La ecuación NO se altera y por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al

Transcripción

1 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 17, grupo 7, capítulo II, página 49. Halla, analítica grá camente, los puntos de intersección, cuando los haa, para las curvas + = 8 =. Solución: I) Tracemos primero la grá ca de la ecuación + = 8. Para ello llevamos a cabo todo el análisis de la ecuación que hemos aprendido. 1) Intersecciones a) Con el eje X. + = 8 Haciendo = 0 + (0) = 8 = p 8 La curva intersecta al eje X en p p 8 = : 83 en 8 = : 83 b) Con el eje Y. + = 8 Haciendo = 0 (0) + = 8 = p 8 La curva intersecta al eje Y en p p 8 = : 83 en 8 = : 83 ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! + = 8! ( ) + = 8! + = 8 eje Y: b) Respecto al eje X.! + = 8! + ( ) = 8! + = 8 eje X: c) Respecto al origen O.!! + = 8! ( ) + ( ) = 8! + = 8 origen O. La grá ca es completamente simétrica, tanto respecto a los ejes como respecto al origen. 3) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = p 8 1

2 La valores de que den un valor de real sonp aquellos para losp cuales 8 0. Es decir, los valores de maores que 8 menores que 8. En resumen la etensión de es p 8; p 8 b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = p 8 La valores de que den un valor de real sonp aquellos para losp cuales 8 0. Es decir, los valores de maores que 8 menores que 8. En resumen la etensión de es p 8; p 8 La etensión de la curva es p 8; p 8 p 8; p 8. Es decir, la grá ca está restringida al cuadrado p 8; p 8 p 8; p 8, que es un cuadrado con centro en el origen lado igual a p 8. 4) Asíntotas. Dado que la grá ca tiene una etensión limitada, no tiene asíntotas. Finalmente la grá ca de la función + = 8 es Vemos que se trata de una circunferencia con su centro en el origen de radio p 8. I) Tracemos ahora la grá ca de la ecuación =. Para ello llevamos a cabo todo el análisis de la ecuación que hemos aprendido. 1) Intersecciones a) Con el eje X. =. Haciendo = 0 (0) = = 0

3 La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y. =. Haciendo = 0 = (0) = 0 La curva intersecta al eje Y en el origen. Resumen: Respecto a los ejes lo que sabemos es que sólo los intersecta en el origen. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! =.! = ( )! =. La ecuación se altera por lo tanto la grá ca NO es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! =.! ( ) =! =. eje X: c) Respecto al origen O.!! =.! ( ) = ( )! =. La ecuación se altera por lo tanto la grá ca NO es simétrica respecto al origen O. Resumen: La única simetría de la grá ca es con respecto al eje Y. 3) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = p La valores de que den un valor de real son aquellos para los cuales 0. Es decir, los valores de maores o iguales a cero. En resumen la etensión de es [0; +1). b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = Es claro que cualquier valor real de es permitido, por tanto la etensión de son todos los números reales. En resumen la etensión de es ( 1; +1). La etensión de la curva es [0; +1) ( 1; +1). 4) Asíntotas. 3

4 En el punto anterior vimos que = p ó = =. En ningún caso tenemos denominadores por lo tanto, la grá ca de la ecuación no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. Finalmente la grá ca de la función = es 4 6 Vemos que se trata de una parábola con su vertice en el origen con su eje coincidente con el eje X. Trazamos ahora en un mismo grá co las dos curvas para ver sus intersecciones. Tenemos 4 6 4

5 Grá camente vemos que ha dos intersecciones. Una en el punto (; ) otra en el punto (; ). Veri caremos este resultado analiticamente. Para ello, debemos resolver simultaneamente las dos ecuaciones + = 8 =. Es mu sencillo dado que a está despejado en la segunda ecuación sustituendo en la primera tenemos + = 8 que es una ecuación + 8 = 0, de segundo grado en, que se resuelve facilmente como 1 = 4 =. Ahora sustituimos de regreso para, = ( 4) que es = p 8 que no eiste en los números reales. Para el otro valor tenemos = () por tanto, = p 4 = Así que los puntos de intersección son (; ) (; ), como habíamos encontrado grá camente. 5