Propiedades de la igualdad

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Luis Miguel Ortiz Cortés
hace 6 años
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En el momento que la balanza quede nivelada puedes decir que los pesos son iguales.

1 M3 Propiedades de la igualdad Imagina que tienes una balanza y quieres pesar un kilogramo de azúcar. De un lado de la balanza colocas un contrapeso que te indique el peso deseado, es decir un kilogramo. En el otro lado, irás vaciando azúcar hasta que la balanza quede nivelada. En el momento que la balanza quede nivelada puedes decir que los pesos son iguales. En matemáticas puedes decir que dos objetos son iguales si tienen el mismo valor y para indicarlo, utilizas el signo de igualdad, en el anterior ejemplo, la balanza representaría el símbolo de igualdad. Cuando tienes un símbolo de igualdad y una proposición matemática de cada lado de la igualdad, a esta expresión se le llama ecuación. Ahora ve algunos ejemplos de ecuaciones: Ecuación Proposición matemática Símbolo de igualdad Proposición matemática 2x 2 + 5x Analiza la primera ecuación Esta expresión puede ser verdadera, si el valor de x = 2, de esta forma Como 9 es igual a 9, esta expresión es verdadera

2 Pero también puede ser falsa x, si toma cualquier otro valor, por ejemplo Como 13 no es igual a 9, esta expresión es falsa Como viste en el ejemplo anterior, la ecuación puede ser falsa o verdadera. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones condicionales. El propósito de una ecuación es encontrar el valor o los valores que hacen verdadera la ecuación. A estos valores se les llaman soluciones de la ecuación y las soluciones de la ecuación forman el conjunto solución. Para el ejemplo anterior ecuación., solamente existe un valor que hace verdadera la Por lo tanto, es la solución de la ecuación. Y su conjunto solución = Ve otro Ejemplo : Si tienes la siguiente ecuación En este caso, hay dos valores que hacen verdadera la ecuación Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son Y el conjunto solución = y Cuando una ecuación es verdadera, para cualquier valor permitido de la ecuación se le llama ecuación identidad, es decir cualquier valor puede hacer verdadera la ecuación, siempre y cuando en las expresiones racionales el denominador no sea cero.

3 Ve otro Ejemplo : Cualquier valor que se sustituya en la ecuación la hace verdadera, excepto el 2, puesto que el 2 hace 0 el denominador. Puedes sustituir varios valores en y comprobarlo. Valor a sustituir Valor a sustituido Resultado 3 = 3 En este caso es complicado escribir todas las soluciones. Así, que escribe el conjunto solución = Se lee así: Todos los valores de x que pertenecen a los números reales excepto el 2 Puede darse el caso que ningún valor pueda hacer verdadera a la ecuación, es decir no tenga solución. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones inconsistentes. Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución se llaman ecuaciones equivalentes.

4 Ve otro Ejemplo : y Las dos ecuaciones son equivalentes, puesto que el conjunto solución para ambas es el mismo. solución solución 3x = 6 Hasta el momento, viste que siempre que se establece una igualdad de expresiones matemáticas obtienes una ecuación y que estas ecuaciones pueden tener o no tener soluciones, pero para poder obtener el resultado de las ecuaciones, es necesario conocer las propiedades de la igualdad, las cuales se te mencionan a continuación. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD PROPIEDAD EXPLICACIÓN EJEMPLOS Reflexiva Para todo se tiene La propiedad reflexiva indica que todo número real es igual a sí mismo. a) b) c) Simétrica Para todo se tiene Si La propiedad simétrica, nos indica que si se tiene una igualdad, ésta se conserva si es leída de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. a) Si b) Si c) Si Transitiva Para todo Si y Para aplicar esta propiedad es necesario tener tres elementos. Uno que es común en las dos igualdades y que por conclusión, hace que los otros dos elementos sean iguales. a) Si y b) Si y CONTINÚA

