ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO I

Transcripción

1 ARITMÉTICA 1. Números naturales 2. Divisibilidad 3. Números enteros 4. Números decimales 5. Fracciones y números racionales 6. Proporcionalidad 7. Sistema métrico decimal 8. Sistema sexagesimal 9. Números reales Tema relacionado 10. Sucesiones y progresiones NÚMEROS NATURALES El conjunto de los números naturales está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Con los números naturales podemos: 1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

2 8 es el número de planetas del Sistema Solar. 2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal). El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces. 3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto. Mi número de socio en el carnet del Club de vela es Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí: 5 > 3 5 es mayor que 3. 3 < 5 3 es menor que 5. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Representación de los números naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0). A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

3 SUMA DE NÚMEROS NATURALES a + b = c Los términos que intervienen en una suma se denominan: a y b se denomina sumandos. El resultado (c) se denomina suma. Propiedades de la suma de números naturales 1 Operación interna El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural. 2 Asociativa El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = = 10 3 Conmutativa El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a = = 7 4 Elemento neutro

4 El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número. a + 0 = 0 + a a + 0 = a = 3 RESTA DE NÚMEROS NATURALES a b = c Los términos que intervienen en una resta se denominan: a se denomina minuendo. b se denomina sustraendo. El resultado (c) se denomina diferencia. Propiedades de la resta de números naturales 1 No interna El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural. 2 No conmutativa MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. Por ejemplo, la multiplicación 2 5 consiste en sumar el número 2 cinco veces. a b = c Los términos que intervienen en una multiplicación se denominan: a y b se denomina factores

5 El resultado (c) se denomina producto PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 1 Operación interna El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural. 2 Asociativa El modo de agrupar los factores no varía el resultado. (a b) c = a (b c) (2 3) 5 = 2 (3 5) 6 5 = = 30 3 Conmutativa El orden de los factores no varía el producto. a b = b a 2 5 = = 10 4 Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a 1 = 1 a = a

6 3 1 = 1 3 = 3 5 Distributiva La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos. a (b + c) = a b + a c 2 (3 + 5) = = = 16 6 Sacar factor común Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a b + a c = a (b + c) = 2 (3 + 5) = = 16 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES D : d = c Los términos que intervienen en una división se denominan: D se denomina dividendo d se denomina divisor El resultado (c) se denomina cociente Tipos de divisiones 1 División exacta

7 Una división es exacta cuando el resto es cero. D = d c 2 División entera Una división es entera cuando el resto es distinto de cero. D = d c + r Propiedades de la división de números naturales 1 No es una operación interna El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural. 2 : 6 2 No es conmutativa El modo de agrupar los factores no varía el resultado. 6 : 2 2 : 6 3 Cero dividido entre cualquier número da cero

8 0 : 5 = 0 4 No se puede dividir por 0 Potencias Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales = 5 4 Los elementos que constituyen una potencia son: La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5. El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4. Propiedades de las potencias de números naturales 1 Un número elevado a 0 es igual a = 1 2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo 5 1 = 5 3 Producto de potencias con la misma base

9 Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes = = División de potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 2 5 : 2 2 = = Potencia de una potencia Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (2 5 ) 3 = Producto de potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases = (2 4) 3 =8 3 7 Cociente de potencias con el mismo exponente

10 Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. 6 3 : 3 3 = (6:3) 3 = 2 3 Raíz cuadrada La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. (Raíz) índice = Radicando En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado. (Raíz) 2 = Radicando Tipos de raíces cuadradas 1Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada de un número "a" es exacta cuando encontramos un número "b" que elevado al cuadrado es igual al radicando: b 2 = a. La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

11 Cuadrados perfectos Son los números que poseen raíces cuadradas exactas. Algunos de esos números son: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,... 2Raíz cuadrada entera Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES 1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2 Calcular las potencias y raíces. 3 Efectuar los productos y cocientes. 4 Realizar las sumas y restas. Tipos de operaciones combinadas Sin paréntesis Con paréntesis Con corchetes

12 Con llaves 1. Operaciones combinadas sin paréntesis 1.1 Combinación de sumas y diferencias = 8 Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. 1.2 Combinación de sumas, restas y productos = = = 20 Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. Posteriormente efectuamos las sumas y restas. 1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones 10 : : 4 = = = 9 Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. Efectuamos las sumas y restas. 1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias : : 4 = = : : 4 = = = 25 Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

13 Seguimos con los productos y cocientes. Efectuamos las sumas y restas. Números naturales CONCLUSIÓN Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). Múltiplos DIVISIBILIDAD Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c. Dado un número natural obtenemos un múltiplo de él al multiplicarlo por otro número natural. 18 = es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9. Tabla de múltiplos de los números: Múltiplos del número = = = = = = = = = = 18 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 27

14 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 36 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 45 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 54 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 63 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 72 Múltiplos del número = = = = = = = = = = 81 Múltiplos del número 10

15 10 0 = = = = = = = = = = 90 Propiedades de los múltiplos de un número 1 Todo número "a", distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 2 El cero es múltiplo de todos los números. 3 Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos. 4 Si "a" es múltiplo de "b", al dividir "a" entre "b" la división es exacta. 5 La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 6 La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 7 Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. 8 Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo. DIVISORES Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. A los divisores también se les llama factores. 12 : 4 = 3 4 es divisor de = es múltiplo de 4 Propiedades de los divisores de un número 1 Todo número "a", distinto de 0, es divisor de sí mismo. 2 El 1 es divisor de todos los números. 3 Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto, el número de divisores es finito.

