UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matemática MATEMATICAS II MAT- 022

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1 MATEMATICAS II MAT

2 0.1. Matrices y Determinantes Sistemas de ecuaciones lineales: matrices, algebra de Matrices, transpuesta, inversas, matrices elementales, determinantes y sus propiedades, rango, resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 1. Sean A y B matrices cuadradas tal que A = αb + βi con α, β. Comprobar que A y B conmutan. ( ) ( ) i i 2. Si A = y B = es verdad que: 1 + 2i i i a) det(ab) = det(a) det(b) b) det(a + B) = det(a) + det(b) 3. Considere el sistema de ecuaciones siguiente 2x + βy + z = 1 x + 3z = α x z = 0 Este sistema representa las ecuaciones de tres planos 3, π 1, π 2 y π 3, respectivamente. Determine los valores de α y β en para los cuales los tres planos: a) Se intersectan en un único punto. b) Se intersectan en infinitos puntos. 4. Considere el sistema Discutir (en función de α) para que: αx + y + z = 1 x + αy + z = α x + y + αz = α 2 a) El sistema tenga única solución y encuentre dicha solución; b) El sistema tenga infinitas soluciones y expréselas c) El sistema no tenga solución 5. Resuelva y discuta las soluciones del sistema de ecuaciones en términos de sus parámetros a, b 6. Sea A M 2 () dado por A = 0 a b a 0 0 b 0 0 αx + 2y + 3z = 14 2x y + z = 3 4x + 3y + az = b pruebe que los valores propios de A son reales. 7. Usando el método de la matriz ampliada, determine los valores de λ tales que el sistema 1 2 x + y z = 2 4x + y + 4z = 5 3x y + λ 2 z = 1 tenga a) infinitas soluciones. b) solución única. c) solución vacía. 2

3 8. Una matriz M M n n () se dice nilpotente de grado k si M k = 0 n n, pero M m 0 n n para m < k. Puede una matriz nilpotente ser invertible? 9. Una matriz M M n n () se dice nilpotente de grado k si M k = 0 n n, pero M m 0 n n para m < k. Puede una matriz nilpotente ser invertible? 10. Calcule el siguiente determinante: = n n n n n n 11. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Cramer cuando sea posible, y cuando no lo sea, determine si existen infinitas soluciones o no las hay: x + y = 3 x + (a 2 8)y = a 12. Hallar la matriz inversa de la matriz cuadrada de tamaño n n: n 13. Si M M n n () es nilpotente de grado k, es posible que k n?. 14. Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: 15. Sea a) A M(n n, ), n impar det(a A t ) = 0. b) A + A t es simétrica. c) A simétrica A 2 simétrica. d) A M 2 () tal que A 2 + A = I e) Si A = 0 a b a 0 b 0 A 1. 0 b a A = λ µ a) Determinar la relación entre λ y µ para que exista A 1. b) Si λ = µ = 0. Calcular A Determinar la relación que deben cumplir a, b, c, d para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones: x 1 + ax 2 + a 2 x 3 + a 3 x 4 = 0 x 1 + bx 2 + b 2 x 3 + b 3 x 4 = 0 x 1 + cx 2 + c 2 x 3 + c 3 x 4 = 0 x 1 + dx 2 + d 2 x 3 + d 3 x 4 = 0 3

