sumas ifiitas co las sumas ordiarias. La forma e que se resuelve este problema es defiir ua ueva sucesió que cosiste e ir sumado ciertas porcioes fiitas de la sucesió fa g y luego examiar la covergecia de la ueva sucesió. SUMAS INFINITAS Dada la sucesió fa g, cosideramos la sucesió de sumas parciales fs g de la siguiete forma s D a s 2 D a C a 2 : s D a C a 2 C a 3 C C a : Etoces decimos que la sucesió fa g es sumable si la sucesió fs g es covergete, e cuyo caso escribimos a D lim! s : 27

40 28 Ferado Mejías Permitiedo u cierto abuso del leguaje decimos que la serie coverge (o que es covergete) si la sucesió fa g es sumable, e caso cotrario decimos que la serie a diverge o que es divergete Prácticamete todo el desarrollo de este texto es ua ivestigació de diversos métodos para decidir si ua serie dada es covergete o divergete. Ates de iiciar tal estudio vamos a cosiderar u par de ejemplos que e el juego de las series so como u par de caballos e u juego de ajedrez. a EJEMPLO La serie diverge. La veracidad de esta proposició queda ilustrada por el siguiete diagrama, el cual sugiere que la sucesió de sumas parciales de f=g o está acotada C C 2 3 C C 4 5 C 6 C 7 C C 4 D 2 8 C 8 C 8 C 8 D 2 C 9 C 0 C C 6 6 C 6 CC 6 D 2 C : Co frecuecia es deomiada la serie armóica. El siguiete ejemplo establece ate todo u pricipio que co frecuecia vamos a olvidar (más aú, que co frecuecia vamos a cotradecir) el hecho de que dos series tega térmios geerales muy similares o sigifica que ambas se comporte igual co respecto a la covergecia. EJEMPLO 2 La serie 2 coverge. E efecto, observemos que la sucesió fs g de sumas parciales de f= 2 g es creciete. Si defiimos la sucesió fx g por teemos que x D Z t 2 dt; s C x para todo : Pero además otemos que x D 3t 3 ˇ D : Así que fx g es o decreciete y lim! x D =3. Etoces x =3 para todo, luego s 3 para todo ;

41 2. Series Ifiitas 29 es decir fs g está acotada superiormete y, de acuerdo al Teorema -8, es covergete. Observemos que si teemos que estudiar ua suma ifiita de la forma a k C a kc C a kc2 C ; podemos simplemete cosiderar las sumas parciales fs g de la sucesió fa g defiida por A D a kc. Es evidete que la covergecia de fs g implica la covergecia de la serie a (auque los límites puede ser diferetes). E geeral, cuado o está e cosideració el límite hacia el cual coverge la serie o prestamos mayor ateció al valor que determia su primer térmio y para resaltar este hecho a veces escribimos X a e lugar de a para algú k (lo cual es, ciertamete, u abuso de otació Dk establecido sobre u abuso aceptado previamete). Ua maera simple de geerar series covergetes se obtiee mediate ua aplicació directa del Teorema -6. Si las series a y coverge y c es ua costate, etoces las series tambié coverge y.a C b / D c a D c.a C b / y a C b ; a : b c a Como e el párrafo aterior, cualquier resultado sobre covergecia de sucesioes puede ser coveietemete adaptado para establecer codicioes sobre la covergecia de series. Por ejemplo, si fs g es la sucesió de sumas parciales de fa g, etoces ua codició ecesaria y suficiete para la covergecia de la serie a es que fs g sea ua sucesió de Cauchy (ver Teoremas -2 y -3). Es decir que para valores muy grades de y m teemos que js s m j es muy pequeño, o que lim.s s m / D 0; pero ;m! s s m D a C a 2 C C a m C a mc C C a.a Ca 2 C Ca m / D a C a 2 C C a m C a mc C C a a a 2 a m D a mc C C a : Por tato teemos el siguiete resultado coocido a veces como la codició de Cauchy.

42 30 Ferado Mejías TEOREMA 3 (CRITERIO DE CAUCHY) La serie a coverge si y sólo si lim.a mc C C a / D 0: ;m! Tomado m C D e el criterio de Cauchy obteemos el siguiete teorema que puede ser más útil e la práctica que tal criterio. TEOREMA 4 (CONCICIÓN DEL RESTO) Si la serie a coverge, etoces lim a D 0:! Otra prueba de este teorema se desarrolla escribiedo a D s si la serie a coverge hacia teemos s, luego lim a D lim.s s / D lim s lim s D D 0:!!!! FIGURA. Retrato de Agusti Louis Cauchy. Nótese que el Teorema 4 es ua codició ecesaria para la covergecia de ua serie, más o es ua codició suficiete, es decir el hecho de que se cumpla que lim a D 0 o garatiza que la serie a sea covergete! (ver el Ejemplo ). Ua aplicació elemetal de la codició del resto está dada e el siguiete ejemplo.

43 2. Series Ifiitas 3 EJEMPLO 5 La serie. / C diverge. Ua demostració alterativa de esta proposi- ció se obtiee observado que la sucesió fs g de sumas parciales respectiva tiee ua subsucesió que coverge a 0 y otra que coverge a, e efecto ( 0 si es par s D si es impar. E el juego de las series, la codició del resto puede parecer u iocete peó de muy poca utilidad, que alguas veces puede sorpreder cuado coroa y aparece como e el siguiete ejemplo que os ahorrará problemas cuado e el futuro ua herramieta poderosa simplemete os falle. EJEMPLO 6 La serie e Š diverge. Segú el Problema -3(a) teemos. C /C < Š < e e ; de dode e < e Š. C /C < : Por tato la sucesió fe Š= g o coverge a 0. Como podemos observar el aálisis de uas pocas series relativamete secillas requiere el uso de diferetes técicas para determiar la covergecia o divergecia de las mismas. Afortuadamete, existe ua gra catidad de resultados teóricos que costituye herramietas muy eficietes para explorar muchos problemas. E el resto del capítulo examiaremos alguos casos co hipótesis específicas que va a ser muy útiles e el trabajo sucesivo. E las siguietes dos seccioes vamos a examiar dos casos especiales que, siguiedo la aalogía co el juego del ajedrez, costituye algo así como dos torres e el esceario de las series. E la última secció la hipótesis especial que se asume es sobre el sigo de los térmios de la serie. SERIES TELESCÓPICAS E esta secció cosideramos cierto tipo de series cuyos sumados a tiee ua forma especial a D b b C para algua sucesió fb g. E-

44 32 Ferado Mejías toces si fs g deota la sucesió de sumas parciales de fa g, teemos s D D X kd a k X.b k b kc / kd D.b b 2 / C.b 2 b 3 / C C.b b C / D b b C : La igualdad a D b b C se deomia propiedad telescópica e implica que la sucesió fs g coverge si y sólo si la sucesió fb g tambié coverge. Así teemos el siguiete teorema. TEOREMA 7 Sea fa g y fb g dos sucesioes tales que a D b b C para todo : Etoces la serie a coverge si y sólo si la sucesió fb g coverge y a D b lim b :! EJEMPLO 8 Teemos la igualdad D ; C es decir, la serie idicada coverge y tiee por límite. La demostració de esta proposició es ua aplicació directa del Teorema 7. Alguas veces suele ocurrir que la serie tiee u disfraz que o permite apreciar de imediato que se trata de ua serie telescópica, por ejemplo si uo tiee que determiar si la serie C 2 es covergete o o, coviee observar que C 2 D. C / D C : EJEMPLO 9 Cosideremos la serie. Aplicado el método de. C /. C 2/. C 3/

45 2. Series Ifiitas 33 descomposició e fraccioes simples queda. C /. C 2/. C 3/ D 2. C / C 2. C 2/ 3 2. C 3/ ; lo cual o parece idicar que la serie de uestro problema es telescópica. Si embargo ua pequeña maipulació algebraica produce. C /. C 2/. C 3/ D 2. C / C 2. C 2/ C 3 2. C 2/ so telescópi- Como las series X C cas teemos que la serie X y X C 2 C 2 C 3. C /. C 2/. C 3/ coverge y. C /. C 2/. C 3/ D 2 C C 2 C 3 2 C 2 C 3 D lim 2 2! C C 3 lim 2 3! C 2 D 4 : 3 2. C 3/ : El siguiete ejemplo es otro ejercicio para poer a prueba la destreza e maipulacioes algebraicas. EJEMPLO 0 La serie D2 log. C /. C /.log / log. C / C p coverge hacia log 2 e (ótese que el primer térmio de la serie es co D 2 para que la fracció correspodiete tega setido). Para comprobar que ésta es efectivamete ua serie telescópica teemos log. C /. C /.log / log. C / C D log. C /.log / log. C / C log. C / C.log / log. C / C D. C / log log. C / C log D log. C / log. C / :

46 34 Ferado Mejías Etoces D2 log. C /. C /.log / log. C / C D X D2 D 2 log2 D 2 log2 log D log 2 p e: lim!. C / log. C / log E alguos casos el disfraz que se coloca para ocultar que se trata de ua serie telescópica pueder ser u poco más elegate que los idicados arriba. Por ejemplo, cosideremos el siguiete caso. EJEMPLO Sea f y g dos fucioes tales que f es cotiua, g 0 D f sobre el itervalo Œ0; C/ y lim g.x/ existe. Comprobaremos que la serie x!c Z C f.x/ dx es covergete. Por el Teorema Fudametal del Cálculo teemos Etoces Z C Z C f.x/ dx D g. C / g./ para todo. f.x/ dx D.g./ g. C // D lim g./ g./:! SERIES GEOMÉTRICAS E esta secció abordamos el estudio de ua serie cuyos sumados so los térmios de ua sucesió geométrica de razó r: ; r; r 2 ; r 3 ; : : : ; r ; : : : : E este caso la simplicidad del patró de la sucesió fr g permite ecotrar fácilmete ua fórmula para determiar el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales fs g. Observemos que s D C r C r 2 C r 3 C C r ; por tato rs D r C r 2 C r 3 C C r C r C :

47 2. Series Ifiitas 35 Estas dos expresioes puede acomodarse de tal forma que co u pequeño trabajo algebraico permite cacelar la mayoría de los térmios e los segudos miembros de las igualdades: De dode Etoces si r, teemos s D C r C r 2 C r 3 C C r rs D r C r 2 C r 3 C C r C r C :. r/s D r C : rc s D r Así, la covergecia o divergecia de la serie geométrica : r depede de la existecia del límite lim! r : Notemos que este límite existe solamete si jrj <, e cuyo caso os queda lim s D! r : E coclusió teemos el siguiete teorema. D0 TEOREMA 2 La serie geométrica r coverge si y sólo si jrj <, e cuyo caso teemos D0 D0 r D r : EJEMPLO 3 Para r D =2 obteemos D 2 D0 D 2 D ; 2 o, tal vez co ua apariecia u poco más sugestiva: 2 C C C C D : Esta igualdad tiee u sigificado histórico particularmete iteresate. E el siglo V ates de uestra era, el filósofo griego Zeó de Elea ( a.c.) formuló u acertijo que se ha coocido tradicioalmete como la paradoja de Zeó. El plateamieto del filósofo, puesto e térmios moderos, es el siguiete: supogamos que u corredor debe recorrer u camio rectilíeo de logitud ` co ua rapidez costate v, por

48 36 Ferado Mejías tato el tiempo t trascurrido e completar el recorrido es t D `=v. Ahora otemos que al cabo de u período de tiempo t =2 el corredor habrá recorrido la mitad de la trayectoria, faltado la otra mitad. Aálogamete, al cabo de u período de tiempo t=4 adicioal, habrá recorrido la mitad del trayecto que faltaba ateriormete y le queda la mitad de éste por recorrer. Cotiuado de esta maera, razoaba Zeó, siempre que el corredor recorra la mitad del tramo que resta e la parte aterior le faltará la mitad del camio por recorrer y como esto ocurre idefiidamete, etoces el tiempo total ivertido por el corredor será ifiito. La falacia e la última parte del razoamieto de Zeó queda al descubierto por la siguiete igualdad: t 2 C t 2 2 C t 2 3 C t 2 4 C D t: UNA NOTA HISTÓRICA La oció de ifiito ha sido históricamete ua de las más complejas tato e Matemáticas como e Física y, especialmete e Filosofía. Alguos pesadores de la atigua Grecia cosideraro problemas relacioados co este cocepto, e particular Arquímedes, quie obtuvo alguas fórmulas o triviales para áreas de ciertas figuras plaas, e las cuales usó la idea de catidad ifiitamete grade (y catidad ifiitamete pequeña ). Alguos de esos trabajos viero uevamete luz co la llegada del Reacimieto cuado las obras de los autores clásicos fuero estudiadas después del largo olvido de la Edad Media. La oció de ifiito recibió u uevo impulso, como por ejemplo co el pesamieto de Giordao Bruo, especialmete e su obra Sobre el Ifiito y los Ifiitos Mudos. E matemáticas, los problemas tratados por Johaes Kepler, Pierre de Fermat y Blaise Pascal sirviero de base para la iveció del método de fluxioes y el método de fluxioes iversas de Newto o el cálculo diferecial y el cálculo itegral como los llamaba Gottfried Wilhelm Leibiz. Newto y Leibiz ecotraro e las series ifiitas ua herramieta fudametal que les permitía tratar ua gra catidad de problemas geométricos y mecáicos. A partir de sus trabajos las matemáticas alcazaro u desarrollo si precedetes y se amplió eormemete su campo de aplicació. Muchos matemáticos de la época se distiguiero por sus aportes e este setido, ocupado Euler u lugar especial. Después de esta etapa ta fructífera llegó ua época de evaluació crítica de las técicas utilizadas, especialmete aquellas relacioadas co la oció de límite y de serie ifiita. Co respecto a la seguda, se observaro alguas cotradiccioes que implicaba trabajar co ciertas series (divergetes). U ejemplo particularmete famoso, que ya hemos mecioado es el de la serie C C C :

49 2. Series Ifiitas 37 Aplicado la ley asociativa para la suma se obtiee las igualdades y C. C / C. C / C. C / C D C 0 C 0 C 0 C D ;. / C. / C. / C D 0 C 0 C 0 C D 0: La situació se hace más crítica si se trata de aplicar la fórmula obteida para la serie geométrica:. / D D0. / D 2 : Todo el paorama fue aclarado y corregido gracias a los aportes de toda ua geeració de matemáticos que estableciero el rigor estricto como orma para tratar co los resultados. Etre todos estos grades cietíficos sobresale los ombres de Agusti-Louis Cauchy, Karl Friedrich Gauss, Niels Herik Abel y Berard Riema.

