Los hermanos Bernoulli.

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1 Los hermanos Bernoulli. Indice 1. Introducción. Importancia de la familia Bernoulli 2. Jakob Bernoulli. 3. Johann Bernoulli. 4. Introducción al problema de la espiral logarítmica 5. El problema de la espiral logarítmica 6. Evolución e influencia del problema de la espiral logarítmica. 7. Glosario de curvas 8. Bibliografía. 1.Introducción. Importancia de la familia Bernoulli. Los hermanos Bernoulli tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las ciencias de los siglos XVII y XVIII, gracias a las contribuciones en campos tan variados como la medicina, la jurisprudencia, la matemática o la física que realizaron los miembros de las distintas generaciones de la familia Bernoulli. Figura 1. Arbol genealógico de la familia Bernoulli.

2 Los Bernoulli provienen de una familia de comerciantes, farmaceúticos instalados en Amsterdam. El abuelo de la primera generación, Jakob Bernoulli, era un farmaceútico de Amsterdam que se convirtió en ciudadano de Basilea (Suiza) en 1622 contrayendo matrimonio. El hijo de este matrimonio, Nikolaus Bernoulli, continuó el próspero negocio farmaceútico, asentando definitivamente las raíces de la familia en Basilea, ciudad a la cual se sentirán muy ligados sus descendientes. A pesar de haber tres generaciones (figura 1) de Bernoulli con grandes contribuciones a la ciencia, es la primera, formada por Jakob y Johann,la más interesante. 2.Jakob Bernoulli. Figura 2. Retrato de Jakob Bernoulli

3 Nacido en Basilea en Diciembre de 1654, recibió su grado en filosofía en 1671, y se licenció en teología en 1676.Mientras, estudió matemáticas y astronomía en contra de la voluntad de su padre. Vivió dos años en Francia, en los cuales se familiarizó con la metodología lógica y las opiniones científicas de Descartes y de sus seguidores. En su segundo viaje con fines educativos ( ), viajó a los Países Bajos y a Inglaterra, conociendo a matemáticos y científicos como Robert Boyle y Robert Hooke. El resultado científico de este viaje es su teoría de cometas (1682) y una teoría de la gravitación que fue altamente considerada por sus contemporáneos (1683). Después de volver a Basilea, Bernoulli impartió desde 1683 clases de carácter experimental, relacionadas con la mecánica del sólido y de los líquidos. Mandó informes sobre problemas científicos del momento al Journal des sçavans y al Acta eruditorum, y trabajó en el principal trabajo matemático de la época, Geometria, de Descartes. Como resultado de este trabajo, Bernoulli contribuyó con artículos en temas algebraicos al Acta eduditorum, siendo su resultado más destacado la división de un triángulo en cuatro partes iguales mediante el uso de dos líneas rectas perpendiculares entre sí (1687). Figura3. Primer volumen del Acta eruditorum, publicado en Leipzig en 1682 (ver fecha de imagen)

4 Su primera publicación acerca de la teoría de la probabilidad data de Más tarde,jakob descubrió una extraordinaria relación entre las sumas infinitas de los inversos de potencias de orden par y los llamados números de Bernoulli, por ser Jakob el primero en estudiarlos. Fueron introducidos por éste con el fin de sumar las potencias de los primeros números naturales. Estos números de Bernoulli aparecen en la obra de mayor trascendencia de Jakob: Ars conjectandi, acerca de la teoría de las probabilidades. Figura 4. Ars conjectandi, obra póstuma de Jakob Bernoulli publicada en Basilea en 1713.