4 17. Se dice que dos matrices A y B cuadradas conmutan si se cumple que AB = BA. Demuestre que las únicas matrices cuadradas que conmutan con cualquier otra matriz cuadrada son de la forma k I n, es decir, son de la forma k k k 0.2. Secciones Cónicas y coordenadas polares Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones cuadráticas y rotaciones Cónicas y ecuaciones paramétricas. La cicloide. Coordenadas polares y sus gráficas.secciones cónicas en coordenadas polares. 18. Considere la circunferencia C de la ecuación: (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. a) Exprese la curva C en coordenadas polares, con polo en (0, 0) y el eje polar, el semi-eje positivo x. 19. a) Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices y focos corresponden a los focos y vértices respectivamente de la elipse de ecuación b) Encontrar respecto a la elipse 1) excentricidad 2) ecuación de las directrices 20. Dada la ecuación de la cónica a) Identificar (justifique) x y2 16 = 1 39x xy 11y 2 ( )x ( )y = 548 b) Encontrar nuevos ejes rotados a fin de eliminar el término 50 3xy c) Trasladar estos últimos ejes y así obtener la ecuación canónica de la canónica y graficar d) Encontrar las coordenadas del centro de la cónica en 1) los ejes finales, 2) los ejes rotados, 3) los ejes iniciales e) Escribir las ecuaciones de las asíntotas (si existen), en los 3 ejes anteriores 21. Determinar la ecuación de la hipérbola que tiene como vértices los puntos V = (4, 4) y V = (4, 2) y excentricidad e = Dada la curva de segundo orden x 2 + 2λxy + y 2 1 = 0. Determine el tipo de cónica a que corresponde cuando λ ] 1, 0] Qué sucede si λ = 1? 23. Considere la siguiente ecuación de 2 grado: z 2 6zy + y 2 + 4z + 4y + 6 = 0. Llevándolo a posición central, decida qué tipo de cónica representa (o si no es cónica). De ser cónica, indique su(s) vértice(s), foco(s), excentricidad y grafique en el sistema zy. 24. Encuentre la ecuación de la hipérbola con vértice en (3, 1) y asíntotas: 4x + y 11 = 0; 4x y 13 = a) Determine la naturaleza de la cónica x 2 2xy + y x = 4 b) Determine un cambio de coordenadas (x, y) (u, v) y la ecuación de la cónica en las nuevas coordenadas (u, v) 4

5 26. Dado P = (3, 5) en el sistema XY, encuentre coordenadas de P en el sistema X Y si el origen de X Y es el punto (2, 1) en el sistema XY y además los ejes X e Y forman un ángulo de 45 con los ejes X e Y respectivamente. 27. Dada la cónica u 2 5v 2 8 2u 12 = 0 en el sistema de coordenadas U V ; que forma un ángulo θ = 45 con el sistema de X Y a) Encontrar la ecuación canónica en un nuevo sistema U V, del L.G. e identificar la figura. b) Encontrar la excentricidad, focos, vértices y directrices en los ejes coordenados (U V ) c) Encontrar la ecuación en el antiguo sistema de coordenadas X Y d) Entregar la ecuación de las directrices en el sistema X Y e) Graficar aproximadamente en el sistema X Y 28. Se va a construir una carretera del punto (2, 1) al punto (5, 3) siguiendo la trayectoria de la parábola y = x 1 Calcule la longitud de la carretera (las unidades en el eje de coordenadas son millas) 29. Se consideran las curvas C 1 y C 2 dadas en la forma paramétrica mediante { { x(t) = t x(t) = 1 C 1 = y(t) = 1 C 2 = 2 t2 2 t2 y(t) = t 30. Hallar el área de la superficie engendrada por un arco de la cicloide Al girar alrededor del eje OX 31. Calcular la longitud del arco de curva x(t) = t 1 x = 3(t sin t) y = 3(1 cos t) cos z t dz y(t) = z 1 sin z z dz entre el origen y el punto más cercano donde tenga una tangente vertical. 32. Encuentre el área A de la región que está dentro de ρ = 1 + sin θ y fuera de ρ = 1 cos θ y encima de la línea θ = Determine el área de la región que es interior a la circunferencia ρ = 3 cos θ y la cardioide ρ = 1 + cos θ 34. Encuentre el área interior a la lemniscata ρ 2 = 2 cos θ y exterior a ρ = Encuentre la longitud de la gráfica de r = a sin 3 ( θ 3 ) 36. Calcular el área de la región interior a ambas curvas: r = 2a cos(4θ) 37. Considere la hipérbola de ecuaciones paramétricas: r = a 2 a > 0 { x(t) = cos ht C : y(t) = sin ht t Compruébelo, por integración, que el área encerrada por C, el semieje positivo OX y la recta por el origen O y el punto P = (cos ht, sin ht ), T, es igual a T/2 5

