Departamento de Matemáticas Facultad de Química UNAM. Febrero de 2011

Transcripción

1 Lógica Matemática. El sistema M-I César Rincón Orta Departamento de Matemáticas Facultad de Química UNAM Febrero de 2011

2 La lógica matemática puede considerarse como una teoría analítica del arte de razonar, cuyo objetivo es sistematizar (codificar) los principios que rigen los razonamientos válidos Surge del estudio de la forma en que usamos el lenguaje para persuadir, y se basa en la identificación de las partes esenciales de éste, que se requieren con tal propósito

3 La geometría de Euclides es la semilla, el germen, de los métodos axiomáticos

4 TEORÍAS (O SISTEMAS) AXIOMÁTICOS Conceptos y relaciones primitivas Conceptos y relaciones definidas Axiomas o postulados Reglas de inferencia TEOREMAS

5 DEMOSTRACIONES Una demostración es un mecanismo de convencimiento, es un proceso informal. Un producto del pensamiento, formulado en lenguaje humano y destinado al consumo humano Se pueden aplicar en él, todas las complejidades y sutilezas de la inteligencia y del arte de persuadir

6 La demostración matemática de una proposición debe ser como un camino que, partiendo de una situación aceptada (hipótesis) y que por tanto debe ser comprendida por todos, conduzca a través de pasos sucesivos hasta un estado psicológico en el que la afirmación de la proposición resulte obvia. El rigor de la demostración depende del hecho de que cada paso sea perfectamente claro simplemente tomando en cuenta las extensiones de significado que se han ido efectuando en pasos previos R. THOM

7 LA GEOMETRÍA E H EN EL PLANO Conceptos Puntos Relaciones Pasar por, Estar en, primitivos Rectas primitivas Estar entre, Distancia Conceptos definidos Segmentos, Ángulos, Perpendicularidad, Paralelismo, ) ) ) ) ) AXIOMAS O POSTULADOS La recta es infinita (tiene un número infinito de puntos) Dos puntos determinan una recta Todos los ángulos rectos son congruentes Dado un punto P y una distancia r, existe una circunferencia de centro P y radio r Dada una recta l y un punto P no en l, existe una única recta m paralela a l y que pasa por P

8 C TEOREMAS A + B + C = 180 A B a c a 2 + b 2 = c 2 b β α α = β

9 TEORÍA (INTUITIVA) DE CONJUNTOS Conceptos primitivos Conjuntos Elementos Relación primitiva: Pertenecer Conceptos definidos Uniones Intersecciones Complementos Relaciones definidas Igualdad Contención Diferencia AXIOMAS (Z-F) (HALMOS) 0) Existe (al menos) un conjunto 1) Extensión 2) Especificación 3) Parejas desordenadas 4) Uniones e intersecciones 5) Conjuntos potencia 6) De infinito TEOREMAS: Las leyes que rigen al álgebra de conjuntos

10 Conceptos primitivos: Ν, 0 ARITMÉTICA EN Ν: AXIOMAS (PEANO) Relación primitiva: sucesor ) 0 Ν ) n Ν s(n) Ν ) n, s(n) 0 ) s(n) = s(m) n = m ) ) { S N 0 S n S s(n) } S = Ν Teoremas: T. de recursión: Def. Suma Producto Exp., Factoriales, 1er Teorema de Inducción, 2 Teorema de Inducción, Principio del Buen Orden Propiedades de las Operaciones.- El orden Canónico

11 TEORÍAS AXIOMÁTICAS (ABSTRACTAS) 2 a VERSIÓN Símbolos Conjuntos de Símbolos Palabras Palabras bien formadas Axiomas Reglas de Formación Teoremas Conjuntos de Símbolos Palabras PBF Teo Ax

12 EL SISTEMA M-I Símbolos: M, I, Variables sobre las colecciones de guiones: x, y, z Palabras: Sucesiones de símbolos (y variables) M I M M, M I, x M M Palabras bien formadas: x M y I z M I, x:, y:, z: Axiomas: x M Ix Ejemplo: M I Todo axioma es un teorema

13 REGLA DE FORMACIÓN DE TEOREMAS Si x M y I z es teorema, entonces x M y I z también (y son todos) M I es un teorema? CRITERIO DE DECISIÓN Cuál es una característica de los teoremas? La regla de formación expresa una relación de teoremicidad entre dos palabras, pero no asegura que cada una sea teorema. Es una relación: si fuera, sería

14 OJO: Todos los teoremas son de la forma x M y I z. (Los axiomas son de esa forma y la regla de construcción la preserva) por lo tanto, expresiones como: M M I, M M, I M NO SON TEOREMAS DEL SISTEMA Cuáles si? 1 Iteración (cancelar guiones) M I M I Que se puede reconocer como AXIOMA, representando con x = M I M I M I Axioma (x = ) M I ( M I ) ( ) NO Cuál es el criterio de teoremicidad? 2 x M y I z I x + y = z

15 LA SUMA EN Ν: Para cada número natural n, se define (recursivamente) su tabla de sumar de la manera siguiente: 1) n + 1 = n x M Ix 2) n + k = (n + k) x M y I z x M y Iz ISOMORFISMO Todo teorema M-I es un teorema de la suma en Ν I M-I I Ν,+ Es una proposición cierta que no se? = 6? puede demostrar en el sistema M-I El sistema P-I con axiomas: x P I x, x P y I z x P y Izx captura la multiplicación? Puede capturarse la propiedad de ser un número primo? Las operaciones de la aritmética pueden representarse de manera que sus propiedades queden expresadas por reglas tipográficas explícitas?

16 Hilbert Congreso Internacional de Matemáticas.- París Los problemas de la Matemática La más exitosa y profunda recopilación de problemas abiertos producida por un matemático Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el cual se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia? Qué métodos, qué nuevos hechos revelarán los nuevos siglos en el vasto y rico campo del pensamiento matemático? 2) Son compatibles los axiomas de la aritmética? 6) Es posible crear un sistema axiomático para la Física?, Para la Teoría de Números? Propuesta: Construir un sistema axiomático consistente con el que pudieran demostrarse todas las proposiciones de la aritmética. Gödel: ~(1931) en todo sistema axiomático consistente para la Teoría de Números existen proposiciones indecidibles

17 INTELIGENCIA ARTIFICIAL CEREBROS ARTIFICIALES?

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