A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos, paso a paso, extraídos del libro Aplicaciones Físicas de la Integral Definida:

Transcripción

1 A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos, paso a paso, etraídos del libro : EJEMPLO Sea R la región definida por (, ) R = /. Se tiene una placa con la forma de la región R sumergida verticalmente en un líquido de peso específico kgf m sobre ella se está ejerciendo una fuerza de kgf, determinar si la placa está totalmente o parcialmente sumergida en dicho líquido. SOLUCIÓN: Se determina la región solución junto con sus puntos de intersección, la cual se muestra en la figura : (,) = (,) = = (,) igura

2 = En las ecuaciones de las curvas se despeja la variable, obteniéndose: = = = Al despejar la variable en la ecuación = se obtiene: = ±. Siendo la rama negativa de la parábola: = la positiva: =. La rama negativa está definida para < la positiva para >, que es con la que se va a trabajar, debido a que los valores de donde está definida, son los que pertenecen a la región de estudio. La placa puede estar completa o parcialmente sumergida en el líquido. Las siguientes consideraciones conducen a la determinación de la posición de la placa en el líquido: Sí se calcula la fuerza que ejerce el líquido sobre la placa suponiendo que su nivel coincide con la ordenada del punto más alto de la placa ( Tope ), se obtiene el valor mínimo de la fuerza que se ejerce sobre la placa, cuando la misma está sumergida completamente. Sí la fuerza dada es menor que la fuerza calculada ( dada < Tope ), se conclue que la placa se encontrará sumergida parcialmente. Sí la fuerza dada es maor que la fuerza calculada ( dada > Tope ), se conclue que la placa se encontrará sumergida completamente. donde: Para calcular la fuerza, se divide la región R en dos subregiones: R R, en

3 R es la región acotada por las curvas: =, = la recta =. En términos de la variable la cota derecha de la región es = la cota izquierda es =. R es la región que se encuentra limitada por =, = la recta =. Sí se epresa en términos de la variable la cota derecha de la región es = la cota izquierda es = (Ver figura ). (,) = R = (,) R = (,) igura Sí el elemento de área se encuentra a una posición en cada subregión, la profundidad a la cual se encuentra sumergido será h( ) =. La fuerza sobre la región R es la suma de las fuerzas sobre las regiones más pequeñas. Así: Tope = +

4 = ( ) [( ) ( ) ]d = ( ) ( ) d Al resolver cada integral se obtiene: = 9,79 = 8,5 Entonces la fuerza total será: Tope = + =9,79kgf + 8,5 kgf = 5, kgf La fuerza dada en el enunciado del problema es dada = kgf al comparar este valor con la fuerza que se ha calculado (suponiendo que el nivel del líquido coincide con el punto más alto de la placa) este último valor es maor. Tope =5, kgf, se observa que Como la fuerza dada es menor que la fuerza calculada ( dada < Tope ) se conclue que la placa se encuentra sumergida parcialmente. En el ejemplo que se ha presentado anteriormente se conocía, como parte del problema las ecuaciones de las curvas que delimitaban la placa. A continuación se resolverá un caso en el cual se da sólo la forma de la placa antes de calcular la

5 5 fuerza que ejerce un líquido sobre ella se deberá determinar el modelo matemático que define a la placa en el plano. EJEMPLO Considere la región R mostrada en la figura adjunta: Parábola Una placa tiene la forma dimensiones de la región R se encuentra sumergida en un líquido de peso específico γ kgf de tal manera que el nivel de éste se encuentra m a unidades por encima del punto más alto de la placa. Calcular la fuerza que ejerce el líquido sobre dicha placa. (Considerar medidas en metros)

6 6 SOLUCIÓN: Ha que ubicar la región en un sistema de referencia que permita desarrollar las ecuaciones de las curvas que acotan la región, para así, determinar la epresión matemática o el modelo matemático que la define. Los ejes coordenados se disponen de tal manera que, el vértice de la parábola coincida con el origen del sistema de coordenadas, el eje coincida con el eje focal de la misma. Como se muestra en la figura. (, ) (,) (, ) igura ( h k) V, es: La ecuación de una parábola con eje focal horizontal vértice de coordenadas ( k) = p( h)