50 38 Ferado Mejías PROBLEMAS E cada uo de los siguietes casos decidir si la serie dada es covergete o o, argumetado la respuesta. () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0).2 /.2 C / C 3 6. p p C p. 2 C D0 2 C 2. C / 2. 3 C 2 C 3 C. C /. C, dode j j < / C 2 5 C. se Z C. C x 2 dx. 2 Demostrar que si la serie X a coverge y la serie X b diverge, etoces la serie X.a C b / diverge. 3 Dar u ejemplo de dos series X a y X b divergetes tales que la serie X.a C b / coverge. Dar tambié u ejemplo de dos series divergetes cuya suma sea divergete. 4 Ua oció especial de covergecia de series es ombrada e hoor al matemático italiao Eresto Cesàro. Decimos que la serie a es Cesàro covergete si la sucesió a C C a

51 2. Series Ifiitas 39 coverge. El Problema -9 demuestra que toda serie covergete es Cesàro covergete. Dar u ejemplo para demostrar que el recíproco o es cierto. 5 Sea `2.R/ la colecció de todas las sucesioes de úmeros reales fa g, tales que a 2 coverge. Defiimos la fució por. ; ˇ/ D p.a b / 2 ; para todos D fa g; ˇ D fb g 2 `2.R/. Demostrar que la fució satisface las siguietes propiedades para todos D fa g; ˇ D fb g; D fc g 2 `2.R/. (a) (Positividad). ; ˇ/ 0. Además,. ; ˇ/ D 0 si y sólo si D ˇ. (b) (Simetría). ; ˇ/ D.ˇ; /. (c) (Desigualdad triagular). ; ˇ/. ; / C.; ˇ/. Idicació: Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz: p p X X X x ˇ k y x kˇˇˇˇˇ 2 k C y 2 k : kd kd kd El lector probablemete ha otado la semejaza etre éste y el Problema -4. Usado la misma termiología que e aquél, teemos que la fució defie ua distacia (o métrica) e el mudo `2.R/, y que éste es otro ejemplo de u espacio métrico. El espacio `2.R/ tiee u subcojuto muy otable H, que se deomia el cubo de Hilbert e hoor al matemático alemá David Hilbert (Figura 2), cosiderado ua de las figuras matemáticas más importates e ifluyetes de todas las épocas. FIGURA 2. Retrato de David Hilbert.

52 40 Ferado Mejías El cubo de Hilbert está formado por las sucesioes de `2.R/ que tiee la siguiete forma f; 0; 0; 0; : : :g; f0; ; 0; 0; : : :g; f0; 0; ; 0; : : :g; : : : : Observemos que si ; ˇ 2 H, co ˇ, etoces la distacia. ; ˇ/ D p 2. 6 Demostrar la desigualdad de Mikowski: si p y si fx g e fy g so dos sucesioes tales que jx j p y jy j p coverge, etoces! =p jx y j p! =p jx j p C! =p jy j p : La desigualdad de Mikowski permite desarrollar ua geeralizació del Problema 5(c) (el cual correspode al caso p D 2). A pesar de que las desigualdades que ivolucra series puede teer u aspecto itimidate, e este caso el resultado es ua cosecuecia directa de ua desigualdad similar que ivolucra sumas fiitas que es la desigualdad de Mikowski origial:! =p X jx y j p kd! =p X jx j p C kd! =p X jy j p ; kd y esta última desigualdad es a su vez ua cosecuecia de la desigualdad de Hölder (que viee a ser ua geeralizació de la desigualdad de Cauchy-Schwarz): sea p > y q >, tales que p C q D, etoces X jx k y k j kd! =p X jx k j p C kd! =q X jy k j q : kd Uo de los problemas fudametales e matemáticas es el de medir alguos cojutos. La logitud de itervalos e R, el área de rectágulos e el plao R 2 (producto cartesiao de dos itervalos) y el volume de paralelepípedos e el espacio R 3 (producto cartesiao de tres itervalos) so ejemplos de tales medidas; recordemos que si Œa; b es u itervalo, etoces su logitud es ` D b a (e el caso trivial Œa; a D fag teemos.a; a/ D ; y ` D 0). Para empezar se puede atacar el problema fácil de medir alguos cojutos muy pequeños. Decimos que u cojuto X R es de medida 0 (o que tiee medida 0 si para todo " > 0 existe ua colecció de itervalos cerrados Œa ; b ; Œa 2 ; b 2 ; : : : tales que X [.a ; b /

53 2. Series Ifiitas 4 y ` < ": Evidetemete el cojuto R de los úmeros reales o tiee medida cero. El siguiete problema o es e realidad difícil y el asterisco idica más bie que es exótico e el cotexto de este libro 7 El objetivo de este problema es hallar alguos cojutos otables que so de medida 0. (a) Demostrar que si X es fiito, etoces X es de medida 0. (b) Demostrar que si X es umerable, etoces X es de medida 0 (e particular N, Z y Q so cojutos de medida 0). Idicació: Para dada x 2 X aplicar la defiició tomado " multiplicado por u factor que depeda de de tal forma que al sumar los térmios sobre resulte ua serie geométrica cuya suma sea ". (c) Demostrar que si X ; X 2 ; : : : es ua colecció umerable de cojutos de medida 0, etoces X D [ X es de medida 0 (e combiació co la parte (b) teemos que el cojuto R Q de los úmeros irracioales o tiee medida 0). Idicació: Imitar la solució de la parte (b). (d) Demostrar que el cojuto de Cator tiee medida 0. Idicació: Demostrar que la medida del complemeto Œ0; C del cojuto de Cator mide y usar el hecho de que medida de C C medida de Œ0; C D medida de Œ0; : (e) Geeralizar el cocepto de cojudo de medida 0 para subcojutos del plao R 2 partiedo del área de rectágulos. (f) Aálogamete al caso aterior, geeralizar el cocepto de cojuto de medida 0 para subcojutos del espacio R 3 partiedo del volume de paralelepípedos.

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55 CAPÍTULO 3 SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS... los matemáticos de comiezos del siglo XIX, casados de este formalismo desefreado y si fudameto, trajero de uevo al Aálisis por el camio del rigor. Ua vez precisada la oció de serie covergete, se hizo patete la ecesidad de criterios secillos que permitiese demostrar la covergecia de series e itegrales por comparació co series o itegrales coocidas... NICOLAS BOURBAKI Resulta evidete que es imposible teer u mecaismo úico para decidir si ua serie dada es covergete o o, así que la estrategia más coveiete es clasificar las series segú alguas propiedades geerales de sus térmios y determiar si al hacer tal agrupació se puede establecer algú criterio. Esta idea, de algua forma, ha sido aplicada e el Capítulo 2 al cosiderar las series telescópicas y las series geométricas; ahora pasamos a establecer otra clasificació que sorpredetemete proporcioa ua abudate gama de resultados básicamete cosiderado que todos los térmios de la serie tega el mismo sigo. CRITERIO DE ACOTACIÓN Algo muy importate (que de mometo o estamos e codicioes de probar) es el hecho de que para ua sucesió cualquiera fa g, la covergecia de la serie P ja j implica la covergecia de P a. Como ua aticipació a este resultado, e este capítulo cocetramos la ateció sobre aquellas series cuyos térmios so o egativos para desarrollar estrategias que se aplicará posteriormete e situacioes de mayor geeralidad. Resulta evidete que e este caso la sucesió de sumas parciales fs g es o decreciete 43

56 44 Ferado Mejías pues s D a 0; s 2 D a C a 2 D s C a 2 s ; s 3 D a C a 2 C a 3 D s 2 C a 3 s 2 ; : s D a C a 2 C C a D s C a s : Etoces la hipótesis adicioal de que la sucesió fs g sea acotada es ua codició ecesaria y suficiete para deducir su covergecia (ver Teorema -8). Teemos pues el siguiete resultado. TEOREMA (CRITERIO DE ACOTACIÓN) Sea fa g ua sucesió de térmios o egativos. Etoces la serie a es cover- gete si y sólo su sucesió de sumas parciales está acotada. El criterio de acotació es u istrumeto muy versátil y será utilizado para establecer otros resultados que se preseta a cotiuació. CRITERIO DE COMPARACIÓN Los cometarios que aparece e la secció aterior sugiere la estrategia que vamos a emplear a cotiuació. Así pues buscaremos codicioes que asegure que la correspodiete sucesió de sumas parciales fs g esté acotada superiormete. Ua de las formas más simples de asegurar esto es supoer que para cada se cumple a b ; dode P b es covergete. E tal caso teemos que si ft g es la sucesió de sumas parciales de fb g, etoces de dode obteemos t s b ; b ; lo que deseamos comprobar. Así, formalizado u poco el argumeto aterior teemos el siguiete teorema. TEOREMA 2 (CRITERIO DE COMPARACIÓN) Sea fa g y fb g dos sucesioes tales que a ; b 0 para todo. Si a b para todo y la serie P b coverge, etoces la serie P a coverge.

57 3. Series de Térmios o Negativos 45 DEMOSTRACIÓN Sea fs g y ft g, las sucesioes de sumas parciales de fa g y fb g, respectivamete. Puesto que a b para todo, teemos que s t para todo : Además la serie P b es covergete, etoces la sucesió ft g está acotada superiormete, luego la sucesió fs g está acotada superiormete y es, por tato, covergete. Notemos que e la demostració aterior podemos refiar u poco más u detalle: como b 0 para todo, teemos que la sucesió ft g es o decreciete y e cosecuecia t b ; es decir, P b es ua cota superior para ft g y e cosecuecia lo es para fs g; de dode a b : Ahora recordemos que el hecho de que ua serie P a sea covergete o depede del valor de ua catidad fiita de térmios y e cosecuecia las hipótesis del Teorema puede hacerse u poco más flexibles: podemos asumir que existe dos úmeros aturales M y N tales que y 0 a para todo M a b para todo N ; Más aú, podemos tomar K D max.m; N / y asumir la hipótesis 0 a b para todo K. Otro cometario oportuo y, de hecho, muy importate e este mometo es que el Teorema es lógicamete equivalete a la proposició siguiete: si fa g y fb g so dos sucesioes tales que 0 a b para todo y si la serie P a diverge, etoces la serie P b es divergete. Las dificultades asociadas a la aplicació del Teorema 2 cosiste precisamete e ecotrar la serie adecuada que sirva para establecer la comparació. Esto sugiere que es coveiete elaborar u baco de series dode se va depositado e cuetas separadas las series covergetes y las divergetes, luego la idea es usar el coocimieto particular que uo tega de las fucioes ivolucradas y, por peligroso que parezca el juego, juzgar por las apariecias, como e los siguietes ejemplos. EJEMPLO 3 La serie j se j 2 coverge. Efectivamete, teemos j se j para

58 46 Ferado Mejías todo, de dode j se j 2 2 para todo : Etoces obteemos el resultado buscado al otar que la serie 2 coverge. U efoque ligeramete distito viee dado por el siguiete ejemplo y es ua ilustració del cometario aterior acerca de lo peligroso de juzgar por las apariecias. EJEMPLO 4 La serie se 2 coverge. E este caso o debemos guiaros por ua supuesta semejaza co la serie del Ejemplo 3; más bie debemos efocaros e la semejaza etre la serie de uestro problema y la serie 2 basados e otra propiedad de la fució se que coduce a ua semejaza que va mucho más allá de ua simple apariecia tipográfica. Notemos que se x x para todo x 0; de dode se 2 2 para todo : Alguas cosas realmete frustrates ocurre si uo trata de seguir u patró a ciegas. Cosideremos el siguiete ejemplo. EJEMPLO 5 Si queremos ivestigar la serie se, probablemete uo quiera se guir la idea del Ejemplo 4, obteiedo se para todo ; pero resulta que la serie mayorate e este caso es divergete y o es posible aplicar el Teorema 2. Desafortuadamete e este mometo o dispoemos de ua herramieta para tratar este problema y su solució debe pospoerse por cierto tiempo. El siguiete ejemplo está ubicado aquí para recuperaros de la mala experiecia del aterior.

59 3. Series de Térmios o Negativos 47 EJEMPLO 6 Ahora demostramos que la serie diverge. Probablemete uo o log D2 esté muy dispuesto a admitir ua semejaza etre ésta y la serie, pero e efecto teemos que E particular de dode log x x para todo x > 0: log para todo ; log Etoces la divergecia de la serie D2 log diverge. para todo 2: D2 (Ejemplo 2-) implica que la serie Ahora utilizamos este ejemplo para aumetar cosiderablemete uestro saldo e la cueta de las series divergetes. EJEMPLO 7 diverge si s >. Basta co demostrar que para suficiete-.log / s D2 mete grade se cumple la desigualdad siguiete.log / s : Esta desigualdad es cosecuecia del hecho de que lim!c.log / s D C: E efecto, si k es u úmero atural cualquiera, aplicado la Regla de L Hôpital obteemos lim x!c x.log x/ k D lim e y y!c y D k lim e y y!c kš D C: Para u úmero real arbitrario s cosideremos u etero k tal que s k, etoces.log x/ s.log x/ k ; de dode.log x/ k.log x/ s ;

60 48 Ferado Mejías y, por tato lim x!c x.log x/ k lim x!c x.log x/ s : Estos ejemplos tal vez haya traido a la memoria del lector que e su mometo cometamos que las series y X so como dos caballitos de batalla e el juego del ajedrez para el estudio de las series. E este 2 orde de ideas el siguiete ejemplo es ua cofirmació de esa afirmació. EJEMPLO 8 Cosideremos la serie () s para diferetes valores de s, aalizado caso por caso. Caso. Si s < 0 etoces lim! s D lim! s D C; luego la serie () diverge por la codició del resto. Caso 2. Aálogamete, si s D 0 la codició del resto implica que la serie () diverge pues lim! 0 D lim D :! Caso 3. Si 0 < s teemos que s para todo, luego s para todo y e cosecuecia la serie () diverge. Caso 4. Si s 2 teemos que s para todo, luego s 2 para todo y por tato la serie () coverge. Caso 5. Uos cuatos itetos debe ser suficietes para covecer al lector que uestra suerte se agota aquí y que para < s < 2 o estamos e codicioes de asegurar ada co respecto a la covergecia o divergecia de la serie (). Alguos problemas está diseñados co u toque de malicia y puede hacer que el lector avegue perdido e aguas descoocidas por cierto tiempo; u caso típico es el siguiete ejemplo. EJEMPLO 9 Demostrar que la serie

61 3. Series de Térmios o Negativos 49 () Z = 0 p x C x 2 dx es covergete. U estudiate despreveido podría dedicarse por u tiempo a calcular la atiderivada dx para luego aplicar el Teorema Fudame- Z p x C x2 tal del Cálculo y teer ua fórmula más simple (?) del térmio geeral a de la serie (). E lugar de proceder de esta forma utilizamos ua herramieta más refiada que os permite teer ua estimació de la itegral Z = p x dx si ecesidad de determiar su valor exacto. El (Primer) 0 C x2 Teorema del Valor Medio para Itegrales establece que si f es ua fució cotiua sobre Œa; b, etoces existe u 2 Œa; b tal que Z b a f.x/ dx D f./.b Aplicado este resultado para f.x/ D p x=.cx 2 /, a D 0 y b D =, queda que existe u 2 Œ0; = tal que Z = p p x 0 C x 2 dx D C 2 0 D p C 2 : h i 0;, por tato para valores muy Notemos que f es creciete sobre pequeños de teemos p C 2 de dode p C 2 p 3 3 p C 2 ; a/: p C 2 D p. C 2 / : Así uestra tarea se resume a aplicar el criterio de comparació dode b D p. C 2. Notemos que / p. C 2 / 2 para todo ; etoces la serie p. C 2 coverge y e cosecuecia la serie () / tambié es covergete. Existe al meos otra forma de resolver este problema que alguos ecuetra más atractiva (por lo meos es más corta). Notemos que para todo x se cumple que C x 2, por tato p x C x 2 p x:

