Unidad 1: Números Complejos

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1 Uidad : Números Complejos. Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las ciecias e geeral. La primera aplicació matemática que tiee estos úmeros es que sirve para resolver la siguiete ecuació x : () Babilóios, Griegos y Árabes cosideraba imposible la solució de éste problema. El primer idicio de solució surgió co Girolamo Cardao (50-576) y Tartaglia (99-557). A partir de etoces y durate varios siglos, los matemáticos trabajaro co úmeros complejos si co rmar su existecia. Actualmete so muy utilizados e las aplicacioes prácticas como e las corrietes eléctricas y e la física subatómica. Sabemos que esta ecuació o tiee solució real, ya que cualquier úmero real elevado al cuadrado es o egativo. Para resolver la ecuació () itroduciremos la uidad imagiaria, deotada por "i"; co la siguiete propiedad i ; como su cuadrado es egativo, la letra "i" o represeta u úmero real. El sistema umérico que resultó al itroducir la uidad imagiaria, se llama cojuto de úmeros complejos.. Forma biómica o caóica De ició Sea a y b úmeros reales, de imos el úmero complejo z como dode i : z a + b i; Ésta es la forma biómica o caóica del úmero complejo z: El cojuto de úmeros complejos se lo deota por C: Notamos que si z a + b i y b 0 etoces el úmero complejo es simplemete u úmero real. Es decir, que cualquier úmero real x; se lo puede ver o mirar como u úmero complejo de la forma z x + 0 i: Esto os dice que el cojuto de úmero complejos cotiee al cojuto de úmeros reales. Por esto decimos que a es la parte real y b la parte imagiaria del úmero complejo a + b i: La igualdad, suma, resta y multiplicació de úmeros complejos, está de idas de modo que se coserva las reglas del álgebra de úmeros reales. Esto es: De ició Dos úmeros complejos z a + b i y w c + d i so iguales cuado tiee la misma parte real e imagiaria, es decir z w cuado a c y b d:.. Operacioes etre úmeros complejos Producto por u real k : De ició Dado u úmero complejo a + b i y u úmero real k etoces k (a + b i) ka + (kb) i: Ejemplo ( ) ( i) ( ) + (( ) ( )) i + 6 i: Suma: De ició Si z a + b i y w c + d i so dos úmeros complejos etoces z + w (a + b i) + (c + d i) (a + c) + (b + d) i: Álgebra 009

2 Resta: De ició 5 Si z a + b i y w c + d i so dos úmeros complejos etoces z w (a c) + (b d) i: Observació. La resta de dos úmeros complejos se puede de ir e forma similar al de úmeros reales, es decir z w z + ( )w: Ejemplo Calcular:. ( i) + ( + i) ( ) + ( + ) i + i + i:. ( i) ( + i) ( ( )) + ( ) i ( + ) + ( 7) i 7i: Multiplicació o producto: De ició 6 Si z a + b i y w c + d i so dos úmeros complejos etoces el producto es: z:w (a + b i) : (c + d i) (ac bd) + (ad + bc) i: Para multiplicar dos úmeros complejos podemos usar la de ició aterior o la propiedad distributiva y que i : Ejemplo. Resolver usado la de ició del producto de complejos: ( i) ( + i) ( ( ) ( ) ) + ( + ( ) ( )) i ( ( )) + (8 + ) i ( + ) + () i 0 + i:. Resolver usado la propiedad distributiva: ( i) ( + i) ( ) + (i) + ( i) ( ) + ( i) (i) + 8i + i + i + i ( ) ( + ) + () i 0 + i: Las propiedades comutativa, asociativa y distributiva de la suma y la multiplicació, so ciertas para los úmeros complejos. Pero para aalizar la existecia del iverso multiplicativo de u úmero distito de cero se debe hacer alguas cosideracioes previas: Cojugado de u úmero complejo: De ició 7 El cojugado del úmero complejo z a + b i es z a b i:. + i i i. i + i. + 0i Propiedades del cojugado de u úmero complejo:. El cojugado de u úmero real es el mismo úmero.. El cojugado del cojugado de u úmero complejo es el mismo úmero. z z. El cojugado de la suma de dos úmeros complejos es igual a la suma de los cojugados: z + w z + w Álgebra 009

