Representación de la difusión del calor mediante ecuaciones diferenciales de orden fraccionario

Transcripción

1 Representacón de la dfusón del calor medante ecuacones dferencales de orden fracconaro Efraín Alcorta García, Guadalupe E. Cedllo Garza, Rodolfo Castllo Martínez FIME-UAL RESUME La dfusón del calor se descrbe medante ecuacones dferencales entre dervadas parcales. Un método común para encontrar la solucón numérca es dscretzando la varable espacal y resolvendo la ecuacón dferencal que resulta. En este trabajo se muestra como una de tales ecuacones presenta comportamento fracconaro en bajas frecuencas. Este comportamento fue caracterzado y utlzado para proponer una ecuacón de orden fracconaro para la dfusón del calor. PALABRAS CLAVE Dfusón del calor, ecuacón dferencal, orden fracconaro, frecuenca. ABSTRACT Heat dffuson s descrbed by means of dferental equatons among partal dervatves. A common method for f ndng the numercal soluton s by dscrethng the space varable and solvng the obtaned dferental equaton. Ths wor shows how one of such equatons exhbts fractonal behavor at low frequences. Ths behavor was characterzed and appled for fractonal order equaton for heat dffuson. KEYWORDS Heat dffuson, dfferental equaton, fractonal order, frequency. ITRODUCCIÓ La ecuacón para descrbr la dfusón del calor fue propuesta por Fourer en 807, en la memora escrta por él sobre la propagacón del calor en los cuerpos sóldos. Esta ecuacón modela la evolucón de la temperatura en un cuerpo sóldo. La forma común de la ecuacón de dfusón del calor está dada por: T( t,x) T( t,x) c ρ = λ () t x cuya solucon numérca para T (t,x) puede ser calculada de varas maneras. En esta ecuacón c es la capacdad calorífca; ρ corresponde a la densdad del materal; λ representa el coefcente de conductvdad de calor y T (t,x) es el valor de la temperatura como funcón del tempo y el espaco. Las condcones de frontera Ingenerías, Abrl-Juno 008, Vol. XI, o. 39 5

2 para esta ecuacón, las cuales representan cantdades conocdas en el marco del problema consderado, son T (0,x 0 ), T (t f,x f ) y condcones de frontera dadas por T (t f,x f ). La más comúnmente utlzada consste en la dscretzacón de la varable espacal x, dando como resultado una ecuacón dferencal ordnara en el tempo t y de dmensón dependente del número de segmentos utlzados. Ya que se ha observado que el sstema dscretzado en la varable espacal cumple con una propedad de entrelazamento de polos y ceros, en este trabajo se propone una forma de aproxmar la dscretzacón de la ecuacón de dfusón del calor medante ecuacones dferencales de orden fracconaro. Cabe menconar que debdo a que las ecuacones dferencales de orden fracconaro pueden representar un conjunto más amplo de comportamentos dnámcos que las ecuacones dferencales ordnaras, una ecuacón dferencal de orden fracconaro puede representar de forma smple dnámcas complejas. La representacón propuesta permte susttur una ecuacón dferencal entre dervadas parcales por una de orden fracconaro. ATECEDETES De acuerdo con Vnagre, el térmno cálculo fracconaro es utlzado para referrse a la dervacón e ntegracón de orden arbtraro, ncluyendo fraccones. Los ncos del cálculo fracconaro se remontan a la correspondenca entre Lebntz y L Hosptal. Especalmente en las últmas 4 décadas, el cálculo fracconaro se ha empleado con éxto en la modelacón de múltples fenómenos físcos. Los fundamentos del cálculo fracconaro así como algunas aplcacones son presentados en Podlubny. Aunque exsten muchas defncones no necesaramente equvalentes de la dervacón e ntegracón fracconara, son tres las que han mostrado una relacón con la aplcacón a sstemas físcos: La defncón de Remann-Louvlle, la de Caputo y la de Gründwald-Letnov. Sólo se presenta en este trabajo la defncón correspondente a Caputo debdo a que es la que se utlza (motvados por el hecho de que las condcones ncales relaconadas son de orden entero). Vnagre ofrece mayor nformacón sobre este tema. De acuerdo con la concepcón de Caputo la defncón de dervada de orden fracconaro queda: t m α f ( τ) f() t = dτ CD Γ α m m + α t τ ( ) 0 ( ) donde m < α < m, m Z +. Esta defncón ncorpora los valores ncales de la funcón y sus dervadas de orden entero menor, es decr, condcones ncales que son físcamente nterpretables de la manera tradconal. Así la transformada de Laplace correspondente resulta: ( ) m α α α = CD = 0 L f() t s F() s s f (0) La aplcacón de cálculo fracconaro y, en partcular de ecuacones dferencales de orden fracconaro, para modelar el comportamento de los sstemas descrtos medante ecuacones entre dervadas parcales es un tópco de nterés por parte de la comundad centífca.,3,4 En este trabajo la novedad es que se están consderando una clase de ecuacones entre dervadas parcales de segundo orden en la varable espacal. Muchas de las consderacones en la lteratura sobre el tema hacen uso solo de ecuacones entre dervadas parcales de prmer orden con respecto a cada una de las varables ndependentes. REPRESETACIÓ PROPUESTA El punto de partda es la ecuacón de dfusón del calor de Fourer (ecuacón ). En el contexto de estudos relaconados con el 6 Ingenerías, Abrl-Juno 008, Vol. XI, o. 39

