Breve curso de computación cuántica dado en la Universidad de Valladolid Resumen de la primera charla

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1 TU Kaiserslautern Klaus Wirthmüller 4 Mayo 2009 Breve curso de computación cuántica dado en la Universidad de Valladolid Resumen de la primera charla 1 Nociones de la computación cuántica Los objetos de la computación clásica son los bits, es decir elementos del conjunto {0, 1} el que conviene identificar con el cuerpo de estos dos elementos, F. Los objetos de la computación cuántica son los llamados qubits, sistemas cuánticos que permiten estados x C 2 (siempre con x = 1) tales como los estados de espín de una particula de espín 1 2. Aquí C2 se entiende como un espacio unitario (de Hilbert), y en notación física la base estandar de C 2 representa este como la suma ortogonal C 2 = C 0 C 1. Mas generalmente se consideran sistemas compuestos de mas de un bit respectivamente qubit. La riqueza de los sistemas cuánticos en comparación con los clásicos se debe al hecho que juntando dos sistemas clásicos los espacios correspondientes se juntan por la suma directa, mientras que en el caso cuántico, por el producto tensorial en particular el espacio de un bloque de l bits clásicos es F l, y el de un sistema de l qubits, (F 2 ) l = F 2 F 2, tiene dimension 2 l. El natural grupo de simetría del espacio C 2 C 2 es el producto cartesiano U(2) U(2), cada factor U(2) actuando sobre el factor tensorial C 2 correspondiente. Se habla de equivalencia local unitaria (LU). Ejemplo De los estados de Bell x x x x cada uno tiene la propiedad siguiente: por un lado, una medición de solo uno de los dos qubits tiene un resultado completamente aleatorio; por el otro, los dos resultados de una medición idéntica de los dos qubits siempre dan resultados opuestos. Este fenómeno llamado entrelazamiento implica una clase de efecto instantaneo a larga distancia. Estados en C 2 C 2 se clasifican por el Teorema de Schmidt sea diagonal positiva: λ j [0, ). Para cualquier matríz x Mat(l l, C) existen matrizes u, v U(l) de modo que λ 1 u x v =: d =... λ l Corolario Con respecto a equivalencia LU los estados x C 2 C 2 admiten la forma normal única x = λ 00 + µ 11 con λ µ 0 tal que λ 2 + µ 2 = 1. Un estado x C 2 l se llama decomposable si es un producto tensorial x = x 1 x n. En el caso que l = 2 estos estados son los ceros de la forma cuadrática δ: C 2 C 2 C definida por δ(x) = δ x jk jk = 2 (x 00 x 11 x 01 x 10 ). jk

2 Esta forma también da una medida numérica de entrelazamieno E(x) := δ(x). Tenemos E(x) = 0 si y solo si x es decomposable, y el valor E(x) = 2λµ para x en forma normal muestra que el valor máximo del entrelazamiento es 1. Los estados de Bell son ejemplos de estados maximalmente entrelazados. Del punto de vista de geometría algebraica los estados decomposables son los puntos de la cónica := {δ = 0} P (C 2 C 2 ), y E(x) es la distancia entre (la clase de) x y en el espacio proyectivo de tres dimensiones. 2 Operaciones cuánticas En principio son los operadores unitarios u: X Y entre dos sistemas (espacios de estados), aquí llamadas puertas por su analogía con las de computación clásica. En particular las cuáticas siempre son invertibles. Ejemplos Entre los operadores de un qubit destacan los operadores de Pauli (notación convencional) X = 1, Z = 1 1 y Y = 1 i i. Por intercambiar los dos estados básicos X corresponde a la puerta clásica NOT (o el bit flip), mientras que las puertas cuánticas Z (phase flip) y Y = ixz solo tienen sentido en el ambiente cuántico. Otra puerta útil de un solo qubit es la de Hadamard H = Sin embargo las puertas clásicas las más importantes como AND, OR y XOR dependen de dos bits y claramente no son invertibles. Se realizan como puertas cuánticas a base de puertas controladas, operadores C 2 C 2 C 2 C 2 actuando según 0k 0k 1k 1, u(k) con una puerta u de un qubit: la acción de u sobre el segundo qubit se controla por el primero. Ejemplo Tomando u = X tenemos la puerta C-NOT Se ve que los valores del segundo qubit realizan exactamente la puerta clásica XOR. Es fácil verificar que de esta manera cada circuito de computación clásica puede ser realizado por puertas cuánticas. Por el otro lado, como vimos antes, hay muchos circuitos cuánticos que no corresponden a ningún circuito clásico. 3 Estados mixtos En práctica la noción de operación cuántica como operador unitario es insuficiente debido a las inevitables interacciónes de cualquier sistema cuántico X con el entorno E. Así realmente trataríamos con un operador unitario no de X pero más bien f: E X E X. Se puede suponer que al inicio el entorno está en un