7 7 Como su vértice se encuentra en el origen V (,), la ecuación puede escribirse en su forma canónica: = p Sustituendo las coordenadas de un punto que pertenezca a la parábola, (, ) o (, ) =, se calcula el parámetro p la ecuación de la parábola queda: La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados de coordenadas P ( ) ( ), P viene dada por:, = La ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) (,) es: = ( ), al despejar la variable, se obtiene: = + La ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) (,) es: = ( ), al despejar la variable, se obtiene: = + Por lo tanto, la región R en el plano estará definida por: R = (, ) /, ( ), ( )

8 8 Al ubicar el nivel del liquido en el sistema de coordenadas, el mismo coincide con la recta = ; el punto más alto de la placa ocurre para = como > la placa se encuentra totalmente sumergida en líquido. Al calcular la fuerza, se divide la región R en dos subregiones: R R, donde: R es la región acotada por las curvas R se encuentra limitada por =, = + el eje. =, = + el eje. Por lo que se usan dos elementos de áreas (Ver figura ). = Nivel del Líquido = R (, ) = + (,) - R (, ) = + igura

9 9 Sí el elemento de área ubicada en cada región se encuentra a una posición, la profundidad a la cual se encuentra sumergido será h( ) =. La fuerza que ejerce el líquido sobre la región R es la suma de las fuerzas que ejerce el mismo sobre las regiones más pequeñas: En donde: = + = γ ( ) + ( ) d = γ ( ) + ( ) d Al resolver cada integral se obtienen los siguientes resultados en términos del peso específico del líquido: =,57 γ =, γ La fuerza total que ejerce el agua sobre la placa será: =,8γ kgf A continuación, se presenta un problema con un grado de dificultad maor. Además de requerir determinar la región en el plano que representa la placa, será necesario calcular el nivel al cual se encuentra sumergida la placa, sí solo un porcentaje de ella está bajo la acción del líquido.

10 EJEMPLO Los vértices de una placa triangular coinciden con los puntos (, ), (,) (,). Dicha placa está sumergida parcialmente en agua de modo que sólo el 8% de su superficie está en contacto con el líquido. Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la placa. (Considerar las medidas de longitud en metros). SOLUCIÓN: La forma de la placa se muestra en la figura 5: (,) Recta Recta (,) - Recta (-, -) - igura 5 Es necesario calcular las ecuaciones de las rectas que acotan la región, para poder así determinar el modelo matemático que la define:

11 Recta. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (,) (,) es: + 9 = ( ) =, al despejar la variable, se tiene: = + Recta. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (-,-) (,) es: 6 = 7, al despejar la variable, se tiene: = + 7 Recta. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (-,-) (,) es: = +, al despejar la variable, se tiene: = Por lo tanto, la región R en el plano estará definida por: 6 = ( ) R, /,, 7 (,) = + R + 9 = (,) - (-, -) R 6 = 7 - igura 6

12 Se calcula el área total (A) de la región, para luego poder calcular el porcentaje del área de la placa que se encuentra en contacto con el líquido. Para ello se divide en dos regiones separadas R R, en la figura 6, se observa entonces que se usan dos elementos de áreas horizontales. Observe, que: R es la región que se encuentra acotada por la gráfica de las rectas escrita en términos de la variable : = + 7 términos de la variable : = = +. R es la región que tiene como cota derecha a la recta 6 =. Sí se escriben en = como cota izquierda a la recta = +. Sí ambas ecuaciones se escriben en términos de la variable, la cota derecha e izquierda de la región respectivamente son: = + =. Para calcular el área de una región usando elementos de áreas horizontales, se usa la siguiente integral definida A [ s ) h( ) ] = d c ancho del elemento de área [ ( ) h( ) ] w el largo. ( d, en donde d representa el Sí A es el área de R A es el área de R, se obtiene: 7 5 = + + d = + 5 A d =5