5 Por otra parte, trabajando en escritos de John Wallis y de Isaac Barrow sobre temas de matemáticas, óptica y mecánica, Bernoulli se encaminó hacia la geometría infinitesimal. Sin embargo, no es posible desgranar la biografía de Jakob Bernoulli independientemente de la de su hermano menor, Johann, dado que ambas estuvieron estrechamente ligadas. En particular, ambos hermanos colaboraron en sus estudios e investigaciones, siendo ésto motivo para posteriores disputas. Más de diez años más joven, Johann empezó a asistir a clases universitarias después de un infructuoso aprendizaje como comerciante. Después de obtener su grado en arte en 1685, estudió medicina, siguiendo las órdenes de su padre. Simultáneamente, sin embargo, estudió secretamente matemáticas con su hermano mayor, aprendiendo los fundamentos de la disciplina. En 1687 Jakob se convirtió en profesor de matemáticas en Basilea, y ambos hermanos estudiaron juntos las publicaciones de Leibniz y Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en Acta eruditorum ( ), que contenían ejemplos de la emergente matemática infinitesimal así como aplicaciones a la mecánica y a la dinámica. Después de mucho esfuerzo, Jakob pudo asimilar e interiorizar estos nuevos métodos, que le fueron muy útiles en trabajos posteriores sobre geometría infinitesimal. Jakob mostró su dominio del cálculo introducido por Leibniz con su análisis (Mayo 1690) de la solución dada por Huygens en 1687 y por Leibniz en 1689 al problema de la curva de constante descenso en un campo gravitacional, apareciendo por primera vez el término 'integral' con su presente significado matemático. El problema de la curva de constante descenso había sido propuesto por Leibniz en 1687, al cual Bernoulli propuso el de la determinación de la forma de la catenaria como contrapartida al mismo problema. Leibniz lo había resuelto en 1690 espontáneamente, por lo que rápidamente resaltó su importancia en relación con el problema original. El contraproblema fue tratado por Johann Bernoulli, Huygens y el propio Leibniz en el Acta eruditorum (1691), mientras que Jakob no tomó parte de su resolución directamente por encontrarse en ese momento en dificultades con la universidad, en medio de disputas y críticas abiertas. Sin embargo, propuso generalizaciones del problema, permitiendo uniones elásticas entre los puntos de la cadena, y de distinto peso. Además, en dos notables contribuciones al cálculo diferencial, examinó la espiral parabólica (en coordenas polares, r=a -b!ø) y la espiral logarítmica (1691) de la cual se tratará más adelante.. Jakob estudió la posteriormente llamada ecuación diferencial de Bernoulli, y'+p(x)y+q(x)y n =0 (1696), y tanto él como su hermano por separado constataron que la forma de una vela inflada por el viento se describe por la ecuación (dx/ds) 3 =ad 2 y/d 2 x. Debido a una exagerada necesidad de reconocimiento y cierta tendencia a la crítica, ambos hermanos se envolvieron en discusiones sobre un gran número de problemas, descalificando y corrigiendo en muchos casos la solución propuesta por el otro hermano. Así, cuando Johann fue nombrado profesor de la Universidad de Groningen (1695) y propuso el problema de determinar la curva de más rápido descenso entre dos puntos dados (la braquistócrona), fue Jakob quien dió la solución del problema. Además como contraproblema propuso el problema isoperimétrico, la determinación de la curva de

6 c longitud dada entre los puntos A(-c;0), B(c;0) para la cual " -c y n dx toma un valor máximo. A este problema Johann aportó una solución incorrecta basada en una ecuación diferencial de segundo orden, habiendo subestimado la dificultad del problema y su naturaleza ( cálculo de variaciones). Como respuesta, y después de demostrar que es necesaria una ecuación de tercer grado (1701), Jakob proporcionó la prueba que Johann y Leibniz habían buscado en vano, de que la catenaria inexpansible y homogénea es la curva con centro de gravedad más bajo entre dos puntos de suspensión. Aunque poco después de su publicación Johann verificó la validez de la prueba, permaneció con rencor en silencio durante casi 15 años al respecto, sin dar la razón a su hermano mayor. Sin embargo, y aprovechándose de su mayor habilidad descriptiva, Johann protagonizó más tarde una presentación en la Academia de Paris de Ciencias basada en las ideas de su hermano sobre el problema isoperimétrico (1718). El antagonismo entre ambos hermanos pronto llevó a agrios comentarios, como los que pronunció Jakob a la hora de rechazar la importancia de la extraordinariamente efectiva expansión en serie formulada por Johann (1694). Por otra parte, al haber propuesto Johann el desafío de resolver el criterio de líneas geodéticas sobre superficies convexas, recriminó a su hermano el poder resolverlo 'sólamente' en superficies de rotación. Dejando aparte las disputas entre ambos hermanos, cabe resaltar que la importancia de la labor científica de Jakob no proviene de la formulación de extensas teorías sino en el inteligente tratamiento analítico de problemas individuales. Bernoulli permitió avanzar el álgebra, el cálculo infinitesimal, el cálculo de variaciones, la mecánica, la teoría de series y la teoría de la probabilidad, siendo uno de los más relevantes promotores de los métodos formales del análisis más avanzado. Esta exposición de la vida y obra de Jakob Bernoulli concluye con la famosa frase que pronunció tras recibir de forma anónima la solución de Newton al problema de la braquistócrona, el cual el genio británico había conseguido resolver en menos de doce horas: Reconozco al león por las garras 3.Johann Bernoulli. Figura 5. Retrato de Johann Bernoulli.