3 . El cojugado del producto de dos úmeros complejos es igual al producto de los cojugados: z:w z:w 5. (Propiedad importate) El producto de u úmero complejo por su cojugado es u úmero real o egativo. Es decir, si z a + b i; etoces z:z (a + b i) (a b i) a ab i + ba i b i a + b : De ició 8 Sea el úmero complejo z 6 0; el iverso multiplicativo o simplemete el iverso de z es el úmero complejo w tal que z:w ; a w se lo deota por z : Si z a + b i 6 0; el iverso de z es z z a + b i a a + b b a + b i: Observació. E la fórmula ateror observamos que el deomiador de la parte real e imagiaria del iverso de z es u úmero real a + b ; si usamos la propiedad 5 de cojugado de u úmero complejo, que es multiplicar e el deomiador y umerador por el cojugado de z teemos otra forma de calcular el iverso de z : z z z a b i (a b i) z z a + bi a b i (a + b i) (a b i) a b a + b a + b i: Cociete: De ició 9 El cociete de dos úmeros complejos es el producto del umerador por el iverso del deomiador, es decir, si z a + bi y w c + di, y w 6 0, teemos que z w z:w a + b i (ac + bd) (bc ad) c + d i c + d + c + d i: Observació. El úmero complejo que resulta de hacer el cociete etre z y w; podemos obteerlo multiplicado por el cojugado del deomiador, es decir que: z w z:w a + b i c + d i a + b i c d i (a + b i) (c d i) (ac + bd) + (bc ad) i (ac + bd) ad) c + d i c d i (c + d i) (c d i) c + d c +(bc + d c + d i: Ejemplo Cocietes de complejos:.. i ( + i) ( i) ( + i) i ( i) ( i) + i ( + i) ( i) i: ( + i) ( + i) + ( ) + i: ( ( ) ( ) ( )) + ( ( ) + ( ) ( )) i ( ) + ( + ) ( ) La siguiete tabla proporcioa u resume de alguas de icioes que usaremos, dode z a + b i y w c + d i Termiología De ició Números complejos a + b i dode a y b so reales e i Nro. imagiario puro a + b i cuado a 0 Igualdad, z w a + b i c + d i si y solo si a c y b d Suma, z + w (a + b i) + (c + d i) (a + c) + (b + d) i Producto, z:w (a + b i) (c + d i) (ac bd) + (ad + bc) i Producto por u real k; k:z k (a + b i) ka + (kb) i Resta, z w (a + b i) (c + d i) (a c) + (b d) i Cojugado de z; z a + b i a b i Iverso de z; z z a + b i a b a + b a + b i Cociete, z:w z a + b i (ac + bd) (bc ad) w c + d i c + d + c + d i Álgebra 009

4 . Forma polar o trigoométrica de u úmero complejo Así como los úmeros reales se puede represetar geométricamete e la recta, los úmeros complejos se puede represetar e el plao. Sea z a + bi; lo represetamos como el puto (a; b) del plao coordeado o plao complejo, el eje horizotal se lo deomia eje real y al vertical eje imagiario z Eje imagiario + i z 0 + i z + i z 5 + 0i 0 z i z Eje real i Notemos que para represetar el cojugado z a bi de u úmero complejo z a + bi solo hay que re ejarlo e el eje real. Recordemos que el valor absoluto de u úmero real a; que se deota por jaj es la distacia que hay al orige. E forma similar podemos decir que el valor absoluto de u úmero complejo z a+b i, es la distacia del puto (a; b) al orige (0; 0) del plao coordeado, es decir que De ició 0 El módulo o valor absoluto de z a + b i; es ja + bij p a + b : Ejemplo 5 Calcular el módulo de. jz j j + ij p + p + 9 p ; q. jz j j ij + ( ) p + 9 p ; (ote que jz j jz j :). jij j0 + ij p 0 + p 9 ;. jj j + 0ij p + 0 p ; (ote que ésta forma de calcular el módulo coicide co el cálculo del valor absoluto como úmero real.) Cosideremos el úmero complejo z a + bi distito de cero. Sea el águlo medido e setido cotrario al de giro de las agujas de u reloj, etre el eje horizotal x y el segmeto que ue el puto (a; b) co el orige, y dado que 8 cos >< a r >: se b co r p a + b r vemos que a r cos y b r se ; por lo tato teemos que z a + b i (r cos ) + (r se ) i r (cos + i se ) otemos que r p a + b ; es el módulo de z; y se deomia argumeto de z: De las i itas posibilidades de elegir el águlo ; se restrige al itervalo 0 < o 0 < 60 : Fue Joh Wallis (67) el primero e sugerir la represetació grá ca de u úmero complejo, la cual o fue usada hasta 800 por Karl F. Gauss. Álgebra 009

