12 ÁNGULOS EN DIÉDRICO

Transcripción

1 12-1 Apuntes de dibujo técnico Patxi Aguirrezabal M artin 12 ÁNGULOS EN DIÉDRICO Ángulos de la recta con los planos de proyección. Ángulo de dos rectas y bisectriz del ángulo. Ángulo de recta y plano. Ángulo que forma un plano cualquiera con los de proyección. Ángulo formado por dos planos. TEMPORALIZACION: 5 horas Como en toda figura plana, el ángulo que forman dos rectas solo se proyecta en verdadera magnitud cuando sus dos lados son paralelos al plano de proyección. El ángulo de una recta R con un plano es el ángulo que dicha recta forma con su proyección R 1 sobre el plano. De esta definición se deduce que las rectas paralelas entre sí, formarán ángulos iguales con un plano dado y con todos sus paralelos. Ángulos de la recta con los planos de proyección Ya hemos dicho en el párrafo anterior que el ángulo que forma una recta con el plano horizontal es el ángulo que forma con su proyección horizontal R 1 (Fig.12.1). El triángulo rectángulo A1-B2-B 1 está en un plano proyectante horizontal, que se abate sobre el ph en torno a R 1. El ángulo, es el que forman R 1 y la recta R o (verdadera magnitud de la recta R). Se puede hallar también el ángulo, abatiendo el triángulo A1-B2-B 1 sobre el pv, tomando como charnela la proyección B2-B 1; para ello con centro en B 1 y radio B1-A 1 se corta a la LT en A o. El ángulo B2-A o-b 1 es también el ángulo que forma la recta R con el ph.

2 Ángulos en diédrico 12-2 Fig.12.1 Para hallar el ángulo que forma una recta S con el plano vertical, se opera de la misma forma (Fig.12.2) Fig.12.2 Ángulo de dos rectas y bisectriz del ángulo. Fig.12.3 Sean las rectas R(R 1-R 2) y S(S1-S 2) que se cortan en el punto M(M 1-M 2). Estas dos rectas determinan el plano. Abatiendo el plano -y por tanto las dos rectas que lo determinan- sobre el horizontal, obtendremos el ángulo en verdadera magnitud. Abatimos el punto M, cuya cota es h y obtendremos M o. Uniendo M o con H Ry con H S tenemos las rectas abatidas R o y S o; el ángulo es el ángulo pedido.

3 12-3 Apuntes de dibujo técnico Patxi Aguirrezabal M artin Para hallar las proyecciones de la recta bisectriz de este ángulo, se traza la bisectriz B o en el abatimiento. La recta desabatida será la recta B dada por sus proyecciones B -B. 1 2 Fig.12.3 Ángulo de recta y plano. Fig.12.4 El ángulo de una recta con un plano es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano. El problema, en el espacio, se resuelve según se indica en la figura de la izquierda. Tenemos una recta R y un plano. Tomamos un punto P de la recta y se traza por él una perpendicular T al plano. El ángulo B que forman las rectas R y T es el ángulo complementario del ángulo A, que nos piden. Trasladado este problema al diédrico tendremos también una recta R y un plano dados por sus respectivas proyecciones. Por un punto P(P 1-P 2) de la recta R, se traza la perpendicular T(T1-T 2) al plano. Se halla el ángulo formado por las rectas R y T (tal como se explicó en el apartado " ángulo de dos rectas" ): se cortan las dos rectas por un plano paralelo al horizontal de proyección, obteniéndose la recta H2-H 1 que servirá de charnela para abatir el punto P; se consigue así el ángulo B. El ángulo complementario del B es el ángulo A, que es el que forman la recta y el plano.

