DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

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1 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos en Cálculo I, los lumnos logren un comprensión ceptble del concepto de derivd, de l propuest se concluye que no bst con escribir l definición en el pizrrón y exhibir lgunos ejemplos pr que el concepto quede simildo, el profesor o profesor debe plner un estrtegi de enseñnz y prendizje que permit el desrrollo de hbiliddes que grnticen su comprensión y no su sol memorizción, lo nterior bjo l premis de que l enseñnz de l derivd es porque permite resolver muchos problems de vrición y no porque se un concepto trctivo desde el punto de vist forml mtemático. Propósitos: 1. Refirmr el concepto de función invers.. Recordr l condición lgebric y gráfic pr que dos funciones sen inverss. 3. Retomr el procedimiento pr obtener l función invers de un función uno uno. 4. Recordr ls propieddes de los logritmos y cómo cmbir de bse. 5. Obtener l regl pr derivr l función básic logritmo de culquier bse. 6. Inducir l regl pr l derivd generlizd de l función logritmo de culquier bse. 7. Conocer en qué consiste el método de l derivción logrítmic y cuándo plicrlo. EL PROBLEMA DE LA FUNCIÓN INVERSA Encuentr l derivd de l función invers de l función f ( x ) x Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes

2 Preguntr: f x? 1. Qué tipo de función es ( ). Cuáles funciones son ls inverss de ls funciones exponenciles? 3. Qué condición debe cumplir un función pr que teng invers? g x son inverss, qué debe psr con l 4. Si ls funciones f ( x ) y ( ) composición f ( g ( x )) y g ( f ( x ))? 5. Si ls funciones f ( x ) y ( ) g x son inverss, cómo son sus gráfics con respecto l rect y x? 6. Cómo se relcionn entre si el dominio y el rngo de un pr de funciones inverss? 7. Cuál es l función invers de ( ) x f x? 8. Cuál es el dominio y rngo de l función f ( x ) x? 9. Cuál es el dominio y rngo de l función invers de l función f ( x ) x? Provocr un discusión grupl sobre ls respuests corrects l serie de pregunts nterior, permitirá dr solución un dificultd que se puede presentr en est sección, y que en lgunos csos los lumnos no hicieron, en su curso de Mtemátics IV, un estudio mplio sobre ls crcterístics que deben cumplir un pr de funciones inverss, de tl mner que durnte l discusión se deberán bordr ejemplos que ls muestren, ún cundo ls respuests corrects ls pregunts y 7 hyn surgido de mner inmedit. PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA FUN- CIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNO A UNO Pso 1. Reemplzr f ( x ) por y. Pso. Intercmbir ls vribles x y y. Pso 3. Despejr y de l ecución. Pso 4. Reemplzr y por g ( x ), esto proporcion l función invers. Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes 1-59

3 Ejemplo 1. L función f ( x ) 4 poyo de su gráfic que que ést es uno uno. Pso 1. y 4x + Pso. x 4y + Pso 3. y x 4 Pso 4. L función Comprobción lgebric: x x f g x f 4 + x 4 4 ( 4x + ) g ( f x ) g (4x + ) x 4 ) ( ( )) b) ( ) 4x + tiene invers, y que como se puede observr con el prece en l figur 1 y del método de l rect horizontl, invers es g ( x) x 4 En l figur están grficds mbs funciones, en ell se observ que son simétrics respecto l rect y x. Figur Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes

4 Figur Ejercicio 1. En l figur 3 está l gráfic de l función ( ) 3 f x x +. Verific que l función es uno uno, obtén su invers y comprueb lgebricmente tu respuest. Figur 3 Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes 1-61