62 50 Ferado Mejías Etoces Z = Pero 0 p x C x 2 dx Z = así que la covergecia de la serie covergete. 0 Z = 0 p x dx D 2 3 p x dx: 3=2 ; implica que la serie () es 3=2 El siguiete ejemplo está u poco fuera del esquema de los ateriores pero costituye ua boita ilustració del valor teórico (e histórico) del criterio de comparació y, más geeral, del cocepto de serie e geeral. A pesar de lo que uo pudiera pesar, la obra Elemetos de Geometría de Euclides o trata solamete de la disciplia de la Geometría, sio que e efecto, e ella ecotramos alguos resultados importates sobre Aritmética y Teoría de Números. Uo de estos famosos teoremas establece que la colecció de los úmeros primos es ifiita. Recordemos que u úmero atural p > es primo si es divisible sólo por y por p; por ejemplo los siguietes úmeros so primos: 2; 3; 5; 7; ; 3; 7; 9; 23; 29; 3; 37; 4; 43; 47; 5; 53; : : :: Esta colecció ha represetado siempre ua suerte de misterio y muchos matemáticos ha cocetrado sus esfuerzos e descubrir sus secretos. El teorema de Euclides aparece como la Proposició IX 20 de los Elemetos, y ha sido demostrada e varias oportuidades de diferetes formas. Auque muchos de los teoremas que aparece e los Elemetos había sido demostrados ates del trabajo de Euclides, casi todo el mudo coicide co que la demostració de este teorema es de su propia cosecha (ver la referecia [3] de la Reseña Bibliográfica, p. 92). E el siguiete ejemplo se asume coocido el hecho de que todo úmero atural se puede expresar e forma úica de la forma como el producto de úmeros primos. EJEMPLO 0 Demostració de Euler del teorema de Euclides sobre la ifiitud de la colecció de los úmeros primos. Supogamos que la colecció de los úmeros primos es: p ; p 2 ; : : : ; p N ; etoces todo úmero atural > se puede escribir de la forma D p p N 2 2 p N ; dode los k so úmeros eteros o egativos. Si D maxf ; 2; : : : ; Ng;

63 3. Series de Térmios o Negativos 5 etoces X kd 0 X j D0 p j 0 X j D0 p j 2 0 X j D0 A : p j N Para cada uo de los factores que aparece e el segudo miembro de la desigualdad teemos: X j D0 p j X i j D0 p i j D p i p i : Etoces para todo úmero atural teemos que X kd k p p p 2 p 2 p N p N ; lo cual cotradice el hecho de que la serie armóica diverge. Otro resultado importate de Euler (que requiere otras herramietas fuera del cotexto de este libro) es el hecho de que la serie es divergete. 2 C 3 C 5 C 7 C C A la luz de los Ejemplos 9 y 0 puede surgir la idea de que la aplicació del criterio de comparació puede ser muy artificiosa y, efectivamete existe muchos casos e que eso es cierto. La dificultad pricipal cosiste e que, como hemos señalado, o dispoemos de ua vía segura para estimar el grado de semejaza etre dos series dadas. A cotiuació presetamos u resultado, que o es exactamete ua aplicació del criterio de comparació, si embargo si es la ilustració de ua comparació muy elaborada. La demostració de dicho resultado sigue prácticamete la misma líea de razoamieto que la demostració de que la serie armóica es divergete, pero la motivació para tal resultado es otra historia (al igual que su ombre). TEOREMA (TEOREMA DE CONDENSACIÓN DE CAUCHY) DEMOSTRACIÓN Supogamos que fa g es ua sucesió decreciete. Si la serie a coverge, e- toces la serie 2 a 2 coverge. Notemos que a 0 para todo, pues fa g es decreciete y lim a D 0! (ya que la serie P a coverge). Así teemos a a 2 a 3 ;

64 52 Ferado Mejías lo cual justifica el siguiete diagrama a C a 2 C a 3 C a 4 C a 5 C a 6 C a 7 C a 8 C a 9 C a 0 C C a 6 C : a 2 2a 4 4a 8 8a 6 Etoces 2 kx 2 j a 2 j j D 2 k X a a : EJEMPLO 2 Como sugiere la demostració del teorema aterior y uestro argumeto sobre la divergecia de la serie armóica, ésta es ua cosecuecia imediata del teorema de codesació de Cauchy. E efecto, si la serie armóica fuese covergete, etoces la serie 2 2 D X sería covergete. El siguiete ejemplo puede ser cosiderado a esta altura, y co toda justicia, u abuso de poder. EJEMPLO 3 Cauchy teemos que la covergecia de la serie gecia de la siguiete serie (geométrica): implica la cover2 2.2 / 2 D X D X : 2 Para reafirmar la idea de que este ejemplo es tal vez iecesario observemos que a partir de él podemos probar (usado el criterio de comparació) que la serie geométrica r coverge para todo r co 0 r < =2. D0 CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE Al iicio de este capítulo presetamos ua forma de comparar los térmios de dos series, de tal maera que se puede obteer iformació sobre ua a partir de la otra. A pesar de la abudacia de ejemplos que sugiere la eficacia de este método, tuvimos la oportuidad de ecotrar u caso, a saber, la serie se.=/; para el cual el método o fucioó a pesar de la

65 3. Series de Térmios o Negativos 53 semejaza co la serie armóica. El objetivo de esta secció es examiar el sigificado de la palabra semejaza y lograr obteer resultados positivos sobre uestro problema. Evidetemete, estamos iteresados e la semejaza etre las dos series más allá del parecido tipográfico y de la relació se.=/ =. E efecto, usado uestra experiecia previa e Cálculo, podemos cosiderar el hecho de que se x lim D : x!0 x Utilizado ua técica rutiaria de trabajo co límites, podemos escribir D =x y otar que si! etoces x! 0, por tato teemos la siguiete igualdad se.=/ se x lim D lim!.=/ x!0 x D : Y etoces podemos utilizar esta relació para platear que si toma valores muy grades, etoces se.=/ es, e algú setido, prácticamete igual a =, y por tato la serie P se.=/ tedrá características similares a las de la serie armóica, es decir es divergete. Esta forma de argumetar la semejaza etre dos series puede ser más fácil de maejar que el criterio de comparació. Por ejemplo, imagiemos que queremos decidir si la serie P se.0=/ es covergete o o. Resulta que al iicio, itetar usar el criterio de comparació resultaría poco prometedor pues o teemos forma cierta de determiar que se cumple la desigualdad 0 se ; la cual, de paso, tampoco garatiza ada de cualquier maera. Si embargo uo podría otar que 0 se 0 y tomar e cueta que la serie P 0= tambié es divergete. Pero de esta ueva falla de argumetos podemos obteer ua herramieta útil, observado que se.0=/ lim D!.=/ 0 lim se.0=/ D!.0=/ 0 : Así tedríamos que la divergecia de la serie P 0= garatizaría la divergecia de P se.0=/, si importar que los térmios o so ta aproximadamete iguales cuado es muy grade. TEOREMA 4 (CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE) Si fa g y fb g so dos sucesioes tales que a ; b > 0 para todo. Si a lim D ` 0;! b

66 54 Ferado Mejías etoces la serie a coverge si y sólo si la serie b coverge. DEMOSTRACIÓN Supogamos que la serie P b coverge. Puesto que ` 0, teemos que ` > 0, etoces tomado " D ` e la defiició de límite teemos que existe u úmero N, tal que para todo, si N, etoces a ˇ ` ˇ < `; b de dode es decir Por tato, para N teemos que ` < a b ` < `; a b < 2`: a 2`b : Luego, por el criterio de comparació teemos que la serie P a coverge. Puesto que ` > 0, teemos que lim b =a D =` 0, y etoces! teemos que la covergecia de la serie P P a implica la covergecia de b. Notemos que existe u caso especial e el que la hipótesis sobre el límite e el teorema aterior puede ser ligeramete debilitada. Si supoemos que lim a =b D 0 teemos que la covergecia de P b implica la! covergecia de P a. A cotiuació empleamos el Teorema 4 para aalizar desde otra perspectiva u resultado ya coocido. EJEMPLO 5 E el Ejemplo 2-7 se demostró que X =. C 2 / es ua serie telescópica covergete. El trabajo realizado para demostrar la covergecia se reduce cosiderablemete si utilizamos el criterio de comparació por paso al límite co la serie X = 2. Así teemos lim! C D lim! C 2 D : E los tres ejemplos que sigue a cotiuació aalizamos casos especiales e los que el lim! a =b D 0 (auque el primero pudiera cosiderarse más bie como u cotraejemplo, mietras que el segudo puede

67 3. Series de Térmios o Negativos 55 ser defiitivamete u imperdoable abuso de poder, salvo por el hecho de que sugiere la geeralizació presetada e el tercero). EJEMPLO 6 Si itetamos aplicar el criterio de comparació por paso al límite co la serie armóica para evaluar la serie log obteemos D2 lim! log D lim! log D lim! y o podemos arribar a ua coclusió defiitiva. log D 0; EJEMPLO 7 La serie es covergete. E este caso teemos 2 lim! D lim! 2 D 0: La última igualdad es casi como u artículo de fe e matemáticas, ua fució expoecial co base > siempre supera a cualquier potecia. Si el lector desea asumir ua actitud más crítica co respecto a este puto, cosideremos el límite similar pero sustituyedo la variable por x, asumiedo que ésta última sugiere cotiuidad (más aú, derivabilidad) y podemos utilizar alguos de los recursos del Cálculo elemetal (la Regla de L Hôpital): x 2 lim x!c 2 x D lim x!c 2x 2 x log 2 D lim x!c 2 2 x log 2 2 D 0: EJEMPLO 8 teemos Para todo k teemos que la serie lim! k 2 2 k es covergete. E este caso 2 kc2 D lim! 2 D 0:

68 56 Ferado Mejías CRITERIO DEL COCIENTE Cotiuamos uestra exploració e el terreo de las series de térmios o egativos, desarrollado u par de técicas de gra versatilidad e lo que a sus aplicacioes se refiere y de mucha importacia e el plao teórico. Estas dos piezas viee a costituir algo así como dos torres e el juego de ajedrez para las series; la primera de ellas es ua especie de comparació de la serie P a cosigo misma, e el setido de que ivestigaremos la proporció etre térmios cosecutivos de la sucesió fa g mediate el límite a C lim :! a La idea es que si este límite existe y tiee valor ` etoces la serie P a es covergete o divergete segú ` sea mayor o meor que, respectivamete. Por ejemplo, si ` <, etoces para suficietemete grade los térmios a y a C puede ser comparados e cierta forma, de hecho casi ordeados, hallado u úmero tal que a C a, de dode se deriva cierto cotrol sobre la sucesió de sumas parciales y etoces podemos aplicar el criterio de comparació. E el caso e que ` >, u razoamieto aálogo permite establecer la relació a C a, y trabajado co ella obteemos la divergecia de X a. E resume teemos el siguiete teorema que es coocido por alguos autores como el criterio de D Alembert, e hoor al matemático, físico, filósofo y eciclopedista fracés Jea Le Rod D Alembert (Figura ). FIGURA. Retrato de Jea Le Rod D Alembert. TEOREMA 9 (CRITERIO DEL COCIENTE) Supogamos que a > 0 para todo y que a C lim D `:! a

69 3. Series de Térmios o Negativos 57 Etoces si ` < la serie a coverge, mietras que si ` > la serie diverge. a DEMOSTRACIÓN Supogamos que ` < y sea u úmero cualquiera tal que ` < <. Puesto que a C lim D `;! a aplicado la defiició de límite para " D ` > 0 teemos que existe u úmero atural N, tal que si N, etoces a C ˇ ` a ˇ < `: Etoces Es decir Así que a C a < ` C ` D para todo N. a C a para todo N. a N C a ; a N C2 a N C 2a ; a N C3 a N C2 3a ; : a N Ck ka : Puesto que < teemos que la serie geométrica kd0 k coverge. Etoces, por el criterio de comparació resulta que la serie a D DN coverge y, e cosecuecia, la serie kd0 a N Ck a coverge. Ahora supogamos que ` >. Si es u úmero co < < `, co u argumeto aálogo al aterior teemos que existe u úmero N, tal que a C a para todo N. Etoces a ka a N Ck para todo k 0. Esto implica que la sucesió fa g o coverge a 0, por tato la serie es divergete. a

70 58 Ferado Mejías Para cotiuar u esquema que ya hemos usado varias veces, aalicemos u caso e el cual el teorema o tiee aplicació. Tal vez puede resultar u poco curioso, pero las series que vamos a usar o so extrañas e absoluto y, tal vez, este sea u argumeto más para cosiderarlas uestros caballos e este juego (por lo meos siempre se puede esperar ua sorpresa de su parte). EJEMPLO 20 Tato para X = como para X = 2, teemos que a C lim! a D : Uo podría setirse tetado a abusar de uevo del poder y aplicar el criterio del cociete para comprobar de uevo que la serie geométrica X r coverge si 0 < r < y auque todo parece fucioar perfectamete estaríamos cometiedo u grave error desde el puto de vista lógico, pues el coocimieto de la serie geométrica fue u puto crucial e la demostració del Teorema 9. Por razoes obvias, el criterio del cociete resulta ser ua de las herramietas preferidas para tratar problemas que ivolucra Š, como e el caso siguiete. EJEMPLO 2 La serie =Š coverge, e efecto, si a D =Š, teemos que a C lim! a D lim!. C /Š Š D lim! Š. C /Š D lim! C D 0: Ua combiació muy simpática de potecias y expresioes que ivolucra Š aparece e el siguiete ejemplo que os eseña ua forma curiosa de calcular u cierto límite. EJEMPLO 22 La serie r Š coverge. Si escribimos a D r =Š, etoces Etoces a C a D r C. C /Š r Š D rc Š r C. C /Š D r lim! Š D 0: r C :

71 3. Series de Térmios o Negativos 59 Desarrollado u esquema parecido teemos EJEMPLO 23 U caso similar se preseta co la serie. E este caso, si a D r, etoces a C lim! a r, la cual coverge si 0 r <. C /r C D lim! r D lim! C r D r: Etoces, para 0 r <, teemos lim! r D 0: Otras combiacioes iteresates de potecias co Š se preseta a cotiuació. EJEMPLO 24 La serie Š coverge. Escribimos a D Š= y obteemos Luego a C a D. C /Š. C / C Š a C lim! a D. C /Š. C / C Š D. C / D C : D lim! C D e < ; etoces la serie Š coverge. La serie del ejemplo aterior puede ser ligeramete modificada ivolucrado factores de la forma r y obteiedo resultados iteresates, como e los dos ejemplos que sigue. EJEMPLO 25 La serie emos 2 Š coverge. E este caso escribimos a D 2 Š= y obte- a C a D 2 C. C /Š. C / C 2 Š D 2 C. C /Š. C / C 2 Š D 2. C / D 2 C :

72 60 Ferado Mejías Luego a C lim! a D lim! 2 C D 2 e < : EJEMPLO 26 La serie 3 Š diverge. Ahora escribimos a D 3 Š= y como e el ejemplo aterior os queda a C a 3 D C ; de dode a C lim! a D 3 e > : Los Ejemplos 25 y 26 puede resumirse diciedo que la serie r Š coverge si 0 r < e y diverge si r > e. E el caso r D e os ecotramos co el frustrate hecho de que si a D e Š= etoces a C lim D :! a Afortuadamete, este problema ya lo hemos resuelto (ver Ejemplo 2-6). Ciertamete la mayor parte de los casos e los que el criterio del cociete o ofrece respuesta es cuado teemos ua serie P a para la cual lim a C=a D ; pero las cosas puede ser mucho peor como se! platea e el siguiete caso (que se trata de ua serie muy artificiosa). EJEMPLO 27 Cosideremos la serie 2 C 2 C 2 2 C 2 2 C 3 2 C 3 2 C : Notemos que si a deota el térmio geeral de esta serie, etoces teemos que la sucesió de cocietes a C =a tiee la forma ; 2 ; ; 2 ; ; 2 ; : : : ; la cual, evidetemete, tiee dos subsucesioes que coverge a límites diferetes y por tato teemos, simplemete, que el criterio del cociete o es aplicable.

