GEOMETRÍA PLANA: EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Y REPASO:

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1 GEOMETRÍA PLANA: EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN Y REPASO: Ejemplo 1.- Sea " = 85º ; $ = 53º 43' 54" y (= 13º 52' 38". Calcular: a) "- $ b) $ + ( c) $ - ( d) 5( Solución: a) "- $ = 85º - 53º 43' 54" para poder efectuar la operación hemos de expresar "= 85º en la siguiente forma: 85º = 84º 60' = 84º 59' 60" utilizando los resultados de la tabla de equivalencias. De donde: "- $ = 85º - 53º 43' 54"= 84º 59' 60" - 53º 43' 54"que podemos disponer: 84º 59' 60" 53º 43' 54" 31º 16' 6" por lo tanto "- $ = 85º - 53º 43' 54"= 31º 16' 6" b) $ + (= 53º 43' 54" + 13º 52' 38. que podemos disponer de la siguiente forma: 53º 43' 54" 13º 52' 38" 66º 95' 92" Como 92" = 60" + 32" = 1' + 32", entonces: 66º 95' 92"= 66º 96' 32" Como 96' = 60' + 36' = 1º + 36', entonces: 66º 95' 92"= 66º 96' 32"= 67º 36' 32" Por lo tanto: $ + (= 53º 43' 54" + 13º 52' 38 = 67º 36' 32" c) $ - (= 53º 43' 54" - 13º 52' 38", como en los minutos el minuendo es menor que el sustraendo, pasamos 1º a minutos: $ - (= 53º 43' 54" - 13º 52' 38"= 52º 103' 54" - 13º 52' 38" y disponemos la operación: 52º 103' 54" 13º 52' 38" 39º 51' 16" Por lo tanto: $ - (= 52º 103' 54" - 13º 52' 38" = 39º 51' 16" d) 5(= 5(13º 52' 38"). Disponemos la operación de la siguiente forma: 13º 52' 38" x 5 65º 260' 190" Como 190" = 3x60" + 10" = 3' + 10", entonces: 65º 260' 190" = 65º 263' 10" Como 263' = 4x60' + 23' = 4º + 23', entonces: 65º 260' 190" = 69º 23' 10". Por lo tanto: 5(= 5(13º 52' 38") = 69º 23' 10". Página -1-

2 1.- Determina las medidas de los ángulos desconocidos en los siguientes casos. 2.- Determina el valor de un ángulo que es la quinta parte de su suplementario. 3.- Hallar el valor de un ángulo que supera en 20º 17' 20" a su suplementario. 4.- Determinar un ángulo que mide 17º 10' 30" menos que su complementario..- Hallar el valor de un ángulo que mide el triple de su complementario. correspondientes las siguientes parejas: b y d; m y q; m y p..- Demostrar que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se verifica que: a) Los ángulos alternos externos son iguales. b) Los ángulos correspondientes son iguales..- Demostrar la siguiente consecuencia de la proposición anterior: Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal los cuatro ángulos agudos que se forman son iguales y también son iguales los cuatro ángulos obtusos..- Demostrar, a partir de las proposiciones anteriores y a la vista de la figura que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Figura 2 Figura 3.- El la figura se han descompuesto en triángulos un cuadrilátero, un pentágono y un hexágono Completa la siguiente tabla y prueba que la suma S de los ángulos interiores de un polígono de n lados viene dada por: S = 180º ( n 2) Página -2-

3 Polígono nº de lados nº de triángulos Suma de los ángulos cuadrilátero pentágono hexágono decágono polígono de 100 lados polígono de n lados.- Cuánto mide un ángulo interior de un dodecágono regular?.- Qué polígono regular tiene como ángulo interior un ángulo de 140º? y cuál uno de 162º?..- En un triángulo ABC, se tiene que <A = 120º 30' y <B = 20º 10'. Hallar el valor de <C..- El ángulo desigual en un triángulo isósceles mide 30º 35' 46". Hallar el valor de los ángulos de la base..- Hallar la medida de los ángulos numerados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Figura 4.- Calcular la medida de los ángulos numerados 1, 2 y 3 en la siguiente figura Figura 5 Página -3-