4 Ángulos en diédrico 12-4 Fig.12.4 Ángulo que forma un plano cualquiera con los de proyección. Fig.12.5 Sea el plano oblicuo y el horizontal de proyección. Para hallar el ángulo que forman ambos planos se sigue el procedimiento general explicado en el apartado "ángulo de recta y plano" y que se indica en la representación espacial de la Fig La intersección del plano y del ph es la traza ; se traza un plano 1

5 12-5 Apuntes de dibujo técnico Patxi Aguirrezabal M artin perpendicular al plano. Este plano perpendicular es el plano. Se determinan las intersecciones de este plano con el y obtendremos una recta R(R 1-R 2). La recta R es una l.m.p. del plano. El ángulo A que forman la recta R y el ph es el ángulo que forma el plano oblicuo con el ph. Ángulo formado por dos planos. Fig.12.6 Podemos seguir en el espacio el proceso para conseguir el ángulo. Se halla en primer lugar la recta intersección Q de los planos y. En la recta intersección se elige un punto M cualquiera y por él se hace pasar un plano perpendicular a la intersección Q(Q1-Q 2), para lo que se ha empleado una horizontal de plano. Este plano corta a los anteriores según las recta S que pasa por los puntos M-2 y la recta T que pasa por M-1. El ángulo de estas dos rectas es el que forman los dos planos. Para hallar el valor del ángulo se traza un plano horizontal cualquiera que corte a las rectas S y T. En el ejemplo se ha utilizado el plano horizontal 2 y abatiendo, según el caso general, obtendremos la verdadera magnitud del ángulo A. El punto M abatido es el punto M o y éste unido con 1 y 2 nos da el ángulo A de los dos planos.

6 Ángulos en diédrico 12-6 EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO 11º 1.- Se pide representar una circunferencia de la que se da su radio en verdadera magnitud. Puesto que en verdadera magnitud sólo pueden representarse superficies abatidas, lo que se propone en el ejercicio es realizar un desabatimiento. Se abate el plano proyectante sobre el horizontal de proyección y en él se coloca la circunferencia de radio 30 mm de forma que resulte tangente a las trazas ( 1) y ( 2) abatidas. Aplicando el caso general de abatimiento-desabatimiento de un plano proyectante se obtienen las proyecciones de la circunferencia. 2.- Una vez abatido el plano, para lo cual se ha tomado un punto cualquiera K en la traza vertical del plano, la amplitud del plano es el ángulo formado por las trazas ( 1) y ( 2). En el plano abatido se sitúa el cuadrado para lo cual se dibuja una paralela a 1 a la distancia de 4 cm. El punto de corte de esta paralela con la traza vertical abatida ( 2) determinará el vértice A del cuadrado. Como el punto (A) se encuentra en la traza vertical, abatida del plano, se desabate por el proceso inverso al utilizado con el punto K para obtener las proyecciones A 2-A 1. Los puntos (C) y (D), que determinan el lado del cuadrado situado en la traza horizontal 1, tienen sus proyecciones horizontales C 1 y D 1 coincidentes con los puntos al estar situados en el plano horizontal, y por tanto las proyecciones verticales de estos puntos se hallarán en la LT.

7 12-7 Apuntes de dibujo técnico Patxi Aguirrezabal M artin 3.- Se dibuja en el plano de perfil un plano oblicuo a los de proyección de forma que la distancia de la traza horizontal a la LT sea de 2 cm y el ángulo de inclinación, con respecto al horizontal de proyección sea de 60. Se abate dicho plano, tomando un punto K(K1-K 2) cualquiera y se sitúa el cuadrado de forma que la diagonal forme con la traza horizontal del plano un ángulo de 60. La diagonal divide los ángulos del cuadrado en ángulos de Se abate el plano P para lo cual se toma un punto cualquiera K situado en la traza vertical del plano. Obtenemos así la amplitud del plano P. Se desabaten el punto (C), centro de la elipse y la tangente (T), utilizando como auxiliar el punto K. Tomando como centro la proyección C 1 se dibuja una circunferencia tangente a la recta T, cuya proyección es T 1. Abatiendo la circunferencia, por afinidad, se obtiene la verdadera magnitud de esta elipse. 5.- Se dibujan la traza horizontal del plano. Se traza una paralela a la LT a 4 cm y en el punto de cort e, de traza y paralela, se sitúa una l.m.p. lo que permitirá deducir la traza vertical del plano. Se abate el plano y se dibuja en él la base del cubo de tal forma que la diagonal sea la l.m.p. abatida. Halladas las proyecciones horizontal y vertical de la base del cubo sólo resta construir el cubo levantando su altura.