73 3. Series de Térmios o Negativos 6 CRITERIO DE LA RAÍZ E la secció aterior estudiamos ejemplos de series P a para las cuales el criterio del cociete o ofrece respuesta algua bie sea porque teemos lim a C=a D o porque el límite o existe. Si embargo, existe ua herramieta teórica estrechamete viculada al criterio del cociete, que e! alguos casos puede mejorar la situació cosiderablemete. La fortaleza del vículo etre este resultado y el criterio del cociete queda clara co la demostració misma, si embargo, los ejemplos y la discusió que sigue al teorema establece e forma explícita la aturaleza y los alcaces de tal vículo. TEOREMA 28 (CRITERIO DE LA RAÍZ) Supogamos que a 0 para todo y que lim! p a D r: Etoces si r < la serie a coverge, mietras que si r > la serie diverge. a DEMOSTRACIÓN Supogamos que r < y sea u úmero cualquiera tal que r < <. Etoces existe u úmero atural N, tal que si N, ja = rj < r; de dode Es decir 0 a = para todo N. 0 a para todo N, luego, por el criterio de comparació y utilizado el hecho de que la serie geométrica P coverge, teemos que la serie P a tambié coverge. Si supoemos que r >, teemos que existe u N tal que para todo N se cumple que a > y por tato la sucesió fa g o tiede a 0, de dode se deriva que la serie P a = diverge. U cotraejemplo importate lo costituye la serie log. Tal D2 como plateamos e el Ejemplo 6 el criterio de comparació por paso a límite (aplicado co la serie X =) o aporta iformació. Resulta que i el criterio del cociete i el criterio de la raíz resuelve el problema. EJEMPLO 29 Si a D =. log /, teemos a C a D log. C / log. C / y a = D =.log / = :

74 62 Ferado Mejías Etoces a C lim! a D lim! a = D : Como es atural, el primer puto a ivestigar sobre este teorema es lo que ocurre si r D. Nuestra experiecia os permite supoer que e este caso el teorema o decide e absoluto. EJEMPLO 30 Tato para X = como para X = 2, teemos que lim! p a D : Ahora experimetemos aplicado el criterio de la raíz a la serie presetada e el Ejemplo 27, es decir 2 C 2 C 2 2 C 2 2 C 3 2 C 3 2 C : Si a deota el térmio geeral, etoces la sucesió a = es de la forma 2 ; =2 2 ; 2=3 2 ; =2 2 ; 3=5 o 2 ; : : : ; y sabemos que =.2 /! =2, luego a =! p 2 2 < ; y etoces, de acuerdo al criterio de la raíz la serie dada es covergete. Puede resultar atural cosiderar al criterio de la raíz como la primera herramieta a utilizar cuado el térmio geeral de la serie X a ivolucra potecias de expoete (de uevo, juzgado simplemete por las apariecias, recordado el riesgo que ello siempre implica). EJEMPLO 3 La serie e 2 coverge. Si a D e 2, etoces a = D e 2 = D e D e : Luego lim a = D lim!! e D 0: E este caso tambié obteemos u resultado positivo al aplicar el criterio del cociete pues a C a D e.c/2 e 2 D e 2 e 2 C2C D e 2C ;

75 3. Series de Térmios o Negativos 63 luego a C lim! a D lim! D 0: e2c Aálogamete teemos el siguiete caso. EJEMPLO 32 La serie. = / coverge. Si a D. = /, etoces a = D. = / = D = : Luego lim a = D lim!!.= / D 0: Para reforzar la idea de que hay que teer cuidado al juzgar por la mera apariecia del térmio geeral teemos el siguiete ejemplo, auque esta vez la usamos e u setido más positivo. EJEMPLO La serie coverge. E este caso la presecia de Š e el térmio Š geeral de la serie puede coduciros a pesar que aplicar el criterio de la raíz o es ua idea muy prometedora pues ivolucraría hacer cosideracioes acerca de p Š para valores grades de. Precisamete e este puto podemos usar el Problema -3(b) dode se establece que Luego p Š e r 00 Š Etoces si a D 00 =Š, teemos para grade. D 00 p Š 00 lim a = 00e D lim!! e D 00e : D 0: Probablemete (y co toda razó) el lector piese que e este caso resulta mucho más fácil y coveiete utilizar el criterio del cociete (ver el Ejemplo 22) y, efectivamete, teemos a C a D 00 C. C /Š 00 Š D 00C Š 00. C /Š D 00 C ;

76 64 Ferado Mejías etoces a C lim! a 00 D lim! C D 0: No resulta casual que e el ejemplo aterior (como tampoco e el Ejemplo 3) hayamos obteido que a C lim! a D lim! a = : E realidad este feómeo es uo de los vículos más poderosos etre los dos criterios asegurado que siempre que el criterio del cociete proporcioa iformació sobre ua serie, etoces tambié lo hace el criterio de la raíz (auque o fucioa a la iversa como ya pudimos observar) y por este motivo muchas persoas prefiere siempre itetar e primer lugar co el criterio del cociete. E el fodo de todo este asuto se ecuetra u resultado sobre sucesioes que presetamos a cotiuació (ver el Problema -8). TEOREMA 34 Supogamos que a > 0 para todo y que Etoces la sucesió f p a g coverge y lim a C=a D `:! lim! p a D `: DEMOSTRACIÓN Dado " > 0 existe u N tal que para todo N, teemos que a C ˇ ` a ˇ < ": Es decir etoces ` " < a C a < ` C " para todo N, De dode Pero.` "/ k < a Ck a Ck a Ck a Ck 2 a C a <.` C "/ k : r ack k ˇˇˇˇ a ` ˇ < " para todo N, Ck p a Ck D Ck r ack a Ck p a : Ahora, puesto que lim p Ck a D, se sigue que existe u M tal que k! ˇ p Ck a Ck `ˇˇ < " para todo k M.

77 3. Series de Térmios o Negativos 65 U caso muy curioso para el estudio de la relació etre el criterio del cociete y el criterio de la raíz es el que presetamos a cotiuació. EJEMPLO 35 La serie 2 C 3 2 C 3 2 C 3 3 C 2 C 3 C 2 coverge. Ua forma secilla de verificar este hecho es cosiderado a D. 2 / C. 3 /, etoces, de acuerdo al Problema -2(6) teemos s lim a = D lim C D!! : y a C lim! a D lim! 2 C C 2 C 3 C 3 D 6 lim 2 C C 3 C! 2 C 3 D 2 : Por otro lado uo puede describir el térmio geeral de la serie de la siguiete forma (. b D 2 /.C/=2 si es impar;. 3 /=2 si es par: Etoces podemos verificar fácilmete que (p 2=2 si es impar; b = D p 3=3 si es par: Por tato teemos que la sucesió fb = g o coverge y, e cosecuecia, el criterio de la raíz o es aplicable. Por supuesto, co este efoque tampoco es aplicable el criterio del cociete. La explicació defiitiva a este feómeo viee dada por el Problema 6. CRITERIO DE LA INTEGRAL E esta secció estudiamos ua variate del criterio de comparació co la particularidad de que utilizamos como patró de comparació ua serie muy especial y que ya hemos usado e u caso particular; e efecto, e el Ejemplo 2-2 se demostró la covergecia de la serie Z la covergecia de la sucesió Z t 2 dt existecia del límite lim! t 2 dt; lo cual es equivalete a la covergecia de la serie Z 2 t 2 dt C Z 3 2 t 2 dt C Z demostrado. E ese caso comprobamos la t 2 dt C :

78 66 Ferado Mejías Ahora vamos a cosiderar ua versió geeral de este caso y comprobar que bajo ciertas codicioes la covergecia de la serie a es equivalete a la existecia del límite lim f; dode f es ua fució tal! que f./ D a para todo (Figura 2). Formalmete teemos el siguiete resultado. Z FIGURA 2. TEOREMA 36 (CRITERIO DE LA INTEGRAL) Supogamos que a 0 para todo y que f W Œ; C/! R ua fució decreciete tal que f./ D a para todo. Etoces a coverge si y sólo si el límite existe. Z A lim A! f Dada ua fució cualquiera f W Œa; C/! R decimos que la itegral impropia es covergete si el límite existe, e cuyo caso escribimos Z a Z a f Z A lim A! a f f D lim A! Z A a f:

79 3. Series de Térmios o Negativos 67 DEMOSTRACIÓN E caso cotrario decimos que la itegral impropia diverge. aáloga podemos establecer la defiició de las itegrales impropias y Z C f. Como mecioamos arriba, la existecia del límite E forma Z a f Z A lim A! es equivalete a la covergecia de la serie Z 2 Por hipótesis teemos que luego es decir f. C / f C Z 3 2 f C f Z 4 3 f C : f. C / f./ para todo ; a C Z C Z C f f./ para todo ; f a para todo : Etoces por el criterio de comparació teemos que la covergecia de Z C la serie f implica la covergecia de a C y por tato la covergecia de a y vice versa. Tal vez a estas alturas es iecesario otar que o importa cual es la etiqueta que coloquemos al primer térmio de ua serie para estudiar su covergecia y por tato e aplicacioes del criterio de la itegral o es R imprescidible que la itegral impropia a cosiderar sea de la forma f y puede bie ser ua itegral de la forma R a f, siedo a u úmero positivo cualquiera. Esta idea es aplicada e el siguiete ejemplo, para la cual hicimos itetos fallidos de aplicar los criterios de comparació por paso al límite (Ejemplo 6), del cociete y de la raíz (Ejemplo 29). EJEMPLO 37 La serie diverge. Para demostrar este hecho cosideremos la log D2 fució f defiida sobre Œ2; C/ por f.x/ D x log x :

80 68 Ferado Mejías Es claro que f es decreciete; por ejemplo, es fácil verificar que f 0.x/ D C log x x 2 log 2 x < 0 para todo x > 2: Además Z A 2 f D Z A Etoces la itegral impropia es divergete. 2 dx D log.log A/ log.log 2/: x log x Z 2 x log x dx E el ejemplo aterior, para la aplicació del Teorema Fudametal del Cálculo, se utilizó la atiderivada Z dx D log.log x/ C C: x log x Este resultado se obtiee aplicado el método de sustitució secilla, escribiedo u D log x. Co la misma sustitució se obtiee las atiderivadas Z log x x dx D log2 x 2 C C las cuales utilizaremos e los siguietes dos ejemplos. y Z log 2 x dx D 3 log 3 x C C; EJEMPLO 38 por La serie log E este caso teemos diverge. Cosideramos la fució f defiida sobre Œ; C/ f.x/ D log x x : f 0.x/ D log x x 2 : Etoces f es decreciete sobre Œe; C/. Por otro lado Z A 3 log x x dx D log2 A 2 log 2 3 : 2 Etoces la itegral impropia Z 3 log x x dx diverge.

81 3. Series de Térmios o Negativos 69 EJEMPLO 39 La serie log 2 coverge. Cosideramos la fució f W Œ2; C/! R D2 defiida por f.x/ D x log 2 x : E este caso teemos f 0.x/ D 2 C log x x 2 log 3 x : Etoces f es decreciete sobre Œ2; C/. Además Z A 2 x log 2 x dx D 3 log log 3 A : Etoces la itegral impropia coverge. Z 2 x log 2 x dx Tambié utilizado el método de sustitució secilla obteemos Z xe x2 dx D 2 e x2 C C: Así teemos el siguiete ejemplo. EJEMPLO 40 La serie e 2 coverge. Sea f W Œ; C/! R la fució defiida por f.x/ D xe x2 : E este caso teemos f 0.x/ D. sobre Œ; C/. Además 2x 2 /e x2 y por tato f es decreciete Z A 2 xe x2 dx D 2.e e A2 /: Etoces la itegral impropia coverge y Z xe x2 dx D 2 lim A!. 2.e e A2 / D 2e : A cotiuació utilizamos de uevo el criterio de la itegral para resolver u problema que ya hemos tratado. E el Ejemplo 8 cosideramos

82 70 Ferado Mejías la serie demostramos que la serie diverge para s y coverge para s s 2, pero o obtuvimos igua coclusió para < s < 2. EJEMPLO 4 La serie coverge para todos s > y diverge si s. Esta coclusió es ua cosecuecia imediata del criterio de la itegral pues 8 Z A < x s dx D s A : s ; si s ; log A; si s D. s Z Etoces la itegral impropia dx coverge si s > y diverge si xs s. Este resultado sirve de base para defiir ua de las fucioes más otables del Cálculo Avazado: para todo s > se defie la fució zeta de Riema por.s/ D s : Uo de los resultados más famosos asociado co la fució zeta de Riema es la siguiete igualdad establecida por Euler:.2/ D C 2 2 C 3 2 C 4 2 C D 2 6 : El último ejemplo de esta secció costituye u caso muy istructivo porque arroja luz sobre ua de las itegrales impropias más otables e Aálisis (y tambié de forma muy especial e Teoría de Probabilidades): Z C Como es bie sabido, la itegral Z e x2 dx: e x2 dx o tiee solució e térmios elemetales, así que o podemos proceder como e los ejemplos ateriores para explorar la covergecia de la serie e 2. EJEMPLO 42 E el Ejemplo 3-30 utilizamos tato el criterio del cociete como el criterio

83 3. Series de Térmios o Negativos 7 de la raíz para demostrar que la serie e 2 coverge. Notado que si f.x/ D e x2 sobre Œ; C/ se cumple que f 0.x/ D 2xe x2 < 0 para todo x 2 Œ; C/; así que f es decreciete sobre Œ; C/. Etoces teemos que la itegral impropia Z C e x2 dx tambié coverge. Puesto que Z C deducimos que la itegral 0 e x2 dx D Z C 0 Z 0 e x2 dx C Z C e x2 dx e x2 dx es covergete. Luego, utilizamos el hecho de que la fució f es par y cocluimos que Z C Z C e x2 dx D 2 Así pues la covergecia de la serie e x2 dx es covergete. Z C 0 e x2 dx: e 2 implica que la itegral Alguas persoas prefiere platear la situació e el setido iverso para lo cual se ecesita determiar la covergecia de la itegral impropia por otra vía. Existe varias formas de resolver este problema, alguos de los cuales o sólo determia la covergecia sio que permite determiar el valor exacto de la itegral: Z C e x2 dx D p : Algua vez el Lord Kelvi dijo que u matemático es aquel para quie esta igualdad es ta evidete como para cualquiera el hecho de que dos mas dos es cuatro. EL CRITERIO DE RAABE Y EL CRITERIO DE GAUSS A este ivel de uestro juego trabajamos co los peoes cetrales e este tablero de ajedrez, que rara vez coroa, pero cuado lo hace so determiates para el fial del juego. E esta secció estudiamos dos criterios que o tiee muchas aplicacioes, pero e alguos casos so los últimos recursos dispoibles. El primero de estos resultados es ombrado e hoor al aalista suizo Josef Ludwig Raabe, mietras que el segudo tiee su deomiació e hoor al Prícipe de los Matemáticos (Figura 3). Para empezar establecemos el siguiete resultado que servirá de base para la prueba de los resultados pricipales.

