También son experimentos aleatorios: lanzar una moneda, sacar una bola de una bolsa, sacar una carta de la baraja, etc.
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- Elisa Sevilla Tebar
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1 3º ESO E UNIDAD 16.- SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Experimentos aleatorios Cuando lanzamos un dado no podemos saber de antemano qué resultado nos va a salir. Sabemos que nos puede salir cualquier número del 1 al 6 pero no cuál. Decimos que lanzar un dado es un experimento aleatorio También son experimentos aleatorios: lanzar una moneda, sacar una bola de una bolsa, sacar una carta de la baraja, etc. Experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar y, aunque conocemos todos los resultados, no se puede saber de antemano el resultado que se va a obtener. Los experimentos que no son aleatorios se llaman experimentos deterministas. Espacio muestral de un experimento aleatorio Es el conjunto formado por todos los resultados que podemos obtener al hacer el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Si extraemos al azar una bola de una caja que tiene bolas rojas, verdes, azules y amarillas, el espacio muestral es E = { R, V, Az, Am } Ejercicio 1 Se tira un dado dos veces y luego se restan los puntos. a) Cuál es el espacio muestral? b) Y si multiplicamos los puntos? Hacer actividad 1, de la ficha, y actividad 2, del libro Principio de multiplicación Es una técnica que sirve para saber cuántos resultados tiene un experimento que consta de dos o más etapas. Consiste en multiplicar el número de resultados de cada etapa. Ejercicio 2 Supongamos que tenemos 5 tipos de camisas, 3 pantalones y 4 pares de zapatos De cuántas formas diferentes podemos vestirnos? Ejercicio 3 Desde el 18 de septiembre de 2000, se implantó en España el nuevo sistema de matriculación europea, que como sabes consta del indicativo del país, cuatro números y tres letras. Sólo se usan 20 letras, pues A-E-I-O-U-Ñ-Q no se incluyen. Los números si son todos (del 0 al 9). Cuántos coches se pueden matricular en España con este sistema?
2 Ejercicio 4 De una baraja española (40 cartas), se extraen 4 cartas sucesivamente sin reemplazamiento a) Cuántos resultados puede haber? b) Y si las extracciones se hacen con reemplazamiento? Ejercicio 5 Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo, Albacete, Barcelona, Córdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? Ejercicio 6 Con las letras de la palabra PELUCA Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer? Ejercicio 7 Un cd tiene 12 canciones que se pueden escuchar en cualquier orden. Luís quiere escucharlas cada día en un orden diferente. Cuántos días tardará en hacerlo? Ejercicio 8 Averigua cuántos números de 7 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 2, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Hacer actividades 2, 3, 4, 5, 6 y 7, de la ficha, y actividades 17, 50 y 51, del libro El método del diagrama de árbol Es una técnica que sirve para saber cuáles son los resultados de un experimento aleatorio que consta de dos o más etapas. Ejercicio 9 Cuáles son todas las formas de ordenar las letras de la palabra? Ejercicio 10 Se lanza una moneda y después se saca una bola de una bolsa que contiene 3 bolas numeradas 1, 2 y 3. Cuáles son los resultados que podemos obtener? Ejercicio 11 Cuáles son todos los resultados que se obtienen al lanzar una moneda 3 veces? Ejercicio 12 Tres ciudades A, B y C están comunicadas por carreteras. Para ir de la ciudad A a la B hay 4 carreteras y para ir de la ciudad B a la C hay 2 carreteras. Cuáles son todas las rutas que hay para ir de A a C pasando por B? Ejercicio 13 Una bolsa tiene 3 bolas blancas, 2 negras y 1 roja. Sacamos sucesivamente 2 bolas. Halla el espacio muestral en los siguientes supuestos: a) Las extracciones se hacen con devolución b) Las extracciones se hacen sin devolución Hacer actividades de la 8 a la 11, de la ficha, y actividad 15, del libro 2.- Sucesos aleatorios Un suceso aleatorio es el conjunto formado por algunos resultados de un experimento aleatorio. Los sucesos se representan con letras mayúsculas En el experimento de sacar al azar una bola de una bolsa que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8 algunos sucesos son: A = salir un número menor que 3 = {1, 2} B = salir un múltiplo de 4 = {4, 8} C = { 2, 3, 5, 7 } = salir un número primo Página 2