5 Volviendo l función del problem, pedir que construyn su gráfic y preguntr por qué es uno uno. Puesto que l función f ( x ) x es uno uno, tiene invers y es: Pso 1. y x Pso. x Preguntr: y 10. Cómo se despej y de l ecución? Es muy probble que los lumnos respondn que plicndo el logritmo común o el logritmo nturl, sin embrgo, por convenir l interés de l propuest hy que pedir que se plique el logritmo de bse dos. Es posible que lgunos lumnos no sen cpces de resolver ecuciones exponenciles, sí que pr solucionr est dificultd y otr que se puede presentr más delnte, tl vez se requier de mencionr l plicción de los logritmos, hcer un reseñ sus propieddes y trbjr breves ejemplos pr hcer uso de l expresión de cmbio de bse. Pso 3. y log x g x Pso 4. L función invers es ( ) función exponencil básic de bse. log x, que es un cso prticulr de l g x Con el propósito de encontrr l derivd de ( ) log x, preguntr: 11. Hciendo un cmbio de bse, cómo se expres log x utilizndo el logritmo nturl? ln x Un vez que hn respondido que log x, solicitr que encuentren ln d ln x y verificr que el resultdo que obtienen es el correcto pr concluir ln 1 que g ( x). x ln Aplicr el mismo procedimiento pr obtener l derivd de ( ) estblecerl como concepto clve. f x log x, y 1-6 Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes

6 Concepto clve: 3. Derivd de l función básic logritmo de bse Si f ( x) log x con bse positiv distint de uno, entonces f ( x) o con ls otrs notciones; d log x 1 x ln o D ( log x) x 1 x ln 1 x ln, Preguntr: 1. Cuál será l regl pr l derivd generlizd de l función logritmo de bse?, es decir, si el rgumento de l función logritmo de bse es un función u derivble de x, cuál será su derivd? L respuest correct servirá pr implntr el siguiente concepto clve. Concepto clve: Si ( ) 4. Derivd generlizd de l función logritmo de bse f x log u donde es un número positivo distinto de uno y u es un función derivble de x, entonces d log u d log u du 1 du du u ln Pr concluir l unidd, se piens que serí decudo mostrr cómo se utilizn ls propieddes de l función logrítmic pr simplificr en lgunos csos el proceso de derivción, cundo l función es un producto o un cociente. L firmción nterior se bs en el resultdo Preguntr: 1. Si despejs du d ln u 1 du u. de l relción nterior qué obtienes? A prtir de l respuest se podrá estblecer el siguiente procedimiento: Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes 1-63

7 PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL MÉTODO DE LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Si l función u es un producto o un cociente, pr encontrr método de l derivción logrítmic, relizr lo siguiente: Pso 1. Encuentr d ln u Pso. Multiplic el resultdo nterior por u.. du con el Ejemplo. 3 x 1 Si u, pedir los lumnos que relicen los psos indicdos pr x + 1 obtener du, por medio del método de l derivción logrítmic, y verificr que los resultdos sen los correctos. Ddo que el procedimiento es pr un producto o un cociente, primero expres el rdicl como un cociente. Luego plic el logritmo nturl mbos miembros de l relción nterior y A exprésl como un diferenci, puesto que ln ln A ln B. B Ahor sí, plic el procedimiento indicdo: Pso 1. Deriv l diferenci nterior y reliz el álgebr necesri pr obtener el resultdo d ln u 1 3x x 3. x 1 x + 1 Pso. Multiplic el resultdo nterior por 3 x 1 u y simplific pr obte- x + 1 du ner finlmente que 4 x + 3x + x ( x + ) ( x ) Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes

8 Ejercicio. Si u ( x 4 3)( x + ), verific utilizndo el método de l derivción logrítmic que ln( A B) ln A + ln B. du 5 3 6x + 8x 6x. Recuerd que Ejercicio 3. Utilizndo l derivción logrítmic, demuestr que si u y v son funciones derivbles de x, entonces: ) b) ( ) d u v du ( v) + ( u) dv u du dv d ( v) ( u ) v v Unidd 1. Derivds de Funciones Trscendentes 1-65

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