3 estado definido e E. Por el otro lado la imposibilidad de eliminar botar E de los valores de f sugiere una noción mas amplia de estado y, por consiguiente, de operación cuántica: Definición (1) Sea X un sistema cuántico. Cualquier vector x E X con un espacio unitario E tal que x = 1 representa un estado mixto [x] en X. Un vector y F X representa el mismo estado si existen un espacio unitario D, un vector w D X y isometrías E u D v F de modo que (u id) w = x y (v id) w = y. El caso mas importante de esta relación de equivalencia ocurre cuando las isometrías u y v son unitarias (es decir, isometrías sobreyectivas); por supuesto en este caso se puede escoger w =x y u=id E. (2) Cualquier isometría e: X E Y representa una operación cuántica [e] de X a Y. Para que f: X F Y represente la misma operación es necesario y suficiente que exista una isometría d: X D Y de modo que el diagrama E Y e d X D Y u id f v id F Y sea conmutativo. Los estados en el sentido anterior ahora se llaman estados puros, en la parte (1) de la definición corresponden al caso donde se puede escoger E = C. La acción de la operación cuántica [e] sobre el estado mixto representado por x D X se define de tal manera que [e][x] es la clase de equivalencia de (id D e) x D E Y. El espacio E de un representante e E X de un estado mixto se entiende como un espacio de parámetros. En vez del tensor e es mas sugestivo, y a veces conviene considerar el dual (parcial) eˇ: Eˇ X, escribiendo Eˇ = Hom(E, C) para el espacio dual. Así el estado mixto se presenta como una familia lineal de estados puros en X parametrizada por E. Ejemplo La clasificación proyectiva de los estados mixtos en X = C 2 C 2 se reduce a la de sistemas lineales en el espacio proyectivo P (C 2 C 2 ) = CP 3. El caso de dim E = 1 siendo el de los estados puros, el siguiente lleva a la clasificación de las posiciones de una recta E en CP 3 con respecto a la cónica : las tres posibilidades (E, E una tangente de y E no tangente) corresponden a (muy) distintos clases de estados mixtos. Los casos con dim E > 2 se reducen a los anteriores por dualidad. Pasar a la clasificación por equivalencia LU (la correcta) resultaría en una clasificación mucho mas fina, como en el caso puro (que es una consecuencia del teorema de Schmidt). En física generalmente se usa un concepto distinto, pero equivalente de los estados mixtos, a base de operadores (o matrizes) de densidad. Estos son los operadores hermitianos positivos (no necesariamente definidos) con traza 1. Definición El vector x E X represente un estado mixto. Escribemos xˇ: Eˇ X

4 el dual (parcial) de x. Entonces la composición la estrella indicando la adjunta es la matriz de densidad ρ [x] del estado [x]. X (xˇ) Eˇ xˇ X Se puede verificar que la correspondencia [x] ρ [x] es una biyección entre estados mixtos en X y operadores de densidad en X. Un representante del estado que corresponde a una dada matriz de densidad ρ comúnmente se llama una purificación de ρ. 4 Teorema de Wootters La extensión de la medida E de entrelazamiento de un estado de dos qubits a estados mixtos no es trivial. Definición Sea X = C 2 C 2, y [x] un estado mixto en X. El entrelazamiento de [x] se define como dim E E[x] = min E ( (xˇ(b j ) ) j=1 con xˇ: Eˇ X el dual de x; el mínimo se forma con respecto a todos los representantes x de [x] y todas las bases ortonormales (b 1,..., b dim E ) de Eˇ. Debido al doble (incluso triple si se incluye la necesidad de variar dim E) proceso de minimización esta es una definición no inmediatamente accesible. Estados [x] con el valor E[x] = 0 se llaman estados separables. Al menos para un estado puro esta última propiedad se reduce a la decomposabilidad, y el entrelazamiento tiene el significado anterior. El teorema de Wootters permitirá un cálculo fácil de E[x]. Para formular y entenderlo se necesita la clasificación de las formas cuadráticas sobre un espacio unitario, un resultado de álgebra lineal elemental pero poco conocido. Teorema Sea q: V C una forma cuadrática sobre un espacio unitario de dimensión l. Entonces existe una base ortonormal de V que diagonaliza q : q(x) = l λ j x 2 j con números reales λ j no negativos. Estos últimos son invariantes de q salvo permutaciones. j=1 Ejercicios (serán corregidos el 11 los trabajos entregados antes de las 15 horas) 1 Representar la puerta C-NOT por una composición de (cualquier número de) puertas H (Hadamard) y C-Z (Pauli Z controlada). 2 Sea x := C 2 (C 2 C 2 ) = E X. Verificar que x representa un estado mixto en X. Calcular el valor de [x] al aplicar C-NOT. Hallar la matriz de densidad de [x].

5 A cual de las tres clases pertenece [x] en la clasificación proyectiva de estados mixtos? Es [x] un estado separable? 3 Demostrar el teorema de la clasificación de formas cuadráticas: Sea s Sym(l, C) una matriz simétrica. Entonces s s es una matriz hermitiana y positiva. Con respecto a automorfismos unitarios de C l la matriz s s se transforma como la matriz de una forma hermitiana (o calcular, o dar una interpretación invariante de s s). Así puede suponerse que s s es diagonal, con elementos diagonales λ 2 1,..., λ 2 l. Ahora s no solo es simétrica pero también normal. Matrices s a la vez simétricas y normales admiten una base ortonormal de vectores propios reales (conviene estudiar primero el caso del (posible) valor propio 0 si x C l pertenece al núcleo entonces lo mismo vale para x). Juntando estos hechos sigue el teorema.