4 .- Dos rectas paralelas, cortadas por una transversal, forman un ángulo de 32º. Hallad el valor de los otros siete ángulos..- Un ángulo interior de un polígono regular de n lados mide: º/n º º/n Página Las medidas de los ángulos A y C son respectivamente: 1.- A = 145º y C = 35º 2.- A = 25º y C = 155º 3.- A = C = 25º 4.- A = 155º y C = 25º.- Halla los valores de los ángulos desconocidos del paralelogramo que aparece en la figura..- Determina el valor de " en cada uno de los siguientes casos: a) b)

5 c) d).- Calcular los ángulos desconocidos: a) b).- En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos es el doble que el otro. Halla dichos ángulos..- Calcula la medida de los ángulos de un triángulo, sabiendo que el mayor y el mediano se diferencian en 48º y el mediano y el menor se diferencian en 12º. Existen varios procedimientos para determinar la bisectriz de un ángulo:.- Probar, siguiendo un procedimiento similar al utilizado para las bisectrices, que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto..- El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 20º. Hallar el valor del ángulo obtuso formado por las bisectrices de los ángulos de la base..- El circuncentro es el punto del triángulo en que se cortan las tres: 1.- alturas 2.- medianas 3.- bisectrices 4.- mediatrices.- Hallad el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos complementarios (consecutivos), siendo la medida de uno de ellos 20º 30' 10". Página -5-

6 .- Hallad el valor del ángulo formado por la bisectriz de un ángulo de 42º y la bisectriz del suplementario adyacente a él..- En un triángulo equilátero, una de las medianas mide 15 cm. Halla: a) La distancia del baricentro a cada vértice. b) El lado del triángulo..- Sabiendo que los lados del triángulo equilátero de la figura miden 6 cm. Se pide: a) Hallar el área de dicho triángulo. b) Hallar, apoyándose en las propiedades de las medianas, la medida de los segmentos AO y OP. c) Determinar el diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir en un agujero en forma de triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm..- Si G es el baricentro del triángulo, halla las medidas de los segmentos x, y, z..- En triángulo equilátero, el baricentro se halla a una distancia de 5 cm de uno de los lados. Se pide: a) Determinar la medida de la altura. b) El radio de la circunferencia inscrita en el triángulo equilátero. c) El radio de la circunferencia que circunscribe al triángulo equilátero. d) La medida del lado del triángulo..- Si te encuentras en una sala triangular, indica cómo se llama el punto en el que te tendrás que colocar para estar: a) A igual distancia de las tres paredes. b) A igual distancia de las tres esquinas..- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivamente. Determina el ángulo que forman sus bisectrices..- Realizar las construcciones que se indican en cada caso: 1.- Construir un triángulo dados dos lados a y b y el ángulo C comprendido entre ellos. (LAL) 2.- Construir un triángulo dados los tres lados a, b y c. 3.- Construir un triángulo dados los ángulos A y B y el lado comprendido entre ellos c..- Con dos varillas de 12 cm y 5 cm respectivamente y una tercera de longitud x, se desea construir un triángulo uniéndolas por sus extremos. Determinar entre qué valores Página -6-