7 Nacido como el décimo hijo de la familia en Basilea en Agosto de 1667, intentó sin éxito comenzar una carrera como comerciante. Como ya se ha apuntado, comenzó estudios en medicina mientras a su vez estudiaba matemáticas con su hermano mayor, ya instalado como profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea (1687). Gracias a este aprendizaje, ambos hermanos pudieron introducirse en el estudio del cálculo diferencial. La extraordinaria solución al problema de la catenaria propuesta por Jakob fue la primera publicación independiente de Johann, la cual le situó al mismo nivel que personajes de la talla de Huygens, Leibniz o Newton. Johann permaneció la mayor parte de 1691 en Génova, enseñando cálculo diferencial y profundizando en su propio conocimiento matemático. Pasó el otoño de ese mismo año en Paris, donde consiguió un buen puesto en el círculo matemático de Malebranche como representante del nuevo cálculo de Leibniz, gracias a su 'teorema de oro'-espectacular determinación del radio de curvatura de una curva mediante la ecuación p=dx/ds:d 2 y/ds 2. Durante este periodo conoció a L'Hospital, probablemente el matemático francés mejor dotado de la época, el cual solicitó aprender el nuevo cálculo infinitesimal de él. Estas lecciones continuaron incluso por correspondencia, llegando a ser la base del primer libro de texto sobre cálculo diferencial de la historia de las matemáticas, escrito por L'Hospital. Figura 6. Analyse des infiniment petits, pour l intelligence des lignes courbes, primer libro de texto sobre cálculo diferencial, escrito por L Hospital.

8 En 1693 Bernoulli comenzó su intercambio de cartas con Leibniz, que se convertiría en el de mayor volumen para el último. Los resultados más significativos de estos años fueron publicados en forma de numerosas memorias en Acta eruditorum, y los artículos menos extensos en el Journal des Sçavans. Las dos contribuciones más importantes de Bernoulli fueron la investigación de la función y=x n y el descubrimiento en 1694 de un desarrollo general en serie gracias a una integración repetida por partes: " 0 x ydx=xy-y'x 2 /2 +y''x 3 / basado en el principio general de Leibniz de diferenciación de un producto: d m [f(x)g(x)]=(df+dg) m =#(m,t)d m-t fd t g (suma sobre el índice t, extendida entre 0 y m, y donde (m,t) denota el número combinatorio formado con m y t) Bernoulli trabajó mucho en la integración de ecuaciones diferenciales, contribuyendo a la solución proporcionada por Jakob de la ecuación diferencial de Bernoulli y'+p(x)y+q(x)y n =0. Johann la resolvió considerando la función solución como producto de dos funciones M(x) y N(x), que cumplieran dm/m +dn/n +p(x)dx + (MN) n-1 q(x)dx=0, llegando gracias a la arbitrariedad de las funciones N y M al resultado formalmente más elegante que el de su hermano dm/m + p(x)dx=0, M=exp[-"p(x)dx], cuya substitución lleva rápidamente a una ecuación diferencial lineal en N. Johann trabajó en el llamado en la época 'cálculo exponencial', que no es otro que cálculo infinitesimal de funciones exponenciales. Además trabajó en la suma de la serie de

