Computadora MA2008. Análisis Numérico: Artimética de una. Computadora. Computación / Matemáticas. Intro. Idea. IEEE estándar. Errores.

Transcripción

1 Análisis MA2008

2 ducción El objetivo de esta lectura es tener idea aproximada de cómo se realiza la aritmética de punto flotante en computadora. Esta idea deberá poner sobre aviso de las potenciales dificultades de algunos cálculos numéricos con el fin de evitar hasta donde sea posible sorpresas numéricas. Es muy recomendable la lectura del artículo de David Goldberg (What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic) para abundar sobre el tema.

3 : Proceso involucrado en la aritmética Mundo Matemático x op y Datos y Programas Resultados Control Memoria ALU

4 : Proceso involucrado en la aritmética Mundo Matemático x op y Datos y Programas Resultados Control Memoria fl(x), fl(y) ALU

5 : Proceso involucrado en la aritmética Mundo Matemático x op y Datos y Programas Resultados Control Memoria fl(x), fl(y) ALU fl(x) op fl(y)

6 : Proceso involucrado en la aritmética Mundo Matemático x op y Datos y Programas Control Resultados Memoria fl(fl(x) op fl(y)) ALU fl(x) op fl(y)

7 : Proceso involucrado en la aritmética Mundo Matemático x op y fl(fl(x) op fl(y)) Datos y Programas Control Resultados Memoria fl(fl(x) op fl(y)) ALU fl(x) op fl(y)

8 La aritmética que realiza computadora es diferente de la aritmética de los cursos de matemáticas. Para cada computadora hay cifra positiva llamada el epsilon (ɛ) de la computadora que es la cantidad positiva más grande tal que 1 + ɛ = 1 Su existencia hace que la propiedad de asociatividad de la suma no se cumpla siempre. (1 + ɛ) + ɛ 1 + (ɛ + ɛ)

9 La aritmética del mundo matemático admite la existencia de números con cantidad infinita de dígitos. Por ejemplo, los fraccionarios con expansión decimal que se repite en bloques como 12 ó 13, ó los números irracionales que no tienen esta característica como 2 ó π ó e. En las computadoras, no importa cual, la representación de los números debe ser finita. Esta representación origina el error de redondeo. En 1985, la IEEE publica el informe Binary Floating Point Arithmetic Standar El proyecto Arianne 3 fracaso por un problema de interacción de módulos sin un estándar numérico.

10 Precisión sencilla Para PCs los números reales largos la representación normalizada se realiza mediante cadena de 32 bits. El primer bit s tiene el signo del número; los siguientes 8 bits codifican en binario un entero llamado la característica c la cual es exponente al cual habrá que restarle 127; los restantes 23 bits codifican fracción binaria llamada la mantisa f : Ejemplo Para la siguiente cadena: ( 1) s 2 c 127 (1 + f ) s s = 0 c = = = 131 ( ) f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El número representado es: ( 1) s 2 c 127 (1 + f ) =

11 Precisión doble Para PCs los números reales largos la representación normalizada se realiza mediante cadena de 64 bits. El primer bit s tiene el signo del número; los siguientes 11 bits codifican en binario un entero llamado la característica c la cual es exponente al cual habrá que restarle 1023; los restantes 52 bits codifican fracción binaria llamada la mantisa f : Ejemplo Para la siguiente cadena: ( 1) s 2 c 1023 (1 + f ) s s = 0 c = = = 1027 ( ) f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El número representado es: ( 1) s 2 c 1023 (1 + f ) =

12 (Continuación) El siguiente número a X que puede ser representado es: Ejemplo Mientras que el anterior a X y que puede ser representado es: Es decir, nuestra cadena representa aproximadamente al siguiente intervalo: El menor número positivo representable es: [ , ) Resultados de números positivos menores él generarán el resultado de underflow o subdesbordamiento. Mientras que el mayor número representable es: Resultados mayores que éste generarán el mensaje de overflow o desbordamiento.

13 En lugar de la notación binaria normalizada utilizaremos la forma de punto decimal normalizada para números diferentes de cero: ±0.d 1 d 2... d k 10 n, 1 d 1 9, y 0 d i 9 para 2 i k los números de esta forma se llaman números de máquina decimales con k dígitos.

14 Cualquier número real positivo se puede normalizar como y = 0.d 1 d 2 d 3... d k d k+1 d k n La forma de punto flotante (representación) de y a k dígitos que simbolizaremos por fl(y) se obtiniene de la mantisa de y determinando k cifras decimales. Hay dos formas de hacer esto: Por Truncamiento Que consistirá en cortar los dígitos d k+1 d k+2... para obtener fl(y) = 0.d 1 d 2... d k 10 n Por Redondeo Que consiste en revisar el dígito d k+1 : Si d k+1 < 5, entonces se procede como en el caso de truncamiento. Si d k+1 5, entonces se suma 5 10 n (k+1) a y para posteriormente truncar a k dígitos el resultado.