6 38. Calcule la longitud de la cardioide r = 2(1 + cos θ) 39. Si las ecuaciones paramétricas de una curva son Pruebe que la longitud de t 1 a t 2 está dada por x(t) = f (t) cos t + f (t) sin t y(t) = f (t) sin t f (t) cos t L = f(t) + f (t) 40. Sea R la región a ρ 1 (θ) = cos θ y exterior ρ 2 (θ) = 1 cos θ a) Haga un dibujo aproximado de las figuras b) Calcule el área de la región R 41. Considere en coordenadas polares las curvas t2 t 1 C 1 : r = 3 sin θ C 2 : r = 1 + sin θ a) Determine una integral (no la calcule), que permita calcular la longitud de C 2 b) Encuentre la pendiente de la recta tangente a C 2 en θ = π 3 c) Determine el área de la región que se encuentre dentro de C 1 y fuera de C Bosqueje y encuentre el área exterior a la curva r = 1 + cos θ e interior a x 2 + y 2 = Demuestre, usando coordenadas polares que el área A del triángulo rectángulo con uno de sus catetos de medida igual a k viene dado por A = k 2 α 0 sec 2 θdθ sin calcular la integral. α corresponde al ángulo adyacente al cateto de medida k. Ayuda: Escriba en polares la ecuación de la recta x = cte 6

7 0.3. Los vectores y la goemetría del espacio Sistemas de coordenadas tridimensionales Vectores. El producto cruz Rectas y planos en el espacio. Cilindros y superficies cuádricas. 44. Sea v 1, v 2, v 3 3 tal que el conjunto { v 1, v 2, v 3 } es linealmente independiente. a) Determine si el siguiente conjunto es linealmente independiente o dependiente. b) Determine α, β, γ de modo que: {( v 3 v 2 ) v 1, ( v 1 v 3 v 2, ( v 1 v 2 ) v 3 )} 2 v v 2 5 v 3 = α v 1 + β( v 1 v 2 ) + γ( v 1 v 2 v 3 ) 45. a) Encuentre las coordenadas de un vector a de módulo 3, que sea ortogonal a los vectores i j y j k b) Encuentre los valores de m y n (si es que existen) de modo que el vector a = 3 i 2 j + m k sea paralelo con el vector b = n i + j 2 k 46. Dados a, b 3. Es verdadera o falsa la proporción? a b = 0 a b = 0 a = 0 b = 0 Justifique 47. a) Si a = 6; a + b = 11, a b = 7, encuentre b b) Calcule el largo de las diagonales de un paralelógramo construido con los vectores 5 a + 2 b, a b si a = 2 2, b = 3 y ( a, b) = Considere los vectores u = i + 2 j + 3 k y v = 3 i + 2 j + k en 3. Determine un vector w 3 de manera que u, v, y w sean l.i. 49. Considere los vectores a = 3 j 2 k, b = i + j + k y c = 2 i 5 j + 6 k. a) Determine un vector v que satisfaga las condiciones siguientes: 1) v c = 94 2) v b = v a = 0 b) Determine el ángulo formado por a y b y la proyección de b sobre c 50. Sean a = (1, 1, 1), b = ( 2, λ, 3) y c = (2, 3, 1) 3. Determine si existen valores de λ de manera que b sea combinación lineal de a y c (o sea, b gen{ a, c}). { π1 : z = 2 6x 7y 51. Determine el ángulo entre los planos π 2 : z = 1 8x + 7y 52. Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores α = (a 1,..., a n ) de n son subespacios de n (n 3). Justifique: a) Todos los α tales que a 1 0. b) Todos los α tales que a 1 + 3a 2 = a 3. c) Todos los α tales que a 2 = a 1. d) Todos los α tales que a 1 a 2 = 0. e) Todos los α tales que a 2 es racional. 53. a) Sean a 1, a 2 dos vectores unitarios no colineales. Calcule (2 a 1 5 a 2 ) (3 a 1 + a 2 ) si a 1 + a 2 = 3 7