5 y (a; b) r a b x Usado el módulo y el argumeto de u úmero teemos otra forma de represetar u úmero complejo que se la deomia forma polar, esta represetació juega u rol fudametal ya que simpli ca ciertas operacioes etre estos úmeros. Formalmete De ició La forma polar o trigoométrica de u úmero complejo z a + b i es z r (cos + i se ) r cis ; dode a r cos ; b r se ; r p a + b ; y 8 arctg b a si a > 0 y b > 0 >< arctg b + si a > 0 y b < 0 a arctg b a + si a < 0 o 90 si a 0 y b > 0 () Ejemplo 6 Calcular la forma polar o trigoométrica de Comezamos por hacer la represetació grá ca. >: o 70 si a 0 y b < 0 z + p i: z + p i y p jzj x 5 Álgebra 009

6 Calculemos el módulo y el argumeto del úmero. Así, teemos que el módulo es r jzj ( ) + p p p + 6 Para calcular, teemos que tg p p como a < 0 por () + (segudo cuadrate). Por lo tato la forma polar de z es z cos + i se : Igualdad e forma polar: De ició Dos úmeros complejos e forma polar so iguales cuado tiee igual módulo y los argumetos di ere e u múltiplo etero de ; es decir, si z jzj(cos + i se ) y w jwj(cos + i se ) cuado jzj jwj y existe k Z; tal que + k (o + k:60 ). Ejemplo 7 Teemos que los siguietes úmeros complejos so iguales: cis 05 cis 765 cis 005 cis 5 :.. Operacioes e forma polar o trigoométrica Multiplicació y cociete e forma polar: Cuado los úmeros complejos se expresa e forma polar, la multiplicació y la divisió se puede efectuar segú lo idica el siguiete teorema: Teorema (Producto y cociete de úmeros complejos) Sea z r (cos + i se ) y z r (cos + i se ) etoces a) z z r r (cos ( + ) + i se ( + )) r r cis ( + ) : b) Si z 6 0; etoces z z r r (cos ( ) + i se ( )) r r cis ( ) : Para realizar la demostració se usa las siguietes fórmulas trigoométricas: cos ( ) cos cos se se se ( ) se cos se cos Ejemplo 8 Sea z cis ; y z cis : Teemos que a) z z () cis + 6 cis () cos (6) ( + i 0) 6: b) z z cis cis (0 + i ( )) i: 6 Álgebra 009

7 . Potecias y raíces de úmeros complejos Usado la forma polar de u úmero complejo teemos que para elevar a ua potecia basta efectuar productos sucesivos z r (cos + i se ) z r (cos + i se ) z r (cos + i se ) z. r (cos + i se ) La última igualdad se lo cooce como Teorema de De Moivre, formalmete Teorema (De Moivre) Si z r (cos + i se ) y u etero positivo etoces z (r (cos + i se )) r (cos + i se ) : Demostració. Se usa el método de Iducció Matemática, que se verá más adelate. Ejemplo 9 Calcular + p i : Primero escribimos el úmero complejo e forma polar y obteemos que z + p i cos + i se : Luego cálculamos z cos + i se Las potecias de i sigue u patró que es útil coocer 096 (cos 8 + i se 8) 096: i i i 5 i :i :i i i i 6 i :i ( ) i i :i i i 7 i :i ( i) i i i :i ( ) ( ) i 8 i :i ; y así sucesivamete. Por tato, las potecias de i se repite cada cuarta potecia. Ejemplo 0 Evaluar:. i 5 i :i i 6 (i) :i i. i 0 i 00 :i i 5 ( i) : ( i) i Recordemos que e los úmeros reales, la raiz ésima es la operació iversa de la potecia, para los úmeros complejos se da ua situació similar, formalmete De ició U úmero complejo w c + d i es ua raíz ésima del úmero complejo z a + b i si z w : () E lugar de usar la forma biomial del complejo e la ecuació () escribiremos a w y a z e forma polar, sea z r (cos + i se ) y w s (cos + i se ) ; etoces la ecuació () queda r (cos + i se ) (s (cos + i se )) Teorema de DeMoivre s (cos + i se ) por lo tato teemos que r s + k: 7 Álgebra 009