7 debe estar comprendida la longitud x para que dicha construcción sea posible..- Dos triángulos equiláteros, que tienen sus tres ángulos iguales, son necesariamente iguales?. Razona la respuesta..- Dos triángulos rectángulos tienen igual uno de los ángulos agudos y uno de los catetos, son iguales?. Justifica la respuesta..- El ángulo desigual de dos triángulos isósceles T y T mide 25º. a) Determinar la medida de los otros dos ángulos en T y T. b) Son iguales T y T?. Justifica la respuesta..- T y T son triángulos obtusángulos. Sean a y b los lados del triángulo T que comprenden al ángulo obtuso y sean a y b los correspondientes lados de T. Si se cumple que a = a y b = b, podemos asegurar que T y T son iguales?. Justifica la respuesta..- Sean y, 65º, 7 las medidas de dos lados y un ángulo de un triángulo T y sean 6, ", x los elementos correspondientes del triángulo T. Determina las cantidades desconocidas para que ambos triángulos sean iguales..- Construye un triángulo de lados 6 y 8 cm. y con un ángulo de 30º. Puedes construir más de uno?.- Construye un triángulo de un lado de 6 y con dos ángulos de 60º y 80º. Puedes construir más de uno?.- Pueden ser los lados de un triángulo la mitad de los de otro? Pueden ser los ángulos de un triángulo la mitad de los de otro? Justifica las respuestas..- En una fotocopiadora se hace una copia ampliada de un transportador y de una regla graduados y se recortan ambas figuras de la copia. Podemos utilizar la copia del transportador para medir ángulos?. Qué ocurre si se utiliza la copia de la regla para medir distancias?.- Si una fotocopia reduce un documento en un 80%. Cuál es la medida en la copia de un segmento que mide 3 cm en el original?. Si un ángulo mide 35º en el original, cuál será su medida en la copia?..- Una imagen de 8 x 8 se quiere insertar en un hueco de un documento de texto informático de 10 x 10. Qué porcentaje de ampliación ha de aplicarse a la imagen para que ajuste perfectamente al hueco disponible?.- La escala de un plano es 1:500. Cuál es la distancia real entre dos puntos que en el plano distan 7 cm?. Si se hace una copia que reduce en un 20% al plano original, cuál será la escala de la Página -7-

8 copia?.- Indica cuál de las siguientes afirmaciones, referidas a la Figura, es falsa: a.- Página -8- b.- c.- d.-.- En la figura, la recta BB es paralela a la recta CC. Se pide: Figura 16 a) Si los lados del triángulo ABB miden: BB = 3 cm, AB = 4 cm. y AB = 3'5 cm. Hallar las longitudes de los segmentos BC y B C sabiendo que la longitud de CC es de 7 cm. b) Sabiendo que los ángulos k e y miden respectivamente 55º y 70º. Hallar la medida de todos los elementos del triángulo ACC (lados y ángulos)..- Indicad en qué casos pueden no ser semejantes las figuras indicadas. a.- Dos triángulos rectángulos. b.- Dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo formado por los lados iguales. c.- Dos pentágonos cuyos lados correspondientes tienen la misma medida. d.- Dos polígonos regulares del mismo números de lados..- Se sabe que los triángulos T y T son semejantes y que sus perímetros son respectivamente 25 cm. y 50 cm. Si el área de T es 30 cm 2, el área de T es: cm cm cm No hay suficientes datos para calcularla..- En un triángulo ABC, la base AB mide 5,7 m. y la altura relativa a esa base mide 9,5

9 m. Cuánto mide la altura de otro triángulo semejante a ABC en el que la base A B = 4,14 m.?.- Se sabe que los triángulos T y T son semejantes. Hallar la medida de los restantes lados de T sabiendo que la razón de semejanza de T a T es 3/4, las medidas de los lados de T están entre si en la proporción 4, 7, 10 y su perímetro mide 63 m..- En un mapa de España de escala 1: se han medido los lados del triángulo que forman las ciudades de Santander, Bilbao y León obteniéndose las medidas que aparecen en la siguiente Figura. En otro mapa de España se ha medido la distancia de Santander a Bilbao y ha resultado ser 7'5 cm. a) Halla las distancias de León a Santander y a Bilbao respectivamente en este segundo mapa. b) Halla las distancias reales entre esas tres ciudades. c) Cuál de las siguientes puede ser la escala de este segundo mapa: 1: o 1: ?. Justifica tu respuesta. Figura 17 d) Halla la medida de los lados del triángulo formado por esas tres ciudades en dos mapas cuyas escalas son: 1: y 1: e) Se han medido los ángulos l y b del triángulo de la Figura 1 resultando los siguientes valores: l = 17º y b = 37º. Calcula el valor del ángulo s. f) Halla el valor de los ángulos interiores de los triángulos que resultan al unir esas tres ciudades en los dos mapas de la cuestión anterior..- Se sabe que los triángulos T y T son semejantes. Hallar la medida de los restantes lados de T sabiendo que: a) su base mide 3 cm y que T es isósceles midiendo su base 15 cm. y uno de sus lados 9 cm. b) T y T son isósceles, dos lados correspondientes de T y T miden 7 y 11cm. respectivamente y la base de T mide 13 cm. Página -9-