84 72 Ferado Mejías LEMA 43 Sea fa g y fb g dos sucesioes de térmios positivos y c D b b C a C a : Si existe u úmero r > 0 y u úmero atural N tales que c r para todo N, etoces la serie a coverge. Por otro lado, si c 0 para todo N y si la serie b diverge, etoces la serie a diverge. DEMOSTRACIÓN Supogamos que c D b b C a C a r para todo N. Es decir b k b kc a kc a k r para todo k N. Etoces a k r a k b k a kc b kc para todo k N, de dode X kdn a k a b r para todo N. Es decir, la sucesió de sumas parciales de fa g está acotada y por tato, la serie P a coverge. Ahora supogamos que c 0, es decir E particular de dode b b Ca C a para todo N. b b Ca C a para todo N, a C para todo N. b C a b Etoces, por el criterio de comparació, la divergecia de la serie P =b implica la divergecia de la P a C y, e cosecuecia, la de la serie P a. TEOREMA 44 (CRITERIO DE RAABE) Supogamos que a > 0 para todo y que existe u r > 0 y u úmero atural N tales que a C r para todo N ; a

85 3. Series de Térmios o Negativos 73 etoces la serie etoces la serie a coverge. Si a C a a diverge. para todo N ; DEMOSTRACIÓN Supogamos que a C a Etoces c D b r para todo N y que b C D. b C a C a D a C a : luego, por hipótesis teemos c C C C r D r para todo N : Etoces, por el Lema 3.4 teemos que la serie P a coverge. Ahora supogamos que a C a para todo N : Etoces, tomado uevamete b C D, teemos que para todo N se cumple b C a C a C c D b D D 0: a a Puesto que la serie P = es divergete, segú el Lema 4 la serie P a diverge. EJEMPLO 45 La serie diverge. Si escribimos / 2 Š a D / 2 ; Š etoces a C a D /.2 C / 2 C. C /Š / 2 Š D 2 C 2. C / :

86 74 Ferado Mejías a C Notemos que lim D, así que el criterio del cociete o es aplicable. Por otro lado! a teemos a C a D 2 C 2. C / D 2. C / ; etoces de acuerdo al criterio de Raabe obteemos que la serie diverge / 2 Š TEOREMA 46 (CRITERIO DE GAUSS) Supogamos que a > 0 para todo y que existe dos úmeros s; M > 0 y u úmero atural N tales que a C a D C x s para todo N ; dode fx g es ua sucesió tal que jx j M para todo. Etoces si > la serie a coverge y si la serie a diverge. DEMOSTRACIÓN Supogamos que >, etoces para todo N teemos a C a D C x s C M s D C C M s : Podemos ecotrar k suficietemete grade tal que si k etoces s. / M. Es decir C M s C M k s 0: Por tato, si max.n; k/ y si r D M=k s, teemos a C a r : Etoces, por el criterio de Raabe teemos que P a coverge. Si > teemos que para todo N se cumple a C a D C x s > ; etoces de acuerdo al criterio de Raabe la serie P a diverge.

87 3. Series de Térmios o Negativos 75 Fialmete, supogamos que D. Tomado b C D log (ver el Ejemplo 5) obteemos que para todo N se cumple c D b b C a C a D. / log. / log a C a D. / log. / log D. / log. / log C log Como jx j M existe u k tal que C x s x s : c. / log. / log < 0 para todo max.n; k/: Etoces, como la serie diverge. D2 log diverge, el Lema 4 implica que P a FIGURA 3. Retrato de Karl Friedrich Gauss. EJEMPLO 47 Cosideremos la serie Si etoces a D / : / / ; / a C a D 2 C 2. C / :

88 76 Ferado Mejías Es fácil comprobar que a C a D 2 C 2. C / 2 : así que si cosideramos D =2, x D =2.C/, M D y s D 2, etoces del criterio de Gauss se deduce que la serie diverge / / TEOREMA DE ABEL Y PRINGSHEIM Para cocluir esta fase de uestro juego trabajamos co otro peó que difícilmete coroa y por tato es poco estimado, pero que e alguas oportuidades se covierte e ua herramieta muy poderosa. El resultado fue demostrado por Abel y luego quedó prácticamete olvidado, hasta que fue redescubierto por el matemático alemá Alfred Prigsheim. Escasamete uo ecuetra e la literatura algú ombre para el teorema y e muy pocas ocasioes suele usarse el ombre de uo u otro matemático; ua de las referecias más iusuales la hace el matemático iglés Godfrey Harold Hardy quie lo deomia teorema de Abel o Prigsheim (ver la referecia [3] e la Reseña Bibliográfica, p. 350). Probablemete la poca aplicabilidad del teorema de Abel-Prigsheim está relacioada co el hecho de que establece ua codició ecesaria para la covergecia. TEOREMA 48 (TEOREMA DE ABEL Y PRINGSHEIM) Supogamos que fa g es ua sucesió decreciete tal que a 0 para todo. Si la serie a coverge, etoces lim a D 0:! DEMOSTRACIÓN De acuerdo co la codició de Cauchy, dado " > 0 existe u úmero atural N tal que para todo ; m N se cumple a m C C a < ": Si cosideramos m N teemos a i a para m i. Luego a m C C a a C C a m térmios. m/ a ; de dode. m/ a < "; para m N:

89 3. Series de Térmios o Negativos 77 Por otro lado teemos que lim =. m/ D, así que si escribimos! a D m. m/ a ; deducimos que para suficietemete grade se cumple que a < "; es decir lim a D 0:! Notemos que e particular teemos que la serie es divergete, pues e caso cotrario, de acuerdo co el teorema de Abel-Prigsheim se cumpliría lim! D 0; lo cual es ua cotradicció. Otra aplicació del teorema de Abel-Prigsheim es la igualdad siguiete: lim! r D 0; para 0 < r <, pues e este caso la serie (geométrica) r es covergete. Notemos tambié que el recíproco del teorema de Abel-Prigsheim o es cierto (ver el Problema 4). D0

90 78 Ferado Mejías PROBLEMAS E cada uo de los siguietes casos decidir si la serie dada es covergete o o, argumetado la respuesta. () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () (2) (3) (4) (5) D2 D2 D2 C j cos j. 2 3p 2 C. 3p 2..log /. 3 4 C. s log, s >. Š. C 3/Š. log s. log p C. p. C /..3 2/.3 /. p 3 log.4 C /.. C / ja j D2, co ja j <. 2 se 2.=3/ 3. s, co s > y >.

91 3. Series de Térmios o Negativos 79 (6) (7) (8) (9) (20) (2) (22) (23) (24) (25) (26) (27).Š/ 2.2/Š..Š/ = /. 2 C. e 2. se.log /. se. se.=/. log se. cos.=/. Z C Z = 0 e x2 dx: e x2 dx: 2 Demostrar que si a > 0 para todo y a diverge. 3 Demostrar que si a 0 para todo y serie 4 Utilizar la serie a C a diverge. a coverge, etoces a diverge, etoces la C 2 2 C 3 3 C 4 C 4 5 C 6 C 7 C 8 C

92 80 Ferado Mejías para demostrar que el recíproco del teorema de Abel-Prigsheim o es cierto. 5 Demostrar que la hipótesis de que la sucesió fa g es decreciete es imprescidible e el teorema de Abel-Prigsheim. Idicació: comprobar que la serie siguiete es divergete C 2 2 C 3 2 C 4 C 5 2 C 6 2 C 7 2 C 8 2 C 9 C 0 2 C : (E geeral a D = si es el cuadrado de u úmero atural y a D = 2 e cualquier otro caso.) 6 7 Demostrar el criterio delicado de la raíz : Sea fa g la sucesió tal que a 0 para todo. Si lim sup p a < etoces la serie a! coverge y si Si lim sup p a > etoces la serie a diverge. El! criterio o decide si lim sup p a D.! Usado como referecia el problema aterior, establecer y demostrar el criterio delicado del cociete. 8 E cada uo de los siguietes casos decidir si la itegral impropia dada es covergete o o, argumetado la respuesta. () (2) (3) Z 0 Z 0 Z 0 x p C x 4 dx. p C x 3 dx. p e x dx. 9 Hallar u valor de la costate C para que la siguiete itegral sea covergete Z Cx x 2 dx: C 2x C 2 0 Hallar u valor de la costate C para que la siguiete itegral sea covergete Z x C 2x 2 dx: C 2C x C

93 CAPÍTULO 4 CONVERGENCIA ABSOLUTA Las primeras lecturas matemáticas de Leibiz fuero pricipalmete sobre geometría, pero él tuvo otros itereses... Uo de los frutos de su estudio de problemas sobre cuadraturas fue el Tetragoismo Aritmético, e el cual halló que el área de u círculo es cuatro 3 C 5 veces la serie ifiita C. Estas cosideracioes formales y aritméticas se iba a combiar ahora e ua forma iteresate co la geometría... CARL B. BOYER 7 Lo exteso del Capítulo 3, que trata de series de térmios o egativos, está justificado por u cometario que aparece al iicio del mismo (sobre u hecho que aú o hemos probado) y que ahora repetimos: para ua sucesió fa g cualquiera, la covergecia de la serie P ja j implica la covergecia de P a. Si embargo, como es de esperar o todo puede resumirse a series de térmios positivos, etre otros motivos porque el recíproco de esta proposició o es cierto. CRITERIO DE LEIBNIZ Ahora ha llegado el mometo de ampliar el paorama cosiderado series cuyos térmios o ecesariamete tiee el mismo sigo. E primer lugar teemos la situació obvia e la que todos los térmios de la serie P a so o positivos y basta cosiderar la serie P. a /. Así pues, los casos realmete iteresates surge cuado álguos térmios de la serie so positivos y otros egativos. E realidad, puesto de esa forma el problema pasa a ser etoces muy complejo, y es coveiete efocarse primero e ua localidad secilla detro de este esceario. E primer lugar cosideramos series de la forma a a 2 C a 3 a 4 C 8

94 82 Ferado Mejías o. / C a, dode a 0 para todo. Ua serie de este tipo se deomia alterada. U teorema de Leibiz garatiza la covergecia de ua serie alterada P. / C a bajo alguas hipótesis sobre la sucesió fa g. TEOREMA (CRITERIO DE LEIBNIZ) DEMOSTRACIÓN Sea fa g ua sucesió o creciete tal que lim a D 0. Etoces la serie alterada!. / C a coverge. Sea fs g la sucesió de sumas parciales de fa g. Si fs 2 g y fs 2C g so las subsucesioes de fs g formadas por los térmios de ídice par e ídice impar respectivamete, teemos que fs 2 g es o decreciete y fs 2C g es o creciete. E efecto teemos s 2C2 D s 2 C a 2C a 2C2 : Pero por hipótesis fa g es o creciete, etoces a 2C dode s 2C2 s 2 : a 2C2 0, de Aálogamete teemos E geeral teemos que s 2C3 D s 2C a 2C2 C a 2C3 s 2C : s 2k s 2j C ; para todo k y j : De tal maera que la sucesió fs 2 g está acotada superiormete (por ejemplo s es ua cota superior) y es por tato covergete. Similarmete teemos que fs 2C g tambié coverge. Sea Etoces D lim! s 2 y ˇ D lim! s 2C: ˇ D lim! s 2C lim! s 2 D lim!.s 2C s 2 / D lim! a 2C D 0; es decir D ˇ. Por tato lim s D D ˇ:! EJEMPLO 2 Probablemete el ejemplo más clásico de aplicació del criterio de Leibiz

95 4. Covergecia Absoluta 83 es la serie armóica alterada :. / C ; la cual es covergete. FIGURA. Retrato de Gottfried Wilhelm Leibiz. Notemos que la serie X ˇˇˇˇ. / C ˇ D X es divergete. Es iteresate el hecho que se ha desarrollado diversas técicas para explotar detalles de esta serie e particular. Por ejemplo, existe varias pruebas de la igualdad:. / C D log 2: Muy similares al ejemplo aterior teemos los siguietes. EJEMPLO 3. / C La serie p ; es covergete. Si escribimos a D = p teemos que fa g es decreciete y obviamete a! 0 cuado!, etoces por el criterio de Leibiz la serie dada coverge. EJEMPLO 4 Cosideremos la serie. / C cos : E este caso escribimos a D cos =. Para demostrar que esta sucesió es decreciete tomemos

96 84 Ferado Mejías cos =x para x > 0. Luego para x suficietemete grade tee- f 0.x/ D x 2 se < 0; x f.x/ D mos es decir, f es decreciete. Además lim. cos =/ D 0, etoces el! criterio de Leibiz implica que. / C cos coverge. EJEMPLO 5 La serie. / C 2 f por f.x/ D 2 arctg.log / coverge. Si defiimos la fució arctg.log x/ para x > 0, teemos f 0.x/ D Etoces la sucesió f=2 teemos lim! 2 x. C log 2 < 0 para todo x > 0: x/ arctg.log / D 2 arctg.log /g es decreciete. Por otro lado lim! arctg.log / D 2 2 D 0: Etoces, por el criterio de Leibiz teemos que la serie dada es covergete. CONVERGENCIA ABSOLUTA E u par de ocasioes hemos mecioado que la covergecia de la serie P ja j implica la covergecia de P a, ahora llegó el mometo de probar tal afirmació, pero ates otemos el hecho de que la proposició recíproca o es cierta (ver el Ejemplo 2), motivo por el cual se establece ua termiología que permite difereciar lo distitos casos: si la serie ja j coverge, decimos que a coverge y a coverge absolutamete. Por otro lado, si ja j diverge, decimos que la serie a es codicioalmete covergete. Así teemos el resultado tatas veces auciado. TEOREMA 6 Si la serie a coverge, etoces la serie ja j tambié coverge y a ˇ ˇˇˇˇˇ ja j:

97 4. Covergecia Absoluta 85 DEMOSTRACIÓN Sea fs g y ft g las sucesioes de sumas parciales de fa g y fja jg respectivamete. Por hipótesis teemos que ft g coverge, etoces de acuerdo al criterio de Cauchy teemos es decir lim.t t m / D 0; ;m! lim.ja mcj C C ja j/ D 0: ;m! Por la desigualdad triagular obteemos que Por tato ja mc C C a j ja mc j C C ja j: lim.s s m / D lim.a mc C C a / ;m! ;m! lim.ja mcj C C ja j/ D 0; ;m! luego, la serie P a es covergete y ˇ lim s ˇ lim t ;!! es decir ˇˇˇˇ a ˇ ˇˇˇˇˇ ja j: EJEMPLO 7 se./ La serie s coverge absolutamete para todo y para todo s >. E efecto, teemos se./ s s ; etoces por el criterio de comparació y el Ejemplo 3-39 la serie coverge. se./ ˇ s ˇ D j se./j s Ua forma de aalizar ua serie P a es cosiderar dos uevas series P a C y P a formadas por los térmios o egativos la primera y por los o positivos la seguda. Formalmete, dada la sucesió fa g defiimos las sucesioes fa C g y fa g por a C D ( a ; si a 0 0; si a 0; y a D ( 0; si a 0 a ; si a 0:

98 86 Ferado Mejías Etoces a C D a C ja j 2 y a D a ja j : 2 La covergecia de las series P a C y P a está ligada a la covergecia de P a por el siguiete teorema. TEOREMA 8 La serie a es absolutamete covergete si y sólo si las series a C y X coverge ambas. a DEMOSTRACIÓN Supogamos que la serie P ja j coverge, etoces P a tambié coverge (por el Teorema 6) y X a C D 2 X.a C ja j/ D 2 X a C X ja j ; es por tato covergete. Aálogamete teemos que X a D 2 X a X ja j tambié coverge. Ahora supogamos que P a C y P a C X ja j D 2 coverge. Etoces X.a C a / D 2 X a C X a coverge. REORDENACIÓN DE SERIES E esta secció exploramos más profudamete la fuerza del cocepto de covergecia absoluta. Dada ua sucesió cualquiera fa g producimos ua ueva sucesió fb g reordeado los térmios de la primera y luego comparamos las dos series P a y P b. E este esquema ecotramos dos resultados otables. E primer lugar resulta que si la serie P a es absolutamete covergete, cualquier reordeació tambié lo es, mietras que si P a es codicioalmete covergete podemos ecotrar ua gra variedad de reordeacioes que coverge hacia límites arbitrarios. Ates de establecer estos teoremas formalmete debemos defiir co rigor la oció de reordeació y para ello empezamos por reordear los úmeros aturales: ua permutació es ua fució biyectiva W N! N; es decir para cada k 2 N existe u 2 N tal que./ D k y si ; m 2 N, m etoces./.m/. Si fa g es ua sucesió cualquiera etoces ua reordeació de fa g es ua sucesió fb g de la forma b D a./ ;

99 4. Covergecia Absoluta 87 siedo ua permutació (es decir b D a B ). Si a es ua serie absolutamete covergete y b es ua reordeació cual- quiera de a, etoces b tambié coverge absolutamete y b D a : TEO DEMOSTRACIÓN Sea ua permutació y b D a./ ua reordeació de fa g. Si ft g deota la sucesió de sumas parciales de fjb jg teemos que T k ja j para todo k: Etoces por el criterio de acotació teemos que P jb j coverge, es decir, la serie P b coverge absolutamete. Deotemos por fs g, fs g y ft g las sucesioes de sumas parciales de fa g, fja jg y fb g, respectivamete. Dado " > 0 existe u úmero atural N tal que ˇ ˇ ˇ ˇ ˇs a < " ˇˇˇˇˇ 2 Tomemos M 2 N tal que y ˇ ˇS ja j ˇ < " 2 : f; 2; : : :; N g f./;.2/; : : :;.M/g: Etoces para todo M se cumple ˇ a D ˇ s ˇt ˇˇˇˇˇ C s a jt ˇt ˇˇˇˇˇ luego Además teemos X jt s j D ˇ j D b j ˇˇˇ ˇ ˇt a jt ˇˇˇˇˇ s j C " 2 : X N a j j D ˇ D X ˇ j D b.j / s j C ˇ ˇs X N a j j D ˇ D ˇ a ; ˇˇˇˇˇ X j DN C a j ˇ de dode jt X NX s j ja j j D ja j j ˇ j DN C j D ja j ˇ < " 2 :

100 88 Ferado Mejías Etoces teemos que para todo, si M se cumple ˇ ˇt a < "; ˇˇˇˇˇ es decir b D a : Ua versió u poco más débil del teorema aterior fue demostrada por el famoso especialista e Aálisis y Teoría de Números de orige alemá Peter Gustav Lejeue Dirichlet e el año 837, auque el resultado e sí era coocido co aterioridad, particularmete por Cauchy (ver el libro de Hardy [3], p. 347). TEOREMA 0 (TEOREMA DE REORDENACIÓN DE DIRICHLET) Si a es ua serie de térmios o egativos covergete y b es ua reor- deació cualquiera de y a, etoces b tambié coverge absolutamete b D a : FIGURA 2. Retrato de Peter Gustav Lejeue Dirichlet. Ahora supogamos que P a es ua serie codicioalmete covergete y x u úmero cualquiera. A cotiuació presetamos la estrategia de juego elaborada por Riema que cosiste e rodear a x co térmios

101 4. Covergecia Absoluta 89 de la serie, de tal forma que costruyamos ua reordeació fb g de fa g co P b D x. Sabemos que P a C diverge, etoces x o puede ser cota superior de las sumas parciales de fa C g, etoces hallamos el primer térmio de fa C g tal que la correspodiete suma parcial sobrepasa a x. Aálogamete usamos el hecho de que P a diverge para hallar el primer térmio de fa g tal que al sumar la correspodiete suma parcial al agregarlo a la suma aterior resulte u úmero meor que x, y seguidamete se repite el procedimieto co fa Cg. FIGURA 3. Retrato de Berard Riema. De esta maera logramos atrapar a x. El siguiete teorema de Riema establece formalmete esta discusió. TEOREMA (TEOREMA DE REORDENACIÓN DE RIEMANN) Sea a ua serie codicioalmete covergete y x u úmero real cualquiera. Etoces existe ua reordeació b de a, tal que b D x: DEMOSTRACIÓN Como P a es codicioalmete covergete teemos que las series P a C y P a so ambas divergetes (Teorema 7). Sea el úmero de térmios de fa C g tal que X p a C > x; pero X a C < x si p <.

102 90 Ferado Mejías Sea m el úmero de térmios de fa g tal que X m a C C X a < x; pero px a < x si p < m. Prosiguiedo de esta forma obteemos fb g, la reordeació de fa g siguiete: a C ; ac 2 ; : : : ; ac ; a ; a 2 ; : : : ;a m ; a C C ; a C C2 ; : : : ; ac 2 ; a m C ; a m 2 C2 ; : : : : La diferecia etre la suma parcial de fb g y x es siempre a lo sumo u a C o ja j. Pero la covergecia de P a implica que a! 0 cuado!, así que las sumas parciales de fb g se hace arbitrariamete cercaas a x, es decir b D x:

103 4. Covergecia Absoluta 9 PROBLEMAS E cada uo de los siguietes casos decidir si la serie dada coverge absolutamete o o, argumetado la respuesta. () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) Z C. / C e x x dx.. / C se.. / C cos.. / C arctg 2 C.. / C 2. / e C. / C / C log. C =/.. / C log 2. C /.. / C 37.. C /Š arctg.log /. C.. 2 Demostrar que si la serie a coverge absolutamete etoces a ˇ ˇˇˇˇˇ ja j: 3 (a) Demostrar que si la serie a coverge absolutamete y fb g b tambié co- es ua subsucesió de fa g, etoces la serie verge absolutamete.

104 92 Ferado Mejías (b) Demostrar mediate u ejemplo que la covergecia absoluta de la serie a es imprescidible. 4 Demostrar que si la serie a coverge absolutamete, etoces la serie a 2 coverge.

105 CAPÍTULO TEOREMA DE ABEL 5 Toda la obra de Abel lleva impreso el sello de ua geialidad y fuerza de pesamieto que es iusual y a veces asombrosa, auque o tomara e cueta la juvetud del autor. Se puede decir que era capaz de peetrar todos los obstáculos hasta llegar al fodo de los problemas, co ua fuerza que parecía irresistible; Él atacaba los problemas co ua eergía extraordiaria... AUGUST L. CRELLE E este corto capítulo estudiamos dos teoremas relacioados co la covergecia de series de la forma P a b (como e el caso de las series alteradas). Los dos resultados se basa sobre ua boita y aparetemete iocete fórmula demostrada por Abel e 826. FÓRMULA DE ABEL Dadas las sucesioes fa g y fb g, cosideremos fs g la sucesió de sumas parciales de fa g. Por defiició teemos a b D s b y a b C a 2 b 2 D s b C a 2 b 2 D s b a b 2 C a b 2 C a 2 b 2 D s b s b 2 C s 2 b 2 D s.b b 2 / C s 2 b 2 : 93

106 94 Ferado Mejías Aálogamete a b Ca 2 b 2 Ca 3 b 3 D s.b b 2 / C s 2 b 2 C a 3 b 3 D s.b b 2 /Cs 2 b 2 a b 3 a 2 b 3 Ca b 3 Ca 2 b 3 Ca 3 b 3 D s.b b 2 / C s 2 b 2.a C a 2 /b 3 C.a C a 2 C a 3 /b 3 D s.b b 2 / C s 2 b 2 s 2 b 3 C s 3 b 3 D s.b b 2 / C s 2.b 2 b 3 / C s 3 b 3 : Cotiuado de esta forma obteemos e geeral a b C C a b D s.b b 2 / C s 2.b 2 b 3 / C C s.b b / C s b : TEOREMA Sea fa g y fb g dos sucesioes y deotemos por fs g la sucesió de sumas parciales de fa g. Etoces, para todo se cumple la igualdad () X a k b k D kd X kd s k.b k b kc / C s b : DEMOSTRACIÓN La demostració cosiste e u cálculo simple: X kd s k.b k b kc / C s b D s.b b 2 / C s 2.b 2 b 3 / C C s.b b / C s b D s b C.s 2 s /b 2 C.s 3 s 2 /b 3 C C.s s 2 /b C.s s /b D a b C a 2 b 2 C C a b : La ecuació () es coocida como la fórmula de sumació parcial de Abel, deomiació sugerida por la semejaza co la fórmula de itegració por partes, sobre todo si las sumas se iterpreta como itegrales y las diferecias como difereciales y escribimos X kd X b k a k D s b kd s k.b kc b k /: E realidad la semejaza es mucho más profuda que u simple parecido tipográfico y, e efecto, la fórmula de Abel puede utilizarse para demostrar alguas idetidades sobre itegrales. Ua discusió muy iteresate sobre este particular, asociado la fórmula de Abel co sumas de Riema, se ecuetra e el Problema 9-35 de Calculus por M. Spivak. E realidad, la forma e que se utiliza la fórmula de Abel, tato e el caso de itegrales como el de series, es mediate el siguiete resultado.

107 5. Teorema de Abel 95 LEMA 2 (LEMA DE ABEL) Sea fa g y fb g dos sucesioes, tal que fb g es o creciete y b 0 para todo. Supogamos que existe m y M tales que m a C C a M para todo. Etoces b k m a k b k C C a b b k M para todo k. DEMOSTRACIÓN Notemos que mb D mb mb 2 C mb 2 mb C mb mb C mb y, similarmete D m.b b 2 / C m.b 2 b 3 / C C m.b b / C mb Mb D M.b b 2 / C M.b 2 b 3 / C C M.b b / C Mb : Si fs g deota la sucesió de sumas parciales de fa g, por hipótesis teemos que m s j M para todo j. Puesto que fb g es o creciete se cumple que b j b j 0 para todo j. Luego Etoces es decir m.b j b j / s j.b j b j / M.b j b j / para todo j. X X.b j b j / C mb s j.b j b j / C s b m j D j D X M.b j b j / C Mb ; j D X mb s j.b j b j / C s b Mb : j D Usado la fórmula de Abel teemos que mb X a j b j Mb : j D Fialmete, dado el úmero atural k, aplicamos este resultado a las sucesioes fa k ; a kc ; : : : g y fb k ; b kc ; : : : g, obteiedo mb k X a j b j Mb k : j D

108 96 Ferado Mejías CRITERIO DE DIRICHLET A cotiuació presetamos ua cosecuecia del Lema de Abel que fue demostrada por Dirichlet. TEOREMA 3 (CRITERIO DE DIRICHLET) DEMOSTRACIÓN Sea fa g ua sucesió cuyas sumas parciales está acotadas y fb g ua sucesió o creciete co lim b D 0. Etoces la serie a b coverge.! Supogamos que m a C C a M para todo. Etoces, por el lema de Abel teemos b k m a k b k C C a b b k M para todo k. Puesto que lim! b D 0, etoces lim.a k b k C C a b / D 0; k;! y por el criterio de Cauchy teemos que P a b coverge. EJEMPLO 4 U corolario del teorema de Dirichlet es el criterio de Leibiz. E efecto, cosideremos la serie alterada. / C b ; dode fb g es ua sucesió o creciete que coverge hacia 0. Etoces si a D. / C, teemos que la sucesió de sumas parciales de fa g es f; 0; ; 0; ; 0; : : :g; y está acotada. Etoces P. / C b coverge. EJEMPLO 5 La serie se.=2/ es codicioalmete covergete. Primero otemos que la sucesió fj se.=2/=jg es ; 0; 3 ; 0; 5 ; 0; : : :; 0; 2 C ; 0; : : : y por tato la serie P j se.=2/=j diverge. Por otro lado teemos que si a D se.=2/, etoces la sucesió de sumas parciales f; ; 0; 0; ; ; : : :g es obviamete acotada y puesto que b D = es o creciete y tiede a 0, por el criterio de Dirichlet teemos que P se.=2/= coverge.

109 5. Teorema de Abel 97 CRITERIO DE ABEL Cocluimos este capítulo co u corolario del criterio de Dirichlet, el cual fue demostrado por Abel e 826 (y cuya prueba origial debe haber sido algo diferete). TEOREMA 6 (CRITERIO DE ABEL) Supogamos que a coverge y que fb g es ua sucesió la cual es o bie o cre- ciete o bie o decreciete cuyas sumas parciales está acotadas. Etoces coverge. a b DEMOSTRACIÓN Supogamos que la sucesió fb g es o decreciete. Como las sumas parciales de fb g está acotadas, teemos que tambié fb g está acotada y, por tato, coverge hacia u límite b. Cosideremos la sucesió dada por ˇ D b b. Etoces fˇg es o creciete y coverge hacia 0. Por otro lado, la covergecia de P a implica que sus sumas parciales está acotadas, etoces por el criterio de Dirichlet teemos que P a ˇ coverge. Pero a ˇ D a.b b / D a b a b ; de dode a b D a b a ˇ: Etoces la covergecia de P a y P a ˇ implica que P a b coverge. Si la sucesió fb g es o creciete podemos proceder de forma aáloga, pero usado ˇ D b b.