8 es decir que 8 >< s p r Así teemos >: + k : w p r cos + k + i se + k ; si sustituimos k 0; ; ::: ; obteemos valores distitos de w; que se deomia raíces esimas de z: Nigú otro valor de k; producirá ua ueva raíz. Por lo tato teemos demostrado el siguiete resultado Teorema (Raíces ésimas de u úmero complejo) Sea z r (cos + i se ) u úmero complejo. Si z 6 0; existe raíces eésimas complejas distitas de z dadas por la fórmula w k p r cos + k + i se + k dode k 0; ; :::;. Usado que 60 teemos equivaletemete que w k p r cos + 60 k + i se + 60 k dode k 0; ; :::; : Observació: Todas las raíces esimas de z tiee el mismo módulo p r, de aquí que si hacemos su repesetació geómetrica de la raices, éstas se ecuetra e ua circuferecia de radio p r co cetro e 0, e igualmete espaciadas ya que la diferecia e los argumetos de las raíces sucesivas es de o 60 : Es decir, las raíces esimas de z; so los vértices de u polígoo regular iscripto e la circuferecia de radio p r y co águlo cetral o 60 : Ejemplo Hallar las raíces terceras de z + p i y represetar grá camete las raíces. Primero represetamos a z + p i e forma polar co grados. z + p i (cos 0 + i se 0 ) : E este caso ; por lo tato teemos w k p 0 cos + 60 k 0 + i se + 60 k p (cos (0 + 0 k) + i se (0 + 0 k)) dode k 0; ; : Es decir que w 0 p (cos ( ) + i se (0 + 0 k)) p (cos 0 + i se 0 ) w p (cos (0 + 0 ) + i se (0 + 0 )) p (cos 60 + i se 60 ) w p (cos (0 + 0 ) + i se (0 + 0 )) p (cos 80 + i se 80 ) 8 Álgebra 009

9 w 0 p (cos0 + ise0 ) w p (cos60 + ise60 ) 60 0 p 80 w p (cos80 + ise80 ) Ejemplo Resolver la ecuació z 0: Si escribimos la ecuació equivalete z ; vemos que las solucioes de la primera ecuació so las cuatro raíces cuartas del úmero complejo : Escribiedo ; e forma polar, teemos que z (cos 0 + i se 0 ) y ; por lo tato w k p cos k + i se k dode k 0; ; ; : Es decir que las cuatro solucioes de la ecuació so w 0 (cos 0 + i se 0 ) + 0i w (cos 90 + i se 90 ) 0 + i w (cos 80 + i se 80 ) 0i w (cos 70 + i se 70 ) 0 i: cos 60 k + i se 60 k w w 90 w w Observado lo aterior, podemos utilizar lo aterior para ecotrar las dos úmeros complejos que so solució de ua ecuació de segudo grado. Ejemplo Resolver la ecuació x : 9 Álgebra 009

10 Escribiedo ; e forma polar, teemos que z (cos 80 + i se80 ) y ; por lo tato w k p cos k + i se k (cos k + i se k) dode k 0; : Es decir que las dos solucioes de la ecuació so w 0 (cos 90 + i se 90 ) 0 + i i w (cos 70 + i se 70 ) 0 i i Ejemplo Sea p u úmero real positivo, resolver la ecuació x p: Este ejemplo se puede resolver e forma similar al aterior, se deja como ejercicio. Lo hacemos usado la fórmula para resolver ua ecuació de segudo grado. Haciedo pasaje de térmios teemos que x p; se puede escribir como x + 0x + p 0; () x ; 0 p 0 p p ::p p p p p p p : Así teemos que las solucioes so: x p pi y x p pi: Veri quemos que x es solució de la ecuació () x + p ( p pi) + p ( p p) i + p p ( ) + p p + p 0: E forma similar teemos que x tambié es solució de la ecuació () x + p ( p pi) + p ( ) ( p p) i + p p ( ) + p p + p 0: Observació. Otra aplicació de los úmeros complejos es que se puede resolver ecuacioes del tipo x +p 0; para todo p Z y N: Ejemplo 5 Resolver la ecuació de segudo grado x + x + 5 0: Usado la fórmula para resolver ua ecuació de segudo grado teemos que x ; p 5 p 60 6 Por Teorema las raíces cuadradas del úmero complejo z Luego x x so: z p i y z p i: p : 6 + p p i i p p p i p i: Observació Importate. Notar que los úmeros complejos puede resolvar cualquier ecuació, e particular resuelve cualquier ecuació de segudo grado. 0 Álgebra 009