9 infinitos harmónicos #(-1) k-1 K -1 (n,k) (suma sobre el índice k, extendida entre 0 y n, y donde (n,k) denota el número combinatorio formado con n y k), y en la generación geométrica de pares de curvas cuando la suma o resta de la longitud de sus arcos puede ser representado por arcos circulares. En 1695 Bernoulli recibió la oferta de una plaza como profesor en Halle, y otra como profesor de matemáticas en Groningen gracias a la intervención de Huygens. Aceptó esta última, dado además que sus esperanzas de conseguir la plaza de Basilea eran nulas, al menos mientras viviera su propio hermano. Así partió en Septiembre de 1695 hacia Holanda, no sin resentimiento hacia su hermano. En 1696 Johann formuló el problema de la braquistócrona, problema de la determinación de la curva de más rápido descenso. Dado que no esperaba ninguna solución al menos en los próximos meses, reformuló por petición de Leibniz públicamente el problema y fijó un plazo de seis meses para su resolución. Sin embargo, Leibniz lo solucionó el día en el que recibió la carta de Bernoulli, prediciendo correctamente un total de sólo cinco soluciones, las encontradas por los dos Bernoulli, Newton, Leibniz y L'Hospital. Este problema demostró públicamente la diferencia entre los talentos de los dos hermanos. Johann solucionó el problema reduciéndolo de forma ingenuamente intuitiva al problema óptico ya resuelto por Fermat, utilizando su principio de mínimo tiempo de propagación. Sin embargo Jakob proporcionó un detallado aunque voluminoso análisis, con el cual llegó a las raíces de una nueva disciplina matemática, el cálculo de variaciones. A raíz de su solución al problema de la braquistócrona, Jakob formuló un nuevo problema variacional, el problema isoperimétrico. Como ya se ha apuntado, Johann subestimó la complejidad del problema y no se dió cuenta de su naturaleza variacional, proporcionando una solución incompleta. Esto acarreó la fiera crítica de su hermano mayor, e inició la ya referida disputa abierta entre ambos hermanos. Sin embargo, después de la muerte de Jakob, Johann le sucedió en la plaza de profesor de matemáticas de Basilea, rechazando por circunstancias familiares ofertas de las universidades de Utrecht y Leiden. Desde su retorno a Basilea en 1705, Bernoulli se dedicó a la mecánica teórica y aplicada, publicando en 1714 su libro Théorie de la manoeuvre des vaisseaux. Este libro apoya la teoría cartesiana de vórtices, lo que retrasó la introducción de la física newtoniana en el continente europeo. Hay que destacar que tras la muerte de Newton en 1727, Johann se erige como el preceptor matemático de toda Europa. Siguiendo la línea cartesiana, Bernoulli trató la transmisión del momento (1727), el movimiento de los planetas en el aphelio (1730) y la causa de la inclinación de las órbitas planetarias relativa al ecuador solar ( 1735) en tres artículos premiados. Sin embargo, su trabajo sobre hidrodinámica es considerado un plagio del de su hijo Daniel Bernoulli. Johann Bernoulli fue miembro de las academias reales de Paris y Berlín, de la Royal Society, de la Academia de St Petersburgo y del Instituto de Bolonia. Disfrutó de un

10 importante estatus social en Basilea, desempeñando puestos civiles honoríficos. Su temperamento bien podría haberle proporcionado una notable carrera política, si se hubiera alejado de sus constantes disputas. Como prueba de su pasión comunicativa queda su correspondencia científica, formada por unas 2500 cartas intercambiadas con unos 110 personajes distintos. 4.Introducción al problema de la espiral logarítmica En 1691 Jakob Bernoulli publicó su estudio Specimen alterum Calculi differentialis in dimetienda Spirali Logarítmica, Loxodromiis Nautarum, & Areis Triangulorum Sphaericorum: una cum Additamento quodam ad Problema Funicularium, aliisque, recogidos en las páginas de la colección de sus obras Jac. Op. XLII. En este artículo se estudian la Espiral Logarítmica y la Loxodromica, extensión de la primera a una superficie esférica. A continuación se expone una breve introducción sobre el papel de las espirales en el mundo de la matemática. La espiral uniforme o espiral de Arquímedes El estudio de las espirales se remonta a la antigüedad, siendo la primera en ser estudiada la más sencilla: la espiral uniforme ( r=a!+b) en la cual la anchura de sus espiras es siempre la misma. Aunque esta espiral no se encuentra mucho en la Naturaleza, se puede observar en una serpiente enrollada o en la trompa de una mariposa (espiritrompa). Fue Arquímedes en su libro De las espirales el que primero hizo un profundo y exhaustivo estudio de la espiral uniforme, demostrando que el área en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve. Además utilizó en este libro la espiral uniforme para calcular la longitud de un arco de circunferencia, para cuadrar el círculo y para trisectar un ángulo, viéndose involucrada esta espiral en los problemas clásicos matemáticos de la antigüedad. Figura 7.Espiral uniforme o espiral de Arquímedes.

