CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Segundo Examen Parcial. 11 de Junio de 2003

Transcripción

1 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Segundo Examen Parcial. 11 de Junio de Ejercicio 1. Calcular el volumen del elipsoide x a + y b + z c 1. Probar que el elipsoide de volumen máximo, sujeto a la condición de que a + b + c sea constante, es una esfera. Solución. Usando las coordenadas x ar sen φ cos θ, y br sen φ sen θ, z cr cos φ, la ecuación del elipsoide es r 1y el sólido que encierra esta superficie es E {(r, φ, θ) : r 1, φ π, θ π}. El jacobiano de este cambio de coordenadas es (x, y, z) (r, φ, θ) a sen φ cos θarcos φ cos θ ar sen φ sen θ b sen φ sen θbrcos φ sen θ brsen φ cos θ c cos φ cr sen φ c cos φ cos φ cos θ ar sen φ sen θ a ar br cos φ sen θ brsen φ cos θ + cr sen φ sen φ cos θ b sen φ sen θ abcr cos φ sen φ + abcr sen φ abcr sen φ. Aplicando la fórmula del cambio de variables, obtenemos vol (E) π Z π Z 1 abcr sen φdrdφdθ abcπ 1 r [ cos φ] π πabc. La función objetivo f (a, b, c) πabc es no negativa y sólo se anula si al menos uno de los semiejes a, b, c es nulo; en cuyo caso se obtendría el valor mínimo. Entonces, podemos suponer que a, b, c >. La restricción es g (a, b, c) a + b + c k. Usando el criterio de los multiplicadores de Lagrange, determinamos los puntos solución del sistema f λ g, resolviendo πbc λ, πac λ, πab λ, a + b + c k. Igualando las tres primera ecuaciones, obtenemos bc ac ab, que con la cuarta implican a b c k. Entonces hemos obtenido una esfera de radio k, con vol µ k π πk 81. ar sen φ sen θ br sen φ cos θ 1

2 Ejercicio. (Cuadratura de la luna) Consideremos la región R del plano que es exterior a la circunferencia con centro en (, ) que pasa por el punto (a, a) e interior a la circunferencia con centro en (,a) yradioa. Usando el teorema de Green, demostrar que el área de dicha región coincide con el área de un cuadrado de lado a. Solución. La ecuación de la circunferencia con centro en (,a) yradioa es x + (y a) a. La ecuación de la circunferencia con centro en (, ) que pasa por (a, a) es x + y a. Los puntos de intersección de ambas son ( a, a) y (a, a) que tienen coordenadas polares a, π/ y a,π/ respectivamente. La curva cerrada C que forma la frontera de R es unión de la curva C 1 parametrizada por x (θ) a cos θ, y (θ) a + a sen θ, donde θ [,π] yde la curva C parametrizada por x (θ) a cosθ, y (θ) a senθ, donde θ [π/, π/]. El teorema de Green implica que área (R) 1 I xdy ydx, donde la orientación de C es positiva. Las orientaciones de C 1 y C con las parametrizaciones dadas son antihorarias, por lo que para que C tenga orientación positiva, debemos usar la orientación horaria en C, cambiando el signo de la integral de línea. Entonces, área (D) 1 µz Z xdy ydx xdy ydx C 1 C Ã Z 1 π a sen θ + a Z! π dθ a dθ π 1 µ a [ cos θ + θ] π a [θ] π π 1 C a + πa πa a.

3 Ejercicio. Sea S la porción del paraboloide z x + y queseencuentra en el semiespacio y+z. Calcular el flujodesalidadelcampof (x, y, z) (y + z,x + z, z) directamente y mediante el teorema de Gauss. Indicación: Utilizar las coordenadas x r cos θ, y 1+r sen θ, z z, para parametrizar S. Solución. La ecuación del paraboloide con las coordenadas dadas es z r cos θ +(r sen θ 1) r r sen θ +1, donde θ π y z y implica r r sen θ +1 5 r sen θ, loque equivale a que r. En consecuencia, la parametrización de S es S (r, θ) r cos θ, r sen θ 1,r r sen θ +1, r, θ π. El producto vectorial fundamental es i j k S r S θ cos θ sen θ r senθ r sen θ rcos θ r cos θ r cos θ, r r sen θ, r. En el punto S (1, ) (1, 1, ) el producto vectorial fundamental (S r S θ )(1, ) (,, 1) tiene la dirección interior. El flujodesalidadelcampof (x, y, z) (y + z, x + z,z) atravésdes es π F nds F [S (r, θ)] (S r S θ ) dθ dr. S El producto escalar F [S (r, θ)] (S r S θ ) r r sen θ, r r sen θ + r cos θ +1,r r sen θ +1 r cos θ, r +r sen θ, r r (cos θ +senθ) r sen θ +8r sen θ r cos θ r r.

4 El flujo exterior a través de S, usando que sen θ (1 cos θ)/, es π r (cos θ +senθ) r sen θ +8r sen θ r cos θ r r dθ dr µ θ r (sen θ cos θ) r sen θ 8r cos θ r sen θ r + r π θ dr πr 6π r + r dr 1πr 6πr 1r dr π π ( + 1) 5π. +r Para usar el teorema de Gauss, consideramos la superficie T tal que S T es una superficie cerrada. Como T está contenida en el plano z y, su parametrización es T (r, θ) (r cos θ, r sen θ 1, 5 r sen θ), r, θ π. El producto vectorial fundamental es i j k T r T θ cos θ sen θ senθ (, r, r). r sen θ rcos θ r cos θ Dado que T r T θ tiene la dirección exterior al sólido Ω encerrado por S T, el flujo exterior a través de T es π F nds ( r sen θ, r cos θ +5 rsen θ, 5 r sen θ) (, r, r) dθ dr T π r r cos θ 6r sen θ +15 dθ dr r r sen θ +6r cos θ +15θ π dr πr dr r π 6π. El teorema de la divergencia de Gauss afirma que el flujodesalidadef a través de S T coincide con la integral triple de la divergencia de F,esdecir Z F nds div (F ) dx dy dz. S T Dado que div (F )F x + F y + F z 1,yelsólido Ω Ω (r, θ, z) : r, θ π, r r sen θ +1 z 5 r sen θ ª,

5 tenemos que Z π div (F ) dx dy dz Ω π Z 5 r sen θ r r sen θ+1 rdzdrdθ r rdrdθπ r r 8π. Entonces, el flujo de salida del campo F atravésdes es F nds F nds F nds 8π 6π 5π. S S T T 5