3 cálculo fracconaro, esta ecuacón ha sdo consderada prevamente en Podlubny. Es mportante destacar, que en ese trabajo se partó de la solucón en forma cerrada de la ecuacón, la cual fue obtenda utlzando métodos operaconales. Como resultado se tene un atraso fracconaro. La forma de la solucón es el resultado de aplcar el método de Cran-colson y los resultados se presentan en forma de dagramas de yqust. Una observacón mportante es que en bajas frecuencas la aproxmacón numérca tene errores mayores. Dscretzacón Se parte de la ecuacón para aproxmar numércamente la dervada parcal doble medante dferencacón central: () j ( j ) T( j) ( j+ ) T x T x x +T x x () donde la longtud del elemento consderado ha sdo dvdda en seccones, ver fgura. La varable temporal no fue anotada para smplfcar la presentacón. Fg.. Dvsón de la longtud total en seccones. Al dscretzar la varable espacal x se obtene un sstema de ecuacones dferencales ordnaras de orden gual al número de seccones. Hacendo un cambo de varable x =T (t,x ), entonces la ecuacón entre dervadas parcales () puede ser representada de manera aproxmada por el sstema de ecuacones dferencales ordnaras como: ( ) ( Δ ) λ T t,x 0 x +x x= c ρ x λ x x+x 3 x = c ρ λ x x +x x = c ρ λ x x x = c ρ o puesta en forma normal x= Ax+Bu (3) con λ A= cρ x B 0 λ = ; x= x cρ( x ) 0 Δ x donde la entrada u=t (t,x o ) es la condcón de frontera. Aproxmacón Una vez dscretzada la ecuacón (), una observacón mportante para estar en condcones de utlzar modelos de orden fracconaro es la consderacón de x como la salda del sstema (3). Pues como fue mostrado en, 5 los polos y ceros de (3) cuando la salda es x se encuentran entrelazados, lo cual provoca que el dagrama de Bode en magntud y fase de este sstema entre las frecuencas de los polos P y P tenga una pendente de orden fracconaro. La dea básca a utlzar es la sguente: el sstema (3) consderando la salda como x cuenta con una funcón de transferenca representada por G (s) y se buscará aproxmar ésta por una funcón de transferenca con un solo polo pero con orden fracconaro. Esto es posble debdo a la rqueza en comportamento dnámco que presentan las ecuacones dferencales de orden fracconaro. Consderar una funcón de transferenca de orden fracconaro dado por: Ingenerías, Abrl-Juno 008, Vol. XI, o. 39 7