11 Espiral de Durero Hay que esperar más de 18 siglos para que un artista con grandes dotes matemáticas, Alberto Durero, proporcione en 1525 los métodos para dibujar otro tipo más complejo de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnómico. Éstas son las que se obtienen al encajar de forma recurrente figuras geométricas semejantes y unir sus vértices. Partiendo de un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea, aplica un cuadrado sobre el lado mayor, obteniendo una sucesión de rectángulos áureos encajados. A continuación une mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado. Así se obtiene la famosa espiral de Durero, muy similar a la espiral logarítmica. Figura 8.Espiral de Durero.

12 Sin embargo y a pesar de su gran amor por las matemáticas, Durero es fundamentalmente un pintor. Por ello en su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas, no realiza un estudio teórico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construcción. Sin embargo hay que resaltar que Durero consiguió construir esta espiral exclusivamente con regla y compás, según los cánones clásicos griegos, algo imposible para el caso de la espiral uniforme o logarítmica. Espiral logarítimica La espiral logarítmica se caracteriza porque todos sus radios vectores salientes del origen cortan con el mismo ángulo a la curva. Este tipo de espiral se puede encontrar en la Naturaleza de diversas formas: los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados. Figura 9.Galaxia espiral M74.

13 Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, forman espirales logarítmicas. Un ciclón tropical es un sistema de tormentas con una circulación cerrada alrededor de un centro de baja presión, que en este caso actúa como polo de la espiral. Figura 10.Ciclón Catarina, ciclón tropical del Atlántico Sur visto desde la Estación Espacial Internacional (26 de marzo de 204). Además el halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica: aprovecha en todo momento el ángulo óptimo de visión entre el radio vector que lo une con su presa y su propia trayectoria de vuelo.

14 Figura 11. Trayectoria del halcón al aproximarse a su presa siguiendo una espiral logarítmica Las primeras discusiones acerca de la llamada espiral logarítmica aparecieron entre Descartes y Mersenne en 1638, buscando una curva que cortase con el mismo ángulo todos los radios vectores provenientes de un centro fijo. Torricelli se dió cuenta antes de la invención del cálculo diferencial que esta espiral rodea el origen infinitas veces antes de alcanzarlo y que sin embargo su longitud es finita, la cual fue capaz de hallar. Esta espiral se conoce con el nombre de espiral geométrica, proporcional o equiangular y fue llamada por Jakob spira mirabilis, entusiasmado por sus propiedades geométricas. Fue él quien tras el estudio de esta curva la expresó en polares de la siguiente forma:!=1/k log(r/c) donde c y k son constantes y! es el ángulo de giro, llegando a la natural denominación de espiral logarítmica. Entre 1691 y 1693 Jacob Bernouilli descubrió varias propiedades de esta curva que les pasaron desapercibidas a Descartes y Torricelli, entre ellas el hecho de que la espiral logarítmica es la única curva que verifica que su evoluta, su involuta, su caústica de reflexión y refracción y su podaria son una espiral logarítmica (ver glosario

15 de curvas). Es decir, reflexiones y refracciones de rayos provenientes del polo de la espiral crean espirales logarítmicas iguales. El descubrimiento de este perpetuo renacimiento maravilló tanto a Bernoulli que estableció que en su tumba estuviera grabada la espiral logarítmica junto a la expresión Eadem mutata resurgo (aunque cambiada surjo de nuevo igual). Desgraciadamente, el cantero grabó una espiral de Arquímedes, así como el siguiente epitafio que puede ser observado hoy en día en la tumba original de Jakob Bernoulli en el claustro de la catedral de Basilea. Figura 12.Tumba de Jakob Bernoulli Amado por su familia: Jakob Bernoulli, el incomparable matemático, más de 18 años profesor de la Universidad de Basilea, miembro de las Reales Academias de París y Berlín, famoso por sus escritos, por una enfermedad crónica, completamente lúcido hasta su muerte, en el año de gracia de 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 6 meses, falleció esperando la resurrección. Judith Stupan su mujer durante 20 años, ha erigido un monumento junto con sus dos hijos al marido y padre que tanto echan de menos. 5.El problema de la espiral logarítmica A continuación aparecen fragmentos del artículo original, así como la traducción del mismo y comentarios sobre las ideas presentadas en él. Specimen alterum Calculi differentialis in dimetienda Spirali Logarithmica. Figura 13. Espiral Logarítmica.

