286. Microeconomía II Cátedra Prof. Enrique Bour Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Buenos Aires Guía de Trabajos Prácticos

Transcripción

1 II. Teoría del Consumidor EJERCICIO Considere a un individuo que maximiza la siguiente función de utilidad: ux (, x) x a - = x a, 0< a <, sujeto a su restricción de resuuesto: m = x+ x,, > 0. a. Derive las demandas marshallianas de ambos bienes: x( m, ),x( m, ). b. Cuál es el grado de homogeneidad de la función de utilidad? Qué imlica esto sobre el grado de homogeneidad de las demandas? c. Calcule el grado de homogeneidad de las demandas d. Vea que la utilidad es cóncava, Qué imlica esto económicamente? Qué imlica esto sobre las curvas de indiferencia? e. Encuentre la función de utilidad indirecta del consumidor: vm (, ). f. Vea que se cumlen las cuatro roiedades de las funciones indirectas de utilidad, i.e. homogeneidad de grado 0, estrictamente creciente en m, y no decreciente en, cuasi-convexidad, y continuidad. g. Comruebe que vale la identidad de Roy. EJERCICIO Considere el caso del mismo consumidor minimizando su gasto: mx (, x) = x + x,, > 0, sujeto a cierto nivel redeterminado de utilidad u = x a x - a. a. Encuentre las funciones de demandas comensadas: h (, u), h (, u). Además de la minimización del resuuesto, Existe otra forma de obtener esta función? b. Encuentre la función de gasto: eu (, ). Además de la minimización del resuuesto Existe otra forma de obtener esta función? * * c. Vea que si ( x, x ) es el argumento que maximiza la utilidad dado m, entonces también será el * * argumento que minimiza el gasto, dado u = u ( x, x). Además vea que el valor ótimo del roblema de minimización es m. Es decir se verifican la siguiente identidad. x( m, ) = hvm (, (, )). * * d. Vea que si ( x, x ) es el argumento que minimiza el gasto dado u, entonces también será el argumento que maximiza la utilidad dado m = e(, u). Además el valor de utilidad máximo será u. Es decir se verifica la siguiente identidad: hu (, ) = xeu (, (, )), EJERCICIO 3 Dada la siguiente función de utilidad cuasi-lineal: uxy (, ) = x+ 0.5ln( y). Obtenga las demandas marshallianas y las comensadas. Qué se uede decir de ellas? EJERCICIO 4 Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: uxy (, ) = ux ( ) + y. El bien x es discreto, los únicos niveles de consumo son x = 0 y x =. Además U (0) = 0 y = a. Qué tio de referencias tiene el consumidor? b. Cuál es el valor x, tal que si x es estrictamente menor a ese valor el consumidor elegirá decididamente x =? EJERCICIO 5 Si las referencias ueden ser reresentadas or las siguientes funciones de utilidad y la restricción de riqueza usual: / 4 3/ 4 u( x, x) = x x u( x, x) = 0.4lnx + 0.6lnx u3( x, x) = x + x u4( x, x) = Min{ x, x} u5( x, x) = xx u ( x, x ) = ( x + ) x (Pista: no suonga soluciones interiores) 6 En cada caso: 86. Microeconomía II Cátedra Prof. Enrique Bour Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Buenos Aires Guía de Trabajos Prácticos