4 Gfr () s = α s + p T donde 0< α <, p es el polo y una gananca estátca. La aproxmacón consste en calcular los valores de a, p y que hacen que G (s) y G fr (s) sean lo más parecdo posbles en algún sentdo ben defndo. En este caso la aproxmacón será realzada en el sentdo que los dagramas de Bode de ambas funcones de transferenca sean lo más parecdas dentro de un ntervalo de frecuencas. Los parámetros buscados que mnmzan el error (dferenca entre las curvas de gananca del dagrama de Bode) se obtenen como consecuenca de los resultados presentados en por Charef 6 y en Fortuna 7 como sgue: Teorema. El cálculo de los valores de a, p y que hacen que G (s) y G fr (s) sean lo más parecdo posble en el sentdo de que la magntud de los dagramas de Bode de ambas funcones de transferenca sean lo más parecdas dentro de un ntervalo de frecuencas es como sgue: z log0 p α = α = ; α= p+ log0 p (5) log 0 p + z α p = p0 ; p = P T T T = la gananca estátca es la msma en ambas funcones de transferenca. en la ecuacón de dfusón del calor satsfacen la relacón: λ = cρδ ( x) (6) ote que este factor no afecta la ubcacón de los polos y ceros del sstema, por lo que la cualdad fracconara de la respuesta en frecuenca no se ve afectada por la seleccón de este valor. Además consderando la funcón de transferenca del sstema como: () ( ) G s = C si A B s = = s + z + s p (7) Para los casos específcos de y de 5 segmentos (), las funcones de transferenca resultantes son las sguentes: s + G () s = s s (8) Los dagramas de Bode correspondentes para las ecuacones de a dos y cnco segmentos se encontraron en la fgura. UTILIZACIÓ DE LA APROXIMACIÓ La utlzacón de la aproxmacón requere consderar dferentes casos específcos respecto del número de segmentos utlzados en la dscretzacón espacal. Con la únca fnaldad de smplfcar el análss y sn pérdda de generaldad se hace el sguente supuesto de trabajo: Suponer que el térmno correspondente a las constantes nvolucradas Fg.. Dagrama de Bode de la funcones de transferenca con = y = 5. 8 Ingenerías, Abrl-Juno 008, Vol. XI, o. 39

5 4 3 s + 7s + 5s + 0s+ G5 () s = s s + 8s + 35s + 5s + donde los polos son: -0.08, , -.754, , y los ceros están dados por: -0.06, -, , Para estos dos casos se tene que los valores del exponente fracconaro a puede ser obtendo como: Caso = log α =.68 = log log0 p = ( 0.5) = T con lo que se tene: s + G () s = s s + + s La comparacón de la respuesta en frecuenca de ambas funcones de transferenca puede ser encontrada en la fgura 3. Caso = 5 Debdo a que en este caso se tenen 4 ceros, es posble calcular 4 valores para el exponente fracconaro. α = , α = 0.407, α3 = , α4 = Fnalmente se calculan todos y se utlza el promedo de ellos. Por lo que a resulta: α + α+ α3+ α4 α = = Lo msmo se utlza para el valor del polo. Los cálculos son los sguentes: P = P = 0.35 P =.47 T, T, T 3, P =.765 T 4 El promedo de los polos resulta: P T +P T +P T3 +PT4 P= T = Con lo que la aproxmacón queda: G5 () s 0.55 s La respuesta en frecuenca de los sstemas de orden fracconaro fue obtenda con la ayuda del paquete para el software MatLab llamado nteger v Al gual que en caso anteror, la fgura 4 muestra la comparacón de las funcones de transferenca para el caso =5. Fg. 3. Respuesta en frecuenca del sstema dscretzado utlzando dos segmentos y de la aproxmacón de orden fracconaro. Fg 4. Respuesta en frecuenca del sstema dscretzado así como la de la aproxmacón utlzando ecuacones de orden fracconaro. Ingenerías, Abrl-Juno 008, Vol. XI, o. 39 9