8 b) Determine las coordenadas de un vector unitario p que sea ortogonal a los vectores a = i + j + k y b = i + 3 j k y que forme un ángulo obtuso con el vector c = (0, 1, 0). 54. Sean los vectores a = i k; b 3 i + λ j + 3 k; c = 2 i j + 2 k determine: a) λ tal que ( a b, c) = π 3 b) P roj c a a c) Los gráficos de los vectores a ; a c; a( a c) 55. Sean los vectores a = (1, 2, 3) y b = (3, 2, 1) en a) Determine un vector c 3 tal que, el conjunto { a, b, c} sea: 1) Linealmente independiente 2) Genere 3 b) Sea W el sub-espacio vectorial de 3 generado por los vectores a y b. Encuentre un vector d 3 de norma igual a 3, que sea perpendicular a cada vector de la base de W. Es el vector d perpendicular a todo vector de W?. Justifique su respuesta. 56. Para qué valores de t, el sistema de ecuaciones: a) Admite solución única b) No tiene solución αx + y + z = t x + ty + z = t x + y + tz = Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto P 0 (1, 1, 1) y que contiene a la recta formada por la intersección de los planos: π 1 : x + y z = 1 π 2 : 2x y + 2z = Considere los vectores en 3 a = 3 i 2 j + 6 k, b = 3 i 5 j + 8 k y c = i 4 j + 2 k a) Determine el ángulo formado por a y b y la proyección de a sobre b b) Existen α y β tal que c = α a + β b? c) Calcule el área del paralelógramo formado por b y c 59. Una partícula se mueve en la dirección del vector v = 2 i 3 j + 4 k. Sobre la partícula actúan 2 fuerzas: F 1 = 3 i j + 6 k; F 2 = i + j k. Determine la fuerza total que actúa sobre la partícula en la dirección del vector v 60. Si los extremos de tres vectores distintos a, b y c de origen común son colineales, demuestre que se cumple la relación α a + β b + γ c = 0 con α + β + γ = 0 Siendo α, β, γ números reales distintos de cero. Qué ocurre si algunos de los valores α, β ó γ son cero? 61. Dados a, b y c vectores en n. Si se sabe que a, b y c son linealmente independiente; Qué se puede decir de los vectores a + b + c, a + c b, a c? 62. Demuestre que ( a + b) y ( a b) son ortogonales si y sólo si a = b. 63. Descomponer el vector v = 17 i + 53 j en dos componentes, una en dirección de la bisectriz del primer cuadrante y la otra perpendicular a esta dirección. 8

9 64. Identifique y grafique la superficie en 3 dado por x 2 + 2x y 2 =1 65. Dado los vectores v = (1, 0, 1), w = (2, 3, 1) y u = (3, 3, 2) a) Demuestre que β = ( v, w, u) es una base para 3 b) Encuentre las coordenadas del vector a = ( 2, 3, 5) con respecto a la base β 66. Considere 3 con el producto interno euclidiano, si u, v 3 demuestre que: u v = 1 4 u + v 2 1 u v Verifique que f 1 = (2/3, 2/3, 1/3), f 2 = (1/ 2, 1/ 2, 0) y f 3 = ( 2/6, 2/6, 2 2/3) forman una base ortonormal de 3 exprese a = ( 2, 2, 2) en términos de esta base. 68. Cuántos vectores no nulos de 3 forman un ángulo de 60 con cada uno de los vectores canónicos i, j, k. Sean a, b 3 no nulos tales que a b = 3 a b. Qué ángulo forman a y b. 69. Dados a = (2, 4, 2), b = (1, 1, 1), c = (0, λ, 2λ). Encuentre λ (si es que existe) de modo que el paralelepípedo formado por a, b, c tenga volumen igual a Sean a, b vectores l.i. en 3 que satisfacen las condiciones a b = 2, a = 4. Sea c = 2( a b) 3 b. Calcular: a) a ( b + c) b) El ángulo entre b y c. 71. Sean a y b dos vectores no nulos de 3. Determine un vector unitario u tal que: u ( a + b) = ( a b) u 72. Sean a = (1, 2) y b = ( 1, 1). Encuentre u tal que: u a = 1 y u b = Sea ABC un triángulo. Pruebe que: AB = AC cos α + BC cos β 74. Sean a y b vectores unitarios de 3, tales que ( a, b) = θ Ṗruebe que a b = 2 sin θ a) Dados los vectores u = 3 i 2 j + k; v = i + 2 j 3 k; w = i + j + 2 k calcule α, si existe, tal que el vector α u + v sea perpendicular al vector w b) Sean u, v, w vectores, en 3, linealmente independientes. Pruebe que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores u, v, w + µ v con µ, es igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores u, v, w 76. Sean A, B, C, D puntos en 2, no colineales, M, N, P, Q los puntos medios de los trazos AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestre que: a) MN = 1 2 ( AB + BC) b) MN = QP c) MP y QN se bisectan 77. Dados x = 3i + 2j k; y = 2i + j + 3k; z = 2i + 6j + 4k a) Decida si x, y, z son o no LI b) Decida si 7j 7k está o no en x, y 78. Sean a = 3i + 2j k, b = 2i + j + 3k, c = 2i + 6j + 4k. a) Calcule 2a 3P roy c (b) b) Un vector unitario perpendicular a a y a b 9