2 a. Hallar demandas marshallianas y hicksianas, función de gasto y de utilidad indirecta. EJERCICIO 6 a. Verificar que las referencias lexicográficas son comletas, transitivas, estrictamente monótonas y estrictamente convexas. b. Verifique que la relación: xry x es indiferente a y se trata de una relación de equivalencia. Describa la clase de equivalencia del cesto x Como odemos articionar al conjunto de consumo? c. Decida si la relación xry x f y es una relación de orden, decida si es de reorden. d. En el rimer eríodo x = y y =, y el consumidor comra unidades de x y 8 unidades de y. En el segundo eríodo x = and y = y el consumo es de 0 unidades ara el bien x y 0 ara el bien y. Probar que este set no es consistente con la maximización racional de la utilidad de referencias bien comortadas. EJERCICIO 7 α Demostrar que la función de utilidad U = Aq q de W α = q β q (donde A, α, β > 0 ) y viceversa. β es el resultado de una transformación monótona EJERCICIO 8,5 Sea la función de utilidad de un consumidor U = q q y su restricción resuuestaria 3q + 4q = 00 a. Hallar la cesta ótima de consumo. 6 4 b. Si U = q q +,5ln q + ln q (con igual restricción resuuestaria), demostrar que la cesta de consumo ótima es igual que en el unto (a). Por qué ocurre esto? EJERCICIO 9 El lugar geométrico de los untos de tangencia entre las rectas de resuuesto -dados y, y dejando variar la renta- se llama línea de exansión de la renta o curva de Engel. Demostrar que si γ U = q q (ara γ>0) la curva de Engel es una línea recta. EJERCICIO 0 Construya la función indirecta de utilidad a artir de la función directa U = α ln q + q. Utilice luego la identidad de Roy ara hallar las demandas ótimas y comruebe la igualdad de este resultado con el obtenido del roceso de maximización. Ejercicios extraídos de la Guía de Microeconomía del Prof. L eandro Gorno EJERCICIO Laura consume x kilos de an e y litros de cerveza, que consigue a recios x y y, resectivamente. Su ingreso es de m esos. Sus referencias se ueden reresentar or medio de la función de utilidad: uxy (, ) = min { x, y } a. Dibuje tres curvas de indiferencia de Laura. b. Encuentre la demanda no comensada de Laura. c. Encuentre la demanda comensada de Laura. EJERCICIO Dada la función de utilidad uxy (, ) = max{ xy, } a. Grafique las referencias subyacentes. b. Obtenga la demanda no comensada y la función de utilidad indirecta. c. Asumiendo que x > y, determine la senda de exansión del ingreso y comute la elasticidad ingreso de la demanda del bien x. d. Obtenga la demanda comensada y la función de gasto.

3 EJERCICIO 3 Juan consume dos mercancías. Sus referencias (sobre + ) se ueden reresentar con la función de utilidad uxy (, ) = x max{ y,}. a. Grafique cuidadosamente las referencias de Juan. b. Determine gráficamente la cantidad demandada cuando m = x= y=. c. Grafique la senda de exansión del ingreso cuando los recios son iguales. EJERCICIO 4 (E. Kawamura) Lucrecia gusta de consumir ollo y limón (que consume sólo con el ollo). Denotando con x a los kilos de ollo y con x a los kilos de limón que consume en un mes, entonces sus referencias ueden reresentarse or la función de utilidad ux (, x) = x + min{ x, x }. Lucrecia recibe un ingreso de m esos y los recios del kilo ollo y de limón son y, resectivamente. a. Dibuje dos curvas de indiferencia (or ejemlo, ara u = y u =. Interretar (no más de dos renglones) b. Cuál es la TMS medido como el limón que Lucrecia está disuesta a sacrificar or cada kilo de ollo adicional y mantenerse indiferente? c. Suongamos que / <. Cual es la función de demanda? d. Suongamos que / >. Cual es la función de demanda? e. Suongamos que / =. Puede decir cuál es el consumo ótimo de Lucrecia? f. Podemos hablar de función de demanda en este caso? EJERCICIO 5 Diana tiene referencias racionales sobre el consumo de dos mercancías (en reresentables or una función de utilidad. Su función de gasto es e ( x, y, u) = ( x + k y) u, donde k es una constante ositiva. a. Comute su función de utilidad indirecta. b. Comute su demanda no comensada. c. Comute su demanda comensada. d. Cómo son los efectos sustitución roios? Por qué? + EJERCICIO 6 Diego tiene referencias racionales sobre el consumo de dos mercancías (en ), + reresentables or una función de utilidad. Su función de utilidad indirecta está dada or V( x, y, m) = m/ x a. Comute la demanda no comensada de Diego. b. Comute su función de gasto. c. Comute la demanda comensada de Diego. d. Encuentre una relación de referencias consistente con la función de utilidad indirecta dada. ), 3