110

111 CAPÍTULO PRODUCTO DE SERIES 6... aplicamos las operacioes del aálisis a series ifiitas de la misma maera que lo hacemos co series fiitas y me parece que esto o podemos cosiderarlo como demostració propiamete dicha. Por ejemplo, si queremos multiplicar dos series. NIELS HENRIK ABEL Como establecimos al iicio de uestro estudio, para series covergetes se cumple la propiedad aditiva, es decir si P a y P b so covergetes etoces tambié P.a C b / es covergete y X.a C b / D X a C X b : Ahora estamos iteresados e ivestigar la posibilidad de obteer ua fórmula razoable que ivolucre el producto P a P b. Para empezar uo podría pesar e la igualdad () X a b D X a X b : U resultado e ese setido fue descubierto por Cauchy, pero su demostració completa es debida a Abel. PRODUCTO DE CAUCHY Si cosideramos la igualdad (), imediatamete resulta evidete que e la expresió del primer miembro falta mucha iformació, pues uo esperaría que ua fórmula razoable que ivolucre al producto P a P b lleve implícita de algua maera cierta variate de la ley distributiva, algo 99

112 00 Ferado Mejías así como: a b D.a C a 2 C /.b C b 2 C / X X D a b C a 2 b C D a b C a b 2 C a b 3 C a b 4 C C a 2 b C a 2 b 2 C a 2 b 3 C a 2 b 4 C C a 3 b C a 3 b 2 C a 3 b 3 C a 3 b 4 C C C a b C a b 2 C a b 3 C a b 4 C C : Auque o resulta del todo claro si todos los térmios puede ser acomodados para formar ua sucesió, e este esquema sugiere que si P c D P a P b, etoces la serie P c debe ivolucrar de algua maera todos los productos de la forma a i b j. Observado el siguiete diagrama cotetivo de tales productos a b a b 2 a b 3 a b 4 a 2 b a 2 b 2 a 2 b 3 a 2 b 4 a 3 b a 3 b 2 a 3 b 3 a 3 b 4 a 4 b a 4 b 2 a 4 b 3 a 4 b 4 : : : : podemos ecotrar ua forma de acomodarlos, tratado de o ivolucrar al pricipio los putos suspesivos de cada horizotal. Existe ua forma muy igeiosa de hacer tal acomodo co la cual obteemos alguos resultados iteresates. La idea pricipal es cosiderar los térmios c como la suma de los elemetos de las diagoales señaladas e el siguiete diagrama: a b a b 2 a b 3 a b 4. %. % a 2 b a 2 b 2 a 2 b 3 a 2 b 4 %. %. a 3 b a 3 b 2 a 3 b 3 a 3 b 4. %. % a 4 b a 4 b 2 a 4 b 3 a 4 b 4 %. % : : : :

113 6. Producto de Series 0 es decir E geeral teemos c D a b ; c 2 D a b 2 C a 2 b ; c 3 D a b 3 C a 2 b 2 C a 3 b ; c 4 D a b 4 C a 2 b 3 C a 3 b 2 C a 4 b : La serie b. c D a b C a 2 b C C a b D X a k b kc : kd c defiida así se deomia el producto de Cauchy de a y Por supuesto, uestro objetivo es determiar codicioes que garatice la covergecia de P c y que se cumpla la igualdad P P c D a P b. Resulta más o meos atural que algua hipótesis de covergecia absoluta sea requerida pues fc g es e el fodo ua reordeació particular de la sucesió de los productos a i b j. E efecto, teemos que la covergecia codicioal de P a y P b i siquiera garatiza la covergecia de P c. EJEMPLO Si a D b D. / C = p para todo, etoces las series P a y P b so codicioalmete covergetes mietras que su producto de Cauchy diverge. La covergecia de P a es ua aplicació del criterio de Leibiz mietras que la divergecia de P ja j se obtiee comparado co la serie armóica (ver el Ejemplo 4-3). Ahora X c D a k b kc Notemos que D kd X kd D. / kc. / kc p k. / kc2 p k C X kd p k. k C / : luego k. 2 k C / 2 C 2 2 C p k. k C 2/ : 2 2 k 2 C. C / 2 D ; 4

114 02 Ferado Mejías Etoces X jc j D p ˇ k. kd k C 2/ˇˇˇˇˇ X kd 2 C D 2 C para todo. Luego fc g o tiede a 0 cuado! y por la codició del resto P c diverge. TEOREMA 2 Sea fa g y fb g dos sucesioes tales que a coverge absolutamete y coverge. Etoces su producto de Cauchy c coverge y b () c D a b : DEMOSTRACIÓN Sea fa g, fb g y fc g las sumas parciales de fa g, fb g y fc g respectiva- mete. Además cosideremos ˇ D b X b. Etoces C D X j D c j D a b C.a b 2 C a 2 b / C C.a b C C a b / D a.b C b 2 C C b / C a 2.b C C b / C C a b D a B C a 2 B C C a B! D a ˇ C b!ca 2 ˇ C b!c Ca ˇ C b D a ˇ C C a ˇ C.a C C a / D a ˇ C C a ˇ C A Como la serie 0 existe u N tal que X b : b b coverge absolutamete, teemos que dado " > () lim! jˇ C C ˇN C j < " 2 ja j

115 6. Producto de Series 03 para todo N (ótese que podemos asumir que ja j > 0 ya que el otro caso es ua trivialidad). Por otro lado, segú la codició de Cauchy teemos (2) lim ;m!.ja j C C ja m j/ D 0: Luego ja ˇ C C a ˇj ja ˇ C C a N C ja N ˇ C C a ˇj a ˇ ˇˇˇˇˇ.ˇ C C ˇN C / ˇN C j C ja N ˇ C C a ˇj ja j.ˇ C C ˇN C / Etoces por la desigualdad () obteemos C ja N ˇ C C a ˇj: ja ˇ C C a ˇj < " 2 C ja N ˇ C C a ˇj: Como fˇg es covergete, existe u ˇ 2 R tal que ˇ D supfjˇj W 2 Ng. Luego ja N ˇ C C a ˇj ja N j jˇj C C ja j jˇj.ja N j C C ja j/ ˇ: Etoces la ecuació (2) implica que para N suficietemete grade se obtiee (3) lim! ja N ˇ C C a ˇj D 0: Luego, de la igualdad (3) deducimos que lim! ja ˇ C C a ˇj " 2 < ": Pero como " es arbitrario cocluimos que Fialmete teemos lim C D lim A!! lim ja ˇ C C a! ˇj D 0:! b D lim A b D! a b :

116 04 Ferado Mejías TEOREMA DE ABEL PARA EL PRODUCTO Esta corta secció está dedicada a ilustrar alguas codicioes que garatiza el cumplimieto de igualdades como (). El primero de los resultados impoe covergecia absoluta a las series P a y P b para garatizar que cualquier reordeació del producto de Cauchy coverge hacia P a P b. TEOREMA 3 Si a y b coverge absolutamete y f' g es ua reordeació cualquiera de la sucesió de productos a i b j, co i; j, etoces ' coverge y ' D a b : Por otro lado, si e el Teorema 2 sustituimos la hipótesis de covergecia absoluta de P a por la de covergecia de P a y agregamos la hipótesis de covergecia del producto de Cauchy se cumple la igualdad (), pero la prueba de este hecho requiere ua técica que estudiaremos e el próximo capítulo, por lo cual euciamos a cotiuació el resultado y pospoemos su demostració hasta el mometo oportuo (el resultado mismo era coocido por Cauchy, pero la primera demostracció fue aportada por Abel, e efecto la discusió de este problema fue presetada por Abel como la motivació e su memoria Recherches sur la série C m m.m / x C :2 x 2 m.m /.m 2/ C :2:3 x 3 C (ver itroducció y el teorema VI de este artículo e el Capítulo 0). TEOREMA 4 (TEOREMA DE CAUCHY-ABEL) Sea a, b dos series covergetes y supogamos que su producto de Cauchy c tambié coverge, etoces c D a b :

117 CAPÍTULO SERIES DE FUNCIONES 7 Newto a partir de 665, Gregory a partir de la publicació de Mercator de 668, y Leibiz a partir más o meos de 673, se cosagra fudametalmete al estudio del tema de moda, las series de potecias. NICOLAS BOURBAKI Ahora volvemos al problema iicial que ha estimulado uestro estudio de las series. E el Capítulo plateamos que si f es ua fució co derivada de orde sobre u itervalo abierto que cotiee algú puto a, escribimos dode P ;a.x/ D X kd0 f.x/ D P ;a.x/ C R ;a.x/; f.k/.a/ kš.x a/ k respreseta el poliomio de Taylor de grado cetrado e a para f y R ;a.x/ el resto. La iquietud plateada e aquel etoces era: si logramos demostrar que para u valor de x se cumple lim R ;a.x/ D 0;! etoces tiee setido platear la igualdad f.x/ D D0 f./.a/ Š.x a/ Nuestro pricipal icoveiete e ese mometo era el de establecer de maera rigurosa el sigificado de ua suma ifiita. Ahora ya teemos ua buea idea de la solució de tal problema y os iteresa determiar la 05

118 06 Ferado Mejías validez de ecuacioes como las siguietes: se x D x cos x D log. C x/ D x x 3 3Š C x5 5Š x 2 2Š C x4 4Š x 7 7Š C ; x 6 6Š C ; e x D C x Š C x2 2Š C x3 3Š C ; arctg x D x x 2 2 C x3 3 x 3 3 C x5 5 x 4 4 C ; x 7 7 C : La dificultad que se os platea actualmete es que cada ua de estas ecuacioes represeta ua serie para cada valor de x, es decir que debemos estudiar la covergecia de series de fucioes. Naturalmete, para que esta oció adquiera verdadero rigor, debemos establecer e primer lugar el sigificado de la covergecia de ua sucesió de fucioes y luego las series de fucioes e térmios de sucesioes de sumas parciales como e el caso de las series uméricas. SUCESIONES DE FUNCIONES Sea A u cojuto de úmeros reales y supogamos que para cada úmero atural existe ua fució f defiida sobre A. A la colecció de todas estas fucioes la deotamos por ff g y la deomiamos sucesió de fucioes sobre A. Notemos que para cada x 2 A teemos la sucesió (de úmeros) ff.x/g (Figura ) FIGURA. Es posible que ua sucesió de fucioes ff g sobre A sea covergete para alguos putos de A y sea divergete para otros. E uestro estudio so de especial iterés aquellas sucesioes de fucioes ff g para

119 7. Series de Fucioes 07 las cuales se cumple que ff.x/g coverge para todo x 2 A, e este caso podemos defiir ua fució f sobre A por la igualdad f.x/ D lim! f.x/: E el proceso de ivestigar las sucesioes de fucioes, e primer lugar debemos determiar qué propiedades de las fucioes f hereda la fució f. Resulta que e geeral la situació es bastate desaletadora, como ilustra los siguietes ejemplos. EJEMPLO Cosideremos la sucesió de fucioes ff g defiida sobre el itervalo Œ0; por f.x/ D x : Teemos que para cada x 2 Œ0; la sucesió ff.x/g coverge hacia f.x/ defiida así: ( 0 si x 2 Œ0; /; f.x/ D si x D : Como puede otarse, cada ua de las fucioes f es cotiua sobre Œ0; mietras que la fució f o es cotiua e x D, es decir f o hereda la cotiuidad de las fucioes f (Figura 2) FIGURA 2. Ahora cosideremos u ejemplo similar e el que la fució f o hereda algo sobre la itegral de las fucioes f. EJEMPLO 2 Sea ff g la sucesió de fucioes defiida sobre el itervalo Œ0; por ( h 2 C si x 2 ; f.x/ D 2 C 2 i; 0 e cualquier otro caso:

120 08 Ferado Mejías E este caso teemos que para cada x 2 Œ0; la sucesió ff.x/g coverge hacia f.x/ D 0 (Figura 3), por tato Z mietras que para cada se cumple Z 0 f.x/ dx D D Z =2 C 0 Z =2 0 f.x/ dx C =2 C 2 C dx D 2 C Z =2 D : =2 C dx f.x/ dx D 0; Z =2 =2 C f.x/ dx C Z =2 f.x/ dx f f Figura 7.3(a) Figura 7.3(b) Es decir, Z lim! 0 Z 0 f.x/ dx D para todo, así que f.x/ dx D 0 D Z 0 f.x/ dx D Z 0 lim f.x/ dx:! El hecho de que Z lim! 0 f.x/ dx Z 0 lim f.x/ dx;! o es origiado por la discotiuidad de las fucioes f, e efecto podemos coseguir ua sucesió de fucioes cotiuas sobre Œ0; co características similares. EJEMPLO 3 Cosideremos ff g la sucesió de fucioes defiida sobre el itervalo Œ0; por 8 ˆ< 2 C x si x 2 0; =2 C ; f.x/ D 2 ˆ: C.2 x/ si x 2 =2 C ; =2 ; 0 e cualquier otro caso:

121 7. Series de Fucioes 09 Etoces para todo x 2 Œ0; la sucesió ff.x/g coverge hacia f D 0 (Figura 4), así que Z Por otro lado, para cada teemos 0 Z 0 f.x/ dx D 0: f.x/ dx D : 4 2 f 2 f FIGURA 4. Luego Z lim! 0 f.x/ dx D 0 D Z 0 f.x/ dx D Z 0 lim f.x/ dx:! Para la derivada teemos ua situació similar: podemos ecotrar ua sucesió de fucioes derivables sobre u itervalo abierto tal que para cada x la sucesió ff.x/g coverge hacia u puto f.x/ y la fució f o es derivable e alguo de los putos del itervalo o que para algú x. lim f 0!.x/ f 0.x/; EJEMPLO 4 Sea ff g la sucesió de fucioes defiida sobre R por Etoces jf.x/j f.x/ D se.x/ : para todo x 2 R y para todo :

122 0 Ferado Mejías Luego Además f.x/ D lim! f.x/ D 0 para todo x 2 R. f 0.x/ D cos.x/ para todo x 2 R y para todo, y por tato la sucesió ff 0.x/g o coverge hacia f.x/ para alguos valores de x, por ejemplo si x D 2, teemos f 0.x/ D cos.2/ D. Iclusive podemos hallar alguos valores de x para los cuales la sucesió ff 0.x/g o coverge, por ejemplo para x D =2. Ates de pasar a platear la posibilidad de defiir series de fucioes debemos ecotrar ua forma de mejorar la oció de covergecia y poder así maipular los límites co mayor grado de libertad. CONVERGENCIA UNIFORME Pasemos ahora a estudiar la posibilidad de obteer alguos resultados positivos e el setido de que dada ua sucesió de fucioes ff g, tal que cada ua de las fucioes tega ua determiada propiedad sobre u cojuto A, etoces (si existe) la fució f.x/ D lim f.x/, tambié f satisface! esa propiedad. Para establecer ese tipo de resultados es ecesario estudiar co mayor profudidad la fució límite f. Si para todo x 2 A teemos f.x/ D lim! f.x/; sigifica que para todo x 2 A y para todo " > 0 existe u úmero atural tal que jf.x/ f.x/j < "; para todo N : Notemos que el úmero al que se refiere e este cometario depede tato de " como del puto x y puede ocurrir que dado u " > 0 para dos úmeros x y, los correspodietes valores de sea diferetes, lo cual sigifica de algua maera que ua de las dos sucesioes uméricas ff.x/g y ff.y/g se está acercado mometáeamete más rápido a su límite que la otra. U esceario completamete distito al que ecotramos e los E- jemplos, 2 y 3 surge cuado impoemos la codició de que el valor de o depeda del puto x. Decimos que ua sucesió de fucioes ff g coverge uiformemete (o es uiformemete covergete) hacia la fució f sobre u cojuto A si para todo " > 0 existe u úmero atural N tal que jf.x/ f.x/j < "; para todo x 2 A y N, y utilizamos la siguiete otació lim f D f:!