5 PROPIEDAD EXPLICACIÓN EJEMPLOS Aditiva Para todo Si Esta propiedad nos indica que se puede sumar el mismo número (sea positivo o negativo) a ambos miembros de la igualdad, sin que ésta se altere. a) Si en ambos miembros sumas 2 La igualdad no se altera Multiplica Para todo Si Esta propiedad nos indica que se pueden multiplicar ambos miembros de la igualdad por el mismo número real sin que se altere. a) Si ambos miembros los multiplicas por 3 Para encontrar la solución de una ecuación, se realiza un proceso conocido como despeje, el cual implica dejar la variable que quieres encontrar de un sólo lado de la expresión, utilizando las propiedades de la igualdad. Este proceso se lleva a cabo a través de la transformación de las ecuaciones que quieres despejar en ecuaciones equivalentes más simples, hasta obtener la variable totalmente despejada. Piensa que en la siguiente ecuación, quieres encontrar su solución. Para encontrar el valor de que hace verdadera la expresión, es necesario despejar la variable, es decir, dejar de un solo lado de la igualdad, la variable, para hacerlo en este caso, utilizas la propiedad aditiva. Suma de los dos lados de la expresión, Al simplificar las expresiones, Si quieres comprobar que x = 2 es la solución, lo puedes sustituir en la ecuación original y comprobar que es una igualdad, Si,

6 Ve otro Ejemplo : Encuentra el valor de en Suma 4 de los dos lados de la expresión, = Simplifica, La propiedad de la multiplicación de la igualdad establece que puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por el mismo número sin cambiar la solución. Como la división está definida en términos de la multiplicación, puedes dividir ambos miembros de la ecuación por el mismo número, siempre y cuando sea distinto de cero. Simplificando, 6 x 6 = 24 6 Es la solución a la ecuación. En ocasiones, es necesario dejar de un solo lado de la ecuación, la variable para poder despejarla. Suma en ambos lados de la ecuación, = Simplificando, Suma en ambos lados de la ecuación, Simplificando,

7 En otras ocasiones, es necesario hacer algunas operaciones antes de despejar la variable. Realiza las operaciones Simplifica términos semejantes, Suma 6 en ambos lados de la ecuación, Simplifica, Suma en ambos lados de la ecuación, Simplifica, Divide entre 3 en ambos lados de la ecuación, Simplifica,

8 Ahora, ve qué sucede cuando hay denominadores, Determina el mínimo común denominador entre 2 y 4, que en este caso es 4. Multiplica por 4 en ambos lados de la ecuación, Aplica las propiedades de la igualdad y simplifica, Hasta el momento sólo analizaste ecuaciones condicionales, pero recuerda que también existen ecuaciones identidad y ecuaciones inconsistentes. Ve cómo se analizan cada una de ellas. Considera la siguiente ecuación: Realiza las operaciones y aplica las propiedades de la igualdad para despejar la variable, OBSERVA QUE... La variable desaparece, además la proposición es una proposición falsa, por lo tanto la ecuación es inconsistente, esto es, no tiene solución.

Ve otro caso: Considera la siguiente ecuación: Realiza las operaciones y aplica las propiedades de la igualdad para

.. La variable desaparece, además la proposición es una proposición verdadera, por lo tanto la ecuación es Identidad,

Nota que la idea principal para realizar un despeje, es colocar las variables de un solo lado de la ecuación, aplicando

9 Ve otro caso: Considera la siguiente ecuación: Realiza las operaciones y aplica las propiedades de la igualdad para despejar la variable, OBSERVA QUE... La variable desaparece, además la proposición es una proposición verdadera, por lo tanto la ecuación es Identidad, esto es, tiene infinitas soluciones. Nota que la idea principal para realizar un despeje, es colocar las variables de un solo lado de la ecuación, aplicando las propiedades de la igualdad. Sin embargo, tal vez recuerdes que alguna vez te dijeron que para poder despejar, tienes que pasar una variable con la operación contraria a la que se está realizando. Este tipo de afirmaciones están basadas en las propiedades de la igualdad. Ve algunos Ejemplos

10 ECUACIÓN OPERACIÓN PROPIEDAD DE LA IGUALDAD Si está sumando, pasa restando Aditiva Si está restando, pasa sumando Aditiva Si está multiplicando, pasa dividiendo Multiplicativa Si está dividiendo, pasa multiplicando Multiplicativa Para despejar puedes utilizar la forma que te parezca más sencilla, sin embargo, es importante consideres que todas las operaciones están basadas en las propiedades de la igualdad. Practica los despejes realizando los ejercicios y la tarea de Propiedades de la igualdad.

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