10 c) El ángulo entre a y b + c 79. Si a, b, c 3 y a + b + c = 0. Verificar que: a b = b c = c a. Dé una interpretación geométrica de: a b = b c = c a 80. a) Sea a = (1, 1, 2) y p = (2, β, 1). Existe β tal que la proyección de p a lo largo de a (P roy a ( p)) sea igual a a b) Si a, b, c 3 y a + b + c = 0 demuestre que a b = b c = c a, además dé una interpretación geométrica de la igualdad a b = b c = c a 81. Sean a = i+ j k, b = i 3 j λ k y c = 2 i j + k. Encontrar el valore de λ tal que ( a c, b) = π/4 82. Sea a = (17, 31, 1), b = (5, 6, 7) y c = (2, 1, 3). Encuentre un número t tal que: a ( b c) = t c 83. Encontrar la ecuación cartesiana del plano que es perpendicular a la recta L 1, y contiene a la recta L 2, donde: x + 2 L 1 : 3 = y 2 = z L 2 : x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z = 1 t 84. a) Sean u = (3, 2, 1), v = i + 2 j 3 k, w = ( 1, 1, 2). Determine α, tal que, α u + v sea perpendicular a w. b) Calcule, usando vectores, el volumen de un cubo cuyos vértices basales son: A = (0, 0, 0); B = (2, 0, 0); C = (2, 2, 0); D = (0, 2, 0) c) Verifique que {(1, 0, 2), (2, 1, 1), (3, 1, 4)} es un conjunto linealmente independiente. 85. Dados los vectores a = 3 i + 2 j k; b = i + 3 j + k y c = 5 i + 4 j + 3 k a) Determine si { a, b, c} son un conjunto li o ld. Justifique su respuesta. b) Calcular 3 a + 2P roy c b c) Determine un vector de tamaño 3 perpendicular a b y c. 86. Considere los subespacios vectoriales: Encuentre M N y calcule dim(m N) 87. Sean u = i k, v = j + k a) Calcule: M = {(x, y, z) 3 /2x + y z = 0} N = {(x, y, z) 3 / x + 2y + 2z = 0} 1) P roy u ( v) 2) Un vector de norma 2 que sea perpendicular a u v 3) El ángulo entre u y v b) (1,1,2) pertenece al subespacio vectorial generado por u y v 88. a) Sea a = (5, 2, 0) y b = (4, 0, 3). Calcular el área del paralelógramo cuyos lados son a y c = P roy b a. b) Sean u y v vectores no nulos y no paralelos en 3. Demostrar que { u, v, u v} es una base de 3 c) Sean B 1 = {(1, 1), (1, 2)} y B 2 = {( 1, 0), (1, 1)} dos bases ordenadas de 2. Si (3, 1) son las coordenadas de un vector v respecto a la base B 1, calcular las coordenadas de v respecto a la base B a) Encuentre un vector c tal que c = 5 y sea ortogonal a los vectores a = i + j + k, b = i + 3 j k 10

11 b) Si A(3, 2), C(5, 1), E(1, 2) son tres de los vértices de un paralelógramo ACME, determine la longitud de la diagonal AM c) Encuentre un valor de m de modo que los vectores a = i j + 2 k, b = 3 i + j y c = m 2 i + 2 k sean coplanares. 90. Dados a = (2, 3) y b = (1, 2) encuentre dos vectores u y v que cumplan simultáneamente: a) u tenga dirección de a b) v sea perpendicular a a c) u + v = b 91. Encuentre ecuación del plano paralelo a la dirección dada por w = 3i j + 3k y que contenga a la recta de ecuaciones x + y = 3, 2y + 3z = Si a y b, vectores de 3, son ortogonales, pruebe que: a b 2 = a 2 b Dado los vectores a = (2, 1, 1), b = (1, 2, 1) y c = (1, 1, 2), determine todos los vectores d de la forma d = x a + y b x, y que sean ortogonales al vector a y d = Hallar todos los valores de t, para los cuales los vectores (t, 1, 0), (1, t, 1) y (0, 1, t) sean linealmente dependientes. 95. Si los vectores unitarios a, b, c, satisfacen la condición a + b + c = 0 determine: a b + b c + c a 96. Sean a y b vectores que forman un ángulo de 120. Determine el valor de x tal que b = 2 a y a + x b es ortogonal al vector a b 97. Calcule la distancia del origen al plano x 2y + 2z = Encuentre condiciones necesarias y suficientes para que los vectores v 1 = (a 1, a 2 ) y v 2 = (b 1, b 2 ) de 2 sean linealmente independientes. 99. Demuestre que la recta que une un vértice de un paralelógramo con el punto medio del lado opuesto, divide a la diagonal en la razón 1 : Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos (0, 0, 1); (1, 2, 1), y es tal que forma con los planos coordenados un tetraedro de volumen máximo Hallar la distancia del punto A = (a, b, c) a la recta OP = OP 0 + t d, 102. Dadas dos rectas L t (p, v) : x = p + t v y L s (q, ω) : x = q + s ω. Estudie todas las posibilidades según p, q, v, ω para que L t (q, ω) = y L t (p, v) L s (q, ω) 103. Una partícula se lanza desde (0, 0, 0) 3 siguiendo la dirección v = (1, 1, α), para que choque con el plano π : x + y + z = 5, determine el punto de impacto y la distancia recorrida por la partícula; si el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión determine la ecuación de la recta en que se mueve la partícula después del choque con el plano π. Existe α tal que después del choque la partícula vuelva a (0, 0, 0). Si así fuese, Cuál es? 104. Encuentre la ecuación del plano π que cumple simultáneamente con: a) (0, 0, 0) π t 11