16 4 Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia. 5 Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste. 6 Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Número de divisores de un número Se obtiene sumando la unidad a los exponentes (del número descompuesto en factores) y multiplicando los resultados obtenidos. Consideremos el número 2 520: Su descomposición en factores es = El número de divisores de es: (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 48 Tabla de los múltiplos de un número Formación de todos los divisores de = Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las potencias del primer factor y se traza una línea horizontal Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la fila anterior. Si el segundo factor se ha elevado a exponentes superiores a la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra fila. Se traza otra línea horizontal Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con las potencias correspondientes) por todos los números obtenidos hasta el momento.

17 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta. Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. 24, 238, 1 024,... Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de = es múltiplo de = 6 6 es múltiplo de 3 Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. 45, 515, 7 525, 230,... Criterio de divisibilidad por 7

18 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de = es múltiplo de = = 224 Se repite el proceso con = es múltiplo de 7 Criterio de divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de (1 + 1) 2 = (4 + 2) (2 + 4) = 0 Otros criterios de divisibilidad Criterio de divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 36, 400, 1 028,... Criterio de divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3. 72, 324, 2 400,... Criterio de divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

19 4 000, 1 048, 1 512,... Criterio de divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de = = es múltiplo de 9 Criterio de divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es , 1 440, ,... Criterio de divisibilidad por 25 Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de , 1 025, 1 875,... Criterio de divisibilidad por 125 Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de , 1 125, 4 250,... NÚMEROS PRIMOS Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. 5, 13, 59,... El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo.

20 Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, podremos afirmar que el número es primo. Solución: 179 es primo Criba de Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar números primos menores que un número natural dado. Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número. Eliminamos de la lista los múltiplos de 2. Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista. Los números que permanecen en la lista son los primos. Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40: 1En primer lugar, escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y

21 Eliminamos los multipos de El siguiente número es 3. Como 3 2 < 40 eliminamos los múltiplos de El siguiente número es 5. Como 5 2 < 40 eliminamos los múltiplos de El siguiente número es 7. Como 7 2 > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son primos

22 Tabla de números primos hasta , 72, 144,... NÚMEROS COMPUESTOS Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

23 Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. 70 = Factorizar un número Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes. Solución: 432 = Solución: =

24 MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1 Se descomponen los números en factores primos. 2 Se toman los factores comunes con menor exponente. 3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd. Ejemplo de cálculo de máximo común divisor Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60: 1 Solución: 72 = = = m. c. d. (72, 108, 60) = = es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. PROPIEDADES DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor. Calcular los divisores comunes de 54 y 90. m.c.d (54, 90) = 18

25 Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número. m.c.d. (54, 90) = 18 Si multiplicamos los dos números por 3 queda: 54 3 = = 270 m.c.d. (162, 270) = 54 = Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1). m.c.d. (54, 90) = : 18 = 3 90 : 18 = 5 m.c.d. (3, 5) = 1 4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos. El número 12 es divisor de 36. m.c.d. (12, 36) = 12 ALGORITMO DE EUCLIDES Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado. El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son: 1 Se divide el número mayor entre el menor.

26 2 Si: 1 La división es exacta, el divisor es el m.c.d. 2 La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d. m.c.d. (72, 16) = 8 Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1 Se descomponen los números en factores primos. 2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplos: Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60: 72 = = = Solución: m.c.m. (72, 108, 60) = = es el menor múltiplo común a 72, 108 y es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60. PROPIEDADES DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 1 Dados varios números todo múltiplo común a ellos es múltiplo del m.c.m de dichos números.

27 2 Los múltiplos comunes a varios números son también múltiplos del m.c.m de dichos números. m.c.m. (16, 8) = 80 Algunos de los múltiplos comunes de 16 y 8 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 80 3 Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números. m.c.m. (16, 8) = 80 Algunos de los múltiplos de 80 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 16 y de 8 4El m.c.m. de dos números primos entre sí es su producto. m.c.m (2,5) = 2 5 = 10 5Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36 6Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número. m.c.m. (32, 84) = = = 336 m.c.m (128, 336) = 2688 = Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

28 m. c. d. (a, b) m. c. m. (a, b) = a b m. c. d. (12, 16) = 4 m. c. m. (12, 16) = = = 192 Múltiplos RESUMEN DE DIVISIBILIDAD Un número a es múltiplo de otro b cuando el resultado de multiplicarlo por otro número c. Propiedades de los múltiplos de un número 1 Todo número "a", distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 2 El cero es múltiplo de todos los números. 3 Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos. 4 Si "a" es múltiplo de "b", al dividir "a" entre "b" la división es exacta. 5 La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 6 La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 7 Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. 8 Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo. NÚMEROS ENTEROS Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.

29 La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc. Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Los números enteros se dividen en tres partes: 1 Enteros positivos o números naturales 2 Enteros negativos 3 Cero Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

30 Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. 5 = 5 5 = 5 Representación de los números enteros 1 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero. 2 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,... 3 A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: 1, 2, 3,... ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

31 5 > 3 5 es mayor que < 7 10 es menor que 7. Criterios para ordenar los números enteros 1 Todo número negativo es menor que cero. 7 < 0 2 Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0 3 De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. 7 > 10 7 < 10 4 De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7 10 > 7