123 7. Series de Fucioes Si teemos que f.x/ D lim! f.x/; para cada x 2 A, decimos que la sucesió de fucioes ff g coverge putualmete (o es putualmete covergete) hacia la fució f. 2 + ε N ε FIGURA 5. Evidetemete, la covergecia uiforme de ua sucesió de fucioes implica la covergecia putual, pero la proposició recíproca o es cierta. ε 2 3 ε FIGURA 6. E alguos libros de Cálculo se usaba la otació f f para idicar que ff g coverge uiformemete hacia f, mietras que f! f deotaba covergecia putual. E este libro, como e todos los textos moderos, o usaremos la primera e absoluto y siempre se idicará co palabras el tipo de covergecia.

124 2 Ferado Mejías EJEMPLO 5 Si ff g es la sucesió de fucioes defiida e el Ejemplo, es decir f.x/ D x para todo x 2 Œ0;, etoces ff g coverge putualmete, pero o uiformemete sobre Œ0; hacia la fució f defiida por: ( 0 si x 2 Œ0; /; f.x/ D si x D : Aálogamete teemos el siguiete caso. EJEMPLO 6 Si ff g es la sucesió de fucioes defiida e el Ejemplo 2, es decir ( h 2 C si x 2 ; f.x/ D 2 C 2 i; 0 e cualquier otro caso: Etoces ff g coverge putualmete, pero o uiformemete sobre Œ0; hacia la fució f D 0. De la misma forma teemos que la sucesió de fucioes ff g defiida e el Ejemplo 3 coverge putualmete, pero o uiformemete sobre Œ0; hacia la fució f D 0. El siguiete teorema demuestra que las dificultades ecotradas co respecto a la cotiuidad de la fució límite desaparece cuado cosideramos la hipótesis de covergecia uiforme. TEOREMA 7 Supogamos que ff g es ua sucesió de fucioes que coverge uiformemete hacia la fució f sobre u cojuto A. Si cada ua de las fucioes f es cotiua sobre A, etoces f es cotiua sobre A. DEMOSTRACIÓN Sea x u puto cualquiera de A y sea " > 0. Puesto que ff g coverge uiformemete hacia f teemos que existe u úmero atural N tal que () jf.y/ f.y/j < " 3 para todo y 2 A y para todo N. E particular teemos (2) jf.x/ f.x/j < " 3 para todo N. Ahora cada f es cotiua e x, e particular para D N teemos que existe u ı > 0 tal que para todo h, si jhj < ı (co x C h 2 A) etoces (3) jf.x C h/ f.x/j < " 3 :

125 7. Series de Fucioes 3 Ahora, aplicado la desigualdad () para y D x C h y D N teemos que (4) jf N.x C h/ f.x C h/j < " 3 : Fialmete, usado las desigualdades (), (3) y (4), teemos que para todo h si x C h 2 A co jhj < ı etoces jf.x C h/ f.x/j D jf.x C h/ f.x/ C f N.x C h/ f N.x C h/ Es decir, C f N.x/ f N.x/j jf N.x C h/ f.x C h/j C jf N.x C h/ f N.x/j C jf N.x/ < " 3 C " 3 C " 3 D ": f.x/j (5) lim f.x C h/ D f.x/: h!0 Co respecto a la relació etre la covergecia de sucesioes de fucioes y la itegració, la covergecia uiforme tambié es ua codició suficiete para obteer resultados positivos. TEOREMA 8 Supogamos que ff g es ua sucesió de fucioes itegrables sobre Œa; b que coverge uiformemete hacia ua fució f la cual es itegrable sobre Œa; b. Etoces Z b Z b lim f.x/ dx D f.x/ dx:! a a DEMOSTRACIÓN Dado " > 0, puesto que ff g coverge uiformemete hacia f teemos que existe u úmero atural N tal que para todo, si N jf.x/ f.x/j < " b a ; para todo x 2 Œa; b. Etoces Z b Z b f ˇ.x/ dx f.x/ dx ˇ D ˇ a a Z b a Z b a Z b Œf.x/ jf.x/ " < a b a dx D ".b a/ b a D ": f.x/ dx ˇ f.x/j dx

126 4 Ferado Mejías Es decir (6) lim! Z b a f.x/ dx D Z b a f.x/ dx: Notemos que la covergecia uiforme es ua codició suficiete pero o ua codició ecesaria para la igualdad (6). E efecto, si cosideramos ff g y f defiidas sobre Œ0; como e el Ejemplo, es decir ( f.x/ D x 0 si x 2 Œ0; /, y f.x/ D si x D, teemos lim! Z 0 f.x/ dx D lim! Z 0 x dx D lim! C D 0 D Z 0 f.x/ dx: La ecuació (6) suele expresarse de ua forma muy sugestiva, tomado e cueta que lim! f.x/ D f.x/ teemos Z b Z b h i lim f.x/ dx D lim f.x/ dx:! a a! Iclusive, puede ser mucho más sugestivo escribirla de la siguiete forma Z b Z b (6 0 ) lim f D lim f ;! a a! pues resalta el hecho de que la covergecia es uiforme. E todo caso, la igualdad e sí es iterpretada como u itercambio etre los procesos de itegració y límite. Ua cosideració aáloga puede hacerse para la ecuació (5), dode la covergecia uiforme garatiza u itercambio etre dos procesos de límite, puesto que teemos lim f.x/ D f.x/ y! lim f.x C h/ D f.x C h/ etoces teemos! h i (5 0 ) lim lim f.x C h/ D lim h!0!! lim f.x C h/ : h!0 Después de las dos victorias que represeta los Teoremas 7 y 8, teemos que efretaros al hecho de que la relació etre la covergecia uiforme y la derivabilidad es decepcioate. E efecto el Ejemplo 4 muestra que la sucesió de fucioes ff g dada por f.x/ D se.x/ para todo x 2 R coverge uiformete hacia la fució f D 0, si embargo o se cumple que lim f 0!.x/ D f 0.x/:

127 7. Series de Fucioes 5 U resultado parcial e este setido viee dado por el siguiete teorema. TEOREMA 9 Supogamos que ff g es ua sucesió de fucioes derivables sobre Œa; b, tal que las derivadas f 0 so itegrables sobre Œa; b. Si ff g coverge putualmete hacia f y ff 0 g coverge uiformemete hacia algua fució cotiua g, etoces f es derivable y Z b f 0.x/ D lim f! 0.x/: a DEMOSTRACIÓN Si x 2 Œa; b es u puto cualquiera, etoces por el Teorema 8 teemos Z x a g.x/ dx D Z x a D lim! h lim f 0! Z x a i.x/ dx f 0.x/ dx Por el Segudo Teorema Fudametal de Cálculo y la covergecia putual de ff g hacia f teemos Z x lim! a f 0.x/ dx D lim Œf.x/ f.a/ D f.x/ f.a/:! Luego, por el Primer Teorema Fudametal del Cálculo (el cual es aplicable porque g es cotiua) resulta que f 0.x/ D g.x/ y por tato (7) f 0.x/ D lim f 0!.x/: Como e los casos ateriores, la ecuació (7) puede escribirse ilustrado u itercambio etre el proceso de derivació y el de límites, así: (7 0 ) 0 lim f D lim f 0!! : Claro está, la aplicabilidad de los teoremas ateriores depede de la dispoibilidad de algua codició suficiete para la covergecia uiforme de ua sucesió de fucioes. Los dos resultados que se preseta a cotiuació suele ser útiles e la práctica. LEMA 0 Supogamos que ff g es ua sucesió de fucioes cotiuas sobre Œa; b que coverge putualmete hacia la fució costate f D 0. Si f 0 para todo y si la sucesió ff.x/g es o creciete para cada x 2 Œa; b, etoces ff g coverge uiformete sobre Œa; b. DEMOSTRACIÓN Supogamos que ff g o coverge uiformete hacia f D 0 sobre Œa; b. Etoces existe u " > 0 y u úmero atural tal que f.x/ " para todo x 2 Œa; b.

128 6 Ferado Mejías Así podemos elegir ua colecció de putos x ; x 2 ; : : : 2 Œa; b y úmeros aturales < 2 < tales que (8) f j.x j / ": La sucesió fx j g está acotada y por tato cotiee ua subsucesió fx hj g que coverge hacia algú puto 2 Œa; b. Para simplificar la otació, podemos asumir que la subsucesió es fx j g (lo cual equivale a descartar de la sucesió origial los térmios que o perteece a la subsucesió y luego cambiar las etiquetas). Puesto que la sucesió ff. /g coverge a 0, existe u úmero atural N tal que f. / < " para todo N. Como f es cotiua, el Corolario -5 idica que para j suficietemete grade se cumple f.x j / < ": Podemos elegir j de tal forma que j > N y por tato lo cual cotradice la desigualdad (8). f j.x j / f.x j / < "; La codició de que la sucesió ff.x/g es o creciete para cada x 2 Œa; b que aparece e el Lema 0, se expresa diciedo simplemete que la sucesió ff g es o creciete. El teorema que presetamos a cotiuació fue demostrado por el aalista italiao Ulisse Dii. TEOREMA (TEOREMA DE DINI) Supogamos que ff g es ua sucesió o creciete de fucioes cotiuas sobre Œa; b que coverge putualmete hacia ua fució cotiua f. Etoces ff g coverge uiformete sobre Œa; b. DEMOSTRACIÓN Sea ff g la sucesió de fucioes defiida sobre Œa; b por f.x/ D f.x/ f.x/: Etoces ff g coverge putualmete a la fució f D 0 sobre Œa; b. Además, para todo y para todo x 2 Œa; b teemos f.x/ f C.x/ D f.x/ f.x/ f C.x/ C f.x/ D f.x/ f C.x/ 0: Etoces, la sucesió ff g es o creciete sobre Œa; b, por tato, de acuerdo al Lema 0, la sucesió ff g coverge uiformemete sobre Œa; b. Para evaluar la importacia de la hipótesis de cotiuidad de la fució f e el Teorema de Dii, tomemos ff g y f sobre Œ0; como e el Ejemplo, es decir ( f.x/ D x 0 si x 2 Œ0; /, y f.x/ D si x D.

129 7. Series de Fucioes 7 Aálogamete defiiedo ff g y f por f.x/ D x y f.x/ D 0 para todo x 2 Œ0; /, vemos la importacia de que el itervalo sobre el cual está defiidas las fucioes sea cerrado. Existe otro detalle sobre este particular: tambié es importate el hecho de que el itervalo Œ0; es acotado. E efecto, si ff g está defiida sobre el itervalo Œ0; C/ por f.x/ D x para todo, etoces teemos que se cumple las otras hipótesis del teorema de Dii pero la covergecia hacia f D 0 o es uiforme sobre Œ0; C/. A cotiuació estudiamos ua codició ecesaria y suficiete para la covergecia uiforme. TEOREMA 2 Supogamos que ff g es ua sucesió de fucioes defiidas sobre u cojuto A. Si f es ua fució defiida sobre A y fı g está dada por ı D sup fjf.x/ f.x/j W x 2 Ag : Etoces la sucesió ff g coverge uiformemete hacia f sobre A si y sólo si lim ı D 0:! DEMOSTRACIÓN Supogamos que lim ı D 0; etoces dado " > 0 existe u úmero! atural N tal que ı < " para todo N. Pero ı D sup fjf.x/ f.x/j W x 2 Ag, etoces por defiició teemos que jf.x/ f.x/j ı para todo x 2 A. Etoces para todo x 2 A y para todo N teemos jf.x/ f.x/j < "; es decir ff g coverge uiformemete hacia f sobre A. Para probar la proposició recíproca, supogamos que teemos que lim f D f; dado " > 0 existe u úmero atural N tal que si N,! etoces jf.x/ f.x/j < " para todo x 2 A. 2 Por defiició de supremo de u cojuto teemos que "=2 es ua cota superior para fjf.x/ f.x/j W x 2 Ag y por tato sup fjf.x/ f.x/j W x 2 Ag " 2 ;

130 8 Ferado Mejías es decir Etoces ı " 2 < " para todo N. lim ı D 0:! El Teorema 2 es particularmete útil cuado A D Œa; b y las fucioes ivolucradas so cotiuas sobre Œa; b, e cuyo caso teemos que sup D max y uo puede utilizar alguas de las herramietas del Cálculo elemetal para estimar la sucesió defiida por ı D max fjf.x/ f.x/j W x 2 Œa; b g : Como es atural, dada ua sucesió de fucioes ff g defiida sobre u cojuto A, podemos cosiderar la sucesió de sumas parciales f ; f C f 2 ; f C f 2 C f 3 ; : : : ; es decir, la sucesió de fucioes fs g sobre A defiida por Decimos que la serie de fucioes S.x/ D f.x/ C C f.x/: f coverge uiformemete sobre A si la sucesió fs g coverge uiformemete sobre A. Decimos que la serie f coverge putualmete si la sucesió fs g coverge putualmete. Como ua cosecuecia imediata de los Teoremas 7, 8 y 9, teemos el siguiete resultado. TEOREMA 3 Supogamos que ff g es ua sucesió de fucioes sobre el itervalo Œa; b. () Si f es cotiua para todo y la serie f coverge uiformete hacia ua fució f sobre Œa; b, etoces f es cotiua sobre Œa; b. (2) Si cada ua de las fucioes f es itegrable sobre Œa; b y la serie coverge uiformete hacia ua fució f itegrable sobre Œa; b, etoces Z b a f D (3) Si cada ua de las fucioes f es derivable sobre Œa; b, co f 0 itegrable sobre Œa; b. Si f coverge putualmete hacia f y si f 0 coverge Z b a f : f

131 7. Series de Fucioes 9 uiformemete hacia algua fució cotiua sobre Œa; b, etoces f es derivable y f 0.x/ D f 0.x/: FIGURA 7. Retrato de Karl Theodor Weierstrass. Ahora para poder desarrollar todo el potecial del teorema aterior ecesitamos ua codició suficiete para la covergecia uiforme de series. El siguiete resultado costituye u recurso fudametal para casi todo uestro trabajo; el resultado mismo lleva ua etiqueta poco comú, ligada al ombre del matemático de orige alemá Karl Theodor Whilhelm Weierstrass (Figura 7). TEOREMA 4 (EL CRITERIO M DE WEIERSTRASS) Sea ff g ua sucesió de fucioes defiidas sobre A y supogamos que M es serie umérica tal que jf.x/j M para todo x 2 A. Etoces la serie f.x/ coverge absolutamete para todo x 2 A y coverge uiformemete a la fució f defiida por f f.x/ D f.x/: DEMOSTRACIÓN Para cada x 2 A teemos que jf.x/j M

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