16 De Spirali Logarithmica: Si in plano circuli BCH jaceat curva BDEIPC, quam secent eodem angulo obliquo radii CB, CL&c. ex centro circuli C educti, dicetur Curva haec Spiralis Logarithmica; quoniam sumtis arcubus LM, MN&c. infinite parvis & aequalibus, hoc est, ipsis BL, BM, BN, Arithmetice proportionalibus, radii DC, EC, IC, sunt Geometrice proportionales, ob Triangula similia DCE, ECI,&c. 1-Longitudo Curvae: Centro C describantur arcus EF, IG,PQ, & ducantur rectae CH,CS & QR perpendiculares ipsis CB,CD, quae secent tangentes curvae BH, DS in H,S, & R: sic erunt Triangula DFE, EGI similia ob angulos FDE, GEI ex hyphothesi aequales, &DFE, EGI rectos; quare CD DS:: FD DE::GE EI ::FD+GE DE+EI &c.;hoc est ::DC DIPC: quare DS=DIPC. Eadem opera ostenditur DR=DIP, adeoque & RS=PC. Corroll. Quia spiralis haec infinitis gyris circa centrum C convolvitur, patet, curvae alicui posse rectam finitam aequalem dari. 2-Spatium: Positis CB=r, CH=t, BM=x, CE=y, erit r (CM) dx (LM) :: y (CE) ydx/r =EF; hinc EF in EC/2=ydx/r in y/2= yydx/2r=$ecf; sed DF (dy) FE (ydx/r) :: BC (r) CH (t).

17 Unde ydx=tdy, adeoque yydx/2r ($ECF)= tydy/2r; & hujus integrale tyy/4r= omnibus triangulis FCE, GCI, &c. hoc est, spatio DIPCD. Si y ponitur =r erit tyy/4r (=tr/4=$bch/2) = toti spatio spirali BDPCB, repetitis vid toties portiunculis circa centrum C existentibus, quot gyris singulae communes sunt. De Loxodromiis Nautarum: Esto jam in eadem figura BLDC superficies sphaerae, C polus, BL aequator, CB,CL&c. meridiani secantes curvam BIPC constanti angulo FDE, erit Curva haec dicta Loxodromica. 1-Longitudo Loxodromiae: Descriptis arcubus aequatori parallelis FE,GI,PQ, ut prius, erit haud absimiliter: Sinus totus ad secantem ang. FDE :: DF. DE :: EG. EI :: (DF+EG&c.). (DE+EI&c.) :: hoc est, arcus meridiani DQC (complementum elevationis poli loci D) ad longitudinem loxodromiae DIPC; et ita quoque arcus DQ seu differentia latitudinum locorum D & P, ad partem Loxodromiae MIP his locis interjectam. Cor: Hinc portiones Loxodromiae inter duo quaecunque loca latitudine aequidifferentia sunt aequales, & generaliter partes Loxodromiae ejusdem proportionales sunt differentiis latitudinum inter partium terminos. Espiral logarítmica Si en un plano BCH yace la curva BDEIPC, que corta a los radios CB,CL&c. de la circunferencia con centro en C con el mismo ángulo U se dice que la curva forma una Espiral Logarítmica. Siendo los arcos LM, MN&c. infinitamente pequeños e iguales, por la semejanza entre los triángulos DCE,ECI&c., los radios DC,EC,IC&c. son proporcionales. Figura 14. Triángulos semejantes.