10 c) T y T son isósceles, las bases de T y T son 21 y 32 cm respectivamente y la altura de T correspondiente a la base mide 18 cm. d) la razón de semejanza entre T y T es 2/5 y los lados de T miden: 5, 7 y 11 cm respectivamente. e) Los lados de T miden a = 3, b = 5 y c = 7 cm y el lado a de T correspondiente al lado a de T mide 5 cm. f) La razón de semejanza de T a T es 2/3. T es un triángulo rectángulo, su hipotenusa mide 10 cm y uno de sus catetos es 2/3 del otro. g) La razón de semejanza de T a T es 3/4, las medidas de los lados de T están entre si en la proporción 4, 7, 10 y su perímetro mide 63 m..- Indicad en qué casos son semejantes las figuras indicadas en los apartados que siguen. Justificad las respuestas. a) Dos triángulos rectángulos que tienen uno de los ángulos agudos igual. b) Dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo formado por los lados iguales. c) Dos triángulos equiláteros. d) Dos pentágonos cuyos lados correspondientes tienen la misma medida. e) Dos circunferencias cualesquiera. f) Dos polígonos regulares del mismo números de lados..- Dadas las figuras F y F que se indican en cada caso, determinar el área de F sabiendo que: a) F y F son dos triángulos semejantes tales que dos de sus lados homólogos miden respectivamente 15 y 25 cm y el área de F es de 150 cm 2. b) F y F son dos rombos semejantes cuyos lados correspondientes miden respectivamente 15 y 25 cm. El área de F es 100 cm 2. c) F y F son dos paralelogramos semejantes cuya razón de semejanza es 4/5 y el área de F es de 120 cm 2. d) F y F son dos polígonos semejantes tales que dos lados homólogos miden respectivamente 12 y 23 cm y el área del primero es de 342 cm 2. e) F y F son dos triángulos semejantes y la razón entre sus áreas es 4/9. F es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 15 cm y uno de sus catetos 12 cm. Página -10-

11 .- El área de un triángulo es de 100 cm 2. Se trazan paralelas a la base que dividen un lado en cuatro partes iguales. Hallar las áreas de las cuatro partes en que ha quedado dividido el triángulo..- En el triángulo de la figura tenemos que los segmentos PS = 10 cm., QS = 12 cm. y TS = 4 cm. Calcular la longitud del segmento RS. otros dos lados..- Un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm. es semejante a otro cuyo lado menor mide 6 cm. Determina la longitud de los.- Los tres lados de un triángulo miden 12, 15 y 18 cm. y los de otro miden 8, 10 y 11,5 cm. Determina si son semejantes..- Dibuja dos triángulos cuya razón de semejanza sea 2..- En el momento en que un palo de 0,9 m. de longitud clavado en el suelo proyecta una sombra de 23 cm., la sombra de la torre de una iglesia es de 13,2 m. Cuál es la altura de la torre?.- Observa esta figura en la que el segmento AB es paralelo al segmento CD. a) Dí por qué son semejantes los triángulos OAB y OCD. b) Calcula cuánto miden los segmentos x e y..- La base BC de un triángulo ABC mide 16 cm. Hallar la longitud del segmento DE paralelo a la base trazado por un punto D del lado AB de manera que el área del triángulo ADE sea 1/25 del área de ABC..- En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos miden 8 y 6 cm. se inscribe un Página -11-

12 cuadrado que tiene dos de sus lados sobre los catetos BA y BC, y el vértice D, común a los otros dos lados, sobre la hipotenusa. Hallad el lado del cuadrado..- Inscribid rectángulos en un rombo cuyas diagonales miden 12 y 8 cm. Y estudiar las variaciones del área de dichos rectángulos para cada una de las siguientes medidas de uno de los lados del rectángulo a) 10 cm. b) 8 cm. c) 6 cm. d) 4 cm. e) 2 cm..- La altura, anchura y el fondo de una estantería son, respectivamente: 1'62 m., 1'34 m. y 30 cm. Haciendo un dibujo a escala 1:15, cuáles serían las medidas correspondientes en el dibujo?..- Consultando un mapa, hallar el área aproximada de la península Ibérica y comparar el resultado hallado con el valor real que aporta el texto de Geografía..- Siendo ABC un triángulo rectángulo, trata de demostrar los siguientes teoremas basándote en relaciones de semejanza entre triángulos: a) Todo cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella Esto se puede escribir como: Figura 20 en que divide a esta. b) La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos O lo que es lo mismo: Página -12-