3 Suceso seguro El suceso seguro está formado por todos los resultados del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral, E. Este suceso siempre se cumple. Al lanzar una moneda el suceso seguro es salir cara o cruz El suceso seguro cuando lanzamos un dado es salir un número menor que 7 Suceso imposible El suceso imposible es el nunca ocurre. Es el conjunto que no tiene ningún elemento. Este conjunto se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Al lanzar un dado salir un número de 2 cifras es un suceso imposible. Si una bolsa sólo tiene bolas blancas y negras, sacar bola roja es un suceso imposible. Suceso contrario Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A es aquel que expresa lo contrario que el suceso A. Está formado por todos los resultados del experimento excepto los del suceso A El suceso contrario de A se representa por A c o también por A. Si lanzamos un dado y el suceso A = salir número par = {2, 4, 6}, entonces el suceso contrario es A c = no salir número par = salir número impar = {1, 3, 5} Al lanzar un dado, si A = salir un número mayor que 4 = { 5, 6} entonces el suceso contrario es A c = salir un número menor o igual que 4 = {1, 2, 3, 4} Unión de sucesos La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado juntando los elementos de A y B. La unión de A y B se representa por A U B. El suceso A U B es el que expresa el hecho de que ocurra A o B En el lanzamiento de un dado, si tomamos los sucesos: A = "salirnºpar" = { 2,4,6} B = "salirnºprimo" = { 2,3,5} Entonces A U B = salir número par o primo = { 2, 3, 4, 5, 6 } Intersección de sucesos La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los elementos comunes o repetidos de A y B. La intersección de los sucesos A y B se representa por A B. El suceso A B es el que expresa el hecho de que ocurra A y B al mismo tiempo. En la extracción de una carta de la baraja, si tomamos los sucesos: A= " saliruna figura" B = " saliroro" Entonces, A B = salir oro y figura = salir sota, caballo o rey de oros = = { sota oros, caballo oros, rey oros } Página 3
4 Sucesos compatibles y sucesos incompatibles Dos sucesos A y B son compatibles cuando pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los sucesos A = salir un número par B = salir un número primo son compatibles porque A B = salir par y primo = { 2 } : puede salir un 2, y en este caso ocurren los dos sucesos a la vez pues 2 es un número par y también es un número primo Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, los sucesos son A = salir oro B = salir copa son incompatibles porque A B = salir oro y copa = : Es imposible que salga a la vez oro y copa Ejercicio 14 Se lanza un dado dos veces. Determina el suceso A = la suma de los puntos es 7 Ejercicio 15 Se tiene una caja con 2 bolas verdes, 1 bola blanca y 1 negra. Se sacan sucesivamente tres bolas, sin devolverlas a la bolsa. Determina: a) El espacio muestral usando un diagrama de árbol b) Los sucesos A = la 2ª bola es verde, B = la 3ª bola es blanca c) A B e indica si A y B son compatibles o incompatibles d) A c, B c, A U B, A c B, A U B c Ejercicio 16 Se saca una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Si A = salir número par B = salir múltiplo de 3. Calcula A c, B c, A U B, A B, A c B, A U B c Hacer actividades 12 y 13, de la ficha, y actividades 10 y 44, del libro 3.- Cálculo de probabilidades La probabilidad de un suceso indica si es más o menos frecuente que ocurra dicho suceso. La probabilidad de un suceso A se representa por p(a) o simplemente por p. Para calcular la probabilidad de un suceso se divide el número de casos favorables entre el número de casos posibles: REGLADELAPLACE :p(a) = Númerodecasos favorables a que ocurraa Número de casos posibles En una bolsa hay 3 bolas negras y 5 azules. Si se saca una bola al azar, la probabilidad de que sea azul es Página 4 5 p= = 0,625 = 62,5% 8 Las propiedades más importantes de la probabilidad son: 1) La probabilidad de un suceso siempre es un número entre 0 y 1 (ambos incluidos): 0 p(a) 1 2) La probabilidad del suceso seguro es 1: p(e) = 1 3) La probabilidad del suceso imposible es 0: p( ) = 0 4) La probabilidad del suceso contrario es p(a ) = 1 p(a)
5 Ejercicio 17 En un instituto el 32% de los alumnos repite curso. Si se elige un alumno al azar cual es la probabilidad de que no sea repetidor. Ejercicio 18 Una bolsa tiene 8 bolas numeradas del 1 al 8. Si se saca al azar una bola, calcula la probabilidad de que el número obtenido: a) sea mayor que 5 b) sea múltiplo de 3 o de 4 c) sea menor o igual que 3 d) no sea primo y sea múltiplo de 3 Ejercicio 19 Se saca al azar una carta de la baraja española de 40 cartas Calcula la probabilidad de que la carta: a) sea de oros b) sea una figura c) no sea un as d) sea de copas o de bastos e) sea de espadas o sea figura f) sea rey o sea de oros g) sea de oros y caballo h) sea de bastos y no sea figura Ejercicio 20 Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 1 verde y 1 azul. Se sacan sucesivamente dos bolas, sin devolverlas a la bolsa. Determina, usando diagrama de árbol, la probabilidad de que: a) La 2ª bola sea roja b) La 1ª bola sea verde y la 2ª blanca c) ninguna bola sea roja Ejercicio 21 Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados la suma de sus puntos sea 6? Ejercicio 22 En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son varones y, de éstos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. a) Completa la siguiente tabla tienen ojos azules no tienen ojos azules Total varones hembras Total b) Se elige una persona al azar. Usando la tabla, calcula las siguientes probabilidades: 1) sea hembra 2) sea varón con ojos azules 3) no tenga los ojos azules Hacer actividades de la 14 a la 18, de la ficha, y actividades 21, 27, 34, 60, 64 y 83, del libro Página 5
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