8 Ángulos en diédrico Se dibuja un plano cuya traza vertical forme 60 con la LT y la traza horizontal 30. Se sitúa en dicho plano un pentágono de forma que la proyección vertical resulte ser un pentágono regular en verdadera magnitud. Por medio de rectas horizontales del plano se halla la proyección horizontal de dicha figura. Por medio de un eje de giro perpendicular al ph conseguimos girar el plano oblicuo, y lo que él contiene, hasta transformarlo en un plano proyectante vertical. Se hace pasar por uno de los vértices del polígono un eje de giro. En el ejemplo se ha pasado por el punto 4. La proyección vertical de la figura pentagonal coincidirá con la nueva traza vertical 2'. A continuación se realiza un nuevo giro de forma que el plano proyectante se convierta en un plano paralelo al horizontal de proyección. 7.- Se dibuja el plano oblicuo cuya traza vertical forma 45 y la horizontal 60. Se traza una recta horizontal del plano de cota 45 mm y se la hace cortar por una paralela a la LT que diste de ella 35 mm de alejamiento. El punto de corte de ambas rectas determina la proyección horizontal O 1 del centro de la circunferencia de 25 mm de diámetro. Por medio de rectas auxiliares se puede hallar la proyección vertical de la circunferencia.

9 12-9 Apuntes de dibujo técnico Patxi Aguirrezabal M artin Para hallar la verdadera magnitud de dicha circunferencia basta con transformar el plano oblicuo en un plano paralelo a uno de los de proyección. Para ello se ejecutan un par de cambios de plano. El primero de los cambio de plano es un cambio de plano vertical (se conservan las cotas) con el que se conseguirá que el plano oblicuo pase a ser un plano proyectante vertical. Se toma O 1 como punto referente del plano oblicuo que lo transformará en proyectante vertical. La nueva LT ha de ser perpendicular a la traza horizontal del plano 1. Obtenemos así 1'. La proyección vertical de la circunferencia coincidirá con la nueva traza vertical del plano 2'. Nuevamente se realiza un cambio de plano; horizont al, en este caso (se conservan los alejamientos). La tercera LT se dibuja paralela a la traza vertical 2' y se obtiene la verdadera magnitud de la circunferencia de centro O " Basta transformar el pla no dado en otro proyectante, mediante un cambio de plano vertical. Para ello trazaremos una nueva línea de tierra perpendicular a la traza hori-

10 Ángulos en diédrico zontal del plano 1 y aplicando un cambio de plano vertical conseguiremos la traza vertical 2. Se hallan las nuevas proyecciones del punto A sabiendo que la cota debe mantenerse. Llevando perpendiculares a las trazas del plano proyectante obtendremos un punto C, dado por sus proyecciones, pie de la perpendicular de A al plano. La verdadera magnitud de la distancia es A2 -C2 puesto que la proyección horizontal de dicho segmento A -C es paralela al plano vertical de proyección Debe conseguirse, con un cambio de plano, que las nuevas proyecciones del punto se confundan con una de las primitivas. Si utilizamos un cambio de plano vertical, basta trazar una nueva línea de tierra paralela a la primitiva de tal forma que la distancia entre esta nueva LT y las nuevas proyecciones A1 A2 sea igual a d, puesto que d= cota del punto. Como A2 debe estar sobre la LT colocaremos sus trazos distintivos en la parte superior de la nueva línea de tierra, lográndose así la coincidencia de A 1 y A2. También puede utilizarse una nueva línea de tierra usando un cambio de plano horizontal Se puede hacer un cambio de plano horizontal o vertical. Utilizamos un cambio de plano vertical y trazamos la nueva línea de tierra perpendicular a R 1. Se hallan las nuevas proyecciones de dos puntos cualesquiera o de las trazas de la recta R. Se obtiene así las nuevas proyecciones R 1' -R 2'. Como se ha utilizado un cambio de plano vertical, las proyecciones A 1 y B1 se conservarán en su sitio, mientras que A ' al tener cota 0 la proyección A quedará en la nueva línea de tierra. B ' mantendrá la cota de B