13 .- Aplicar los teoremas anteriores para resolver las siguientes cuestiones: a) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 m. y su proyección sobre la hipotenusa 2 m. Hallar los otros dos lados y la altura. b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m. Y la proyección de un cateto sobre ella es de 3 m. Hallar los catetos. c) La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 8 m. Y la proyección de uno de los catetos es de 4 m. Hallar los lados del triángulo. d) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo son de 5 y 7 cm. Hallar la altura y los catetos. e) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Y la altura correspondiente a la hipotenusa 3 cm. Hallar los otros lados y el área del triángulo..- Calcular la diagonal de un cuadrado de 2 cm de lado..- Calcular la altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles cuyos lados miden 12, 12 y 8 cm respectivamente..- En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos de 24 y 144 cm. Determinar los catetos..- En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos miden 8 y 6 cm. se inscribe un cuadrado que tiene dos de sus lados sobre los catetos BA y BC, y el vértice D, común a los otros dos lados, sobre la hipotenusa. Hallad el lado del cuadrado..- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 37,86 m. Calcula los dos catetos sabiendo que uno de ellos tiene doble longitud que el otro..- Si la diagonal de un rectángulo mide 10 cm y el lado mayor 8 cm, cuánto mide el otro lado?.- Calcula la altura sobre el lado distinto del triángulo isósceles de lados 5 cm, 5 cm, y 6 cm..- Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm, tres números enteros consecutivos. Halla la medida de dichos lados y el área del triángulo..- Un albañil apoya una escalera de 5 metros contra un muro vertical. El pie de la escalera está a dos metros del muro. Calcula a qué altura está apoyada la escalera..- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm y sabemos que la longitud de uno de los catetos es 3/4 de la del otro. Calcula la medida de los lados de un triángulo semejante a este, si la razón de semejanza es de 2/3. Página -13-

14 .- Un barco parte del puerto de Santander y navega 20 km. en dirección Norte y luego 35 km. en dirección Este. A qué distancia se encuentra el barco de Santander?.- Determina los lados de un rectángulo sabiendo que la diagonal mide 102 cm y que los lados son proporcionales a 8 y Un triángulo equilátero tiene un perímetro de 90 cm. Cuánto mide la altura?.- El perímetro de rectángulo mide 28 cm y la base mide 8 cm. Determinar la medida de su diagonal..- En la figura A * * * * * * * * B C se sabe que AB mide 2¹5. Hallar AC..- Pon nombre a los elementos del polígono regular que se representado en la figura..- Probar que si designamos por l al lado del polígono regular existe la siguiente relación entre las medidas l = a del lado, radio y apotema:..- Determinar el valor del ángulo central de un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular y decágono regular. Figura 21.- Determinar qué polígono regular tiene un ángulo central de 30º..- Probar que el ángulo central de un polígono regular de n lados mide. n.- Dibujar, cuando sea posible, hexágonos que tengan las características que se indican: a) regular y convexo. b) regular y cóncavo. c) irregular y cóncavo. d) irregular y convexo. r 2 360º.- Completar la siguiente tabla para polígonos convexos: nº de lados nº de diagonales desde un vértice nº total de diagonales Página -14-

15 cuadrado pentágono hexágono decágono p. de n lados.- Probar que en un polígono regular de más de 6 lados el ángulo interior está comprendido entre 120º y 180º..- Completa la siguiente tabla de clasificación de cuadriláteros escribiendo los nombres correspondientes a las celdas en blanco. Pares de lados paralelos Pares de lados iguales Prueba las siguientes propiedades referidas al paralelogramo de la figura: Propiedades: 1) Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales 2) Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. paralelogramo son suplementarios. 3) Los ángulos consecutivos de un 4) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. 5) Un cuadrilátero que tiene pares de lados opuestos iguales es un paralelogramo..- Completa las celdas en blanco y dibuja un ejemplo de cada uno de los cuadriláteros que se corresponden con ellas: Según los lados Página -15-