4 Ejercicios extraídos de la Guía de Microeconomía del Prof. Sebastián Auguste EJERCICIO 7 Considere la siguiente función de utilidad u(x ; x ) = x =0 x 9=0 : Suonga que el ingreso del consumidor es de 00 unidades monetarias y los recios iniciales son: 0 = y 0 = : (a) Calcule las variaciones comensatoria, equivalente y del excedente del consumidor si el recio del rimer bien sube una unidad. (b) Cómo se modi can estas medidas si ahora el recio del rimer bien baja de hasta (el recio del segundo bien se mantiene constante en )?. Suonga una economía de n agentes y dos bienes, uno normal y otro inferior. Para el individuo i las referencias son estrictamente convexas. Partiendo de una situación inicial de equilibrio arcial en cada uno de los mercados, donde el vector de recios de equilibrio es 0 = 0 0 > ; se ide: 0 0 (a) Gra car en un mismo esquema las demandas marshallianas y hicksianas de cada uno de los bienes. (b) Marcar el excedente del consumidor en ambos casos. 3. Demuestre que si un bien no tiene efecto ingreso, las VC y VE son iguales. 4. Considere un cambio de recios de 0 0 = a = donde 0 y solo el recio del bien uno cambia. Muestre que si es un bien inferior, V C 0 ; ; w > V E(P 0 ; P ; w). Interrete geométricamente. EJERCICIO 8 5. Considere el cambio en el vector de recios de dos bienes de 0 0 = a = : Exrese la VE y la VC ara el cambio en ambos bienes en términos de la suma de integrales bajo las corresondientes curvas de demandas hicksianas. 0 0

5 Ejercicio del Prof. Enrique Kawamura con muchas modificaciones EJERCICIO 9 Un consumidor tiene referencias reresentables a través de la siguiente función de utilidad: { } U ( x, x ) = Mín x +, x + x,x + a) Lo rimero que debe emezar a hacer es graficar las curvas de nivel (comente conjunto de indiferencia). Para ello, tome un nivel de utilidad de 0: { } Mín x +, x + x,x + = 0 = U Se esero que usted esté de acuerdo, en que ara que ello suceda, se deben cumlir simultáneamente tres condiciones (comente, or qué simultáneamente): x + = 0 x + x = 0 (?) Cuál es la tercera condición que debe cumlirse? El siguiente aso, es exresar las tres condiciones anteriores con mayor e igual: x + 0 x + x 0 (?) Refrescando sus conocimientos de Algebra y de rogramación lineal, grafique las tres condiciones. Puede ser que le quede una recta horizontal, una vertical y otra con cierta endiente (comente)?. Cuál es la zona en la cual se cumlen simultáneamente las tres condiciones (nivel mayor e igual a diez)?. Sombree con algún color dicha zona. Una vez realizado el sombreado, tome la frontera de dicha zona. Qué es dicha frontera? b) Comente y enuncie formalmente insaciabilidad local. Estas referencias: Cumlen dicho suuesto? En articular, cuáles son los axiomas de deseabilidad que la cumlen y cuáles no? c) Resecto de los axiomas de convexidad, cuáles son satisfechos or este tio de referencias? d) Comente continuidad de las referencias. Teniendo en cuenta que estas referencias son continuas, es casualidad que uedan ser reresentadas a través de una función de utilidad?

6 e) Ahora se sabe que el consumidor tiene una riqueza w = 0. También se conoce = =. Comente conjunto resuuestario y grafíquelo. que f) El cumlimiento de la condición de otimalidad (TMS igual a cociente de recios), Es una condición necesaria ara la maximización de la utilidad del consumidor?. g) Encuentre las demandas marshallianas, teniendo en cuenta los datos del inciso e. Es satisfecha la condición de otimalidad? Se uede hablar de funciones? h) Ahora encuentre las demandas marshallianas, teniendo en cuenta lo siguiente: w = 4.5, = =. Se cumle la condición de otimalidad? Se uede hablar de funciones? i) Teniendo en cuenta que el bien uno se ha encarecido en términos relativos, la variación de la renta del consumidor: es equivalente o comensatoria? Ejercicio del Prof. Federico Weishellbaum (con algunas modificaciones) EJERCICIO 0 Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: U (, ) = Máx (a, a ) +Mín (, ) a) Encuentre las demandas Marshallianas cuando a=. b) Encuentre las demandas comensadas cuando a= c) Encuentre la función de gasto mínimo cuando a=0