12 b) π π 1 donde π 1 = {(x, y, z) 3 /x + y z = 1} c) π//l donde L = {(x, y, z) 3 /x + y + z = 0 x + 2y z = 1} 105. Sea L la intersección de los planos M 1 : 2x + y z + 3 = 0, M 2 : x y + 2x + 1 = 0 Encuentre el ángulo que forma L con la normal al plano: M 3 x + y + z = Dados el punto A = (2, 0, 1) y la recta L : OP = (1, 2, 3) + t( 2, 1, 1), t a) Encuentre la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a L b) Encuentre la ecuación vectorial de la recta que pasa por A, e intercepta perpendicularmente a L 107. Una partícula P se mueve en el espacio de modo que en el instante t : OP = (1 t) i+(2 3t) j+(2t 1) k a) Verifique que P se mueve en una recta. b) Encuentre una dirección de la trayectoria. c) En qué instante t 0 iniciará en el plano 2x + 3y + 2z = 1? 108. Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A = (1, 2, 3) y B = (2, 3, 4) y sea ortogonal al plano de ecuación 3x + 2y z+ = 0. Cuál es la distancia al origen? 109. Un reflector parabólico tiene 8 cm. de diámetro y 4 cm. de profundidad. A qué distancia está del vértice del foco? 110. Sea S 2 la esfera unitaria en 3, S 2 = {(x, y, z) 3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1} y π el plano de ecuación z = 1. Desde un punto p = (x 0, y 0, z 0 ) arbitrario de π, se construye la recta que pasa por p y q = (0, 0, 1). Encuentre la ecuación de dicha recta y las coordenadas del punto, donde la recta, corta a la esfera S 2. Haga un dibujo Desde el origen (0, 0, 0) de un sistema de coordenadas sale una partícula (con velocidad constante), moviéndose sobre la recta que tiene vector director v = i j + α k (α parámetro real) a) Determine la ecuación paramétrica de la recta en que se mueve la partícula. b) En el mismo sistema de coordenadas determine la ecuación de un plano π que pasa por P 1 = (1, 0, 0), P 2 = (0, 2, 0) y P 3 = (0, 0, 3). c) Determine el punto del plano π en el cual la partícula lo impacta. Determine la distancia recorrida por la partícula desde el origen hasta impactar el plano. Para qué valor de α, la partícula recorre la mínima distancia para impactar al plano π? 112. Sean a, b vectores linealmente independientes en 3. Pruebe que el área del paralelógramo formado por los vectores a y b + λ a, λ, es igual al área formado por los vectores a y b 113. Sean a, b y c vectores no nulos de 3, tales que ( a, c) = ( b, c). Pruebe que c es ortogonal al vector x = b a a b 114. Una partícula se mueve en 3 siguiendo la trayectoria que une los puntos A(1, 2, 4) y B(8, 2, 6) a) Calcule la distancia de A al punto de impacto C en el plano π : 2x + 6y z = 8 b) Calcule la distancia de A al plano π 115. Considere los planos π 1 : x z = 2 y π 2 : x + y = 2 2. a) Calcule el ángulo más pequeño (agudo) que forman los planos π 1 y π 2 b) Encuentre la forma paramétrica de la recta L, en que se intersectan los planos π 1 y π 2. 12

