Construcción de triángulos Análisis y construcción de polígonos regulares

Transcripción

1 Rctas y puntos notabls, POLIGONOS n l triángulo Construcción d triángulos Análisis y construcción d polígonos rgulars convxos y strllados TEMA3 Objtivos y orintacions mtodológicas En sta unidad tmática los objtivos qu s prsigun son, n primr lugar, la construcción d nuvos casos d triángulos y cuadrilátros, aplicando lo studiado n l curso antrior, con las nuvas propidads xpustas n st tma, y, finalmnt, la construcción d polígonos rgulars 1. Rctas y puntos notabls d un triángulo Mdiatriz d un lado. Es la rcta prpndicular aliado n su punto mdio (Fig. 1). El punto d intrscción d las trs mdiatrics s llama circuncntro. En la figura, las trs mdiatrics t, s y t s cortan n l circuncntro C c. Est punto s l cntro d la circunfrncia circunscrita al triángulo. Mdiana d un lado. Es la rcta qu un un vértic con la mitad dl lado opusto (Fig. 2). El punto d intrscción d las trs mdianas s llama baricntro y s l cntro d gravdad dl triángulo. En la figura, las trs mdianas A1v1, EL y CN s cortan n E c' s vrifica qu E cm = 1/3 A1v1 Ylo mismo n las otras dos mdianas. C A C = circuncntro B = baricntro Fig. 1. Fig. 2. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillrato 29

2 Bisctriz d un ángulo: Es la rcta qu divid al ángulo n dos parts iguals (Fig. 3). El punto d intrscción d las trs bisctricsl, m y n s llama incntro, l Est punto quidista d los trs lados dl triángulo y por llo s l cntro d la circunfrncia inscrita n l triángulo. Los datos son los lados a y y l ángulo C opusto al lado. En la figura suprior s sitúa l lado a = CE y n l vértic C s construy l ángulo C; prolongando l lado qu va a contnr lladob, con cntro n l vértic B, s traza l arco d radio, l cual corta n A y A' al lado oblicuo dl ángulo C. El problma tin dos solucions, qu son los triángulos AEC y A'BC. En la figura infrior s v qu si l lado s mnor, tal como ', l problma no tin más qu una solución. Si su valor s ", l problma no tndrá solución. ' " a B A' A l = inntro Fig. 3. Altura d un triángulo: Es la rcta prpndicular trazada por un vértic al lado opusto (Fig. 4). Las trs alturas AN, EL YCM s cortan n un punto llamado ortocntro, o; Unindo los puntos L, M YN s obtin un triángulo llamado "órtico" dl antrior y O s l cntro d la circunfrncia inscrita n st triángulo. Fig Construcción d un triángulo conocindo m,h Y b, mdiana, altura y a B a bisctriz d un lado a (Fig. 6) S construy l triángulo rctángulo ARO con ha ym a' y con cntro na y radio la bisctrizb a s corta nm al lado RO; s prolonga la bisctriz b a hasta qu cort n S a la prpndicular por O aro; la mdiatriz dl sgmnto AS corta nn a la prpndicular antrior. El punto N s l cntro d la circunfrncia circunscrita al triángulo pdidoabc. D = ortontro Fig Construcción d un triángulo conocindo dos lados y l ángulo opusto a uno d llos (Fig.5) Est problma ya s ha rsulto n l tma 1 por mdio d un arco capaz. Lo rsolvmos ahora por otro procdiminto. Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillrato

3 4. Construcción d un triángulo rctángulo n A, conocindo la hipotnusa a y la difrncia d los cattos b-c(fig.7) Supusto construido l triángulob A C, s llvac sobrb y s un D. conb, vmos así qu l ángulo n D s d 45 Sgún sto, ya con los datos qu nos dan, s toma l sgmnto b-c y a partir d D s construy l ángulo d 45 ; con cntro n y radio a, s corta ne al lado dl ángulo construido. PorB s traza la prpndicular al lado b y quda compltado l triángulo 6. Construcción d un triángulo rctángulo n A, conocindo un catto y la suma d la hipotnusa y l otro catto a+b (Fig. 9) En la part suprior d la figura s ha supusto rsulto l problma; vmos qu la mdiatriz d B Npasa por y ést, unido a E i ' nos da l triángulo. Sgún sto, sobr los lados d un ángulo rcto s toman los sgmntos y a + b, sindo los xtrmos E y N; la mdiatriz d EN nos da l punto, trcr vértic dl triángulo pdido b-c a b+ a Fig Construcción d un triángulo rctángulo n A, conocindo la hipotnusa a y la suma d los cattos b + (Fig.8) En la part suprior izquirda d la figura s supon rsulto l problma. S llva, a continuación db y la rcta B P forma 45 con la prolongación d b i Sgún sto, ya con los datos dl problma, s sitúa l sgmnto b +, s construy nd l ángulo d 45 y dsd C 2 s corta con radio a al lado dl ángulo d 45, rcta DH; dsd los puntos By B 2 s trazan las prpndiculars al ladob, con lo qu s obtinn dos solucions iguals. Fig. 9, 7. Construcción d un triángulo rctángulo n A, conocindo y a-b (Fig.10) En la part suprior d la figura s supon construido l triángulo C A B ; vmos qua N val B -b y qu la mdiatriz dl sgmnto E N pasa por l trcr vértic C. Sgún sto, n la figura infrior, s toma l sgmnto dado, -b, Ysobr la prpndicular a él por A s llva l catto c = AB. La mdiatriz dl sgmntonb dtrmina n la prolongación dna l vértic C. El triángulo pdido sbac. a, B, H a,, b, A, b,+, a,-b, b,, Fig. 8. Fig. 10. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillrato 31

4 8. Construcción d un triángulo isóscls ABC (AB = AC), conocindo l ángulo Á y l sgmnto a +ha (Fig. 11) S construy l triángulo AB i auxiliar qu tnga l ángulo Á dado; s toma AM = N A + B C y s un B con M ; a continuación, a partir da y hasta M s llva l sgmnto dado a + h ; finalmnt, por M a s traza la paralla a B M, con lo qu s obtin l vértic B dl triángulo. A Sgundo procdiminto (Fig. 13): S sitúa l dato D + L Yn su xtrmo B s traza la prpndicular a él; n l otro xtrmo s construy un ángulo d 22 30' (cuarta part d 90 ) hasta qu cort n A a la prpndicular antrior. El sgmnto AB s l lado dl cuadrado pdido. la dmos- El lctor pud dducir, como jrcicio, tración d st procdiminto. D forma similar s construy un cuadrado conocindo la difrncia d la diagonal yllado..,;: + '" M, Fig Construcción d un cuadrado conocindo la suma d la diagonal más l lado Primr procdiminto (Fíq. 12): Est problma s rsulv por smjanza con otro cuadrado auxiliar. S construy un cuadrado cualquira d lado L = AB y sobr la diagonal s toma l sgmnto D' + L,. S un l punto N con B y s toma sobr la citada diagonal l sgmnto conocido D + L a partir dl vértic A; por l xtrmo M s traza la paralla a NB, Ys obtin l punto n AB. El sgmnto AC s l lado L dl cuadrado pdido, qu tinam = D + 1. Fig Construcción d un cuadrado cuya suprfici sa la mitad d la suma d otros trs cuadrados (Fig. 14) Los lados d los cuadrados sonl, L 2 y L3. La fórmula qu nos da l lado dl cuadrado solución s: 2V = L 2 + L 2 + L En la figura stá construida sta fórmula y s obtin l lado L dl cuadrado cuya suprfici s la mitad d la suma d las suprficis d los cuadrados cuyos lados sonl, L 2 y L3. N...J Cl L, Fig. 12. Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillrato

5 11. PoIígonos rgulars strllados Son polígonos cóncavos qu tinn forma d strlla y s obtinn d unir d 2 n 2, d 3 n 3, tc., los vértics dl polígono rgular convxo. En lafig. 15, caso d cinco divisions, si s unn d dos n dos, s obtin l pntágono strllado y s han dado dos vultas a la circunfrncia para crrar l polígono En gnral, y para rsumir, dirmos qu partindo d n divisions, s pudn construir tantos polígonos strllados como númros ntros hay, mnors qu su mitad (n/2) y primos conn. Así, por jmplo, con sit divisions (hptágono rgular convxo), la mitad s 3,5 y los númros ntros primos con 7 y mnors d 3,5 son 12 y 3. Sgún sto, l hptágono tin dos polígono s strllados, qu s obtinn unindo los vértics d 2 n 2 y d 3 n 3 (Fig. 16). 12. Dado l lado, construcción dl octógono, nágono, dcágono y dodcágono rgulars convxos (Figs. 17, 1B, 19 Y 20) En stas figuras s indica un sgundo procdiminto para construir stos polígonos El lctor pud dducir con facilidad la construcción. Fig. 17: El octógono stará inscrito n la circunfrncia d cntro 0j y radio OjA = OjB. Fig. 15. Génro (g): s l númro d lados o d curdas qu forman l polígono strllado. Espci (): s l númro d vultas qu hay qu dar para crrar l polígono Paso (p): s l númro d divisions qu abarca un lado. Sindon l númro d divisions d la circunfrncia, s cumpl: I g p=n n dond Fig. 17. El númro d lados o génro g ha d sr un númro ntro, por lo qu ha d sr múltiplo d p. Fig. 18: El nágono stará inscrito n la circunfrncia - - d cntro 02 y radio 0r4 = 02B. Fig. 16. Fig. 18. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillrato 33

6 Fig. 19: El dcágono stará inscrito n la circunfrncia d cntro 03 y radio0 3 A = 03B. Fig. 21. Fig. 19. Fig. 20: El dodcágono stará inscrito n la circunfrncia d cntro 04 y radio0 4 A = 04B. 14. Dado l lado, construcción d los polígonos rgulars convxos d trc a vinticuatro lados (FIg. 22) Rsulto l problma para los polígono s d 6 a 12 lados, l prsnt s rduc a rptir la opración. Para l d 13 lados, s hac cntro n l ' Ycon radio 1'A s traza l arco qu corta n 13' a la mdiatriz d AB. El punto 13' s l cntro d la circunfrncia circunscrita al polígono d 13lados y d radio 13'-A Para l polígono d 14 lados, cntro n2'y radio 2'Ahasta qu l arco cort n l punto 14' a la mdiatriz. Fig Dado l lado, construcción d los polígonos rgulars d sis a doc lados (Fig.21) Es un procdiminto mpírico. Sa AB = L l lado conocido. S traza la mdiatriz dab y con cntro na, l arco BC. S divid st ~co n~is parts iguals y con cntro n C y radios Cl, C2, C3, tc., s trazan los arcos d la figura hasta qu cortn a la mdiatriz n 07' OS"" 012; stos puntos son los cntros d las circunfrncias circunscritas a los polígono s d 7, 8..., 12 lados iguals a AB. Fig DIBUJO TÉCNICO" - Bachillrato

7 15. División d un arco d circunfrncia n un númro d parts iguals (Fig. 23) Sa l arco AB l qu hay qu dividir n 6 parts iguals. S toma una curdaae qu aproximadamnt sa una sxta part dl arco, y vmos qu sobra l arco BC. Hacmos lo mismo para otra curda Al, mnor qu la antrior, y n st caso hay un dfcto d arco BD. Sobr una rcta s toman las curdas AE y Al y sobr sus xtrmos y n dos prpndiculars llvamos EH = BC y lf = BD. Unindo los puntos H y F s obtin l punto N. El sgmnto AN s xactamnt la curda qu prmit dividir l arco n sis parts iguals. Fig. 23. B ACTIVIDADES 1. Dibujar l triángulo isóscls dl qu s conocn l radio d la circunfrncia circunscrita d 32 mm y l lado igual d 60 mm. 2. Dibujar un triángulo conocindo los siguints datos: lado AB = 55 mm; Bc/1 = 30 mm; BcB = 35 mm (B s l baricntro). 7. Dibujar los polígonos rgulars strllados d un hptágono inscrito n una circunfrncia d 50 mm d radio. 8. Dibujar un trinqut complto d quinc dints, como l rprsntado n la figura, con las mdidas qu s indican (Fig. 24). 3. Dibujar l triángulo rctángulo dl qu s conocn la hipotnusa d 60 mm y la altura sobr ésta d 25 mm. 4. Construir l triángulo d lados 65, 55 Y 80 mm. Rprsntar n él los siguints puntos: circuncntro, baricntro, incntro y ortocntro. 5. Construir l cuadrado dl qu s conoc la difrncia d la diagonal mnos l lado, igual a 25 mm. 6. Construir l cuadrado quivalnt a un pntágono d lado 30 mm Fig. 24. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillrato 35

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