6 En la medda que se ncrementa el número de ntervalos, la dscretzacón requere de ecuacones de orden gual al menos al número de seccones. En este trabajo se muestra como representar el comportamento de un sstema de n ecuacones dferencales asocadas a la ecuacón de dfusón del calor por medo de una ecuacón dferencal de orden fracconaro al menos en un ntervalo de frecuencas. Esto reduce la dmensón de la representacón en contraste con la forma clásca de proceder en la cual se utlza drectamente el sstema dscretzado. DISCUSIÓ Una prmera observacón es que en la medda en la cual se ncrementa el número de seccones n, el ntervalo de frecuencas en el cual se tene comportamento fracconaro tambén se ncrementa, aunque el ancho del ntervalo de frecuencas no tende a ser el de los números reales. Así msmo, al ncrementar el número de seccones en la dscretzacón, de a 5 los valores tanto del exponente como del polo de la aproxmacón no se modfcan sgnfcatvamente. La dscretzacón de la ecuacón de dfusón del calor en la varable espacal x, bajo la consderacón de una salda formada por la temperatura después del prmer ntervalo, contene una respuesta en bajas frecuencas muy parecda a la que tendría un sstema de orden fracconaro aun y cuando no concda con precsón. Es mportante destacar que la representacón propuesta es una aproxmacón que resulta potencalmente útl al menos en el contexto de control automátco. Es ben conocdo que los procesos de transferenca de calor son en general lentos por lo que la respuesta dnámca nteresante corresponde más ben a un sstema pasa bajos, lo cual hace que la representacón propuesta tenga una justfcacón. COCLUSIOES Aún y cuando la respuesta de la dscretzacón de la ecuacón de dfusón del calor no es exactamente la de una ecuacón de orden fracconaro, ésta se puede modelar y aproxmar, en el sentdo de que las respuestas en frecuenca sean lo más semejante posble, de manera compacta utlzando ecuacones dferencales de orden fracconaro. REFERECIAS. B. M. Vnagre and C. A. Monje, Introduccón al control fracconaro, Revsta Iberoamercana de Automatca e Informatca Industral (RIAI), 3(3):5-3, julo I. Podlubny, Fractonal dfferental equatons, Academc Press, San Dego, J. A. Tenrero Machado and I. S. Jesus, Fractonal order dynamcs n some dstrbuted parameter systems. In proceedngs of the 4th IASTED Internatonal conference on Modelng, Identfcaton and Control, feb. 6-8, 005, p A. Oustaloup, A. Ballou and B. Bansard, Partall dfferental equatons and nonnteger dervaton, In IEEE Internatonal conference on system engneerng n the servce of humans, Vol., p , E. Alcorta García, E. G. Cedllo Garza, R. Castllo Martínez, Dnámca de orden fracconaro en la ecuacón de dfusón del calor, XL Congreso aconal de la Socedad Matemátca Mexcana, 4-9 de octubre 007, Monterrey,. L. 6. A. Charef, H. H. Sun, Y. Y. Tsao and B. Onaral, Fractal system as represented by sngularty functons. IEEE Trans. on Automatc control, 37(9): , Sept L. Fortuna, S. Grazan, G. Muscato and D. Porto, Approxmaton hgh order lumped systems usng non-nteger order transfer systems, In proceedngs of the 7th Medterranean Conference on Control and Automaton (MED99), june 8-30, 999. p D. P. Mata de Olvera Válero, Fractonal control toolbox for MatLab, Beta release, 7 de agosto 005, Unversdad Técnca de Lsboa.. 0 Ingenerías, Abrl-Juno 008, Vol. XI, o. 39