18 D E U U I dl dl C Como el arco que inscribe cada triangulo es el mismo, todos ellos comparten el ángulo dl. Por otra parte, y por definición de la Espiral Logarítmica, todos ellos comparten además el ángulo U, por lo que los tres ángulos son iguales en todos los triángulos, quedando probada su semejanza. Longitud de la espiral logarítmica Siendo las rectas CH, CS & QR perpendiculares a los radios CB, CD &c.,cortan a las tangentes a la curva BH, DS en los puntos H, S, & R. Los triángulos DFE, EGI son semejantes ya que los ángulos FDE, GEI son iguales por hipótesis, y los ángulos DFE, EGI son todos rectos. Por otra parte, el triángulo DCS es semejante a DFE, por tener los mismos ángulos. Así, debido a esta semejanza de triángulos, se cumplen las siguientes proporciones : CD/DS=FD/DE=EG/EI=(FD+GE)/(DE+EI)=...=DC/DIPC, de lo cual se concluye que DS=DIPC, es decir que la longitud de la Espiral Logarítmica desde un punto arbitrario D hasta el origen es la hipotenusa del triángulo DCS. La hipotenusa DS debe prolongarse hasta su intersección con la perpendicular al radio que pasa por el punto arbitrario D de la Espiral.

19 Además, siempre es posible trazar una circunferencia centrada en C que sea tangente a la curva en un punto intermedio P. Como se observa en la figura 1, trazando una perpendicular a DC por el punto Q de intersección entre esta circunferencia y la propia DC se obtiene R, siendo RS la longitud restante de la Espiral Logarítmica desde el punto intermedio P hasta el origen. Corolario. La Espiral Logarítmica da un número infinito de giros alrededor del origen, debido a que siempre es posible encontrar otro punto intermedio entre R y S, al que corresponde una circunferencia tangente a la Espiral de radio intermedio entre QC y cero, y se puede repetir este proceso indefinidamente. Área encerrada por la espiral logarítmica. Tomando CB=r, CH=t, BM=x, CE=y, DF=dy, LM=dx, se tiene la siguiente proporción : r/dx= y /EF = 1/dl, siendo dl el ángulo infinitesimal que subtiende los arcos dx y dy. Así, EF=ydx/r ; $ECF= EF EC/2= (ydx/r)(y/2)=yydx/2r &c., Por la semejanza de los triángulos BCH con los triángulos diferenciales DFE, EGI r/t=dy/ef = dy /(ydx/r); es decir, Así, ydx= tdy; $ECF=yydx/2r=tydy/2r. Integrando todos estos triángulos diferenciales se obtiene el espacio cubierto por la Espiral Logarítmica entre los puntos D y C: " $= " tydy/2r=tyy/4r Tomando y=r, se obtiene el espacio total de la espiral Etotal=tr/4, siendo r la distancia al origen desde su punto más alejado B; t es la distancia sobre la perpendicular al radio CB hasta la intersección con la tangente a la espiral en B. Siendo en este caso r y t los dos catetos del triángulo cuya hipotenusa es la tangente a la curva, y sus catetos el radio que une el punto más alejado con el centro, y su perpendicular. Así, Jakob obtiene el armonioso resultado de que la hipotenusa del triangulo BCH es la longitud total de la Espiral Logarítmica, mientras un cuarto del producto de sus catetos es el espacio total de esta curva.