15 Ejemplo 2 El número e, la base de los logaritmos naturales o neperianos (John Napier of Merchiston (155-4 Abril 1617)) tiene un desarrollo infinito e = Escrito en forma decimal normalizada queda: e = La forma de punto flotante de e con truncamiento a 5 cifras queda fl(e) = = mientras que la forma de punto flotante con redondeo a 5 cifras es fl(e) = =

16 Definición El error que resulta de sustituir un número por su forma de punto flotante es el error de redondeo (sin importar si se usa truncamiento o redondeo). Si p es aproximación del número p, el error absoluto es p p y el el error relativo es (p p )p, siempre que p 0. Ejemplo Por ejemplo, si aproximamos e = por e = 2.71 entonces el error absoluto es: err abs = e e = mientras que el error relativo es err rel = err abs e = =

17 Definición El número p aproxima a p con t cifras significativas si t es el mayor entero no negativo para el cual p p p < 5 10 t Ejemplo Por ejemplo, si aproximamos e = por e = 2.71 entonces el error relativo es err = err rel = Tenemos que para t = 1, x t=1 = = 0.5, para t = 2 x 2 = 0.05; para t = 3, x 3 = 0.005; y para t = 4, x 4 = Observamos que err > x 4 pero err < x 3. Por tanto, para t = 3 se tiene el mayor entero tal que err < 5 10 t. Por tanto, e = 2.71 aproxima a e con 3 cifras decimales.

18 Ejemplo Si queremos aproximar a e = con 4 cifras entonces e e e < Entonces se debe cumplir e e < e Por tanto e < e e < e e e < e < e+e 5 1 Por consiguiente, los valores de e que aproximan a e con 4 cifras decimales deben estar aproximadamente en el intervalo [ , ]

19 Modelo Ilustrativo de las operaciones Un modelo que permite ilustrar la problemática ocasionada por la representación finita normalizada usa las siguientes definiciones: x y = fl(fl(x) + fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x)fl(y)) La suma y resta requieren previamente alineamiento (igualación al exponente mayor). La versión que realizan las computadoras puede ser consultada en M. Mano: Computer System Architecture. Prentice Hall.

20 Ejemplo Tome x = 1 3, y = 5 7, u = , v = y w = y asuma representación en base 10 con mantisa a 5 dígitos y truncamiento. Calcule: Valor Error Error Cífras Operación Resultado Real Absoluto Relativo Significativa x y x y x y x y u v y u (y u) w (y u) v

21 x y x = 13 = fl(x) = x = y = 57 = fl(y) = y = x + y = x + y = = fl(x + y ) = e abs = x + y fl(x + y ) = e rel = e abs x+y = cífras significativas en la aproximación de x + y por fl(x + y )

22 Algs reglas a tomar en cuenta La suma de un número grande con un número pequeño produce un error absoluto grande pero no un gran error relativo. La resta entre dos números parecidos dan un error absoluto pequeño pero un gran error relativo. Las cífras significativas se pierden en un solo cálculo! La multiplicación por números grandes amplifica el error absoluto pero no modifica el error relativo. La división entre números pequeños amplifica el error absoluto pero no modifica el error relativo. En qué situaciones puede ocurrir la peor situación? Serán situaciones a las cuales, en general, no nos enfrentaremos como para tomar previsiones?

23 Ejemplo Aplique la fórmula general para resolver la ecuación a x 2 + b x + c = 0 Para a = 1, b = 10 5 y c = 1 usando aritmética decimal con mantisa de 8 cífras.

24 Corrección en la solución de Fórmulas alternativas deducidas multiplicando por el conjugado: x 1 = b+ b 2 4 a c 2 a = b+ b 2 4 a c 2 a ( b b 2 4 a c) ( b b 2 4 a c) = 2 c b b 2 4 a c x 2 = b b 2 4 a c 2 a = b b 2 4 a c 2 a ( b+ b 2 4 a c) ( b+ b 2 4 a c) = 2 c b+ b 2 4 a c x 1 = b + b 2 4 a c 2 a x 2 = b b 2 4 a c 2 a 2 c ó x 1 = b b 2 4 a c 2 c ó x 2 = b + b 2 4 a c REGLA: Si b > 0 usar las azules; si b < 0 usar las rojas Observe que eludimos resta que puede ser peligrosa para b 2 4 a c!