16 Equiláteros No Equiláteros Según los ángulos Equiángulos No equiángulos.- Demostrar las propiedades siguientes: 1) Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si. 2) Las diagonales de un rectángulo son iguales entre si. 3) Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares entre si..- Si la medida de un ángulo de un paralelogramo es 65º, hallar las medidas de los otros tres ángulos..- En una circunferencia se ha inscrito un hexágono regular y un triángulo equilátero. Utilizando el rombo PQRS, comprueba que: a) La apotema del triángulo equilátero es la mitad del radio de la circunferencia. b) El radio de la circunferencia es igual al ldo del hexágono. c) Si la circunferencia tiene 2 cm de radio, determina la apotema del hexágono y el lado del triángulo equilátero..- Determina el área de los siguientes polígonos a partir de los datos indicados en cada caso: a) Rectángulo de base 15 cm y diagonal 17 cm. b) Hexágono de apotema 5 cm y radio 5,8 cm. c) d) Rombo de lado 6 cm y diagonal mayor 15 cm. e) Trapecio isósceles de bases 42 cm y 74 cm y lado igual 32 cm..- Calcula el área de las partes que se indican: Página -16-

17 a) b) c) d) AB = 8; AC = 10.- Calcular la altura y el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide 18 cm..- Determinar el área y la longitud de un lado de un rombo cuyas diagonales miden, respectivamente, 12 y 16 cm..- Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 cm y 14 cm, respectivamente, y su lado oblicuo 10 cm. Calcula el área y su altura..- Cuánto mide el lado de un hexágono regular que permite inscribir en su interior una circunferencia de 12 cm de radio?. Determina su perímetro y su área..- Dos figuras planas se llaman equivalentes si tienen la misma superficie. Calcula el lado de un cuadrado que sea equivalente a: a) Un rectángulo de base 9 cm y altura 4 cm. b) Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 6 cm..- Calcula el perímetro y el área de una fuente en forma de octógono regular de 1,6 m de lado que está inscrito en una circunferencia de 2 m de radio..- Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 2 cm..- Halla el área de un hexágono regular si la apotema mide 8dm. Cuánto mide el área del círculo inscrito en dicho hexágono? Página -17-

18 .- Calcula el lado y el área de un rombo cuyas diagonales miden 4 y 6 cm..- Miguel ha construido una cometa con los lados y las diagonales de madera. Calcula la superficie de tela y los cm de madera que ha necesitado para su construcción, si los catetos de dos triángulos rectángulos de la cometa miden 24 cm x 32 cm y 24 cm x 70 cm. respectivamente..- Construye un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 cm. a) Cuánto mide la hipotenusa? b) Traza un segmento de 1 cm de longitud perpendicular a la hipotenusa en uno de sus vértices. Con esta perpendicular y la hipotenusa, construye un nuevo triángulo rectángulo. Cuánto mide la nueva hipotenusa? c) Traza un segmento de 1 cm de longitud perpendicular a la hipotenusa del último triángulo en el vértice no común a los dos anteriores. Cuánto mide la hipotenusa? d) Repite este proceso hasta tener 10 triángulos. Describe la figura que se forma. e) Cuál es el perímetro del último triángulo? f) Calcula el área de la figura obtenida..- Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área. Figura 29.- Pon el nombre a cada uno de los elementos de la elementos de la circunferencia que aparece en la figura..- Probar que el diámetro perpendicular a una cuerda divide a esta en dos partes iguales..- Si d es la distancia del centro de la circunferencia a una cuerda, el radio de la circunferencia es r y c representa la longitud de la cuerda, probar que se cumple la siguiente relación:. Página -18- r 2 2 c 2 = + d 2.- Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes. Si designamos la distancia de P al centro de la circunferencia por d, a la distancia de P al punto de tangencia por t y por r al radio de la circunferencia, probar que cumple la siguiente relación: d = r + t Una circunferencia tiene un radio de 30 cm. Se traza una recta a una distancia de 15 cm de su centro, hallar la longitud de la curda que determina dicha recta en la circunferencia..- Los radios de dos circunferencias son de 10 cm y 6 cm respectivamente. La distancia entre sus centros es de 21 cm. Hallar: a) El segmento de tangente común externa.