20 Además establece como corolario el sorprendente resultado para la época en la cual se está todavía inventando el cálculo diferencial de que a partir de una recta finita se generan infinitos giros alrededor del origen de la espiral. Loxodromica Considerando BLDC como una superficie esférica de la cual C es el polo, BL el ecuador y CB,CL&c. sus meridianos, la curva BDEPC que corta a estos meridianos con el mismo ángulo se conoce como Loxodromica. Longitud de la Loxodromiae De forma similar a la Espiral Logarítmica, por la semejanza de los triángulos DEF, EIG &c. se cumplen las siguientes proporciones: DF/DE=EG/EI=(DF + EG&c.)/(DE+EI&c)=.=DQC/DIPC, Siendo DQC la longitud sobre el meridiano desde el punto D hasta el polo C, y DIPC la longitud de la Loxodromica desde D hasta C. Así, según esta proporción, a puntos sobre sus respectivos meridianos proporcionales, le corresponden longitudes sobre la curva Loxodromica también proporcionales. Corolario: Puntos con misma diferencia de latitud les corresponden misma longitud de recorrido sobre la curva Loxodromica. De forma análoga a la espiral logarítmica aunque más complicado por dejar de ser un problema en el plano, Jakob Bernoulli obtiene el espacio bajo la Loxodromica. 6.Evolución e influencia del problema de la espiral logarítmica. El estudio de Jakob Bernoulli de la espiral logarítmica fue recogido por Newton en tres proposiciones de sus Principia (1687). En la primera de ellas probó que si la fuerza de la gravedad fuera inversamente proporcional al cubo de la distancia en vez del cuadrado de ella, los planetas se alejarían del Sol describiendo difusas espirales logarítmicas. En la segunda proposición probó que una partícula se mueve en una espiral logarítmica si es atraída hacia su polo con una fuerza proporcional al cuadrado de la densidad del medio en el que se mueve, siendo ésta inversamente proporcional a la distancia desde el polo. En la tercera proposición generalizó la anterior para densidades inversamente proporcionales a cualquier potencia de la distancia al polo de la espiral. Aparecieron discusiones acerca de la espiral logarítmica en varias partes de Geometría Demonstratio Theorematum Hugeniaorum circa Logisticam seu Logarithmicam

21 Lineam, (Florencia, 1701) del matemático jesuita italiano Guido Grandi. En esta obra se tratan problemas acerca de la spirali logarithmicae per duos motus descriptio y sobre in Spirali Logística, alias Spiralis Logarithmicae, quibusdam Spiralis Geometricae riomine appellata. Al final del volumen se estudia por primera vez una espiral cortando los generadores de un cono recto circular con un ángulo constante. Grandi probó con métodos puramente geométricos que esta espiral puede proyectarse en una espiral logarítmica. En 1892 Stringham mostró que definiendo adecuadamente la espiral logarítmica es posible usar un lugar geométrico para definir el logaritmo y demostrar sus propiedades, lo cual lleva a la clasificación de sistemas logarítmicos. También James Clerk Maxwell ( ) publicó un artículo a la temprana edad de 18 años en el que aparecen propiedades de las espirales logarítmicas, recogidas en las siguientes citas del artículo: "The involute of the curve traced by the pole of a logarithmic spiral which rolls upon any curve is the curve traced by the pole of the same logarithmic spiral when rolled on the involute of the primary curve." "The method of finding the curve which must be rolled on a circle to trace a given curve is mentioned here because it generally leads to a double result, for the normal to the traced curve cuts the circle in two points, either of which may be a point in the rolled curve. "Thus, if the traced curve be the involute of a circle concentric with the given circle, the rolled curve is one of two similar logarithmic spirals." "If any curve be rolled on itself, and the operation repeated an infinite number of times, the resulting curve is the logarithmic spiral." The curve which being "rolled on itself traces itself is the logarithmic spiral." "When a logarithmic spiral rolls on a straight line the pole traces a straight line which cuts the first line at the same angle as the spiral cuts the radius vector." Estas propiedades amplían las propiedades de la espiral logarítmica estudiadas por Jakob, es decir, que la espiral logarítmica es la única curva que verifica que su evoluta, su involuta, su caústica de reflexión y refracción y su podaria son una espiral logarítmica. Estos son algunos de los ejemplos más relevantes de problemas relacionados con el problema de la espiral logarítmica., que prueban que dicho problema tuvo continuidad en la Historia de la Matemática. 7.Glosario de curvas. Caústica de reflexión: La envolvente de los rayos de luz emanados desde el polo y reflejados por la curva.

22 Caústica de refracción: La envolvente de los rayos de luz emanados desde el polo y refractados por la curva. Envolvente de una familia de curvas: Curva tangente a cada una de las curvas de la familia en el punto de contacto. Evoluta: Lugar geométrico de los centros de curvatura. También envolvente de las normales a la curva. Evolvente o involuta: Curva de la que la dada es evoluta. Es ortogonal a las tangentes a la curva. Pedal o podaria: Lugar geométrico de las proyecciones perpendiculares desde el polo a las tangentes de la curva dada. 8.Bibliografía -C. Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner s Sons,

L02 - Espirales. La concreción de la progresividad del alejamiento del punto que gira del centro del giro nos da el tipo de espiral de que se trata.

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