13 c) Encuentre la ecuación del plano π que bisecta el ángulo agudo que forman los planos π 1 y π 2 y que usted calculó en (1) 116. Sea Π 1 el plano 2x y + 3z = α, α. Sea Π 2 el plano que contiene a los puntos (1, 1, 2) y (0, 1, 3) y es paralelo al vector v = i + 1/2 j. Sea Π 3 el plano que contiene al punto (1, 1, 1) y sea perpendicular a la recta: x 1 L : = y 5 = z Determine α de modo que la intersección Π 1 Π 2 Π 3 sea una recta Sea M el plano cuya ecuación cartesiana es: ax + by + cz + d = 0. Establezca en cada caso, la relación que deben satisfacer los coeficientes a, b, c, d de modo que a) M sea paralelo al plano 2x y + x = 7 b) M es perpendicular al vector d = i + 3 j + 5 k c) M intercepta a los ejes coordenados en x = 2, y = 1, z = 1 d) M contenga la recta L : x = 2y = z 118. Sean l 1 y l 2 las rectas de intersección de los respectivos planos a) Demuestre que las direcciones de l 1 y l 2 son perpendiculares { { 3x y 5 y + z λ = 0 4x z 4 = 0 y x y 1 = 0 b) Para qué valor(es) de λ, las rectas l 1 y l 2 determinan un plano? Justifique su respuesta En una habitación cúbica de lado a, se lanza una partícula desde una esquina en línea recta con velocidad constante, después de 1 segundo la partícula está en el punto q = (a/5, a/3, a/2), al cabo de cuánto tiempo choca con una pared?, con qué pared? y en qué punto?, qué distancia recorre la partícula desde su lanzamiento hasta el segundo choque? 120. Sea L una recta del espacio euclidiano: ax + by + cz = 1, a x + b y + c z = 1 y π un plano dado por: αx + βy + γz = 1. Existe una relación entre a, b, c, a, b, c, α, β, γ para que L esté contenida en π? Si hay, encuéntrela Considere el sólido que consiste de una pirámide de base un cuadro de lado 2a y de altura h. Poniendo un sistema adecuado de coordenadas: a) Encuentre la ecuación de un plano π que contenga a una de las caras laterales (hay 4 caras laterales y una basal) b) Determine la ecuación de una recta que contenga a una arista en la intersección de dos caras laterales. c) Si se fabrica este sólido, utilizando cartón para confeccionar las caras y alambre para fabricar las aristas. Determine la superficie de cartón y la longitud de alambre que se necesita Una partícula parte desde el punto (1, 1, 2) con una rapidez constante de 2 3 [unidades] y dirección i j + k a) Qué tiempo tarda en llegar al plano: π : x 2y + z = 1? b) Si se mueve con la misma rapidez en dirección perpendicular a π; en qué tiempo llegará al plano π? 123. Sea L la recta determinada por M 1 M 2 donde M 1 = {(x, y, z) 3 /2x + 2y 3z = 6} y M 2 = {(x, y, z) 3 /2x z = 1}. Sea P = (1/2, 1/2, λ) 3. Determinada λ tal que d(p, L) = Una placa triangular está contenida en el plano M de ecuación x + y + z = 18. Desde el origen y con rapidez constante sale una partícula P 1 con trayectoria rectilínea siguiendo la dirección de v 1 = (1, 2, 3). Desde el punto (1, 1, 4) sale otra partícula P 2 con rapidez constante y trayectoria rectilínea y que pasa por (1, 1, 1). 13