19 b) El segmento de tangente común interna..- Calcula el área de cada uno de los seis segmentos circulares que resultan de inscribir un hexágono regular en un círculo de 4 cm de radio..- Una pista circular está limitada por dos bordes concéntricos cuyas longitudes respectivas son 1500 y 1200 metros. Se pide: a) Hallar la anchura de la pista. b) Hallar en cuanto aumenta el área de dicha pista si se aumentan en una unidad los radios de ambos bordes..- Para ir de A a B se puede ir por la semicircunferencia de diámetro AB y centro O o por las semicircunferencias de diámetros AC, CO, OD y DB respectivamente. Suponiendo que AB mide 8 m. a) Hallar cuál de los dos caminos es más corto. b) Si el número de semicircunferencias trazadas sobre el diámetro AB hubiese sido mayor que cuatro, cambiaría la respuesta dada a la cuestión anterior?. Justifica la respuesta..- Calcula el área de la región sombreada en la siguientes figuras: a) l = 5 cm b) r = 3 cm, R = 15 cm. c) a = 3, b = 4 d) lado del cuadrado 10 cm. e) l = 6 cm. f) Folium: l = 2 cm Página -19-

20 g) lúnula: l = 4 cm. h).- Una esfera que flota en el agua está hundida 8 cm. La circunferencia que determina la superficie del agua sobre la esfera tiene un diámetro de 12 cm. Hallar el radio de dicha esfera..- Una hoja circular de papel de 6 cm de radio, se divide en tres sectores iguales. Con cada uno de ellos se forma un cono sin solapar el papel. Cuál es la altura en cm. de cada uno de ellos?..- Si el radio del sol mide km. Se puede decir que su ecuador mide aproximadamente: a.- b.- c.- d.- 4'2 millones de kilómetros. 1'5 millones de kilómetros. 150 millones de kilómetros. 43 millones de kilómetros..- La fracción de área de un círculo que abarca un sector de 45º es: a.- 1/4 b.- 1/12 c.- 1/8 d.- 1/5.- Determinar la medida de cada uno de los seis arcos que un hexágono regular determina en la circunferencia circunscrita. Halla el valor de los ángulos: ", $ y (..- En un círculo el arco correspondiente a un ángulo central de 20º tiene 18 cm. de longitud. a) Halla el radio y área del círculo. b) Halla el área de un hexágono regular inscrito en dicho círculo. Página -20-

21 .- El ángulo inscrito en una circunferencia de radio unidad que abarca un arco de longitud B mide: º 2.- La mitad de 180º º. 4.- Faltan datos para calcularlo.- Hallar la medida de los ángulos que se indican en la figura. Si el radio de la circunferencia mide 2 cm. Halla el perímetro y el área del hexágono regular inscrito..- Determinar la medida angular de cada uno de los cinco arcos que un pentágono regular determina en la circunferencia circunscrita. radio..- Determinar el ángulo central que corresponde a un arco de 15 cm en una circunferencia de 6 cm de.- Las tangentes a una circunferencia de 12 cm de radio trazadas desde un punto exterior forman un ángulo de 60º. Hallar la longitud del menor de los arcos interceptados..- Determinar la medida de un ángulo inscrito en la circunferencia que abarca un arco de un cuadrante..- Determinar la medida de un ángulo inscrito en la circunferencia que abarca un arco de dos cuadrantes..- Calcular el valor del ángulo " en los siguientes casos: a) b) c).- En el cuadrilátero de la figura el ángulo " = 40º, Cuánto mide el ángulo (? Obtén una expresión general que el valor de ( en función del valor de ". Qué condición deben cumplir los ángulos opuestos de un cuadrilátero convexo para que se pueda inscribir en una Página -21-

22 circunferencia?..- Calcular los ángulos " y $ en las figuras siguientes: a) b).- Demuestra que si dos rectas se cortan perpendicularmente en un punto interior de una circunferencia, subtienden arcos suplementarios..- El arco de la Tierra que observa un astronauta desde el espacio es de 60º. Bajo qué ángulo está mirando a la Tierra?. Página -22-