Práctica 5 Máximos y Mínimos. Multiplicadores de Lagrange. Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

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1 Práctica 5 Máximos y Mínimos. Multiplicadores de Lagrange. Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica 7 de junio de 008

2 . Para cada una de las funciones que se dan a continuación, calcule los puntos críticos de f y determine, en cada caso, si se trata de un máximo relativo, un mínimo relativo, un punto de silla o bien, indique si el criterio de clasificación no da información. a) f(x, y) = x 3 + y 3 3x y + 0 b) f(x, y) = x 3 + 3xy 5x y c) f(x, y) = x 4 + y 4 x + 4xy y d) f(x, y) = 8 x + x y + y e) f(x, y) = e (x y) ( x y ) f ) f(x, y) = 9xy x 3 y 3 g) f(x, y) = x 4 4xy + y 4 h) f(x, y) = x 4 + y 3 + 3x 9y i) f(x, y) = x 3 y (a x y), a es una constante. j ) f(x, y) = 3x y + x 6x 3y k) f(x, y) = x 3 + y 3 9xy + 7 l) z = xy + 4 x + y m) f(x, y) = x 5y 6x 0y + 5 n) f(x, y) = 4x 3 x y + y. El único punto crítico de f(x, y, z) = x + y + 3z sujeta a la restricción xy z 3 = 00 es un mínimo relativo. Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre este mínimo relativo. 3. f(x, y) = y x, sujeto a y = sen x, 0 x π, tiene un máximo y un mínimo relativo, como se aprecia en la figura. Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre estos extremos.

3 Z Ayuda: los puntos críticos son (π/3, sen π/3, f(π/3, sen π/3)) y (5π/3, sen 5π/3, f(5π/3, sen π/3)). Cuál es el máximo y cual el mínimo relativo? 4. Encontrar tres números positivos cuya suma sea el número M y cuyo producto sea el mayor posible. 5. Determinar distancia (mínima) del origen al plano de ecuación 3x + 4y + z = Encontrar la distancia mínima entre el plano x + 3y z = 8 y el punto (, 3, ). 7. Determine la distancia mínima del origen a la superficie de ecuación x z = Hallar tres números positivos tales que su suma sea la menor posible y su producto sea igual a Demostrar que 8abc 3 3 en el elipsoide x a + y b + z c =. es el volumen máximo de los paralelepípedos rectangulares que pueden inscribirse Ayuda: haga el dibujo de un elipsoide y un paralelepípedo inscrito con dimensiones x > 0, y > 0, z > 0. Entonces su volumen es V = xyz. Además, uno de los vértices deberá ser (x/, y/, z/) y está en x el elipsoide, es decir 4a + y 4b + z =. Para resolver el sistema de ecuaciones conviene hacer dos 4c casos, cuando λ = 0 y cuando λ La base de una caja rectangular cuesta tres veces más por metro cuadrado que el material de las paredes y la tapa. Determinar las dimensiones de la caja de volumen dado V que sea más barata.. Un tanque de forma de caja rectangular debe tener un volumen de 8000dm 3. Los costos anuales de calefacción se calculan de la siguiente manera: $ por dm para el fondo y dos de las caras laterales y $4 por dm para las restantes dos caras laterales. Hallar las dimensiones del tanque que minimizan el costo.. Se dispone de 500πm de lámina metálica para construir un depósito cerrado formado por un cilindro circular recto coronado por un cono. Si se requiere que el radio de la base mida 5m, hallar las dimensiones que dan el depósito de mayor volumen.

4 3. La temperatura en cada punto de la esfera x + y + z = está dada por T = x y + z. Hallar el punto de la esfera que está más frío y el punto que está más caliente. 4. El material para construir la base de una caja abierta (sin tapa) cuesta,5 veces lo que el material para construir los lados. Para una cantidad K fija de dinero, hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede construirse. 5. Un depósito en forma de cilindro recto está coronado por una tapa en forma de cono. El radio del depósito es de 3 metros y su área total es de 8πm. Calcule la altura del cilindro recto y la del cono de manera que el volumen del depósito sea máximo. 6. Determine las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo que está en el primer octante limitada por los planos coordenados y tiene uno de sus vértices en el plano x + y + z = Determine los extremos de la función f(x, y) = 6 4x 3y sujeta a la restricción x + y =. La curva de intersección entre el plano y el cilindro se muestra en la figura que sigue. 8. Encontrar el máximo y el mínimo de f(x, y) = x + y sujeto a x 4 + y 4 =. La figura que sigue, muestra la intersección entre ambas superficies. Z Z Ayuda: de la figura se observa que hay ocho puntos críticos, cuatro máximos y cuatro mínimos relativos. Los puntos ( (x, y) en los que f alcanza sus máximos y mínimos relativos, sujetos a la restricción ± dada, son 4, ± ) 4, (0, ±), (±, 0). Cuales son los máximos y cuáles los mínimos relativos?.

5 9. Calcular los máximos y mínimos de f(x, y) = xy sujetos a que pertenezcan a la elipse 4x + y = Determine la distancia más corta desde el origen hasta el plano de ecuación Ax + By + Cz + D = 0.. Un disco circular tiene la forma de la región limitada por la circunferencia x + y =. Si la temperatura en cualquier punto (x, y) del disco viene dada por T (x, y) = x + y y. Encuentre los puntos más calientes y los más fríos en el disco.. Determine la pirámide de volumen máximo, que se forma en el primer octante, de tal modo que la suma de las longitudes de las aristas de la pirámide que se intersecan en el origen de coordenadas es igual a Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la fábrica A produce x unidades, la fábrica B produce y unidades y la fábrica C produce z unidades, entonces sus respectivos costos de producción son 3x + 00 (dólares), y + 00 (dólares), z + 50 (dólares). Si se va a surtir un pedido de 00 unidades y la empresa tiene unos costos fijos de $350 determine cómo se debe distribuir la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de producción total. 4. Demuestre que el paralelepípedo rectangular de mayor volumen que se puede inscribir en el elipsoide x 9 + y 6 + z 36 = mide 64 3(u.l.) Determine el punto del plano x + y z = 4 que está más cerca del punto (,, ). 6. Determine el punto de la superficie xyz = 6 que está más cerca del origen.