13 5 A = + + d = + 5 d 5 = El área total de la región es: A = A + A 5 A = 5 + = Como las dimensiones de la placa se consideran en metros, se tiene entonces que el área de la misma es: 5 A = 5 m Sólo el 8% de la superficie se encuentra en contacto con el agua. El área de la superficie en contacto es: 5,8 A =,8 m = m. Como 8 % A > A, la superficie libre del líquido estará localizada en la región R. Para calcular la altura de la superficie libre del agua ( h ), se plantean las integrales que permiten calcular sólo el 8% del área de la región, la cual consta de toda el A una porción del A. Esta porción del A comienza en =, donde comienza la región R, termina en = h, en donde h es el nivel que se busca: h A = A d = d 5 = h 5h h + = h Observe en la figura 6 que el valor de h a obtener debe cumplir con la

14 restricción < h <. Debido a que son los valores de en los cuales está definida la región R. Al resolver la ecuación 5h h + = se obtienen dos soluciones: h =,7 h =, 7. La primera solución no cumple con la restricción, por lo que se descarta su valor. El nivel del líquido por lo tanto es: h =, 7. Como el nivel del líquido es menor que el punto más alto de la placa, el cual tiene como ordenada a =, la placa se encuentra sumergida parcialmente en el líquido. Sí el elemento diferencial de área ubicada en cada región se encuentra a una posición, la profundidad a la cual se encuentra sumergido será Para calcular la fuerza que ejerce el agua (peso específico kgf m h( ) =, 7. ) sobre la superficie que se encuentra en contacto con ella se plantean las siguientes integrales: 5 d = (,7 ) + 5,7 = 5 5 (,7 ) + d Al resolver cada integral se obtiene: = 968, = 6,5 La fuerza total que ejerce el agua sobre la placa es: = + = 6,58 kgf

15 5 En el ejemplo, fue necesario determinar si la placa se encontraba completa o parcialmente sumergida en un líquido, teniendo como dato la fuerza que el líquido ejerce sobre la placa. En el siguiente ejemplo, se tiene como dato la fuerza que ejerce un líquido sobre las caras verticales de un depósito, como incógnita el nivel del líquido en el depósito. Para conocer el nivel que alcanza el líquido en el depósito, se deberá realizar un razonamiento análogo al utilizado en el ejemplo. EJEMPLO Sea R la región cerrada, delimitada por: R (, ) { / ; ; } =. Un depósito tipo canal de 6 metros de largo, cuas secciones transversales verticales tienen la forma de la región R, se encuentra lleno de agua, determinar el nivel del agua en el depósito; sabiendo que el agua ejerce una fuerza de kgf sobre cada pared vertical del depósito. SOLUCIÓN: La región solución los puntos de intersección se muestran en la figura 7: (,) = (,).5 = = igura 7

16 6 Sí el depósito estuviese lleno completamente del líquido, el nivel que alcanza el mismo en el depósito coincidiría con la ubicación del punto más alto del depósito. Para comprobar que el depósito no está lleno, se supone que el nivel del agua coincide con la recta =. El elemento de área ubicado en la región se encuentra a una posición, la profundidad a la que está sumergido es h( ) = La integral que permite calcular la fuerza que ejerce el líquido sobre la placa es: = ( ) ( ) d Al resolver la integral se obtiene: Por lo tanto, la fuerza es: = = 8 8 kgf El valor de esta fuerza calculada es maor que la fuerza que el líquido ejerce sobre la pared, por lo tanto, el nivel del líquido se encuentra entre, el depósito no se encuentra completamente lleno de líquido. La ecuación que corresponde a la fuerza que ejerce el líquido que se encuentra ubicado a una altura H sobre la pared es: ( H ) = H d Sí se iguala al valor de la fuerza dada, se obtiene: H =. ( H ) d

17 7 Al resolver se obtiene: H, = H Al evaluar: H H H, =, = Al despejar el valor de H: H =, Como las unidades de longitud están en metros, el valor de H buscado es: H =, metros.