14 a) Encontrar las coordenadas del punto de intersección Q 1 de la trayectoria de P 1 con el plano M b) En qué dirección debió salir P 1 para llegar a la placa en el menor tiempo posible? c) Encontrar las coordenadas del punto de intersección Q 2 de la trayectoria P 2 con el plano M d) Se intersectan en 3, las trayectorias de las partículas? 125. Encontrar el ángulo formado por los planos: Ax + By + Cz + D = 0 y ax + by + cz + d = Encontrar la distancia mínima desde el punto P = (7, 5, 10) a la superficie de la esfera: (x 1) 2 + (y + 1) 2 + (z 2) 2 = Determinar la ecuación del plano paralelo al plano M : x + 3y z 5 = 0, tal que el punto ( 1, 1, 1) equidiste de ambos planos Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente a la esfera: (x 3) 2 + (y 2) 2 + (z 1) 2 = 38 en el punto (2, 1, 5) a) Encontrar la ecuación de la familia de planos M α que pasan por P = (0, 0, 1) y forman un ángulo de π/4 con el plano XY b) Entre los planos M α determinados en (1), encontrar uno de forma que el volumen encerrado por él y los planos coordenados sea 1/ a) Considere los vectores a = (1, 2, 3) y b = (3, 2, 1) en 3 determine un vector c 3 tal que el conjunto { a, b, c} sea una base de 3. b) Encuentre una base para el subespacio vectorial w 3 generado por los vectores (2, 2, 2), (2, 4, 6), (9, 6, 3) c) Sea V el subespacio vectorial de 3 generado por los vectores a = (1, 1, 0) y b = (1, 2, 2). Determine un vector v 3 de norma igual a 3 que se perpendicular a cada vector de la base de V. Es v perpendicular a todo vector de V?. Justifique su respuesta d) Considere el vector u = (2, 0, λ) de 3, Para qué valores de λ, u pertenece al subespacio vectorial V dado en 3)?. Justifique su respuesta a) Encuentre la distancia del origen al punto de intersección del plano π con la recta L donde: π : 3x 2y + z = 0 L = x = (1 + t, 2t 1, 1 + 3t), t b) Determine el ángulo que forma la recta L y un vector normal al plano Determine todas las transformaciones lineales U : 2 2 tales que U(1, 0) = (2, 1) y U no sea invertible En el espacio euclidiano tridimensional E 3 se considera la esfera S 2, S 2 = {(x, y, z) E 3 /x 2 +y 2 +z 2 = R 2 }. Desde el origen O = (0, 0, 0) E 3 se lanza una partícula m 1 en la dirección del vector v 1 = (1, 1, 1) y otra partícula m 2 en la dirección del vector v 2 = (1, 1, 0). a) Determine las coordenadas p 1 y p 2 de los puntos en los cuales las partículas m 1 y m 2 perforan la esfera S 2 b) Determine las ecuaciones de los planos π 1 y π 2 tangentes a la esfera en los puntos de impacto p 1 y p 2 c) Determine el coseno del ángulo que forman los planos π 1 y π Sean los puntos A = (1, 1, 1), B = ( 2, 1, 3) y C = (λ, 1, 0). Determinar el valor de λ, tal que el plano que contiene los tres puntos, no intersecte el eje y, de coordenadas. 14

15 135. Sea el plano π : ax y + bz = 2 y la recta l : x 1 3 Determinar a, b tal que l//π y (1, 1, 1) π = y 1 = z Encontrar la(s) ecuación(es) del (de los) plano(s) paralelo(s) al eje z, que contengan el punto ( 1, 2, 1) y que equidiste(n) una unidad del origen 137. Demostrar, vectorialmente, que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equidista de los tres vértices a) Sean a = 2 i j + 2 k y c = 3 i + 4 j k. Determine b 3 tal que a b = c y a b = 1 Es único el vector b con esta propiedad? b) Sea π : ax+by +cz +d = 0 un plano. Determine, en cada caso, las condiciones que deben satisfacer a, b, c, d para que 1) π sea paralelo al eje z 2) π contenga al eje z 3) π sea paralelo al plano π 1 : 2x + 3y z + 4 = 0 4) π sea perpendicular a la recta l : 2 x 2 = y 3 = 2z 139. Considere u = (1, 1, 1) 3 a) Determinar un vector v que sea a u b) Determine un vector w que forme un de 45 con u y de 45 con v c) Si v = 2. Determine el área del paralelógramo que forman u y v 140. Existe un plano perpendicular al vector v = (3, 5, 6) que sea paralelo a la recta x 1 = y 2 = z 3? Justifique claramente su respuesta Dado los planos π 1 : x + y + z = 1 y π 2 : x y + 2z = 1, y la recta L 1 de vector director (1, 1, 0) y que pasa por el origen O. a) Encuentre la recta L 2 = {P 3 /P = P 0 +λ v, λ } que resulta de la intersección en 3 de los planos π 1 y π 2. b) Encuentre un vector no nulo ortogonal a L 1 y L 2. c) Tome O L 1 y P 0 L 2 y calcule el módulo de la proyección del vector OP 0 sobre la dirección normal calculada en b). 15