Estadística Inferencial. Sesión No. 9 Regresión y correlación lineal

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1 Estadística Inferencial Sesión No. 9 Regresión y correlación lineal

2 Contextualización En la administración, las decisiones suelen basarse en la relación entre dos o más variables. En esta sesión se estudia el tipo más sencillo de análisis de regresión en el que interviene una variable independiente y una variable dependiente y en el que la relación entre estas dos variables es aproximada mediante una línea recta. Aprenderemos a trabajar el modelo de regresión lineal y haremos una estimación de la ecuación de regresión. Fuente: Linear_regression.svg.png

3 Introducción Por ejemplo, observar la relación entre el gasto en publicidad y las ventas puede permitir a un gerente de mercadotecnia tratar de predecir las ventas correspondientes a un determinado gasto de publicidad. En qué momentos podemos aplicar el modelo de regresión lineal? Qué es la correlación? Qué es un diagrama de dispersión y cuándo se aplica? Fuente:

4 Análisis de regresión Es el análisis que podemos hacer cuando contamos con datos para obtener una ecuación que indique cuál es la relación entre las variables. Modelo de regresión simple y ecuación de regresión. La ecuación que se describe como se relaciona Y con X y en la que se da un término para el error, se le llama modelo de regresión.

5 β 0 y β 1 se conocen como los parámetros del modelo y es una variable aleatoria que se conoce como término del error, el cual muestra la variabilidad de Y que no puede ser explicada por la relación lineal entre X y Y. A la ecuación que describe la relación entre el valor esperado de Y, que se denota por E(x), y X se le llama Ecuación de regresión.

6 Ecuación de regresión estimada Si se conocieran los valores de los parámetros poblacionales β 0 y β 1, se podría emplear la ecuación anterior para calcular el valor medio de Y para un valor dado de X; sin embargo, en la práctica no se conocen los valores de estos parámetros y es necesario estimarlos usando datos muestrales. Se calculan los estadísticos muestrales que se denotan b 0 y b 1 como estimaciones de los parámetros poblacionales β 0 y β 1. Sustituyendo estos valores en la ecuación formularemos la ecuación de regresión lineal simple estimada.

7 y = b 0 + b 1 x, donde y es el estimador punctual de E(y), el valor medio de las Y para un valor dado de X. Explicación

8 Método de mínimos cuadrados Es un método en el que se usan los datos muestrales para hallar la ecuación de regresión estimada. Para ilustrar este método trabajaremos el siguiente ejemplo: Supongamos que se recolectan datos de una muestra de 10 restaurantes Cuates Pizza Increíble ubicados todos cerca de escuelas. Para la observación i o el restaurante i de la muestra x i es el tamaño de la población de estudiantes (en miles) de cada escuela y y i son las ventas trimestrales (en miles de pesos). En la siguiente tabla se presentan todos estos datos:

9

10 La siguiente figura nos muestra el diagrama de dispersión de estos datos: 250 Ventas trimestrales (miles de pesos) yi Ventas trimestrales (miles de pesos) yi

11 En el método de mínimos cuadrados se usan los datos muestrales para obtener los valores de b 0 y b 1 que minimicen la suma de los cuadrados de las desviaciones (diferencias) entre los valores observados de la variable dependiente. El criterio que se emplea se representa con la siguiente expresión: Dónde: = valor observado de la variable dependiente. = valor observado de la variable independiente.

12 Pendiente e intersección con el eje Y de la ecuación de regresión estimada: Donde, x i = valor de la variable independiente, y i = valor de la variable dependiente. x = media de la variable independiente, y = media de la variable dependiente. n = número de observaciones en total.

13 En la siguiente tabla se muestran todos los datos para obtener la ecuación de regresión estimada. i x i y i x y x i x y i y ( x i x)( y i y ) ( x1 x) totales

14 y b 0 b x 1 y 60 5x Explicación Por lo tanto, La intersección con el eje y(b 0 ) se calcula: Por lo tanto, la ecuación de regresión estimada es:

15 SCE 2 ( y i y i ) Explicación Coeficiente de determinación Medida de la bondad de ajuste de la ecuación de regresión lineal estimada. Se puede interpretar como la proporción de la variabilidad de la variable dependiente y que es explicada por la ecuación de regresión estimada. Residual i Diferencia que existe entre el valor observado de la variable dependiente y el valor pronosticado empleando la ecuación de regresión estimada. SCE. Suma de Cuadrados debida al Error. Es una medida del error al utilizar la ecuación de regresión estimada para estimar valores de la variable dependiente en los elementos de la muestra.

16 STC. Suma Total de Cuadrados. SCR. Suma de Cuadrados debida a la Regresión. Relación entre STC, SCR y SCE STC = SCR + SCE Coeficiente de correlación Medida descriptiva de la intensidad de la relación lineal entre dos variables X y Y. El signo del coeficiente de regresión muestral es positivo si la ecuación de regresión lineal tiene pendiente positiva y es negativo si tiene pendiente negativa( - ).

17 Continuando con el ejemplo anterior haremos el cálculo del coeficiente de determinación así como el cálculo del coeficiente de correlación utilizando los datos de la siguiente tabla: Restaurante Población estudiantil(m iles) Ventas trimestrales (miles de pesos) Ventas pronosticadas error Desviacion Desviacion al cuadrado i x i y i y 60 5x 2 i y i y i ( y i y) y i y 2 ( y i y) SCE 1530 SCT 15730

18 Tenemos SCE = 1530 y SCT = 15730, despejamos SCR = STC SCE y al sustituir los datos tendremos que SCR = = Ahora ya tenemos los dos datos para el cálculo del coeficiente de determinación (r 2 ) SCT = y SCR = 14200, sustituyendo los datos: Y el coeficiente de correlación es la raíz cuadrada de este valor, por lo tanto:

19 Se concluye que existe una relación fuerte entre X y Y. El coeficiente de determinación proporciona una medida cuyo valor va desde - 1 hasta +1. El coeficiente de correlación lineal esta restringido a la relación lineal entre dos variables.

20 Conclusión El análisis de regresión no puede entenderse como un procedimiento para establecer una relación de causa y efecto entre las variables. El método de mínimos cuadrados proporciona una ecuación de regresión estimada que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores observados de la variable dependiente y i y los valores estimados de la variable dependiente. Al obtener le ecuación de regresión estimada mediante el método de mínimos cuadrados y calcular el coeficiente de determinación no se hizo ninguna suposición probabilística acerca del término del error ni tampoco una prueba de significancia para la relación X y Y.

21 Conclusión En la siguiente sesión trabajaremos la Inferencia a través de la regresión lineal. Fuente:

22 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. Valdez, I. (s.f.). Regresión lineal simple. Consultado el día 02 de enero del 2014: Vitutor. (s.f.). Coeficiente de correlación. Consultado el día 02 de enero del 2014:

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